湖南商学院信息系
数学教研室
第一章第三节
古典概率模型
I,什么是古典概率模型
如果试验 E满足
(1) 试验结果只有有限种，
(2) 每种结果发生的可能性相同。
则称这样的试验模型为 等可能概率模型 或
古典概率模型, 简称为 等可能概型 或 古典
概型 。
II,古典概率模型中事件概率求法
因 试验 E的结果只有有限种,即样本点是有
限个, ?1,?2,?,?n,其中
Ω={?1}∪{ ?2 }∪?∪{ ?n}，
{?i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。
于是,有
1=P(Ω)=P({?1}∪{ ?2 }∪?∪{ ?n})
=P({?1})+P({?2 })+?+P({ ?n})
=nP({?i}),i=1,2,?n 。
从而,P({?i})= 1/n,i=1,2,… n。
因此，若事件 A包含 k个基本事件，有
P(A)=k?(1/n)=k/n。
III,古典概模型的例
例 1,掷一颗均匀骰子，
设,A表示所掷结果为“四点或五点”；
B表示所掷结果为“偶数点”。
求,P(A)和 P(B)。
解,由 n=6,kA=2,得 P(A)=2/6=1/3；
再由 kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。
例 2：
解,
货架上有外观相同的商品 15件，其中 12
件来自产地甲,3件来自地乙。现从 15件商品
中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产
地的概率。
从 15件商品中取出 2商品,共有 C215 =105种
取法,且每种取法都是等可能的,故 n=105。
令 A={两件商品都来自产地甲 },kA= C212=66,
B={两件商品都来自产地乙 },kB= C23 =3，
而事件,{两件商品来自同一产地 }=A∪B,且 A与
B互斥,A∪ B包含基本事件数 66+3=69。
故, 所求概率 =69/105=23/35。
例 3,有外观相同的三极管 6只,按其电流放大
系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种
方案抽取三极管两只,
(1).每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取
下一只 (放回抽样 );
(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下
的三极管中再抽取下一只 (不放回抽样 )。
设 A={抽到两只甲类三极管 },B={抽到两只同类
三极管 },C={至少抽到一只甲类三极管 },D={抽
到两只不同类三极管 }。
求,P(A),P(B),P(C),P(D)。
解,(1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是
在 6只三极管中抽取。因第一次从 6只中取一
只,共有 6种可能取法；第二次还是从 6只中取
一只,还是有 6种可能取法。 故,取两只三极管
共有 6?6=36 种可能的取法。从而,n=36。
注意,这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
因每个基本事件发生的可能性相同,第一
次取一只甲类三极管共有 4种可能取法,第二
次再取一只甲类三极管还是有 4种可能取法。
所以,取两只甲类三极管共有 4?4=16 种可能
的取法,即 kA=16。故
P(A)=16/36=4/9；
令 E={抽到两只乙类三极管 },kE=2?2=4。故
P(E)=4/36=1/9;
因 C是 E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9；
因 B= A∪E,且 A与 E互斥,得
P(B)=P(A)+P(E)=5/9；
D是 B的对立事件,得 P(D)=1-P(B)=4/9。
(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次
从 6只中取一只,共有 6种可能的取法；第二次
是从剩余的 5只中取一只,有 5种可能的取法。
由乘法原理，知取两只三极管共有 n=6?5=30
种可能的取法。
由乘法原理,得 kA=4?3=12,P(A)=12/30=2/5;
kE=2?1=2,P(E)=2/30=1/15;
由 C是 E的对立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15；
由 B=A∪E,且 A与 E互斥,得
P(B)=P(A)+P(E)=7/15；
由 D是 B的对立事件,得 P(D)=1-P(B)=8/15。
解,
例 4,n个球随机地放入 N(N≥n) 个盒子中,若盒
子的容量无限制。求, 每个盒子中至多有一球,
的概率。
因 每个球都可以放入 N个盒子中的任何一个,
故 每个球有 N种放法。由乘法原理,将 n个球放
入 N个盒子中共有 Nn种不同的放法。
每个盒子中至多有一个球的放法 (由乘法
原理得 ),N(N-1)… (N-n+1)=ANn 种。
故，
P(A)= ANn/Nn。
设每个人在一年 (按 365天计 )内每天出
生的可能性都相同,现随机地选取 n(n≤365)
个人,则他们生日各不相同的概率为
A365n/365n。
于是,n个人中至少有两人生日相同的概率
为 1- A365n/365n。
(请打开 P14 表 1.3.1)
许多问题和上例有相同的数学模型。
例如 (生日问题 ):某人群有 n个人，他们中至
少有两人生日相同的概率有多大？
把 n个物品分成 k组,使第一组有 n1个,
第二组有 n2个,…,第 k组有 nk个,且
n= n1+ n2+… +nk 。
则,不同的分组方法有
? 公式
!!!
!
21 knnn
n
?
种。
解,
例 5,某公司生产的 15件品中,有 12件是正品,3
件是次品。现将它们随机地分装在 3个箱中,每
箱装 5件，设,A={每箱中恰有一件次品 },
B={三件次品都在同一箱中 }。
求, P(A)和 P(B)。
15件产品装入 3个箱中,每箱装 5件,共有
种等可能的装法。 故,基本事件总数有
)!5!5!5/(!15
)!5!5!5/(!15个。
续, 把三件次品分别装入三个箱中,共有 3!种
装法。这样的每一种装法取定以后,把其余 12
件正品再平均装入 3个箱中,每箱装 4件,有
个基本事件。
,)!4!4!4/(!12 种装法
再由乘法原理,可知装箱总方法数有
种。)/ ( 4 ! 4 ! 4 !3 ! 1 2 !
即 A包含
。9125!5!5!5 !15!4!4!4 !12!3)( ???AP
)/ ( 4 ! 4 ! 4 !3 ! 1 2 !
从而，
续, 把三件次品装入同一箱中,共有 3种装法,这
样的每一种装法取定以后,再把其余 12件正品装
入 3个箱中 (一箱再装 2件,另两箱各装 5件 )又有
个基本事件。故，
种装法。)!5!5!2/(!12
由乘法原理，知装箱方法共有
种。)!5!5!2/(!123 ?
即 B包含
。916!5!5!5 !15!5!5!2 !123)( ????BP
)!5!5!2/(!123 ?
解,
例 6,设 N件产品中有 K件是次品,N-K件是正
品,K<N。现从 N件中每次任意抽取 1件产品,在
检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽
取了 n次。
求,事件 A={所取的 n件产品中恰有 k件次
品 }的概率,k=0,1,2,…,n。
假定 N件产品是有编号的,从中任意取出一
件,每次都有 N种取法,由乘法原理,n次共有 Nn
种取法,故,基本事件总数为 Nn。
当所取的 n件产品中恰有 k件次品时,由于
取到这 k件次品的次序的不同,因此从次序考虑
共有 Cnk种情况。
续, 这 Cnk种情况确定以后,从 K件次品中取出
k件,共有 Kk种取法。从 N-K件正品中取 n-k件,
共有 (N-K)n-k种取法。由乘法原理,共有 Cnk Kk
(N-K)n-k种取法,∴A 中 基本事件个数为 Cnk Kk
(N-K)n-k。
。nk
N
KN
N
K
C
N
KNKC
AP
knk
k
n
n
knkk
n
,,2,1,0
,
)(
)(
??
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
小结
本节首先给出古典概型的定义；然
后讨论了古典概型中事件概率求法：
若事件 A包含 k个基本事件，有
P(A)=k?(1/n)=k/n；
最后，给出了几个古典概型中求随机事件
概率的应用实例。
数学教研室
第一章第三节
古典概率模型
I,什么是古典概率模型
如果试验 E满足
(1) 试验结果只有有限种，
(2) 每种结果发生的可能性相同。
则称这样的试验模型为 等可能概率模型 或
古典概率模型, 简称为 等可能概型 或 古典
概型 。
II,古典概率模型中事件概率求法
因 试验 E的结果只有有限种,即样本点是有
限个, ?1,?2,?,?n,其中
Ω={?1}∪{ ?2 }∪?∪{ ?n}，
{?i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。
于是,有
1=P(Ω)=P({?1}∪{ ?2 }∪?∪{ ?n})
=P({?1})+P({?2 })+?+P({ ?n})
=nP({?i}),i=1,2,?n 。
从而,P({?i})= 1/n,i=1,2,… n。
因此，若事件 A包含 k个基本事件，有
P(A)=k?(1/n)=k/n。
III,古典概模型的例
例 1,掷一颗均匀骰子，
设,A表示所掷结果为“四点或五点”；
B表示所掷结果为“偶数点”。
求,P(A)和 P(B)。
解,由 n=6,kA=2,得 P(A)=2/6=1/3；
再由 kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。
例 2：
解,
货架上有外观相同的商品 15件，其中 12
件来自产地甲,3件来自地乙。现从 15件商品
中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产
地的概率。
从 15件商品中取出 2商品,共有 C215 =105种
取法,且每种取法都是等可能的,故 n=105。
令 A={两件商品都来自产地甲 },kA= C212=66,
B={两件商品都来自产地乙 },kB= C23 =3，
而事件,{两件商品来自同一产地 }=A∪B,且 A与
B互斥,A∪ B包含基本事件数 66+3=69。
故, 所求概率 =69/105=23/35。
例 3,有外观相同的三极管 6只,按其电流放大
系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种
方案抽取三极管两只,
(1).每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取
下一只 (放回抽样 );
(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下
的三极管中再抽取下一只 (不放回抽样 )。
设 A={抽到两只甲类三极管 },B={抽到两只同类
三极管 },C={至少抽到一只甲类三极管 },D={抽
到两只不同类三极管 }。
求,P(A),P(B),P(C),P(D)。
解,(1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是
在 6只三极管中抽取。因第一次从 6只中取一
只,共有 6种可能取法；第二次还是从 6只中取
一只,还是有 6种可能取法。 故,取两只三极管
共有 6?6=36 种可能的取法。从而,n=36。
注意,这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
因每个基本事件发生的可能性相同,第一
次取一只甲类三极管共有 4种可能取法,第二
次再取一只甲类三极管还是有 4种可能取法。
所以,取两只甲类三极管共有 4?4=16 种可能
的取法,即 kA=16。故
P(A)=16/36=4/9；
令 E={抽到两只乙类三极管 },kE=2?2=4。故
P(E)=4/36=1/9;
因 C是 E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9；
因 B= A∪E,且 A与 E互斥,得
P(B)=P(A)+P(E)=5/9；
D是 B的对立事件,得 P(D)=1-P(B)=4/9。
(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次
从 6只中取一只,共有 6种可能的取法；第二次
是从剩余的 5只中取一只,有 5种可能的取法。
由乘法原理，知取两只三极管共有 n=6?5=30
种可能的取法。
由乘法原理,得 kA=4?3=12,P(A)=12/30=2/5;
kE=2?1=2,P(E)=2/30=1/15;
由 C是 E的对立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15；
由 B=A∪E,且 A与 E互斥,得
P(B)=P(A)+P(E)=7/15；
由 D是 B的对立事件,得 P(D)=1-P(B)=8/15。
解,
例 4,n个球随机地放入 N(N≥n) 个盒子中,若盒
子的容量无限制。求, 每个盒子中至多有一球,
的概率。
因 每个球都可以放入 N个盒子中的任何一个,
故 每个球有 N种放法。由乘法原理,将 n个球放
入 N个盒子中共有 Nn种不同的放法。
每个盒子中至多有一个球的放法 (由乘法
原理得 ),N(N-1)… (N-n+1)=ANn 种。
故，
P(A)= ANn/Nn。
设每个人在一年 (按 365天计 )内每天出
生的可能性都相同,现随机地选取 n(n≤365)
个人,则他们生日各不相同的概率为
A365n/365n。
于是,n个人中至少有两人生日相同的概率
为 1- A365n/365n。
(请打开 P14 表 1.3.1)
许多问题和上例有相同的数学模型。
例如 (生日问题 ):某人群有 n个人，他们中至
少有两人生日相同的概率有多大？
把 n个物品分成 k组,使第一组有 n1个,
第二组有 n2个,…,第 k组有 nk个,且
n= n1+ n2+… +nk 。
则,不同的分组方法有
? 公式
!!!
!
21 knnn
n
?
种。
解,
例 5,某公司生产的 15件品中,有 12件是正品,3
件是次品。现将它们随机地分装在 3个箱中,每
箱装 5件，设,A={每箱中恰有一件次品 },
B={三件次品都在同一箱中 }。
求, P(A)和 P(B)。
15件产品装入 3个箱中,每箱装 5件,共有
种等可能的装法。 故,基本事件总数有
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)!5!5!5/(!15个。
续, 把三件次品分别装入三个箱中,共有 3!种
装法。这样的每一种装法取定以后,把其余 12
件正品再平均装入 3个箱中,每箱装 4件,有
个基本事件。
,)!4!4!4/(!12 种装法
再由乘法原理,可知装箱总方法数有
种。)/ ( 4 ! 4 ! 4 !3 ! 1 2 !
即 A包含
。9125!5!5!5 !15!4!4!4 !12!3)( ???AP
)/ ( 4 ! 4 ! 4 !3 ! 1 2 !
从而，
续, 把三件次品装入同一箱中,共有 3种装法,这
样的每一种装法取定以后,再把其余 12件正品装
入 3个箱中 (一箱再装 2件,另两箱各装 5件 )又有
个基本事件。故，
种装法。)!5!5!2/(!12
由乘法原理，知装箱方法共有
种。)!5!5!2/(!123 ?
即 B包含
。916!5!5!5 !15!5!5!2 !123)( ????BP
)!5!5!2/(!123 ?
解,
例 6,设 N件产品中有 K件是次品,N-K件是正
品,K<N。现从 N件中每次任意抽取 1件产品,在
检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽
取了 n次。
求,事件 A={所取的 n件产品中恰有 k件次
品 }的概率,k=0,1,2,…,n。
假定 N件产品是有编号的,从中任意取出一
件,每次都有 N种取法,由乘法原理,n次共有 Nn
种取法,故,基本事件总数为 Nn。
当所取的 n件产品中恰有 k件次品时,由于
取到这 k件次品的次序的不同,因此从次序考虑
共有 Cnk种情况。
续, 这 Cnk种情况确定以后,从 K件次品中取出
k件,共有 Kk种取法。从 N-K件正品中取 n-k件,
共有 (N-K)n-k种取法。由乘法原理,共有 Cnk Kk
(N-K)n-k种取法,∴A 中 基本事件个数为 Cnk Kk
(N-K)n-k。
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小结
本节首先给出古典概型的定义；然
后讨论了古典概型中事件概率求法：
若事件 A包含 k个基本事件，有
P(A)=k?(1/n)=k/n；
最后，给出了几个古典概型中求随机事件
概率的应用实例。
