湖南商学院信息系
数学教研室
第一章第五节
事件的独立性
显然 P(A|B)=P(A)。
这就是说：已知事件 B发生，并不影响
事件 A发生的概率，这时称事件 A,B独立。
一、两事件的独立性
A={第二次掷出 6点 }，
B={第一次掷出 6点 }，
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设
由乘法公式知，当事件 A,B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)。
用 P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好，它不受 P(B)>0或 P(A)>0的制约。
P(AB)=P(B)P(A|B)
若两事件 A,B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称 A,B独立，或称 A,B相互独立 。
两事件独立的定义
例 1,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，
记 A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 }。
可见,P(AB)=P(A)P(B)。
由于 P(A)=4/52=1/13,
说明事件 A,B独立。
问事件 A,B是否独立？
解：
P(AB)=2/52=1/26。
P(B)=26/52=1/2，
前面我们是根据两事件独立的定义作
出结论的，也可以通过计算条件概率去做,
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记
A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 }。
在实际应用中,往往 根据问题的实际意
义去判断两事件是否独立 。
由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，
P(A)= P(A|B),说明事件 A,B独立。
在实际应用中,往往根据问题的实际意义
去判断两事件是否独立。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为 A,B独立 。
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中 },
B={乙命中 },A与 B是否独立？
例如：
(即 一事件发生与否并不影响另一事件发生
的概率 )。
一批产品共 n件，从中抽取 2件，设
Ai={第 i件是合格品 },i=1,2。
若抽取是有放回的,则 A1与 A2独立。
因为第二次抽取的结果受到
第一次抽取的影响。
又如：
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响。
若抽取是无放回的，则 A1
与 A2不独立。
请问：如图的两个事件是独立的吗？
A B
即, 若 A,B互斥，且 P(A)>0,P(B)>0,
则 A与 B不独立。
反之，若 A与 B独立，且 P(A)>0,P(B)>0,
则 A, B不互斥。
而 P(A) ≠0,P(B) ≠0。
故 A与 B不独立。
我们来计算,P(AB)=0,
P(AB) ≠ P(A)P(B)。即
问：能否在样本空间 Ω 中找两个事件,它们
既相互独立又互斥?
这两个事件就是 Ω 和 。?
所以,与 Ω 独立且互斥。?
,?? ??因为
不难发现,与任何事件都独立。?
?
,0)()()( ????? ?? PpP
设 A,B为互斥事件，且 P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
1,P(B|A)>0,2,P(A|B)=P(A)，
3,P(A|B)=0,4,P(AB)=P(A)P(B)。
设 A,B为独立事件，且 P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1,P(B|A)>0,2,P(A|B)=P(A)，
3,P(A|B)=0, 4,P(AB)=P(A)P(B)。
再请你做个小练习。
= P(A)- P(AB)
BP(A )= P(A - A B)
A,B独立
故 A与 独立。B
= P(A)- P(A) P(B)
证明, 仅证 A与 独立。B
定理,若两事件 A,B独立，则
BABABA 与与与,,也相互独立。
=P(A)[1-P(B)]
=P(A)P( ),B
二、多个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件 A,B,C，若
P(AB)= P(A)P(B),四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C),成立,则称事件
P(BC)= P(B)P(C),A,B,C相互
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。
推广到 n个事件的独立性定义,可类似地刺蛾出,
设 A1,A2,…,A n是 n个 事件，如果对任意 k
( ),任意,等式
包含等式总数为：
。12
01
)11(
32
?????
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
??
?
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?
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?
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??
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???
?
?
??
?
?
n
nn
n
nnn
nn
?
nk ??1 niii k ????? ?211
)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ?
成立，则称 n个事件 A1,A2,…, An相互独立。
请注意多个事件两两独立与事件两两相
互独立的区别与联系
两两独立相互独立
对 n(n>2)个事件
对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例 2,三人独立地去破译一份密码，已知各人
能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4，问三人中
至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为 1,2,3，
三、独立性概念在计算概率中的应用
所求为 P(A1+A2+A3)。
记 Ai={第 i个人破译出密码 }, i=1,2,3。
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,
P(A3)=1/4。
P(A1+A2+A3) )(1
21 nAAAP ????
)(1 321 AAAP??
)()()(1 321 APAPAP??
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
。6.0534332541 ??????
则
请看演示
“诸葛亮和臭皮匠,
n个独立事件和的概率公式,
nAAA,,,21 ?
设 事件 相互独立,则
）? nAAAP ????? 21(1
)(1 21 nAAAP ???
P(A1+…+ An)
)()()( nAPAPAP ?211 ??
也相互独立
nAAA,,,21 ?
也就是说, n个独立事件至少有一个发生
的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积。
nAAA,,,21 ?
则,至少有一个发生”的概率为
P(A1+…+A n) =1- (1-p1 ) …(1 -pn )。
)()()(1 21 nAPAPAP ???
,,,1 npp ?
nAAA,,,21 ?
若设 n个独立事件 发生的概率
分别为
类似地，可以得出：
nAAA,,,21 ?
至少有一个不发生”的概率为“
)( 21 nAAAP ??? ?
=1- p1 … p n
例 3,下面是一个串并联电路示意图。
A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的
元件，各自下方的数字表示其正常工作之
概率。 求电路正常工作的概率。
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。
解：将电路正常工作记成 W。由于各元件独立
工作，所以有
其中,973.0)()()( ?EPDPCPP(C+D+E)=1-
。9 3 7 5.0)()( ?GPFPP(F+G)=1-
?P(W) 0.782。代入得
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
解,
例 4, 验收 100件产品的方案如下，从中任取 3
件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为
次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测
试后被断定为次品的概率为 0.95,一件正品经
测试后被断定为正品的概率为 0.99,并已知这
100件产品恰有 4件次品。求此批产品能被接收
的概率。
设 A={此批产品被接收 }，
Bi={取出 3件产品中恰有 i件是次品 }，
i=0,1,2,3。
则
。
3
100
3
4
33
100
1
96
2
4
2
3
100
2
96
1
4
13
100
3
96
0
)(,)(
,)(,)(
C
C
BP
C
CC
BP
C
CC
BP
C
C
BP
??
??
因 三次测试是相互独立的，故
P(A|B0)=0.993，
P(A|B1)=0.992(1-0.95),
P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,
P(A|B3)= (1-0.95)3。
由全率公式,得
。8 6 2 9.0)()|()(
3
0
?? ?
?i
ii BPBAPAP
解,
例 5, 若干人独立地向一游动目标射击,每
人击中目标的概率都是 0.6。求至少需要
多少人,才能以 0.99以上的概率击中目标?
设至少需要 n个人,才能以 0.99以上的
概率击中目标。
令 A={目标被击中 },Ai={第 i人击中
目标 },i=1,2,…,n。则 A1,A2,…,An 相
互独立。于是，事件 也
相互独立。 n
AAA,,,21 ?
因 A=A1∪ A2∪ … ∪ An,
得 P(A)=P(A1∪ A2∪ … ∪ An )
问题化成了求最小的 n,使 1-0.4n>0.99。
解不等式，得
。)(1
)(1
21
21
n
n
AAAP
AAAP
?
????
??
??
。
得
相互独立，因
nn
n
n
APAPAPAP
AAA
4.01)6.01(1
)()()(1)(
,,,
21
21
?????
?? ?
?
。故 6,026.54.0ln 01.0ln ??? nn
小结
本节首先给出事件独立定义，然后给出
独立事件性质定理及多个利用 独立性概念方
便地计算事件概率的实例。
数学教研室
第一章第五节
事件的独立性
显然 P(A|B)=P(A)。
这就是说：已知事件 B发生，并不影响
事件 A发生的概率，这时称事件 A,B独立。
一、两事件的独立性
A={第二次掷出 6点 }，
B={第一次掷出 6点 }，
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设
由乘法公式知，当事件 A,B独立时，有
P(AB)=P(A) P(B)。
用 P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好，它不受 P(B)>0或 P(A)>0的制约。
P(AB)=P(B)P(A|B)
若两事件 A,B满足
P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称 A,B独立，或称 A,B相互独立 。
两事件独立的定义
例 1,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，
记 A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 }。
可见,P(AB)=P(A)P(B)。
由于 P(A)=4/52=1/13,
说明事件 A,B独立。
问事件 A,B是否独立？
解：
P(AB)=2/52=1/26。
P(B)=26/52=1/2，
前面我们是根据两事件独立的定义作
出结论的，也可以通过计算条件概率去做,
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记
A={抽到 K},B={抽到的牌是黑色的 }。
在实际应用中,往往 根据问题的实际意
义去判断两事件是否独立 。
由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，
P(A)= P(A|B),说明事件 A,B独立。
在实际应用中,往往根据问题的实际意义
去判断两事件是否独立。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为 A,B独立 。
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中 },
B={乙命中 },A与 B是否独立？
例如：
(即 一事件发生与否并不影响另一事件发生
的概率 )。
一批产品共 n件，从中抽取 2件，设
Ai={第 i件是合格品 },i=1,2。
若抽取是有放回的,则 A1与 A2独立。
因为第二次抽取的结果受到
第一次抽取的影响。
又如：
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响。
若抽取是无放回的，则 A1
与 A2不独立。
请问：如图的两个事件是独立的吗？
A B
即, 若 A,B互斥，且 P(A)>0,P(B)>0,
则 A与 B不独立。
反之，若 A与 B独立，且 P(A)>0,P(B)>0,
则 A, B不互斥。
而 P(A) ≠0,P(B) ≠0。
故 A与 B不独立。
我们来计算,P(AB)=0,
P(AB) ≠ P(A)P(B)。即
问：能否在样本空间 Ω 中找两个事件,它们
既相互独立又互斥?
这两个事件就是 Ω 和 。?
所以,与 Ω 独立且互斥。?
,?? ??因为
不难发现,与任何事件都独立。?
?
,0)()()( ????? ?? PpP
设 A,B为互斥事件，且 P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
1,P(B|A)>0,2,P(A|B)=P(A)，
3,P(A|B)=0,4,P(AB)=P(A)P(B)。
设 A,B为独立事件，且 P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1,P(B|A)>0,2,P(A|B)=P(A)，
3,P(A|B)=0, 4,P(AB)=P(A)P(B)。
再请你做个小练习。
= P(A)- P(AB)
BP(A )= P(A - A B)
A,B独立
故 A与 独立。B
= P(A)- P(A) P(B)
证明, 仅证 A与 独立。B
定理,若两事件 A,B独立，则
BABABA 与与与,,也相互独立。
=P(A)[1-P(B)]
=P(A)P( ),B
二、多个事件的独立性
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件 A,B,C，若
P(AB)= P(A)P(B),四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C),成立,则称事件
P(BC)= P(B)P(C),A,B,C相互
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。
推广到 n个事件的独立性定义,可类似地刺蛾出,
设 A1,A2,…,A n是 n个 事件，如果对任意 k
( ),任意,等式
包含等式总数为：
。12
01
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成立，则称 n个事件 A1,A2,…, An相互独立。
请注意多个事件两两独立与事件两两相
互独立的区别与联系
两两独立相互独立
对 n(n>2)个事件
对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例 2,三人独立地去破译一份密码，已知各人
能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4，问三人中
至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为 1,2,3，
三、独立性概念在计算概率中的应用
所求为 P(A1+A2+A3)。
记 Ai={第 i个人破译出密码 }, i=1,2,3。
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,
P(A3)=1/4。
P(A1+A2+A3) )(1
21 nAAAP ????
)(1 321 AAAP??
)()()(1 321 APAPAP??
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
。6.0534332541 ??????
则
请看演示
“诸葛亮和臭皮匠,
n个独立事件和的概率公式,
nAAA,,,21 ?
设 事件 相互独立,则
）? nAAAP ????? 21(1
)(1 21 nAAAP ???
P(A1+…+ An)
)()()( nAPAPAP ?211 ??
也相互独立
nAAA,,,21 ?
也就是说, n个独立事件至少有一个发生
的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积。
nAAA,,,21 ?
则,至少有一个发生”的概率为
P(A1+…+A n) =1- (1-p1 ) …(1 -pn )。
)()()(1 21 nAPAPAP ???
,,,1 npp ?
nAAA,,,21 ?
若设 n个独立事件 发生的概率
分别为
类似地，可以得出：
nAAA,,,21 ?
至少有一个不发生”的概率为“
)( 21 nAAAP ??? ?
=1- p1 … p n
例 3,下面是一个串并联电路示意图。
A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的
元件，各自下方的数字表示其正常工作之
概率。 求电路正常工作的概率。
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。
解：将电路正常工作记成 W。由于各元件独立
工作，所以有
其中,973.0)()()( ?EPDPCPP(C+D+E)=1-
。9 3 7 5.0)()( ?GPFPP(F+G)=1-
?P(W) 0.782。代入得
A B
C
E
D
F
G
H
95.0 95.0 95.0
70.0
70.0
70.0
75.0
75.0
解,
例 4, 验收 100件产品的方案如下，从中任取 3
件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为
次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测
试后被断定为次品的概率为 0.95,一件正品经
测试后被断定为正品的概率为 0.99,并已知这
100件产品恰有 4件次品。求此批产品能被接收
的概率。
设 A={此批产品被接收 }，
Bi={取出 3件产品中恰有 i件是次品 }，
i=0,1,2,3。
则
。
3
100
3
4
33
100
1
96
2
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C
C
BP
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因 三次测试是相互独立的，故
P(A|B0)=0.993，
P(A|B1)=0.992(1-0.95),
P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,
P(A|B3)= (1-0.95)3。
由全率公式,得
。8 6 2 9.0)()|()(
3
0
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?i
ii BPBAPAP
解,
例 5, 若干人独立地向一游动目标射击,每
人击中目标的概率都是 0.6。求至少需要
多少人,才能以 0.99以上的概率击中目标?
设至少需要 n个人,才能以 0.99以上的
概率击中目标。
令 A={目标被击中 },Ai={第 i人击中
目标 },i=1,2,…,n。则 A1,A2,…,An 相
互独立。于是，事件 也
相互独立。 n
AAA,,,21 ?
因 A=A1∪ A2∪ … ∪ An,
得 P(A)=P(A1∪ A2∪ … ∪ An )
问题化成了求最小的 n,使 1-0.4n>0.99。
解不等式，得
。)(1
)(1
21
21
n
n
AAAP
AAAP
?
????
??
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。
得
相互独立，因
nn
n
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AAA
4.01)6.01(1
)()()(1)(
,,,
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。故 6,026.54.0ln 01.0ln ??? nn
小结
本节首先给出事件独立定义，然后给出
独立事件性质定理及多个利用 独立性概念方
便地计算事件概率的实例。
