湖南商学院信息系
数学教研室
第一章
概率论的基本概念
一,随机试验与事件
I,随机试验
1,随机试验 把对某种随机现象的一次
观察、观测或测量等称为一个试验。如果
这个试验在相同的条件下可以重复进行，
且每次试验的结果事前不可预知，则称此
试验为随机试验，也简称为试验，记为 E
。
注：以后所提到的试验均指随机试验。
随机试验举例：
E1,掷一颗骰子，观察所掷的点数是几；
E2,观察某城市某个月内交通事故发生的次数；
E3,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命；
E4,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于 200小时。
对于随机试验,仅管在每次试验之
前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结
果所组成的集合却是已知的。
若以 Ωi表示试验 Ei的样本空间,i=1,2,3,4,则
◆ E1,掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，
Ω1 = {1,2,3,4,5,6}；
称试验所有可能
结果所组成的集合为样本空间,记为 Ω。
2,样本空间
样本空
间的元素,即 随机试验的单个结果称为样本点 。
?E2,观察某城市某个月内交通事故发生次数，
Ω 2={0,1,2,?} ；
?E3,对某只灯泡实验，观察其使用寿命，
Ω 3={t,t≥0} ；
?E4,对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否
小于 200小时，
Ω 4={寿命小于 200小时，寿命不小于 200小时 }。
II,随机事件
把样本空间的任意一个子集称为一个随机
事件,简称事件。常用大写字母 A,B,C,? 表示。
特别地,如果事件只含一个试验结果 (即样
本空间的一个元素 ),则称该事件为基本事件。
写出试验 E1的样本空间
Ω 1={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什么
事件？指出哪些是基本事件。
A1={1},A2={2},?,A 6={6} ━━ 分别表示掷
的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件；
B={2,4,6} ━━ 表示掷的结果为“偶数
点”，非基本事件；
C={1,3,5,} ━━ 表示“掷的结果为奇数
点”，非基本事件；
D={4,5,6} ━━ 表示“掷的结果为四点或
四点以上”，非基本事件。
例 1：
当结果 ??A时,称事件 A发生 。
注意：
(1).由于样本空间 Ω包含了所有的样本点,且是
Ω自身的一个子集。故,在每次试验中 Ω总
是发生。因此,称 Ω必然事件 。
(2).空集 ?不包含任何样本点，但它也是样本空
间 Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定
不发生，所以称 ?为 不可能事件 。
注意, 只要做试验,就会产生一个结果,即样
本空间 Ω中就会有一个点 (样本点 ?)出现。
二,事件的关系与运算
I,集合与事件
回忆, 做试验 E时,若 ?A,则称事件 A发生。
集合 A包含于集
合 B,若对 ???
A,总有 ??B，
则称 集合 A包含
于集合 B，记成
A?B。
事件 A包含于事件
B:若事件 A发生必
有事件 B发生，则
称事件 A包含于事
件 B,记成 A?B。
集合 A与 B的并或和：
若 ??C,当且仅当 ?
?A或 ??B,则称集合
C为集合 A与 B的并或和,
记成 A∪ B 或 A+B。
事件 A与 B的并
或和,若事件
C发生，当且
仅当事件 A或 C
发生，则称事
件 C为事件 A与
B的并或和，
记成 A∪ B 或
A+B。
若 A?B,且 B?A，则称事件 A与 B相等,记成 A=B。
无穷多个事件 A1,A2,… 的和
n个事件 A1,A2,…,An的和
C发生就是 A1,A2,…, An中
至少一个事件发生。
C发生就是 A1,A2… 中至
少一个发生。
?
n
i
iAC
1?
?
?
?
?
?
1i
iAC
集合 A与集合 B
的交或积,若
??C，当且仅
当 ??A且 ??B,
则称集合 C为集
合 A与 B的 交或
积,记成 A∩B或
AB。
事件 A与 B的积或交：
若事件 C发生，当且仅
当事件 A与 B同时发生，
则称事件 C为事件 A与 B
的积或交,记成 A∩B或
AB。
特别地,当 AB=?时,
称 A与 B为互斥事件
(或互不相容事件 ),
简称 A与 B互斥。也
就是说事件 A与 B不
能同时发生。
例 1(续 )
A1={1},A2={2},于是 A1A2=?。故 A1与
B2互斥；
B={2,4,6},C={1,3,5},于是 BC=?,故
B与 C也互斥。
无穷多个事件 A1,A2,… 的积
n个事件 A1,A2,…,An的积
C发生就是 A1,A2,…, An
都发生。
C发生就是 A1,A2,…,
都发生。,
?
n
i
iAC
1?
?
?
?
?
?
1i
iAC
集合 A与集合 B的差：
若 ??C当且仅当 ??A
且 ??B,则称集合 C为
集合 A与 B的差，记成
A-B。
事件 A与 B的差：
若事件 C发生当且
仅当 事件 A发生 且
事件 B不发生,则
称事件 C为事件 A
与 B的差,记成
A-B。
特别地,称 Ω-A为 A
的对立事件 (或 A的
逆事件、补事件 )等,
记成 A 。
例 1(续 ) A1={1},B={2,4,6},于是
A就是 A不发生。
}5,3,1{}6,5,4,3,2{1 ?? BA
?交换律, A∪B=B∪A AB=BA
?结合律, A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A(BC)=(AB)C
?分配律, A(B∪C)=AB∪AC
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
?对偶律,
II,事件的运算法则
(与集合运算法则相同 )
BAABBABA ?? ??
BAABABABA ????还有常用
不是 A,B中至少
有一个 发生
A,B都不发生
对于多个随机事件,上述运算规则也成立
A(A1∪A 2∪?∪A n)
=(AA1)∪(AA 2)∪?∪(AA n)
nn
nn
AAAAAA
AAAAAA
?????
?????
2121
2121
?
?
小结
本节首先介绍了随机试验、样本
空间的基本概念，然后给出了随机
事件的各种运算及运算法则。
数学教研室
第一章
概率论的基本概念
一,随机试验与事件
I,随机试验
1,随机试验 把对某种随机现象的一次
观察、观测或测量等称为一个试验。如果
这个试验在相同的条件下可以重复进行，
且每次试验的结果事前不可预知，则称此
试验为随机试验，也简称为试验，记为 E
。
注：以后所提到的试验均指随机试验。
随机试验举例：
E1,掷一颗骰子，观察所掷的点数是几；
E2,观察某城市某个月内交通事故发生的次数；
E3,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命；
E4,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于 200小时。
对于随机试验,仅管在每次试验之
前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结
果所组成的集合却是已知的。
若以 Ωi表示试验 Ei的样本空间,i=1,2,3,4,则
◆ E1,掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，
Ω1 = {1,2,3,4,5,6}；
称试验所有可能
结果所组成的集合为样本空间,记为 Ω。
2,样本空间
样本空
间的元素,即 随机试验的单个结果称为样本点 。
?E2,观察某城市某个月内交通事故发生次数，
Ω 2={0,1,2,?} ；
?E3,对某只灯泡实验，观察其使用寿命，
Ω 3={t,t≥0} ；
?E4,对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否
小于 200小时，
Ω 4={寿命小于 200小时，寿命不小于 200小时 }。
II,随机事件
把样本空间的任意一个子集称为一个随机
事件,简称事件。常用大写字母 A,B,C,? 表示。
特别地,如果事件只含一个试验结果 (即样
本空间的一个元素 ),则称该事件为基本事件。
写出试验 E1的样本空间
Ω 1={1,2,3,4,5,6}的下述子集合表示什么
事件？指出哪些是基本事件。
A1={1},A2={2},?,A 6={6} ━━ 分别表示掷
的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件；
B={2,4,6} ━━ 表示掷的结果为“偶数
点”，非基本事件；
C={1,3,5,} ━━ 表示“掷的结果为奇数
点”，非基本事件；
D={4,5,6} ━━ 表示“掷的结果为四点或
四点以上”，非基本事件。
例 1：
当结果 ??A时,称事件 A发生 。
注意：
(1).由于样本空间 Ω包含了所有的样本点,且是
Ω自身的一个子集。故,在每次试验中 Ω总
是发生。因此,称 Ω必然事件 。
(2).空集 ?不包含任何样本点，但它也是样本空
间 Ω的一个子集,由于它在每次试验中肯定
不发生，所以称 ?为 不可能事件 。
注意, 只要做试验,就会产生一个结果,即样
本空间 Ω中就会有一个点 (样本点 ?)出现。
二,事件的关系与运算
I,集合与事件
回忆, 做试验 E时,若 ?A,则称事件 A发生。
集合 A包含于集
合 B,若对 ???
A,总有 ??B，
则称 集合 A包含
于集合 B，记成
A?B。
事件 A包含于事件
B:若事件 A发生必
有事件 B发生，则
称事件 A包含于事
件 B,记成 A?B。
集合 A与 B的并或和：
若 ??C,当且仅当 ?
?A或 ??B,则称集合
C为集合 A与 B的并或和,
记成 A∪ B 或 A+B。
事件 A与 B的并
或和,若事件
C发生，当且
仅当事件 A或 C
发生，则称事
件 C为事件 A与
B的并或和，
记成 A∪ B 或
A+B。
若 A?B,且 B?A，则称事件 A与 B相等,记成 A=B。
无穷多个事件 A1,A2,… 的和
n个事件 A1,A2,…,An的和
C发生就是 A1,A2,…, An中
至少一个事件发生。
C发生就是 A1,A2… 中至
少一个发生。
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n
i
iAC
1?
?
?
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集合 A与集合 B
的交或积,若
??C，当且仅
当 ??A且 ??B,
则称集合 C为集
合 A与 B的 交或
积,记成 A∩B或
AB。
事件 A与 B的积或交：
若事件 C发生，当且仅
当事件 A与 B同时发生，
则称事件 C为事件 A与 B
的积或交,记成 A∩B或
AB。
特别地,当 AB=?时,
称 A与 B为互斥事件
(或互不相容事件 ),
简称 A与 B互斥。也
就是说事件 A与 B不
能同时发生。
例 1(续 )
A1={1},A2={2},于是 A1A2=?。故 A1与
B2互斥；
B={2,4,6},C={1,3,5},于是 BC=?,故
B与 C也互斥。
无穷多个事件 A1,A2,… 的积
n个事件 A1,A2,…,An的积
C发生就是 A1,A2,…, An
都发生。
C发生就是 A1,A2,…,
都发生。,
?
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1?
?
?
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集合 A与集合 B的差：
若 ??C当且仅当 ??A
且 ??B,则称集合 C为
集合 A与 B的差，记成
A-B。
事件 A与 B的差：
若事件 C发生当且
仅当 事件 A发生 且
事件 B不发生,则
称事件 C为事件 A
与 B的差,记成
A-B。
特别地,称 Ω-A为 A
的对立事件 (或 A的
逆事件、补事件 )等,
记成 A 。
例 1(续 ) A1={1},B={2,4,6},于是
A就是 A不发生。
}5,3,1{}6,5,4,3,2{1 ?? BA
?交换律, A∪B=B∪A AB=BA
?结合律, A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A(BC)=(AB)C
?分配律, A(B∪C)=AB∪AC
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
?对偶律,
II,事件的运算法则
(与集合运算法则相同 )
BAABBABA ?? ??
BAABABABA ????还有常用
不是 A,B中至少
有一个 发生
A,B都不发生
对于多个随机事件,上述运算规则也成立
A(A1∪A 2∪?∪A n)
=(AA1)∪(AA 2)∪?∪(AA n)
nn
nn
AAAAAA
AAAAAA
?????
?????
2121
2121
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小结
本节首先介绍了随机试验、样本
空间的基本概念，然后给出了随机
事件的各种运算及运算法则。
