湖南商学院信息系
数学教研室
第一章第四节
条件概率
在解决许多概率问题时，往往需要求
在有某些附加信息 (条件 )下事件发生的概率。
一、条件概率
1,条件概率的概念
通常记事件 B发生的条件下,事件 A发生的概
率为 P(A|B)。
一般情况下,P(A|B) ≠P(A) 。
第一章第四节 条件概率
P(A )=1/6，
例 如：掷一颗均匀骰子,A={掷出 2点 }，
B={掷出偶数点 },P(A|B)=？
掷骰子已知事件 B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是 B。
于是,P(A|B)= 1/3。
B中共有 3个元素，每个元素出现
是等可能的，且其中只有 1个 (2点 )
在集合 A中。
容易看到：
。
)(
)(
63
61
3
1
BP
ABP???P(A|B)
P(A )=3/10，
又如,10件产品中有 7件正品,3件次品 ;
7件正品中有 3件一等品,4件二等品。现从这
10件中任取一件，记
B={取到正品 }，A={取到一等品 }，
P(A|B)
。
)(
)(
107
103
7
3
BP
ABP???
P(A )=3/10，
B={取到正品 }，
P(A|B)=3/7。
本例中，计算 P(A)时，依
据前提条件是 10件产品中一等
品的比例。
A={取到一等品 }，
计算 P(A|B)时，这个前提条件未变，只
是加上,事件 B已发生,这个新的条件。
这好象给了我们一个,情报,，使我们
得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。
若事件 B已发生,则为使
A也 发生,试验结果必须是既
在 B 中又在 A中的样本点,即
此点必属于 AB。 由于我们已
经知道 B已发生,故 B就 变成了
新的样本空间,于是 就有 (1)。
设 A,B是两个事件，且 P(B)>0，则称
(1)
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
?
AB AB
2,条件概率的定义
为在事件 B发生条件下，事件 A的条件概率。
3,条件概率的性质
设 B是一事件，且 P(B)>0,则
1,对任一事件 A,0≤P(A|B)≤1;
2,P(Ω|B)=1；
3,设 A1,…,A n,… 互不相容，则
P[(A1+…+A n+…)| B] = P(A1|B)+ …+ P(An|B)+…
而且，前面对概率所证明的一切性质，也都
适用于条件概率。
例如：对任意事件 A1和 A2,有
P(A1∪A 2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)
等。
其他性质请同学们自行写出。
2)从加入条件后改变了的情况去算
4,条件概率的计算
1) 用定义计算,
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ? P(B)>0。
掷骰子
例,A={掷出 2点 },B={掷出偶数点 }，
P(A|B） =
3
1
B发生后的
缩减样本空间
所含样本点总数
在缩减样本空间
中 A所含样本点
个数
例 1, 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6点,
问“掷出点数之和不小于 10”的概率是多少?
解法 1,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
解法 2:
。2163)|( ??BAP
解, 设 A={掷出点数之和不小于 10}，
B={第一颗掷出 6点 }。 应用定义
在 B发生后的
缩减样本空间
中计算
。
2
1
366
363 ??
例 2,设某种动物由出生算起活到 20年以上的
概率为 0.8，活到 25年以上的概率为 0.4。问
现年 20岁的这种动物，它能活到 25岁以上的
概率是多少？
解,设 A={能活 20年以上 },B={能活 25年以 }，
依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4，
所求为 P(B|A) 。
)(
)()|(
AP
ABPABP ? 。5.0
8.0
4.0
)(
)( ???
AP
BP
条件概率 P(A|B)与 P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行
的，设 A是随机试验的一个事件，则 P(A)是在
该试验条件下事件 A发生的可能性大小。
P(A)与 P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,
它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。
而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加
,B发生”这个条件时 A发生的可能性大小，
即 P(A|B)仍是概率。
由条件概率的定义：
即 若 P(B)>0,则 P(AB)=P(B)P(A|B),(2)
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
而 P(AB)=P(BA)，
二,乘法公式
在已知 P(B),P(A|B)时,可反解出 P(AB)。
将 A,B的位置对调，有
故 P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)
若 P(A)>0,则 P(BA)=P(A)P(B|A),
例 3,甲、乙两厂共同生产 1000个零件，其中 300
件是乙厂生产的。而在这 300个零件中，有 189个
是标准件，现从这 1000个零件中任取一个，问 这
个零件是乙厂生产的标准件 的概率是多少？
所求为 P(AB)。
甲、乙共生产
1000 个
189个是
标准件
300个
乙厂生产
设 B={零件是乙厂生产 }，
A={是标准件 }，
所求为 P(AB) 。
设 B={零件是乙厂生产 }，
A={是标准件 }，
若改为,发现它是乙厂生产的,
问它是标准件的概率是多少?”
求的是 P(A|B) 。 B发生,在 P(AB)中作为结
果 ; 在 P(A|B)中作为条件。
甲、乙共生产
1000 个
189个 是
标准件
300个
乙厂生产
当 P(A1A2…A n-1)>0时，有
P (A1A2…A n）
=P(A1)P(A2|A1) … P(An| A1A2…A n-1)。
推广到多个事件的乘法公式,
解,
例 4:一批灯泡共 100只,其中 10只是次品,其
余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求,第
三次才取到正品的概率。
设 Ai ={第 i次取到正品 },i=1,2,3。
A={第三次才取到正品 }。 则,
。
故，
0083.0
98
90
99
9
100
10
)|()|()(
)()(
,
213121
321
321
??
?
?
?
AAAPAAPAP
AAAPAP
AAAA
解,
例 5:袋中有同型号小球 b+r个，其中 b个是黑
球,r个是红球。每次从袋中任取一球，观其
颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球
c个。若 B={第一，第三次取到红球,第二次取
到黑球 }，求 P(B)。
设 Ai={第 i次取到红球 },i=1,2,3,则,
。
)()(
)(
)(
)|()|()(
)()(
,
213121
321
321
crcb
cr
crb
b
rb
r
AAAPAAPAP
AAAPBP
AAAB
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
一场精彩的足球赛将要举行,但 5个球迷只搞
到一张球票, 但大家都想去 。 没办法, 只好用
抽签的方法来确定球票的归属 。
球票
5张同样的卡片，只有一张上写有“球票”，其余的什么也
没写, 将它们放在一起，洗匀，让 5个人依次抽取。
先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？
后抽的人比先抽的人吃亏吗？
请回答：
到底谁说的对呢？ 让我们用
概率论的知识来计算一下,每个
人抽到, 入场券, 的概率到底
有多大?
“大家不必争，你们一个一个按次序来，
谁抽到‘入场券’的机会都一样大。”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”
我们用 Ai表示, 第 i个人抽到入场券,,
i＝ 1,2,3,4,5。
显然,P(A1)=1/5,P( )＝ 4/5，
1A
第 1个人抽到入场券的概率是 1/5。
也就是说，
iA
则 表示“第 i个人未抽到入场券”，
因为若第 2个人抽到
入场券时，第 1个人
肯定没抽到。
也就是要想第 2个人抽到入场券，必须第 1
个人未抽到，
),|()()( 1212 AAPAPAP ?
,212 AAA ?由于
由乘法公式,得
计算得,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。
)|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP ??
这就是有关抽签顺序问题的正确解答 ———
同理，第 3个人要抽到,入场券,，必须
第 1、第 2个人都没有抽到。因此，
=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，
继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券
” 的概率都是 1/5。
抽签不必争先恐后。
请看演示
“抽签问题,
全概率公式和贝叶斯公式主要用于
计算比较复杂事件的概率,它们实质上
是加法公式和乘法公式的综合运用。
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A,B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
三、全概率公式和贝叶斯公式
例 6,有三个箱子，分别编号为 1,2,3,1号箱装
有 1个红球 4个白球,2号箱装有 2红 3白球,3
号箱装有 3红球。某人从三箱中任取一箱，从
中任意摸出一球，求取得红球的概率。
解：记 Ai={球取自 i号箱 },
i=1,2,3; B ={取得红球 }。
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B,A2B,A3B两两互斥。
B发生总是伴随着 A1,A2,A3 之一同时发生，
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
运用加法公式得
1 2 3
将此例中所用的方法推广到一般的情形, 就
得到在概率计算中常用的 全概率公式 。
对求和中的每一项
运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
,)()(
3
1
?
?
?
i
ii ABPAP ｜
代入数据计算得,P(B)=8/15。
设 A1,A2,…,An是两两互斥的事件, 且
P(Ai)>0,i =1,2,…,n,另有一事件 B,它总是与
A1,A2,…,An之一同时发生, 则
?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()( ｜
全概率公式,
设 S为随机试验的样本空间, A1,A2,…,An是
两两互斥的事件, 且有 P(Ai)>0,i =1,2,…,n,
。｜?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()(
称满足上述条件的 A1,A2,…,A n为 完备事件组 。
,
1
??
?
?
n
i
iA
则对任一事件 B，有
在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：
在较复杂情况下，直接计算 P(B)不容易,但
总可以适当地构造一组两两互斥的 Ai, 使 B
伴随着某个 Ai的出现而出现，且每个
容易计算。可用所有 之和计算 P(B)。
?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()( ｜
由上式不难看出,“全部”概率 P(B)可分成许多“部分”
概率
之和。它的理论和实用意义在于,)( BAP i
)( BAP i
)( BAP i
某一事件 B的发生有各种可能的原因 Ai
(i=1,2,…,n),如果 B是由原因 Ai所引起, 则
B发生的概率是
每一原因都可能导致 B发生，故
B发生的概率是各原因引起 B发生概
率的总和，即 全概率公式 。
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解
由此可以形象地把全概率公式看成是
,由原因推结果,, 每个原因对结果的发
生有一定的, 作用,, 即结果发生的可能
性与各种原因的, 作用, 大小有关 。 全概
率公式表达了因果之间的关系 。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7 A8
B
诸 Ai是原因
B是结果
例 7,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,
三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7。飞 机被
一人击中而击落的概率为 0.2,被两人击中而击
落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,
求飞机被击落的概率。
设 B={飞机被击落 }，
Ai={飞机被 i人击中 },i=1,2,3。
由全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
则 B=A1B+A2B+A3B，
解,
依题意，
P(B|A1)=0.2,
P(B|A2)=0.6,
P(B|A3)=1。
可求得
为求 P(Ai ),
设 Hi={飞机被第 i人击中 },i=1,2,3。
),()( 3213213211 HHHHHHHHHPAP ???
),()( 3213213212 HHHHHHHHHPAP ???
。)()( 3213 HHHPAP ?
将数据代入计算，得
P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。
于是,
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+P(A3)P(B |A3)
=0.458，
=0.36× 0.2+0.41 × 0.6+0.14 × 1
即飞机被击落的概率为 0.458。
该球取自哪号箱的可能
性大些?
实际中还有下面一类问题 ——已知结果求原因
这一类问题在实际中更为常见，它所求
的是条件概率，是已知某结果发生条件下，
求各原因发生可能性大小。
某人从任一箱中任意摸
出一球,发现是红球,求该球
是取自 1号箱的概率 。
1 2 3
1红 4白或者问,
接下来我们介绍解决这类问题的
贝叶斯公式
有三个箱子，编号分别为 1,2,3,1号箱装
有 1个红球 4个白球,2号箱装有 2红球 3白球，
3号箱装有 3红球,。某人从三箱中任取一箱，
从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取
自 1号箱的概率 。
1 2 3
1红 4白
某人从任一箱中任意摸出
一球,发现是红球，求该
球是取自 1号箱的概率 。
)(
)()|( 1
1 BP
BAPBAP ?
记 Ai={球取自 i号箱 },i=1,2,3;
B ={取得红球 }。
求 P(A1|B)。
?
?
? 3
1
11
k
kk ABPAP
ABPAP
)()(
)|()(
｜运用全概率公式
计算 P(B)
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
1 2 3
1红 4白
?
?
?
n
j
jjiii ABPAPABPAPBAP
1
)()()()()|( ｜｜
该公式于 1763年由贝叶斯 (Bayes)给出。
它是在观察到事件 B已发生的条件下，寻找
导致 B发生的每个原因的概率。
贝叶斯公式,
设 A1,A2,…,An是两两互斥的事件, 且
P(Ai)>0,i=1,2,…,n,另有一事件 B,它总是与
A1,A2,…,An之一同时发生, 则
。ni,,2,1 ??
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它
可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生
的最可能原因,
例 8,某一地区患有癌症的人占 0.005，患者
对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常
人对这种试验反应是阳性的概率为 0.04，现
抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是
癌症患者的概率有多大?
则 表示“抽查的人不患癌症”, C
求解如下, 设 C={抽查的人患有癌症 }，
A={试验结果是阳性 }，
求 P(C|A)。
已知, P(C)=0.005,
P(A|C)=0.95,
,9 9 5.0)( ?CP
。04.0)|( ?CAP
现在来分析一下结果的意义
由 贝叶斯公式,得
)|()()|()(
)|()()|(
CAPCPCAPCP
CAPCPACP
?
?
代入数据,计算得
P(C｜ A)= 0.1066。
2,检出阳性是否一定患有癌症?
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C)=0.005 。
患者阳性反应的概率是 0.95，若试验后得阳性
反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的
概率为 P(C｜ A)= 0.1066 。
说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有意义。
从 0.005增加到 0.1066,将近增加约 21倍。
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
2,检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为
P(C｜ A)=0.1066。
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论
你有癌症，这种可能性只有 10.66% (平均来
说,1000个人中大约只有 107人确患癌症 )，
此时医生常要通过再试验来确认 。
?
?
?
n
j
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)()(
)()(
)|(
｜
｜贝叶斯公式
在贝叶斯公式中,P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为
原因的 验前概率 和 验后概率 。
P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息 (不知
道事件 B是否发生 )的情况下,人们对诸事件
发生可能性大小的认识。
当有了新的信息 (知道 B发生 ),人们对诸事件
发生可能性大小 P(Ai | B)有了新的估计。
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 。
8支步枪中有 5支已校准过,3支未校准。
一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为
0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为 0.3。
现从 8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。
求,所用的枪是校准过的概率。
设 A={射击时中靶 },B1={使用的枪校准过 },
B2={使用的枪未校准 },则 B1,B2是 Ω一个划分,
由贝叶斯公式
解,
例 9：
)()|()()|(
)()|(
)|(
2211
11
1
BPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
?
?
49
40
8
3
3.0
8
5
8.0
8
5
8.0
?
???
?
?
解,
例 10:一批同型号的螺钉由编号为 I,II,III的
三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这
批螺钉的比例分别为 35%,40%,25%。各台机器
生产的螺钉的次品率分别为 3%,2%和 1%。现从
该批螺钉中抽到一颗次品。求,这颗螺钉由 I,
II,III号机器生产的概率各为多少?
设 A={螺钉是次品 },B1={螺钉由 1号机器
生产 },B2={螺钉由 2号机器生产 },B3={螺钉由
3号机器生产 }。则,
由 贝叶斯公式,得
)()|()()|()()|(
)()|(
)|(
332211
11
1
BPBAPBPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
??
?;2101.025.002.040.003.035.0 03.035.0 ?????? ??
同理,
。425)|(,218)|( 32 ?? ABPABP
P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25,
P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。
小结
本节首先介绍了条件概率的定义及其计
算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法
公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个
实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论
意义、实际意义及应用范围。但这还远远不
够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的
目的，我们还需要做一定数量的习题，并从
中揣摩出这些公式的内涵。
数学教研室
第一章第四节
条件概率
在解决许多概率问题时，往往需要求
在有某些附加信息 (条件 )下事件发生的概率。
一、条件概率
1,条件概率的概念
通常记事件 B发生的条件下,事件 A发生的概
率为 P(A|B)。
一般情况下,P(A|B) ≠P(A) 。
第一章第四节 条件概率
P(A )=1/6，
例 如：掷一颗均匀骰子,A={掷出 2点 }，
B={掷出偶数点 },P(A|B)=？
掷骰子已知事件 B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是 B。
于是,P(A|B)= 1/3。
B中共有 3个元素，每个元素出现
是等可能的，且其中只有 1个 (2点 )
在集合 A中。
容易看到：
。
)(
)(
63
61
3
1
BP
ABP???P(A|B)
P(A )=3/10，
又如,10件产品中有 7件正品,3件次品 ;
7件正品中有 3件一等品,4件二等品。现从这
10件中任取一件，记
B={取到正品 }，A={取到一等品 }，
P(A|B)
。
)(
)(
107
103
7
3
BP
ABP???
P(A )=3/10，
B={取到正品 }，
P(A|B)=3/7。
本例中，计算 P(A)时，依
据前提条件是 10件产品中一等
品的比例。
A={取到一等品 }，
计算 P(A|B)时，这个前提条件未变，只
是加上,事件 B已发生,这个新的条件。
这好象给了我们一个,情报,，使我们
得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。
若事件 B已发生,则为使
A也 发生,试验结果必须是既
在 B 中又在 A中的样本点,即
此点必属于 AB。 由于我们已
经知道 B已发生,故 B就 变成了
新的样本空间,于是 就有 (1)。
设 A,B是两个事件，且 P(B)>0，则称
(1)
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
?
AB AB
2,条件概率的定义
为在事件 B发生条件下，事件 A的条件概率。
3,条件概率的性质
设 B是一事件，且 P(B)>0,则
1,对任一事件 A,0≤P(A|B)≤1;
2,P(Ω|B)=1；
3,设 A1,…,A n,… 互不相容，则
P[(A1+…+A n+…)| B] = P(A1|B)+ …+ P(An|B)+…
而且，前面对概率所证明的一切性质，也都
适用于条件概率。
例如：对任意事件 A1和 A2,有
P(A1∪A 2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)
等。
其他性质请同学们自行写出。
2)从加入条件后改变了的情况去算
4,条件概率的计算
1) 用定义计算,
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ? P(B)>0。
掷骰子
例,A={掷出 2点 },B={掷出偶数点 }，
P(A|B） =
3
1
B发生后的
缩减样本空间
所含样本点总数
在缩减样本空间
中 A所含样本点
个数
例 1, 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6点,
问“掷出点数之和不小于 10”的概率是多少?
解法 1,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
解法 2:
。2163)|( ??BAP
解, 设 A={掷出点数之和不小于 10}，
B={第一颗掷出 6点 }。 应用定义
在 B发生后的
缩减样本空间
中计算
。
2
1
366
363 ??
例 2,设某种动物由出生算起活到 20年以上的
概率为 0.8，活到 25年以上的概率为 0.4。问
现年 20岁的这种动物，它能活到 25岁以上的
概率是多少？
解,设 A={能活 20年以上 },B={能活 25年以 }，
依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4，
所求为 P(B|A) 。
)(
)()|(
AP
ABPABP ? 。5.0
8.0
4.0
)(
)( ???
AP
BP
条件概率 P(A|B)与 P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行
的，设 A是随机试验的一个事件，则 P(A)是在
该试验条件下事件 A发生的可能性大小。
P(A)与 P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,
它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。
而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加
,B发生”这个条件时 A发生的可能性大小，
即 P(A|B)仍是概率。
由条件概率的定义：
即 若 P(B)>0,则 P(AB)=P(B)P(A|B),(2)
,
)(
)()|(
BP
ABPBAP ?
而 P(AB)=P(BA)，
二,乘法公式
在已知 P(B),P(A|B)时,可反解出 P(AB)。
将 A,B的位置对调，有
故 P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)
若 P(A)>0,则 P(BA)=P(A)P(B|A),
例 3,甲、乙两厂共同生产 1000个零件，其中 300
件是乙厂生产的。而在这 300个零件中，有 189个
是标准件，现从这 1000个零件中任取一个，问 这
个零件是乙厂生产的标准件 的概率是多少？
所求为 P(AB)。
甲、乙共生产
1000 个
189个是
标准件
300个
乙厂生产
设 B={零件是乙厂生产 }，
A={是标准件 }，
所求为 P(AB) 。
设 B={零件是乙厂生产 }，
A={是标准件 }，
若改为,发现它是乙厂生产的,
问它是标准件的概率是多少?”
求的是 P(A|B) 。 B发生,在 P(AB)中作为结
果 ; 在 P(A|B)中作为条件。
甲、乙共生产
1000 个
189个 是
标准件
300个
乙厂生产
当 P(A1A2…A n-1)>0时，有
P (A1A2…A n）
=P(A1)P(A2|A1) … P(An| A1A2…A n-1)。
推广到多个事件的乘法公式,
解,
例 4:一批灯泡共 100只,其中 10只是次品,其
余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求,第
三次才取到正品的概率。
设 Ai ={第 i次取到正品 },i=1,2,3。
A={第三次才取到正品 }。 则,
。
故，
0083.0
98
90
99
9
100
10
)|()|()(
)()(
,
213121
321
321
??
?
?
?
AAAPAAPAP
AAAPAP
AAAA
解,
例 5:袋中有同型号小球 b+r个，其中 b个是黑
球,r个是红球。每次从袋中任取一球，观其
颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球
c个。若 B={第一，第三次取到红球,第二次取
到黑球 }，求 P(B)。
设 Ai={第 i次取到红球 },i=1,2,3,则,
。
)()(
)(
)(
)|()|()(
)()(
,
213121
321
321
crcb
cr
crb
b
rb
r
AAAPAAPAP
AAAPBP
AAAB
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
一场精彩的足球赛将要举行,但 5个球迷只搞
到一张球票, 但大家都想去 。 没办法, 只好用
抽签的方法来确定球票的归属 。
球票
5张同样的卡片，只有一张上写有“球票”，其余的什么也
没写, 将它们放在一起，洗匀，让 5个人依次抽取。
先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？
后抽的人比先抽的人吃亏吗？
请回答：
到底谁说的对呢？ 让我们用
概率论的知识来计算一下,每个
人抽到, 入场券, 的概率到底
有多大?
“大家不必争，你们一个一个按次序来，
谁抽到‘入场券’的机会都一样大。”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”
我们用 Ai表示, 第 i个人抽到入场券,,
i＝ 1,2,3,4,5。
显然,P(A1)=1/5,P( )＝ 4/5，
1A
第 1个人抽到入场券的概率是 1/5。
也就是说，
iA
则 表示“第 i个人未抽到入场券”，
因为若第 2个人抽到
入场券时，第 1个人
肯定没抽到。
也就是要想第 2个人抽到入场券，必须第 1
个人未抽到，
),|()()( 1212 AAPAPAP ?
,212 AAA ?由于
由乘法公式,得
计算得,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。
)|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP ??
这就是有关抽签顺序问题的正确解答 ———
同理，第 3个人要抽到,入场券,，必须
第 1、第 2个人都没有抽到。因此，
=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，
继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券
” 的概率都是 1/5。
抽签不必争先恐后。
请看演示
“抽签问题,
全概率公式和贝叶斯公式主要用于
计算比较复杂事件的概率,它们实质上
是加法公式和乘法公式的综合运用。
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A,B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
三、全概率公式和贝叶斯公式
例 6,有三个箱子，分别编号为 1,2,3,1号箱装
有 1个红球 4个白球,2号箱装有 2红 3白球,3
号箱装有 3红球。某人从三箱中任取一箱，从
中任意摸出一球，求取得红球的概率。
解：记 Ai={球取自 i号箱 },
i=1,2,3; B ={取得红球 }。
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B,A2B,A3B两两互斥。
B发生总是伴随着 A1,A2,A3 之一同时发生，
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
运用加法公式得
1 2 3
将此例中所用的方法推广到一般的情形, 就
得到在概率计算中常用的 全概率公式 。
对求和中的每一项
运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
,)()(
3
1
?
?
?
i
ii ABPAP ｜
代入数据计算得,P(B)=8/15。
设 A1,A2,…,An是两两互斥的事件, 且
P(Ai)>0,i =1,2,…,n,另有一事件 B,它总是与
A1,A2,…,An之一同时发生, 则
?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()( ｜
全概率公式,
设 S为随机试验的样本空间, A1,A2,…,An是
两两互斥的事件, 且有 P(Ai)>0,i =1,2,…,n,
。｜?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()(
称满足上述条件的 A1,A2,…,A n为 完备事件组 。
,
1
??
?
?
n
i
iA
则对任一事件 B，有
在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：
在较复杂情况下，直接计算 P(B)不容易,但
总可以适当地构造一组两两互斥的 Ai, 使 B
伴随着某个 Ai的出现而出现，且每个
容易计算。可用所有 之和计算 P(B)。
?
?
?
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()( ｜
由上式不难看出,“全部”概率 P(B)可分成许多“部分”
概率
之和。它的理论和实用意义在于,)( BAP i
)( BAP i
)( BAP i
某一事件 B的发生有各种可能的原因 Ai
(i=1,2,…,n),如果 B是由原因 Ai所引起, 则
B发生的概率是
每一原因都可能导致 B发生，故
B发生的概率是各原因引起 B发生概
率的总和，即 全概率公式 。
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解
由此可以形象地把全概率公式看成是
,由原因推结果,, 每个原因对结果的发
生有一定的, 作用,, 即结果发生的可能
性与各种原因的, 作用, 大小有关 。 全概
率公式表达了因果之间的关系 。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7 A8
B
诸 Ai是原因
B是结果
例 7,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,
三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7。飞 机被
一人击中而击落的概率为 0.2,被两人击中而击
落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,
求飞机被击落的概率。
设 B={飞机被击落 }，
Ai={飞机被 i人击中 },i=1,2,3。
由全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
则 B=A1B+A2B+A3B，
解,
依题意，
P(B|A1)=0.2,
P(B|A2)=0.6,
P(B|A3)=1。
可求得
为求 P(Ai ),
设 Hi={飞机被第 i人击中 },i=1,2,3。
),()( 3213213211 HHHHHHHHHPAP ???
),()( 3213213212 HHHHHHHHHPAP ???
。)()( 3213 HHHPAP ?
将数据代入计算，得
P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。
于是,
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+P(A3)P(B |A3)
=0.458，
=0.36× 0.2+0.41 × 0.6+0.14 × 1
即飞机被击落的概率为 0.458。
该球取自哪号箱的可能
性大些?
实际中还有下面一类问题 ——已知结果求原因
这一类问题在实际中更为常见，它所求
的是条件概率，是已知某结果发生条件下，
求各原因发生可能性大小。
某人从任一箱中任意摸
出一球,发现是红球,求该球
是取自 1号箱的概率 。
1 2 3
1红 4白或者问,
接下来我们介绍解决这类问题的
贝叶斯公式
有三个箱子，编号分别为 1,2,3,1号箱装
有 1个红球 4个白球,2号箱装有 2红球 3白球，
3号箱装有 3红球,。某人从三箱中任取一箱，
从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取
自 1号箱的概率 。
1 2 3
1红 4白
某人从任一箱中任意摸出
一球,发现是红球，求该
球是取自 1号箱的概率 。
)(
)()|( 1
1 BP
BAPBAP ?
记 Ai={球取自 i号箱 },i=1,2,3;
B ={取得红球 }。
求 P(A1|B)。
?
?
? 3
1
11
k
kk ABPAP
ABPAP
)()(
)|()(
｜运用全概率公式
计算 P(B)
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
1 2 3
1红 4白
?
?
?
n
j
jjiii ABPAPABPAPBAP
1
)()()()()|( ｜｜
该公式于 1763年由贝叶斯 (Bayes)给出。
它是在观察到事件 B已发生的条件下，寻找
导致 B发生的每个原因的概率。
贝叶斯公式,
设 A1,A2,…,An是两两互斥的事件, 且
P(Ai)>0,i=1,2,…,n,另有一事件 B,它总是与
A1,A2,…,An之一同时发生, 则
。ni,,2,1 ??
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它
可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生
的最可能原因,
例 8,某一地区患有癌症的人占 0.005，患者
对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常
人对这种试验反应是阳性的概率为 0.04，现
抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是
癌症患者的概率有多大?
则 表示“抽查的人不患癌症”, C
求解如下, 设 C={抽查的人患有癌症 }，
A={试验结果是阳性 }，
求 P(C|A)。
已知, P(C)=0.005,
P(A|C)=0.95,
,9 9 5.0)( ?CP
。04.0)|( ?CAP
现在来分析一下结果的意义
由 贝叶斯公式,得
)|()()|()(
)|()()|(
CAPCPCAPCP
CAPCPACP
?
?
代入数据,计算得
P(C｜ A)= 0.1066。
2,检出阳性是否一定患有癌症?
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C)=0.005 。
患者阳性反应的概率是 0.95，若试验后得阳性
反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的
概率为 P(C｜ A)= 0.1066 。
说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有意义。
从 0.005增加到 0.1066,将近增加约 21倍。
1,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
2,检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为
P(C｜ A)=0.1066。
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论
你有癌症，这种可能性只有 10.66% (平均来
说,1000个人中大约只有 107人确患癌症 )，
此时医生常要通过再试验来确认 。
?
?
?
n
j
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)()(
)()(
)|(
｜
｜贝叶斯公式
在贝叶斯公式中,P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为
原因的 验前概率 和 验后概率 。
P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息 (不知
道事件 B是否发生 )的情况下,人们对诸事件
发生可能性大小的认识。
当有了新的信息 (知道 B发生 ),人们对诸事件
发生可能性大小 P(Ai | B)有了新的估计。
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 。
8支步枪中有 5支已校准过,3支未校准。
一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为
0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为 0.3。
现从 8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。
求,所用的枪是校准过的概率。
设 A={射击时中靶 },B1={使用的枪校准过 },
B2={使用的枪未校准 },则 B1,B2是 Ω一个划分,
由贝叶斯公式
解,
例 9：
)()|()()|(
)()|(
)|(
2211
11
1
BPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
?
?
49
40
8
3
3.0
8
5
8.0
8
5
8.0
?
???
?
?
解,
例 10:一批同型号的螺钉由编号为 I,II,III的
三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这
批螺钉的比例分别为 35%,40%,25%。各台机器
生产的螺钉的次品率分别为 3%,2%和 1%。现从
该批螺钉中抽到一颗次品。求,这颗螺钉由 I,
II,III号机器生产的概率各为多少?
设 A={螺钉是次品 },B1={螺钉由 1号机器
生产 },B2={螺钉由 2号机器生产 },B3={螺钉由
3号机器生产 }。则,
由 贝叶斯公式,得
)()|()()|()()|(
)()|(
)|(
332211
11
1
BPBAPBPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
??
?;2101.025.002.040.003.035.0 03.035.0 ?????? ??
同理,
。425)|(,218)|( 32 ?? ABPABP
P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25,
P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。
小结
本节首先介绍了条件概率的定义及其计
算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法
公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个
实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论
意义、实际意义及应用范围。但这还远远不
够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的
目的，我们还需要做一定数量的习题，并从
中揣摩出这些公式的内涵。
