湖南商学院信息系
数学教研室
第一章第二节
事 件 的 概 率
?频率
一、频率与频率稳定性
则称 m为事件 A在 n次试验中
发生的频数或频次,称 m与 n的比值 m/n
为事件 A在 n次试验中发生的频率,记
为 fn(A)。
设 A是一个事件在相同的条件下进
行 n次试验,在这 n次试验中,事件 A发生
了 m次。
当试验次数充分大时，事件的频率
总在一个定值附近摆动，而且，试验次
数越多,一般说来 摆动的幅度越小 。这
一性质称频率的稳定性。
请看下面试验
掷硬币试验 掷骰子试验
频率在一定程度上反映了事件在一次
试验中发生的可能性大小。仅管每进行一
连串（ n次）试验，所得到的频率可能各
不相同，但只要 n足当大，频率就会非常
接近一个固定值 —— 概率。
因此，概率是可以通过频率来,度量”
的。频率是概率的近似。
考虑在相同条件下进行的 S 轮试验
第二轮
试验
试验次数 n2
事件 A出现
m2次
第 S轮
试验
试验次数 ns
事件 A出现
ms 次
试验次数 n1
事件 A出现
m1次
第一轮
试验
事件 A在各轮试验中的频率形成一个数列
下面我们来说明频率稳定性的含义
…
…
…
,
1
1
n
m,
2
2
n
m
s
s
n
m,…
指的是：各轮试验次数 n1,
n2,…,n s 充分大时，在各轮试验中事件 A
出现的频率之间、或者它们与某固定的数
值相差甚微 。
1
1
n
m ?
s
s
n
m
2
2
n
m频率
?
稳定在概率 p 附近
频率稳定性
这种稳定性为 用统计方法求概率 开拓
了道路。
在实际中，当概率不易求出时，人们常
用试验次数很大时事件的频率作为概率的
估计值,并称此概率为统计概率。
这种确定概率的方法为 频率法 。
例如, 若我们希望知道某射手中靶的
概率, 应对这个射手在相同条件下大量
的射击情况进行观察, 并记录 。
假设他射击 n次,
中靶 m次,当 n很大时,
可用 频率 m/n作为其
中靶概率之估计。
1? 0≤ fn( A) ≤ 1；
2? fn(Ω )=1,fn(?)=0；
3,若 事件 A1,A2,…,Ak两两互斥,
则,
?性质
二,事件概率
I,概率的定义
。?
??
???
?
?
???
? k
i
in
k
i
in AfAf
11
)(?
下面介绍用公理给出的概率定义
1933年，前苏联数学家
柯尔莫哥洛夫给出了概率
的 公理化定义 。
概率的公理化定义
公理 2 P(Ω)=1; (2)
公理 3 若事件 A1,A2,… 两两互不相容，则有
(3)
这里事件个数可以是有限或无限的 。
???? ??? )()()( 2121 APAPAAP
设 E是随机试验,Ω 是它的样本空间，
对于 中的每一个事件 A，赋予一个实数，
记为 P(A),称为事件 A的概率，如果集合函
数 P(·) 满足下述三条公理,
Ω;1)(0 ?? AP公理 1 (1)
公理 1说明，任一事件的概率介于 0与 1间；
公理 2说明，必然事件的概率等于 1；
公理 3说明，对于任何两两互不相容 (互斥 )
的事件序列，这些序列事件并的概率等于
各事件概率之和。
II,概率的性质
1.P(?)=0，即不可能事件的概率为零；
2.若事件 A1,A,…, An两两互斥,则有,
P(A1∪A 2… ∪A n)=P(A1)+… +P(An),
即互斥事件之并的概率等于它们各自
概率之和 (有限可加性 );
4.对两个事件 A和 B,若 A?B,则 有,
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A) 。
);(1)( APAP ??3,对任一事件 A,均有
AB AB
Ω
证明：
性质 5 对任意两个事件 A,B，有
因
得，
再由 BAB ? 及性质 3,得 (8)式成立。
),( ABBABA ?? ??
),()(
))(()(
ABBPAP
ABBAPBAP
???
?? ??
?说明
n个事件并的多除少补公式
特别地,n=3时
)(
)()()()()()(
)(
321
323121321
321
AAAP
AAPAAPAAPAPAPAP
AAAP
?
??????
??
小结
本节首先介绍了频率的概念，指
出在试验次数充分大条件下，频率接
近于概率结论；然后给出了概率的公
理化定义及概率的主要性质。
数学教研室
第一章第二节
事 件 的 概 率
?频率
一、频率与频率稳定性
则称 m为事件 A在 n次试验中
发生的频数或频次,称 m与 n的比值 m/n
为事件 A在 n次试验中发生的频率,记
为 fn(A)。
设 A是一个事件在相同的条件下进
行 n次试验,在这 n次试验中,事件 A发生
了 m次。
当试验次数充分大时，事件的频率
总在一个定值附近摆动，而且，试验次
数越多,一般说来 摆动的幅度越小 。这
一性质称频率的稳定性。
请看下面试验
掷硬币试验 掷骰子试验
频率在一定程度上反映了事件在一次
试验中发生的可能性大小。仅管每进行一
连串（ n次）试验，所得到的频率可能各
不相同，但只要 n足当大，频率就会非常
接近一个固定值 —— 概率。
因此，概率是可以通过频率来,度量”
的。频率是概率的近似。
考虑在相同条件下进行的 S 轮试验
第二轮
试验
试验次数 n2
事件 A出现
m2次
第 S轮
试验
试验次数 ns
事件 A出现
ms 次
试验次数 n1
事件 A出现
m1次
第一轮
试验
事件 A在各轮试验中的频率形成一个数列
下面我们来说明频率稳定性的含义
…
…
…
,
1
1
n
m,
2
2
n
m
s
s
n
m,…
指的是：各轮试验次数 n1,
n2,…,n s 充分大时，在各轮试验中事件 A
出现的频率之间、或者它们与某固定的数
值相差甚微 。
1
1
n
m ?
s
s
n
m
2
2
n
m频率
?
稳定在概率 p 附近
频率稳定性
这种稳定性为 用统计方法求概率 开拓
了道路。
在实际中，当概率不易求出时，人们常
用试验次数很大时事件的频率作为概率的
估计值,并称此概率为统计概率。
这种确定概率的方法为 频率法 。
例如, 若我们希望知道某射手中靶的
概率, 应对这个射手在相同条件下大量
的射击情况进行观察, 并记录 。
假设他射击 n次,
中靶 m次,当 n很大时,
可用 频率 m/n作为其
中靶概率之估计。
1? 0≤ fn( A) ≤ 1；
2? fn(Ω )=1,fn(?)=0；
3,若 事件 A1,A2,…,Ak两两互斥,
则,
?性质
二,事件概率
I,概率的定义
。?
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???
?
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? k
i
in
k
i
in AfAf
11
)(?
下面介绍用公理给出的概率定义
1933年，前苏联数学家
柯尔莫哥洛夫给出了概率
的 公理化定义 。
概率的公理化定义
公理 2 P(Ω)=1; (2)
公理 3 若事件 A1,A2,… 两两互不相容，则有
(3)
这里事件个数可以是有限或无限的 。
???? ??? )()()( 2121 APAPAAP
设 E是随机试验,Ω 是它的样本空间，
对于 中的每一个事件 A，赋予一个实数，
记为 P(A),称为事件 A的概率，如果集合函
数 P(·) 满足下述三条公理,
Ω;1)(0 ?? AP公理 1 (1)
公理 1说明，任一事件的概率介于 0与 1间；
公理 2说明，必然事件的概率等于 1；
公理 3说明，对于任何两两互不相容 (互斥 )
的事件序列，这些序列事件并的概率等于
各事件概率之和。
II,概率的性质
1.P(?)=0，即不可能事件的概率为零；
2.若事件 A1,A,…, An两两互斥,则有,
P(A1∪A 2… ∪A n)=P(A1)+… +P(An),
即互斥事件之并的概率等于它们各自
概率之和 (有限可加性 );
4.对两个事件 A和 B,若 A?B,则 有,
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A) 。
);(1)( APAP ??3,对任一事件 A,均有
AB AB
Ω
证明：
性质 5 对任意两个事件 A,B，有
因
得，
再由 BAB ? 及性质 3,得 (8)式成立。
),( ABBABA ?? ??
),()(
))(()(
ABBPAP
ABBAPBAP
???
?? ??
?说明
n个事件并的多除少补公式
特别地,n=3时
)(
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)(
321
323121321
321
AAAP
AAPAAPAAPAPAPAP
AAAP
?
??????
??
小结
本节首先介绍了频率的概念，指
出在试验次数充分大条件下，频率接
近于概率结论；然后给出了概率的公
理化定义及概率的主要性质。
