第六章 正态分布与
医学参考值范围
第一节 正态分布
正态分布 （ normal distribution）也叫高斯分布（
Gaussian distribution），一种最常见、最重要的连续型对
称分布。
（ 正态分布是对称分布, 但对称分布不一定是正态分布 。 ）
实际频数分布：中间频数多, 两端越来
越少, 且左右大致对称
理论频数分布：正态分布曲线 。
图 2 - 4 频数分布逐渐接近正态分布示意
一,数学形式
）正态曲线（
就是为横坐标，绘制的曲线为纵坐标，以
）称为概率密度函数（
为总体标准差的总体均数，为
为底的自然对数指数是以，＝
c u r v e n or m a l
)(
f u n c t i onde n s i t y y pr oba bi l i t)(
),,(~
72818.2e x p14159.3
,
2
)(
e x p
2
1
)(
2
2
2
XXf
Xf
XNX
X
X
Xf
????
?
?
?
??
?????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
二、正态曲线（ normal curve ）图形特点,
1,钟型
2,中间高
3,两头低
4,左右对称
5,最高处对应
于 X轴的值
就是均数
6,曲线下面积
为 1
7,标准差决定
曲线的形状
X
f(X)
?
X
f(X)
?
① X 轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 或 100% ；
② 区间
?? ?
的面积为 68.27% ；
③ 区间 1, 9 6??? 的面积为 95.00% ；
④ 区间 2, 5 8??? 的面积为 99.00% 。
正态分布 面积或概率
μ±σ 6 8, 2 7 %
μ± 1, 9 6 σ 9 5, 0 0 %
μ± 2, 5 8 σ 9 9, 0 0 %
三、标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution)
的两个参数为,μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
??????
?
?
?
?
?
??
?
?
X
u
uf
X
uN
Nu
,e x p)(
);,(
),(
22
1
10
2
2
?
?
?
??
其中标准正态分布
被转化为变换：一般正态分布标准正态变量经
一般正态分布为一个分布族,N(?,?2) ；标准
正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
四、曲线下面积
dXeXF
X
X )2(
)(
2
2
2
1)( ??
??
??
???
?
0, 0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
X
f ( X )
dueu
uu
2
2
2
1 ?
???
??
?
)(u-∞
附表 1（ P225）
就是根据此公式
和图形制定的
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
X
f ( X )
F ( X )
概率密度函数与累积分布函数
概率密度函数与累积分布函数
曲线下面积分布规律
0-1 1-1.96 1.96-2.58 2.58
68.27%
95.00%
99.00%
μμ-σ μ+σμ-1.96σ μ+1.96σμ-2.58σ μ+2.58σ
68.27%
95.00%
99.00%
标准正态分布 正态分布 面积或概率
- 1 ～ 1 μ±σ 68,2 7%
- 1,96 ～ 1,96 μ± 1.96 σ 95,0 0%
- 2,58 ～ 2,58 μ± 2.58 σ 99,0 0%
计算正态曲线下面积实例
例 6-1
五、正态性检验
六、正态分布的应用 P93
第二节 参考值范围
定义,P93
步骤：
1,从, 正常人, 总体中抽样：明确研究总体
2,统一测定方法以控制系统误差。
3,判断是否需要分组（如性别、年龄）确定。
4,根据专业知识决定单侧还是双侧。
意义,P93
单侧下限 ---过低异常 单侧上限 ---过高异常 双侧 ---过高、过低均异常
单侧下限
异常 正常
单侧上限
异常正常 异常正常
双侧下限 双侧上限
异常
1,正态分布法
方法,1,正态分布法 2,百分位数法
双侧 100(1-α)%正常值范围：
单侧 100(1-α)%正常值范围：
（下限）
上限
SuX
SuX
SuX
?
?
?
??
??
?
)(
2/
双侧 95%正常值范围：
单侧 95%正常值范围：
（下限）
上限
SX
SX
SX
64.1
)(64.1
96.1
??
??
?
P94 例 6-3
2,百分位数法
双侧 95%正常值范围,P2.5～ P97.5
单侧 95%正常值范围,< P95（上限）
或 > P5（下限）
适用于偏态分布资料
P100例 6-4
第三节 与正态分布有关的统计量
分布
一,t分布
?
??? Xu
X
随机变量 X
N（ ?,?2）
标准正态分布
N（ 0,12）u变换
均数 标准正态分布
N（ 0,12）n
Xu
?
???
),( 2 nN ??
1,?????? nv
S
X
nS
Xt
X
??Student t分布
自由度,n-1
t分布的概率密度函数
?
? ? 2)1(2 )/1(
)2(
2)1()( ???
?
??? ??
???
? ttf
式中 为伽玛函数； 圆周率（ Excel函数为
PI( )）
为自由度（ degree of freedom），是 t分布
的唯一参数； t为随机变量。
以 t为横轴,f(t)为纵轴,可绘制 t分布曲线。
?
)(??
t分布曲线
0, 0
0, 1
0, 1
0, 2
0, 2
0, 3
0, 3
0, 4
0, 4
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
t
f ( t )
自 由 度 为 1 的 t 分 布
自 由 度 为 9 的 t 分 布
标 准 正 态 分 布
t 分布有如下性质：
①单峰分布，曲线在 t＝ 0
处最高，并以 t＝ 0为中心
左右对称
②与正态分布相比，曲线
最高处较矮，两尾部翘得
高（见绿线）
③ 随自由度增大，曲线逐
渐接近正态分布；分布的
极限为标准正态分布。
t分布曲线下面积（附表 2）
双侧 t0.05/2,9＝ 2.262
＝单侧 t0.025,9
单侧 t0.05,9＝ 1.833
双侧 t0.01/2,9＝ 3.250
＝单侧 t0.005,9
单侧 t0.01,9＝ 2.821
双侧 t0.05/2,∞ ＝ 1.96
＝单侧 t0.025,∞
单侧 t0.05,∞ ＝ 1.64
? 举例,
① 0, 0 5,1 0
1 0 1, 8 1 2t????，单 = 0, 0 5,
,则有
( 1,8 1 2 ) 0,0 5 ( 1,8 1 2 ) 0,0 5P t P t? ? ? ? ?或
② 0,05 / 2,10
1 0 2,2 2 8t????，双 = 0, 0 5,
,则有
( 2, 2 2 8) ( 2, 2 2 8) 0, 0 5P t P t? ? ? ? ?
查 P323,t 界值表
医学参考值范围
第一节 正态分布
正态分布 （ normal distribution）也叫高斯分布（
Gaussian distribution），一种最常见、最重要的连续型对
称分布。
（ 正态分布是对称分布, 但对称分布不一定是正态分布 。 ）
实际频数分布：中间频数多, 两端越来
越少, 且左右大致对称
理论频数分布：正态分布曲线 。
图 2 - 4 频数分布逐渐接近正态分布示意
一,数学形式
）正态曲线（
就是为横坐标，绘制的曲线为纵坐标，以
）称为概率密度函数（
为总体标准差的总体均数，为
为底的自然对数指数是以，＝
c u r v e n or m a l
)(
f u n c t i onde n s i t y y pr oba bi l i t)(
),,(~
72818.2e x p14159.3
,
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二、正态曲线（ normal curve ）图形特点,
1,钟型
2,中间高
3,两头低
4,左右对称
5,最高处对应
于 X轴的值
就是均数
6,曲线下面积
为 1
7,标准差决定
曲线的形状
X
f(X)
?
X
f(X)
?
① X 轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 或 100% ；
② 区间
?? ?
的面积为 68.27% ；
③ 区间 1, 9 6??? 的面积为 95.00% ；
④ 区间 2, 5 8??? 的面积为 99.00% 。
正态分布 面积或概率
μ±σ 6 8, 2 7 %
μ± 1, 9 6 σ 9 5, 0 0 %
μ± 2, 5 8 σ 9 9, 0 0 %
三、标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution)
的两个参数为,μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
??????
?
?
?
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X
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其中标准正态分布
被转化为变换：一般正态分布标准正态变量经
一般正态分布为一个分布族,N(?,?2) ；标准
正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
四、曲线下面积
dXeXF
X
X )2(
)(
2
2
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X
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附表 1（ P225）
就是根据此公式
和图形制定的
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
X
f ( X )
F ( X )
概率密度函数与累积分布函数
概率密度函数与累积分布函数
曲线下面积分布规律
0-1 1-1.96 1.96-2.58 2.58
68.27%
95.00%
99.00%
μμ-σ μ+σμ-1.96σ μ+1.96σμ-2.58σ μ+2.58σ
68.27%
95.00%
99.00%
标准正态分布 正态分布 面积或概率
- 1 ～ 1 μ±σ 68,2 7%
- 1,96 ～ 1,96 μ± 1.96 σ 95,0 0%
- 2,58 ～ 2,58 μ± 2.58 σ 99,0 0%
计算正态曲线下面积实例
例 6-1
五、正态性检验
六、正态分布的应用 P93
第二节 参考值范围
定义,P93
步骤：
1,从, 正常人, 总体中抽样：明确研究总体
2,统一测定方法以控制系统误差。
3,判断是否需要分组（如性别、年龄）确定。
4,根据专业知识决定单侧还是双侧。
意义,P93
单侧下限 ---过低异常 单侧上限 ---过高异常 双侧 ---过高、过低均异常
单侧下限
异常 正常
单侧上限
异常正常 异常正常
双侧下限 双侧上限
异常
1,正态分布法
方法,1,正态分布法 2,百分位数法
双侧 100(1-α)%正常值范围：
单侧 100(1-α)%正常值范围：
（下限）
上限
SuX
SuX
SuX
?
?
?
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)(
2/
双侧 95%正常值范围：
单侧 95%正常值范围：
（下限）
上限
SX
SX
SX
64.1
)(64.1
96.1
??
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?
P94 例 6-3
2,百分位数法
双侧 95%正常值范围,P2.5～ P97.5
单侧 95%正常值范围,< P95（上限）
或 > P5（下限）
适用于偏态分布资料
P100例 6-4
第三节 与正态分布有关的统计量
分布
一,t分布
?
??? Xu
X
随机变量 X
N（ ?,?2）
标准正态分布
N（ 0,12）u变换
均数 标准正态分布
N（ 0,12）n
Xu
?
???
),( 2 nN ??
1,?????? nv
S
X
nS
Xt
X
??Student t分布
自由度,n-1
t分布的概率密度函数
?
? ? 2)1(2 )/1(
)2(
2)1()( ???
?
??? ??
???
? ttf
式中 为伽玛函数； 圆周率（ Excel函数为
PI( )）
为自由度（ degree of freedom），是 t分布
的唯一参数； t为随机变量。
以 t为横轴,f(t)为纵轴,可绘制 t分布曲线。
?
)(??
t分布曲线
0, 0
0, 1
0, 1
0, 2
0, 2
0, 3
0, 3
0, 4
0, 4
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
t
f ( t )
自 由 度 为 1 的 t 分 布
自 由 度 为 9 的 t 分 布
标 准 正 态 分 布
t 分布有如下性质：
①单峰分布，曲线在 t＝ 0
处最高，并以 t＝ 0为中心
左右对称
②与正态分布相比，曲线
最高处较矮，两尾部翘得
高（见绿线）
③ 随自由度增大，曲线逐
渐接近正态分布；分布的
极限为标准正态分布。
t分布曲线下面积（附表 2）
双侧 t0.05/2,9＝ 2.262
＝单侧 t0.025,9
单侧 t0.05,9＝ 1.833
双侧 t0.01/2,9＝ 3.250
＝单侧 t0.005,9
单侧 t0.01,9＝ 2.821
双侧 t0.05/2,∞ ＝ 1.96
＝单侧 t0.025,∞
单侧 t0.05,∞ ＝ 1.64
? 举例,
① 0, 0 5,1 0
1 0 1, 8 1 2t????，单 = 0, 0 5,
,则有
( 1,8 1 2 ) 0,0 5 ( 1,8 1 2 ) 0,0 5P t P t? ? ? ? ?或
② 0,05 / 2,10
1 0 2,2 2 8t????，双 = 0, 0 5,
,则有
( 2, 2 2 8) ( 2, 2 2 8) 0, 0 5P t P t? ? ? ? ?
查 P323,t 界值表
