徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 1
Chapter 6 Finite Element Method for
Plane Stress and Plane Strain Problems
第六章 有限单元法解平面问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 2
References 参考书
? 徐芝纶,弹性力学简明教程第六章。 高等教育
出版社。
? 华东水利学院, 弹性力学问题的有限单元法,
水利电力出版社。
? 卓家寿,弹性力学中的有限元法,高等教育出
版社。
? O.C,Zienkiewicz,The Finite Element
Method,Third Edition,51.818,Z66
? K.C,Rockey and so on,The Finite Element
Method,Second Edition,51.818,R682-2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 3
Introduction-1 导引 -1
? The finite element method is an extension of the
analysis techniques (matrix method) of
ordinary framed structures.
有限元法是刚架结构分析技术的扩充。
? The finite element method was pioneered in
the aircraft industry where there was an urgent
need for accurate analysis of complex airframes.
有限元法首先应用于飞机工业。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 4
Introduction-2
? The availability of automatic digital computers
from 1950 onwards contributed to the rapid
development of matrix methods during this
period,
从 1950以后 数字计算机的出现使矩阵位移法
迅速发展。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 5
Introduction-3
? The finite element method was developed
rapidly from 1960 onwards and known in
China from 1970 onwards.
? 从 1960以后 有限元法迅速发展。 1970以后 传
入我国。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 6
Introduction-4
? In a continuum structure,a corresponding
natural subdivision does not exist so that the
continuum has to be artificially divided into a
number of elements before the matrix method
of analysis can be applied.
连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单
元
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 7
Introduction-5
? The artificial elements,which are termed ‘finite
elements’ or discrete elements,are usually
chosen to be either rectangular or triangular in
shape.
单元通常取为三角形或矩形。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 8
6.1 Fundamental quantities and fundamental
equations expressed by matrix
6.1 基本量和基本方程的矩程表示
Body force 体力, {p}=[X Y]T
Surface force 面力, {p}=[X Y]T
Displacement 位移, {f}=[u v]T
Strain 应变, {?}=[?x ?y rxy ]T
Stress 应力,{?}= [?x ?y ?xy ]T
Geometrical equations
Physical equations
virtual work equations
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 9
Geometrical Equation 几何方程
?x ?u/?x ?/?x 0 u
{?}= ?y = ?v/?y = 0 ?/?y v =[L]{f}
rxy ?u/?y+?v/?x ?/?y ?/?x
?x ?/?x 0
{?}= ?y [L]= 0 ?/?y {f} =[u v]T
rxy ?/?y ?/?x
{?}==[L]{f}
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Physical Equation for Plane Stress Problem
平面应力问题的物理方程
?x ?x+??y 1 ? 0 ?x
?y = E/(1- ?2) ?y+??x = E/(1- ?2) ? 1 0 ?y
?xy rxy(1-?)/2 0 0 (1-?)/2 rxy
?x 1 ? 0 ?x
{?}= ?y [D] = E/(1- ?2) ? 1 0 {?}= ?y
?xy 0 0 (1-?)/2 rxy
{?}= [D] {?}
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 11
Virtual Work Equation 虚功方程
状态 1,{p}=[X Y]T {p}=[X Y]T
{?}= [?x ?y ?xy ]T
状态 2,{f*}=[u* v*]T {?*}=[L] {f*}
虚功方程, ?? {f*}T{p}dx dy t+ ? {f*}T{p}ds t
= ??{?*}T{?}dx dy t
注,{f*}T{p} =[ u* v*] X =X u*+Y v*
Y
{?*}T {?} =[?x * ?y* rxy* ] ?x = ?x ?x* + ?y ?y* + ?xy rxy*
?y
?xy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 12
6.2 Basic Concepts about Finite
Element Method
6.2 有限单元法的概念
有限单元法的计算模型
? 1.The continuum structure is idealized as
a structure consisting of a number of
individual elements connected only at
nodal points,
连续的结构理想化为仅由在结点相连的
单元组成。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 13
? 2.Displacement boundary,place a bar support
at the node where displacement is zero.
位移边界：结点位移为零处，设置连杆,
? 3,The system of external loads acting on the
actual structure has to be replaced by an
equivalent system of forces concentrated at the
element nodes.This can be done by using the
principle of virtual work and equating the
work done by the actual loads to the work done
by the equivalent nodal loads,
外力按静力等效的原则移置到结点上
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 14
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补充：关于离散 About Discretization
? In reality Elements are connected
together along their common boundaries,
Here it is assumed that these elements are
only interconnected at their nodes.
实际：单元间相连 ----假定：只结点相连
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 17
关于离散 -2
? However,in the finite element method,
the individual elements are constrained
to deform in specific patterns.
然而，单元变形按指定模式,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 18
关于离散 --3
? Hence,although continuity is only
specified at the nodal points,the choice of
a suitable pattern of deflection for the
elements can lead to the satisfaction of
some,if not all,of the continuity
requirements along the sides of adjacent
elements.
位移模式使相连单元位移连续得某些满
足
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 19
关于离散 --4
? Hence,as stated by Clough,‘finite
elements are not merely pieces cut from
the original structure,but are special
types of elastic elements constrained to
deform in specific patterns such that the
overall continuity of the assemblage tends
to be maintained’
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 20
6.3 Displacement pattern and convergence criteria
6.3 位移模式和收敛性
? Fig,1 shows the typical triangular element
with nodes ijm numbered
in an anti-clockwise order,Y m
图 1为一典型的三角形单元, i
结点 ijm 逆钟向编号 --x正向到 j
y正向 。 Fig..1 x
Element with nodes numbered 单元的结点编号
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Displacement pattern 位移模式
? The displacement representation is given by
the two linear polynomials with six constants
位移用有 6个常数的线性多项式表示
u=?1+ ?2x+ ?3y (1)
v=?4+ ?5x+ ?6y (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 22
?Since these displacements are both linear in
x and y,displacement continuity is ensured
along the interface between adjoining
elements for any identical nodal
displacement.
因为位移在单元上均为线性，相邻单元交界
面上的位移连续性因同一结点位移相同而得
到保证。
Displacement continuity 位移连续性
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 23
u=?1+ ?2x+ ?3y (1)
Substitution of the nodal coordinates into
equation (1) yields:
结点坐标代入方程（ 1）得,
ui = ?1 + ?2 xi + ?3 yi
uj = ?1 + ?2 xj +?3 yj (3)
um = ?1+ ?2 xm +?3 ym
ui=u(xi,yi) uj=u(xj,yj) um=u(xm,ym)
To obtain ?1 ?2 ?3 求 ?1 ?2 ?3------1
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u=?1+ ?2x+ ?3y (1)
Substitution of the nodal coordinates into
equation (1) yields:
结点坐标代入方程（ 1）得,
ui 1 xi yi ?1
uj = 1 xj yj ?2 (3)
um 1 xm ym ?3
ui=u(xi,yi) uj=u(xj,yj) um=u(xm,ym)
To obtain ?1 ?2 ?3 求 ?1 ?2 ?3------1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 25
Solving eq,(3),we obtain,解方程（ 3）得
?1 ui xi yi 1 ui yi 1 xi ui T
?2 = 1/2A uj xj yj 1 uj yj 1 xj u j
?3 um xm ym 1 um ym 1 xm um
1 xi yi
1 xj yj = 2A (4)
1 xm ym
The above expression is ensured when the node
ijm are in an anti-clockwise order.
(A--area of triangle ijm 单元面积 )
当结点逆钟向编号 x正向到 y正向 时，上式成立
To obtain ?1 ?2 ?3 求 ?1 ?2 ?3-----2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 26
Substitution of ?1 ?2 ?3 into eq,(1) yields:
将 ?1 ?2 ?3代入方程（ 1）得,
ui xi yi 1 ui yi 1 xi ui
u = 1/2A uj xj yj + 1 uj yj x + 1 xj u j y
um xm ym 1 um ym 1 xm um
1 x y 1 x y 1 x y
= 1/2A 1 xj yj ui + 1 xm ym uj+ 1 xi y i um
1 xm ym 1 xi yi 1 xj yj
u = Ni(x,y) ui +Nj(x,y) uj + Nm(x,y) um
v = Ni(x,y) vi +Nj(x,y) vj + Nm(x,y) vm
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 27
In which,1 x y 1 xi yi
其中,Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj
1 xm ym 1 xm ym
= (ai+bix+ciy) /(2A) (i,j,m)
xj yj 1 yj
ai= xm ym = xjym-xmyj bi= - 1 ym =yj-ym
1 xj
ci= 1 xm =xm-xj (i,j,m)
1 xi yi
2A = 1 xj yj
1 xm ym
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 28
Ni is called element displacement function or
element shape function.
Ni 叫做单元位移函数或单元形函数。
Ni(xi,yi)=1 Ni(xj,yj)=0 Ni(xm,ym)=0 (i,j,m)
1 x y 1 xi yi
Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj
1 xm ym 1 xm ym
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 29
u = Ni(x,y) ui +Nj(x,y) uj + Nm(x,y) um
v = Ni(x,y) vi +Nj(x,y) vj + Nm(x,y) vm
{f } = [N]{? }e {f}=[u v]T
nodal displacement matrix:结点位移列阵,
{? }e=[ui vi uj vj um vm]T
shape function matrix,形函数矩阵：
Ni 0 Nj 0 Nm 0
[N] =
0 Ni 0 Nj 0 Nm
有限个自由度问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 30
Convergence Criteria 收敛准则 ---1
? Criterion 1,The displacement function
chosen should be such that it does not
permit straining of an element to occur
when the nodal displacements are caused
by a rigid body displacement.
? 准则 1,位移模式必须反映单元的刚体位
移。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 31
Convergence Criteria 收敛准则 --2
? Criterion 2,The displacement function
has to be taken so that the constant strain
(constant first derivative) could be
observed.
? 准则 2：位移模式必须反映单元的常量应
变 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 32
Convergence Criteria 收敛准则 --3
? Criterion 3,The displacement function
should be so chosen that the strains at
the interface between elements are finite
(even though indeterminate and not
equal).
? 准则 3,位移模式必须使单元公共边上的
应变在不同单元中为常量。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 33
Convergence Criteria 收敛准则 --3
? 准则 3,位移模式必须使位移处处连续,
(1)单元内位移连续,
(2)单元公共边上的位移连续。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 34
Further discussion about criteria--1
准则的进一步讨论 --1
? Criterion 3 implies a certain continuity of
displacements between elements--------In
the case of strains being defined by first
derivative,the displacements only have to
be continuous between elements,That is
C0 continuity is sufficient
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 35
Further discussion about criteria--2
准则的进一步讨论 --2
? Criterion 3 implies a certain
continuity of displacements between
elements.--------In the plate and shell
problems,the ‘ strains ’are defined
by second derivatives of deflections,
first derivatives of deflections have
to be continuous between elements.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 36
Further discussion about criteria-1,2
准则的进一步讨论 -1,2
? 准则 3 意味着对单元间位移的连续性有一定要
求。 -----应变是位移的一阶导数的情况,例如
弹性力学平面问题，仅要求单元之间位移连续。
称为 C0连续性 。 ------板和壳问题，应变是位移
的二阶导数，要求位移的一阶导数在单元间连
续,C1 连续性 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 37
Further discussion about criteria--3
准则的进一步讨论 --3
? Criterion 1 and 2 are necessary
conditions,Criterion 3 is the sufficient
condition,
准则 1和 2是收敛的必要条件,准则 3是
充分条件。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 38
? 准则 1和 2是收敛的必要条件,不满足
一定不收敛,
? 在满足准则 1和 2的必要条件的前提下,再
满足准则 3,一定收敛。 --协调元
? 在满足准则 1和 2的必要条件的前提下,不
满足准则 3---可能收敛 (非协调元,例薄板
弯曲问题 ),可能不收敛,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 39
Further discussion about criteria--4
准则的进一步讨论 --4
? u=?1+?2x+?3y
= ?1+?2x-y(?5- ?3)/2+y(?5+ ?3)/2
? v=?4+?5x+?6y
= ?4+?6y+x(?5-?3)/2+x(?5+ ?3)/2
? 刚体位移 u= - ?y +u0 v=?x+v0
? u0= ?1 v0= ?4 ?= (?5- ?3)/2 反映刚体位移
? ?x= ?2 ?y= ?6 rxy= ?5+ ?3 反映常量应变
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 40
Further discussion about criteria--4
准则的进一步讨论 --4
? u=?1+?2x+?3y
= ?1+?2x-y(?5- ?3)/2+y(?5+ ?3)/2
? v=?4+?5x+?6y
= ?4+?6y+x(?5-?3)/2+x(?5+ ?3)/2
? 位移在单元内部连续,在单元公共边上连续,
满足准则 3
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 41
6.4 Strain,Stress and Stiffness 应变，应力和劲度
{?}=[L]{f}=[L][N]{?}e =[B]{? }e {?}=[B]{? }e
?/?x 0 Ni 0 Nj 0 Nm 0
[B]=[L][N]= 0 ?/?y 0 Ni 0 Nj 0 Nm
?/?y ?/?x
= [Bi Bj Bm]
A,Strain 应变
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 42
?/?x 0 Ni 0 Nj 0 Nm 0
[B]=[L][N]= 0 ?/?y 0 Ni 0 Nj 0 Nm
?/?y ?/?x
= [Bi Bj Bm]
?Ni /?x 0 bi 0
Bi= 0 ?Ni /?y = 0 ci /(2A)
?Ni/?y ?Ni /?x ci bi
The B matrix is independent of the position
within the element,and hence the strains are
constant throughout it.
应变在单元中为常量。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 43
B,Stress 应力
{? }=[D]{? }=[D][B]{? }e= [S]{?}e
[S]=[D][B]=[DBi DBj DBm]=[Si Sj Sm]
1 ? 0 bi 0
Si=DBi= E/(1- ?2) ? 1 0 1/2A 0 ci
0 0 (1-?)/2 ci bi
bi ?ci
= E/[2A(1-?2)] ?bi ci
(1-?)ci /2 (1-?)bi/2
[S]---Elasticity matrix; 弹性矩阵，应力转换矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 44
C,Stiffness 劲度
C.1 Element Nodal Force Matrix 单元结点力列
阵
{F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
Element nodal forces are the internal forces
between elements and nodes,It is considered
positive or negative according as it acts in the
positive or negative direction of the coordinate
axis when it acts on the element.
单元结点力：单元和结点间相互作用力，作
用在单元上时，沿坐标正向为正,作用在 结点上
时，沿坐标负向为正,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 45
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
Um m i Ui
Vm Vi x
V1=Vj1+Vi2
单元结点力列阵 {F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
整体 结点力列阵 {F}=[U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4 ]T
作用在 结点上 时，沿坐标负向为正,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 46
C,Stiffness 劲度
C.2 The relation between the element nodal
force and nodal displacements
Isolate an element from the structure,Since
body forces and surface forces are moved to the
nodes,only element nodal forces are the
external forces acting on the element,Impose an
arbitrary virtual nodal displacement, The work
done by the nodal forces is equal to the work
done by the stresses.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 47
C,Stiffness 劲度
C.2 单元结点力和单元结点位移列阵的关系
将单元取出作为隔离体，因为体力面力已
移置到结点上，单元上结点力为外力，应
力为内力。施加一个虚位移，结点力作功
等于应力作功可导得 单元结点力和单元结
点位移的关系
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 48
C.2-continueWe=({?*}e)T {F}e
= [ui vi uj vj um vm] Ui
Vi
Uj
Vj
Um
Vm
= Uiui+Vivi+Ujuj+Vjvj +Umum+Vmvm
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 49
C.2-continue
WI= ?? {?*}T{?}dx dy t=({?*}e )T ??[B]T[D][B]dx dy t {?}e
注,{?*}T {?} =[?x* ?y* rxy* ] ?x = ?x?x*+?y?y*+?xyrxy*
?y
?xy
{?*}=[B]{?*}e {?*}T= ({?*}e)T [B]T
{? }=[D][B]{?}e
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 50
C.2-continueWe=({?*}e)T {F}e
WI= ?? {?*}T{?}dx dy t=({?*}e )T ??[B]T[D][B]dx dy t {?}e
We= WI
({?*}e)T {F}e =({?*}e )T ?? [B]T[D][B]dx dy t {?}e
Since {?*}e is arbitrary,we have
{F}e = ?? [B]T[D][B]dx dy t {?}e=[k] {?}e
[k]= ?? [B]T[D][B]dx dy t = [B]T[D][B]At
[k]-----element stiffness matrix,单元劲度矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 51
C,3 The Explicit Form for Element Stiffness Matrix
C.3 单元 劲度矩阵的表达式
[k]= ?? [B]T[D][B]dx dy t = [B]T[D][B]At
BiT
[k]= BjT D [Bi Bj Bm]At
BmT
BiT D Bi BiT D Bj BiT D Bm
[k]= At BjT D Bi BjT D Bj BjT D Bm
BmT DBi BmT DBj BmT D Bm
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 52
kii kij kim
[k]= kji kjj kjm krs=BrTDBs (r,s=i,j,m)
kmi kmj kmm
brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
krsxx krsxy
krs= krsyx krsyy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 53
C.4 The Physical Explanation for Element Stiffness matrix
C.4 单元 劲度矩阵的物理意义
{F}e=[k]{? }e
Ui kiixx kiixy kijxx kijxy kimxx kimxy ui
Vi kiiyx kiiyy kijyx kijyy kimyx kimyy vi
Uj = kjixx kjixy kjjxx kjjxy kjmxx kjmxy uj
Vj kjiyx kjiyy kjjyx kjjyy kjmyx kjmyy vj
Um kmixx kmixy kmjxx kmjxy kmmxx kmmxy um
Vm kmiyx kmiyy kmjyx kmjyy kmmyx kmmyy vm
kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结
点力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 54
kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结
点力
方向
kijyx
局部结点号
结果 原因
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 55
C,5 The Characteristics of the Element Stiffness
Matrix C.5 单元 劲度矩阵的特点
1,对称矩阵
2,每一行元素之和为零,
Assume {?}e=[ui vi uj vj um vm]T=[1 1 1 1 1 1]T
{F}e=[k]{?}e ={0}
3,每一列元素之和为零,
4,[k]为奇异矩阵。 |k|的各行元素乘 1后加到第一行，
行列式值不变，由于第一行元素全为零，故 |k|=0
5,[k]的元素的数值取决于单元形状，大小，方位和弹
性常数，不随单元的平行移动或作 n?的转动而改变。
n为 正整数。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 56
转动 ?,[k]不变
m j i
i j m
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 57
kii kij kim
[k]= kji kjj kjm krs=BrTDBs (r,s=i,j,m)
kmi kmj kmm
brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
krsxx krsxy
krs= krsyx krsyy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 58
In which,1 x y 1 xi yi
其中,Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj
1 xm ym 1 xm ym
= (ai+bix+ciy) /(2A) (i,j,m)
xj yj 1 yj
ai= xm ym = xjym-xmyj bi= - 1 ym =yj-ym
1 xj
ci= 1 xm =xm-xj (i,j,m)
1 xi yi
2A = 1 xj yj
1 xm ym
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 59
6.5 Element Load Matrix 单元荷载列阵
1,Element load matrix
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
It is positive when it acts in the positive
direction of the corresponding axis.
作用在坐标正向为正。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 60
Yi2
Y1 Xi2 i m
1 X1 j
Xj1 Yj1
y j
Xm m i Xi
Ym Yi x
V1=Vj1+Vi2
单元结点列阵 {R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
作用在 结点上
整体 结点荷载列阵 {R}=[X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 ]T
X1=Xj1+Xi2+R1 Y1=Yj1+Yi2 作用在 结点上 时，沿坐标正向为正,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 61
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T和 {P}=[Px Py]T {p}=[X Y]T
{p}=[X Y]T为静力等效，在虚位移 {f*} =[N]{?*}e上作功
相等
2 we1=({?*}e )T{R}e
we2={f*}T{P}+ ?? {f*}T{p}dx dy t + ?{f*}T{p}ds t
= ({?*}e )T ( [N]T{P}+ ??[N]T{p}dx dy t + ?[N]T{p}ds )
we1= we2
({?*}e )T{R}e =
({?*}e )T([N]T{P}+??[N]T{p}dx dyt+ ?[N]T{p}ds )
{R}e = [N]T{P}+ ?? [N]T{p}dx dy t + ?[N]T{p}ds
note,{f*}=[N]{?*}e {f*}T = ({?*}e )T [N]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 62
{R}e = [N]T{P}+ ?? [N]T{p}dx dy t + ?[N]T{p}ds
Xi NiPx ??NiXdxdy ? NiXds
Yi NiPy ??NiYdxdy ? NiYds
Xj NjPx ??NjXdxdy ? NjXds
Yj = NjPy + t ??NjYdxdy +t ? NjYds
Xm NmPx ??NmXdxdy ? NmXds
Ym NmPy ??NmYdxdy ? NmYds
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 63
Body forces,X=0,Y=-?g {R}e = ?? [N]T{p}dx dy t
Xi ??NiXdxdy 0
Yi ??NiYdxdy -W/3
Xj ??NjXdxdy 0
Yj = t ??NjYdxdy = -W/3
Xm ??NmXdxdy 0
Ym ??NmYdxdy -W/3
note,??Nidxdy=A/3 (i,j,m) W= ?gAt
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 64
ij边上面力 {p}=[X=q Y=0]T {R}e = ? [N]T{p}ds t
Xi ?ijNiXds 1
Yi ?ij NiYds 0
Xj ?ij NjXds 1
Yj = t ?ij NjYds = 0 0.5tqLij
Xm ?ij NmXds 0
Ym ?ij NmYds 0
note,?ij Nids=Lij/2 ?ij Njds= Lij/2 ?ij Nmds=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 65
6.6 global analysis 结构整体分析
? 例：
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 66
example 1---
--A.结点编号和
位移列阵
? 结点的局部号, i j m
? 结点的整体号, 1 2 3 4
? element nodal displacement matrix:
单元结点位移列阵, {?}e=[ui vi uj vj um vm]T
? global nodal displacement matrix:
整体结点位移列阵, {?}=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 67
example 1---
--- B,荷载列阵
? Element load matrix 单元荷载列阵
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
{R}1=[0 0 0.5q2 0 0.5q2 0]T
{R}2=[0 -0.5q1 0 0 0 -0.5q1]T
? global load matrix 整体荷载列阵
{R}=[X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4]T
{R}=[R1+0.5q2 -0.5q1 0.5q2 R2 R3x R3y-0.5q1 R4x R4y]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 68
? Element load matrix 单元荷载列阵
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
{R}1=[0 0 0.5q2 0 0.5q2 0]T
{R}2=[0 -0.5q1 0 0 0 -0.5q1]T
? global load matrix
整体荷载列阵
X1=Xj)1 +Xi )2 +R1=R1+0.5q2
Y1 = Yj)1 +Yi )2=-0.5q1
X2=Xm)1 =+0.5q2
Y2 = Ym)1 +R2=R2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 69
? 链杆反力不放入单元结点荷载列阵中,放
入整体结点荷载列阵中
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 70
C.单元劲度 brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
y
j
m i x
? bi=yj-ym=1 bj=ym-yi=0 bm=yi-yj=-1
? ci=-xj+xm=0 cj=-xm+xi=1 cm=-xi+xj=-1
? Et/[4(1-?2)A]=18Et/35
? kii=18Et/35 1 0
0 5/12
kij=18Et/35 0 1/6
5/12 0
取 ? =1/6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 71
The Element Stiffness Matrix
单元 劲度矩阵
1 0 0 1/6 -1 -1/6
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
[k]=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1
-1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12
-1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 72
C.4 The Physical Explanation for Element Stiffness matrix
C.4 单元 劲度矩阵的物理意义
{F}e=[k]{? }e
Ui kiixx kiixy kijxx kijxy kimxx kimxy ui
Vi kiiyx kiiyy kijyx kijyy kimyx kimyy vi
Uj = kjixx kjixy kjjxx kjjxy kjmxx kjmxy uj
Vj kjiyx kjiyy kjjyx kjjyy kjmyx kjmyy vj
Um kmixx kmixy kmjxx kmjxy kmmxx kmmxy um
Vm kmiyx kmiyy kmjyx kmjyy kmmyx kmmyy vm
kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结
点力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 73
D.整体 劲度矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 74
D.1 结点 1的平衡
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
?Fx=0,U1=X1 1结点 x方向的结点力等于 x方向的结点荷载
?Fy=0,V1=Y1 1结点 y方向的结点力等于 y方向的结点荷载
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 75
U1=Uj1+Ui2
U1=Uj1+Ui2
= kjjxy)1vj1+kjmxx)1 um1 + kiixy)2vi2
= kjjxy)1v1+kjmxx)1 u2 + kiixy)2v1
=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ] v1 + kjmxx)1 u2
=K11xy v1 + K12xx u2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=0
K12xx = kjmxx)1 =-3Et/14
K11xy K12x 整体劲度矩阵
的元素
? kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结点
力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 76
U1=Uj1+Ui2
U1=Uj1+Ui2
= kjjxy)1vj1+kjmxx)1 um1 + kiixy)2vi2
= kjjxy)1v1+kjmxx)1 u2 + kiixy)2v1
=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ] v1 + kjmxx)1 u2
=K11xy v1 + K12xx u2
U1=X1 K11xy v1+K12xx u2 =X1
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=0
K12xx = kjmxx)1 =-3Et/14
K11xy K12x 整体劲度矩阵
的元素
X1=Xj1+Xi2+R1=0.5q2+R1
-3Et/14 u2=0.5q2+R1在无自由度方向建立的方程中有链杆反力,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 77
直接 在自由度为 0方向建立方程求反力
1结点 x方向的平衡方程, ?Fx=0,U1=X1
U1= K11xy v1 + K12xx u2
K11xy v1 + K12xx u2 =X1
X1=R1+0.5q2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=18Et/35 (0+0)=0
K12xx = kjmxx)1=18Et/35 (-5/12)=-3Et/14
-3Et/14 u2= R1+0.5q2
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
R1= -3 (17q2-2q1)/342- 0.5q2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 78
V1=Vj1+Vi2
= kjjyy)1vj1+kjmyx)1 um1+ kiiyy)2vi2
=kjjyy)1v1+kjmyx)1 u2+ kiiyy)2v1
=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ] v1 + kjmyx)1 u2
=K11yy v1 + K12yx u2
in which
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]
=51Et/70
K12yx = kjmyx)1 =-3Et/35
?Fy=0,V1=Y1
K11yy v1 + K12yx u2 =Y1
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1
在有自由度方向建立的方程中无链杆反力,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 79
{F}=[K]{?} [K]--整体劲度矩阵
U1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy u1
V1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
U2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
V2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy v2
U3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy u3
V3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy v3
U4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy u4
V4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy v4
K12yx -2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向结点力
整体结点力列阵, {F}=[U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4]T
整体结点位移列阵, {?}=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 80
K12yx --2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向的
结点力
方向
K12yx
整体结点号
结果 原因
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 81
U1 X1 U1 X1
V1 Y1 V1 Y1
U2 X2 U2 X2
V2 Y2 V2 Y2
U3 = X3 F = U3 R = X3 {F}={R}
V3 Y3 V3 Y3 {F}=[K]{? }
U4 X4 U4 X4 [K]{? }={R}
V4 Y4 V4 Y4
整体结点力列阵, {F}=[U1 V2 U3 V3 U4 V4]T
整体结点荷栽列阵, {R}=[X1 Y2 X3 Y3 X4 Y4]T
整体结点位移列阵, {?}=[u1 v2 u3 v3 u4 v4]T
D.6 所有 结
点的平衡方程
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 82
{F}=[K]{?}
U1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy u1
V1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
U2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
V2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy v2
U3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy u3
V3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy v3
U4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy u4
V4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy v4
K12yx -2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向的
结点力
[K]--整体劲度矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 83
没考虑约束条件时的整体平衡方程
{R}=[K]{?}
X1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy u1
Y1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
X2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
Y2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy v2
X3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy u3
Y3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy v3
X4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy u4
Y4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy v4
K12yx --2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向的结点力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 84
考虑约束条件后的整体平衡方程
Y1 K11yy K12yx v1
X2 = K21xy K22xx u2
{R}=[K]{?}
X1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy 0
Y1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
X2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
Y2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy 0
X3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy 0
Y3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy 0
X4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy 0
Y4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy 0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 85
[K]--整体劲度矩阵的特点
1,对称矩阵
2,元素集中在主对角线附近，高度稀疏,
3,考虑约束条件后的 [K]为非奇异矩阵
4,考虑约束条件前的 [K]为奇异矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 86
直接 在自由度方向建立方程求结点位移
1结点 y方向的平衡方程, ?Fy=0,V1=Y1
V1= K11yy v1 + K12yx u2
K11yy v1 + K12yx u2 = Y1
Y1 = -0.5q1
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]=18Et/35 (1+5/12)=51Et/70
K12yx = kjmyx)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1 (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 87
直接 在自由度方向建立方程求结点位移
2结点 x方向的平衡方程, ?Fx=0,U2=X2
U2= K21xy v1 + K22xx u2
K21xy v1 + K22xx u2 =X2
X2=0.5q2
K21xy= kmjxy)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
K22xx = kmmxx)1=18Et/35 (17/12)=51Et/70
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2 (3)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 88
直接 在自由度方向建立方程求结点位移
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1 (2)
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2 (3)
v1 =-7(17q1-2q2) /(171Et)
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 89
The Element Stiffness Matrix
单元 劲度矩阵
1 0 0 1/6 -1 -1/6
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
[k]=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1
-1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12
-1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 90
直接 在自由度为 0方向建立方程求反力
1结点 x方向的平衡方程, ?Fx=0,U1=X1
U1= K11xy v1 + K12xx u2
K11xy v1 + K12xx u2 =X1
X1=R1+0.5q2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=18Et/35 (0+0)=0
K12xx = kjmxx)1=18Et/35 (-5/12)=-3Et/14
-3Et/14 u2= R1+0.5q2
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
R1= -3 (17q2-2q1)/342- 0.5q2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 91
结点平衡问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 92
D.1 结点 1的 x向平衡
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
?Fx=0,U1=X1
U1=Uj1+Ui2 = K11xy v1 + K12xx u2
K11xy v1 + K12xx u2 =X1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 93
U1=Uj1+Ui2
U1=Uj1+Ui2
= kjjxy)1vj1+kjmxx)1 um1 + kiixy)2vi2
= kjjxy)1v1+kjmxx)1 u2 + kiixy)2v1
=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ] v1 + kjmxx)1 u2
=K11xy v1 + K12xx u2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]
K12xx = kjmxx)1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 94
K11xy K12xx
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
K11xy =kjjxy)1 + kiixy)2=0
K12xx = kjmxx)1=-3Et/14
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 95
D.2 结点 1的 y向平衡
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
?Fy=0,V1=Y1
V1=Vj1+Vi2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 96
D.2
结
点
1
的
y
向
平
衡
?Fy=0,V1=Y1
V1=Vj1+Vi2 =K11yy v1 + K12yx u2
K11yy v1 + K12yx u2 =Y1
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ] =51Et/70
K12yx = kjmyx)1)=-3Et/35
Y1=-0.5q1
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 97
D.2
结
点
1
的
y
平
衡
V1=Vj1+Vi2
= kjjyy)1vj1+kjmyx)1 um1+ kiiyy)2vi2
= kjjyy)1v1+kjmyx)1 u2+ kiiyy)2v1
=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ] v1 + kjmyx)1 u2
=K11yy v1 + K12yx u2
in which
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]
=51Et/70
K12yx = kjmyx)1 =-3Et/35
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 98
D.3
结
点
1
的
平
衡
K11xy v1 + K12xx u2 =X1=R1+0.5q2
K11yy v1 + K12yx u2 =Y1=-0.5q1
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=18Et/35 (0+0)=0
K12xx = kjmxx)1=18Et/35 (-5/12)=-3Et/14
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]=18Et/35 (1+5/12)=51Et/70
K12yx = kjmyx)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
-3Et/14 u2= R1+0.5q2
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 99
D.4
结
点
2
的
平
衡
K21xy v1 + K22xx u2 =X2=0.5q2
K21yy v1 + K22yx u2 =Y2=R2
K21xy= kmjxy)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
K22xx = kmmxx)1=18Et/35 (17/12)=51Et/70
K21yy=[ kmjyy)1 ]=-18Et/35
K22yx = kmmyx)1=18Et/35 (7/12)=3Et/10
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2
-18Et/35v1 +3Et/10u2 =R2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 100
-3Et/14 u2= R1+0.5q2 (1)
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1 (2)
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2 (3)
-18Et/35v1 +3Et/10u2 =R2 (4)
v1 =-7(17q1-2q2) /(171Et)
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
D.5 解 结点 1和 2的平衡方程和求反力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 101
Break 8
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 102
有限元的数据输入
实际
结构
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 103
有限元模型
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 104
1,整体控制类数据：
READ(5,*) NP,NE,NM,NR,NI,NL,NG,ND,NC,ML
6 4 1 5 0 3 0 0 5 0
? NP--结点总数 NE--单元总数
? NM--材料类型数
? NR--约束结点总数
? NI--1 平面应变； 0 平面应力
? NL--受集中荷载结点总数
? NG--1 计算自重； 0 不计自重
? ND--非零已知位移总数
? NC--求支座反力的结点总数
? ML--0 无分布荷载； 1 有分布荷载
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 105
? READ(5,*) ((AE(I,J),I=1,4),J=1,NM)
1.0 0.0 0.0 1.0
? AE(1,J)--第 J种材料的弹性模量
? AE(2,J)-- 第 J种材料的泊松比
? AE(3,J)-- 第 J种材料的体力分量 ?g
? AE(4,J)-- 第 J种材料所在单元厚度 t
注,NM--材料类型数
2,材料数据
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 106
? READ(5,*) (X(I),I=1,NP)----结点 x坐标
0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 2.0
? READ(5,*) (Y(I),I=1,NP)----结点 y坐标
2.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0
注, NP--结点总数
3,结点坐标信息
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 107
? READ(5,*) ((MEO(I,J),I=1,2),J=1,NE)
003001,002001,002004,005001,
003002,005001,005006,003001
? MEO(1,J)--第 J单元 i结点整体号和 j结点整体号,6位
? MEO(2,J)--第 J单元 m结点整体号和材料类型号,6位
? 4,单元信息 --单元
局部号对应的整体
号和单元材料类型
号
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 108
? READ(5,*) (JC(I),I=1,NR)----5 位整数,前三位
为 约束结 点号,第四位为 x向约束情况,第五位
为 y 向约束情况,0为受约束,1为自由,
00101,00201,00400,00510,00610
注, NR--约束结点总数
5,约束信息
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 109
6,荷载信息 --承受集中荷载的结点号和荷载分量
? READ(5,*) (NF(I),I=1,NL)----承受集中荷载的
结点号
1,3,6
? READ(5,*) ((FV(I,J),I=1,2),J=1,NL)
-0.5,-0,5,-1.0,-1.0,-0.5,-0.5
FV(1,J)--x向荷载分量
FV(2,J)--y 向荷载分量
? 注, NL--受集中荷载结点总数
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 110
7,位移信息 --非零已知位移 结 点号和非零已知位
移值
? READ(5,*) (NDI(I),I=1,ND)----非零已知位移
结 点号
ND=0,不填 ND--非零已知位移总数
? READ(5,*) (DV(I,J),I=1,2),J=1,ND)
DV(1,J) ----x向非零已知位移值
DV(2,J) ----y向非零已知位移值
? ND=0,不填
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 111
8.求支
座反
力的
信息
? READ(5,*) ((NCE(I,J),I=1,4),J=1,NC)----求支
座反力的结 点号的相关单元号，如不足 4个，
以零补充。 NC--求支座反力的结点总数
1,0,0,0,1,2,3,0,2,0,0,0
2,3,4,0,4,0,0,0
? READ(5,*)
(NCI(J),
J=1,NC) ----求
支座反力的结
点号
1,2,4,5,6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 112
运行有限元程序
? BBBB
WHAT IS NAME OF INPUT FILE:已输数据文件名
WHAT IS NAME OF OUTPUT FILE:放输出结果的
新文件名
Program terminated!
? 出错信息：
negative area in element 5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 113
有限元的数据输出
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 114
NP=6 NE=4 NM=1 NR=5 NI=0 NL=3 NG=
0 ND=0 NC=5 ML=0
NODES OF APPLIED LOAD ****NF=
1 3 6
LUMPED-LOADS***FV=
-.5 -.5 -1.0 -1.0 -.5 -.5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 115
NODAL FORCES
NODE X-COMP,Y-COMP.
1,000000 -.500000
2,000000,000000
3 -1.000000 -1.000000
4,000000,000000
5,000000,000000
6 -.500000,000000
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 116
NODAL DISPLACEMENTS
NODE X-COMP,Y-COMP.
1,000000 -2.000000
2,000000 -1.000000
3 -1.000000 -1.000000
4,000000,000000
5 -1.000000,000000
6 -2.000000,000000
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 117
ELEMENT STRESSES
ELEMENT Y-STRESS MAX-STRESS ANGLE
X-STRESS XY-STRESS MIN-STRESS
1 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0 90.0
2 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0,0
3 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0 90.0
4 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0 90.0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 118
NODAL REACTIONS
NODE X-COMP Y-COMP
1,000 -.500
2 1.000,000
4,500,500
5,000 1.000
6 -.500,000
? 注：未包括结点荷载引起的反力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 119
6.7 解题的具体步骤 单元划分
一, 解题的具体步骤
1.划单元,编号
2.输入数据,计算
3.成果整理 x
二,单元大小数量 y
1.计算对象的形状,大小和受力特点
2.工程精度要求
3.计算机容量
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 120
三,单元划分宜密部位
? 应力和位移需详细了解部位
? 边界曲折部位,厚度突变部位
? 荷载突变部位
四,结点和单元界线布置
? 不同材料交界线作为单元界线
? 几何形状突变处作为结点
? 荷载突变处和集中荷载作用点作为结点
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 121
五,单元形态
? 单元三个内角接近相等为好
六,结点编号
? [K]为 对称矩阵,高度稀疏,元素集中在主对
角线附近，呈带状分布，一行中第一个非零元
素到最后一个非零元素间的元素个数叫带宽。
只存带宽内元素。
? 编号原则,1.连续编号, 2,使带宽最小,相关结
点编号之差尽可能小,尺寸小方向编号,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 122
6.8 计算成果的整理
一, 位移成果的整理
1,x向位移等值线图
2,y向位移等值线图
3,若干剖面位移图
二, 应力成果的整理
1,?x 等值线图 2,?y 等值线图 3,?xy 等值线图
4,主应力等值线图 5.若干剖面应力图
三, 应力的表征点
1.单元的常量应力认为是单元形心处的应力,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 123
6.8 计算成果的整理
2,绕结点平均法, 围绕某结点的所有单元的应力
平均值作为该结点的应力。
3,二单元平均法：同材料两相邻单元的应力平均，
用来表征两相邻单元公共边中点的应力。
4,边界结点应力,用三个内点的应力抛物线插值
得,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 124
习题,P159,6-4
上机实习：
1,输入数据的例题
2.习题,P159,6-4
3,自选一小型题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 125
Shear stress trajectories in a cantilever beam
悬臂梁的剪应力轨迹线
单位宽度悬臂梁，梁高为 2h,梁
长 L=4h,端部受集中力 P作用，
假设可按材力公式计算应力，
试证明最大 剪应力为：
Max?xy = ?xy* P/ h,其中
?xy* =0.75 ? y12(4x1-4)2+(1-y12)2
y1=y/h x1=x/L 编程绘出
?xy* = 0.75,1,1.5,2,2.5,3的应力轨
迹线,y1的间隔取 0.02
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 126
Break 9
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 127
6-4 Find node displacements and support
reactions(node 1),It is a plane problems with ?=1/6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 128
C.单元劲度 brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
y
j
m i x
? bi=yj-ym=1 bj=ym-yi=0 bm=yi-yj=-1
? ci=-xj+xm=0 cj=-xm+xi=1 cm=-xi+xj=-1
? Et/[4(1-?2)A]=18Et/35
? kii=18Et/35 1 0
0 5/12
kij=18Et/35 0 1/6
5/12 0
取 ? =1/6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 129
The Element Stiffness Matrix
单元 劲度矩阵
1 0 0 1/6 -1 -1/6
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
[k]=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1
-1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12
-1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 130
K11yy v1 + K12yy v2 =Y1=-0.5p
K21yy v1 + K22yy u2 =Y2=0
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]
=18Et/35 (1+5/12)=(18Et/35)(17/12)
K12yy = kjmyy)1=18Et/35 (-1)
K21yy= kmjyy)1=18Et/35 (-1)
K22yy = kmmyy)1+ kiiyy)3
=18Et/35 (17/12+5/12)
=(18Et/35)(22/12)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 131
18Et/35(17/12 v1 - v2) =-0.5P (2)
18Et/35(-v1+22/12 v2)= 0 (3)
v1 =-77P /(69Et)
v2 =-14P/(23Et)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 132
K41=[ kij)1 + kji)2 ]
0 7/12
=18Et/35 7/12 0
K42=[ kim)1 + kmi)3 ]
-2 -7/12
=18Et/35 -7/12 -10/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 133
R4x = K41xyv1+K42xyv2
=18Et/35[7/12× (-77P/69Et)-
7/12× (-14P/23Et)]=-7P/46
R4y = K41yyv1+K42yyv2
=18Et/35[0-10/12× (-
14P/23Et)]=6P/23
0 7/12 K41xx K41xy
K41 =18Et/35 7/12 0 = K41yx K41yy
-2 -7/12 K42xx K42xy
K42=18Et/35 -7/12 -10/12 = K42yx K42yy
Chapter 6 Finite Element Method for
Plane Stress and Plane Strain Problems
第六章 有限单元法解平面问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 2
References 参考书
? 徐芝纶,弹性力学简明教程第六章。 高等教育
出版社。
? 华东水利学院, 弹性力学问题的有限单元法,
水利电力出版社。
? 卓家寿,弹性力学中的有限元法,高等教育出
版社。
? O.C,Zienkiewicz,The Finite Element
Method,Third Edition,51.818,Z66
? K.C,Rockey and so on,The Finite Element
Method,Second Edition,51.818,R682-2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 3
Introduction-1 导引 -1
? The finite element method is an extension of the
analysis techniques (matrix method) of
ordinary framed structures.
有限元法是刚架结构分析技术的扩充。
? The finite element method was pioneered in
the aircraft industry where there was an urgent
need for accurate analysis of complex airframes.
有限元法首先应用于飞机工业。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 4
Introduction-2
? The availability of automatic digital computers
from 1950 onwards contributed to the rapid
development of matrix methods during this
period,
从 1950以后 数字计算机的出现使矩阵位移法
迅速发展。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 5
Introduction-3
? The finite element method was developed
rapidly from 1960 onwards and known in
China from 1970 onwards.
? 从 1960以后 有限元法迅速发展。 1970以后 传
入我国。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 6
Introduction-4
? In a continuum structure,a corresponding
natural subdivision does not exist so that the
continuum has to be artificially divided into a
number of elements before the matrix method
of analysis can be applied.
连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单
元
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 7
Introduction-5
? The artificial elements,which are termed ‘finite
elements’ or discrete elements,are usually
chosen to be either rectangular or triangular in
shape.
单元通常取为三角形或矩形。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 8
6.1 Fundamental quantities and fundamental
equations expressed by matrix
6.1 基本量和基本方程的矩程表示
Body force 体力, {p}=[X Y]T
Surface force 面力, {p}=[X Y]T
Displacement 位移, {f}=[u v]T
Strain 应变, {?}=[?x ?y rxy ]T
Stress 应力,{?}= [?x ?y ?xy ]T
Geometrical equations
Physical equations
virtual work equations
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 9
Geometrical Equation 几何方程
?x ?u/?x ?/?x 0 u
{?}= ?y = ?v/?y = 0 ?/?y v =[L]{f}
rxy ?u/?y+?v/?x ?/?y ?/?x
?x ?/?x 0
{?}= ?y [L]= 0 ?/?y {f} =[u v]T
rxy ?/?y ?/?x
{?}==[L]{f}
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 10
Physical Equation for Plane Stress Problem
平面应力问题的物理方程
?x ?x+??y 1 ? 0 ?x
?y = E/(1- ?2) ?y+??x = E/(1- ?2) ? 1 0 ?y
?xy rxy(1-?)/2 0 0 (1-?)/2 rxy
?x 1 ? 0 ?x
{?}= ?y [D] = E/(1- ?2) ? 1 0 {?}= ?y
?xy 0 0 (1-?)/2 rxy
{?}= [D] {?}
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 11
Virtual Work Equation 虚功方程
状态 1,{p}=[X Y]T {p}=[X Y]T
{?}= [?x ?y ?xy ]T
状态 2,{f*}=[u* v*]T {?*}=[L] {f*}
虚功方程, ?? {f*}T{p}dx dy t+ ? {f*}T{p}ds t
= ??{?*}T{?}dx dy t
注,{f*}T{p} =[ u* v*] X =X u*+Y v*
Y
{?*}T {?} =[?x * ?y* rxy* ] ?x = ?x ?x* + ?y ?y* + ?xy rxy*
?y
?xy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 12
6.2 Basic Concepts about Finite
Element Method
6.2 有限单元法的概念
有限单元法的计算模型
? 1.The continuum structure is idealized as
a structure consisting of a number of
individual elements connected only at
nodal points,
连续的结构理想化为仅由在结点相连的
单元组成。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 13
? 2.Displacement boundary,place a bar support
at the node where displacement is zero.
位移边界：结点位移为零处，设置连杆,
? 3,The system of external loads acting on the
actual structure has to be replaced by an
equivalent system of forces concentrated at the
element nodes.This can be done by using the
principle of virtual work and equating the
work done by the actual loads to the work done
by the equivalent nodal loads,
外力按静力等效的原则移置到结点上
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 14
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 15
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 16
补充：关于离散 About Discretization
? In reality Elements are connected
together along their common boundaries,
Here it is assumed that these elements are
only interconnected at their nodes.
实际：单元间相连 ----假定：只结点相连
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 17
关于离散 -2
? However,in the finite element method,
the individual elements are constrained
to deform in specific patterns.
然而，单元变形按指定模式,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 18
关于离散 --3
? Hence,although continuity is only
specified at the nodal points,the choice of
a suitable pattern of deflection for the
elements can lead to the satisfaction of
some,if not all,of the continuity
requirements along the sides of adjacent
elements.
位移模式使相连单元位移连续得某些满
足
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 19
关于离散 --4
? Hence,as stated by Clough,‘finite
elements are not merely pieces cut from
the original structure,but are special
types of elastic elements constrained to
deform in specific patterns such that the
overall continuity of the assemblage tends
to be maintained’
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 20
6.3 Displacement pattern and convergence criteria
6.3 位移模式和收敛性
? Fig,1 shows the typical triangular element
with nodes ijm numbered
in an anti-clockwise order,Y m
图 1为一典型的三角形单元, i
结点 ijm 逆钟向编号 --x正向到 j
y正向 。 Fig..1 x
Element with nodes numbered 单元的结点编号
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 21
Displacement pattern 位移模式
? The displacement representation is given by
the two linear polynomials with six constants
位移用有 6个常数的线性多项式表示
u=?1+ ?2x+ ?3y (1)
v=?4+ ?5x+ ?6y (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 22
?Since these displacements are both linear in
x and y,displacement continuity is ensured
along the interface between adjoining
elements for any identical nodal
displacement.
因为位移在单元上均为线性，相邻单元交界
面上的位移连续性因同一结点位移相同而得
到保证。
Displacement continuity 位移连续性
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 23
u=?1+ ?2x+ ?3y (1)
Substitution of the nodal coordinates into
equation (1) yields:
结点坐标代入方程（ 1）得,
ui = ?1 + ?2 xi + ?3 yi
uj = ?1 + ?2 xj +?3 yj (3)
um = ?1+ ?2 xm +?3 ym
ui=u(xi,yi) uj=u(xj,yj) um=u(xm,ym)
To obtain ?1 ?2 ?3 求 ?1 ?2 ?3------1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 24
u=?1+ ?2x+ ?3y (1)
Substitution of the nodal coordinates into
equation (1) yields:
结点坐标代入方程（ 1）得,
ui 1 xi yi ?1
uj = 1 xj yj ?2 (3)
um 1 xm ym ?3
ui=u(xi,yi) uj=u(xj,yj) um=u(xm,ym)
To obtain ?1 ?2 ?3 求 ?1 ?2 ?3------1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 25
Solving eq,(3),we obtain,解方程（ 3）得
?1 ui xi yi 1 ui yi 1 xi ui T
?2 = 1/2A uj xj yj 1 uj yj 1 xj u j
?3 um xm ym 1 um ym 1 xm um
1 xi yi
1 xj yj = 2A (4)
1 xm ym
The above expression is ensured when the node
ijm are in an anti-clockwise order.
(A--area of triangle ijm 单元面积 )
当结点逆钟向编号 x正向到 y正向 时，上式成立
To obtain ?1 ?2 ?3 求 ?1 ?2 ?3-----2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 26
Substitution of ?1 ?2 ?3 into eq,(1) yields:
将 ?1 ?2 ?3代入方程（ 1）得,
ui xi yi 1 ui yi 1 xi ui
u = 1/2A uj xj yj + 1 uj yj x + 1 xj u j y
um xm ym 1 um ym 1 xm um
1 x y 1 x y 1 x y
= 1/2A 1 xj yj ui + 1 xm ym uj+ 1 xi y i um
1 xm ym 1 xi yi 1 xj yj
u = Ni(x,y) ui +Nj(x,y) uj + Nm(x,y) um
v = Ni(x,y) vi +Nj(x,y) vj + Nm(x,y) vm
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 27
In which,1 x y 1 xi yi
其中,Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj
1 xm ym 1 xm ym
= (ai+bix+ciy) /(2A) (i,j,m)
xj yj 1 yj
ai= xm ym = xjym-xmyj bi= - 1 ym =yj-ym
1 xj
ci= 1 xm =xm-xj (i,j,m)
1 xi yi
2A = 1 xj yj
1 xm ym
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 28
Ni is called element displacement function or
element shape function.
Ni 叫做单元位移函数或单元形函数。
Ni(xi,yi)=1 Ni(xj,yj)=0 Ni(xm,ym)=0 (i,j,m)
1 x y 1 xi yi
Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj
1 xm ym 1 xm ym
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 29
u = Ni(x,y) ui +Nj(x,y) uj + Nm(x,y) um
v = Ni(x,y) vi +Nj(x,y) vj + Nm(x,y) vm
{f } = [N]{? }e {f}=[u v]T
nodal displacement matrix:结点位移列阵,
{? }e=[ui vi uj vj um vm]T
shape function matrix,形函数矩阵：
Ni 0 Nj 0 Nm 0
[N] =
0 Ni 0 Nj 0 Nm
有限个自由度问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 30
Convergence Criteria 收敛准则 ---1
? Criterion 1,The displacement function
chosen should be such that it does not
permit straining of an element to occur
when the nodal displacements are caused
by a rigid body displacement.
? 准则 1,位移模式必须反映单元的刚体位
移。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 31
Convergence Criteria 收敛准则 --2
? Criterion 2,The displacement function
has to be taken so that the constant strain
(constant first derivative) could be
observed.
? 准则 2：位移模式必须反映单元的常量应
变 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 32
Convergence Criteria 收敛准则 --3
? Criterion 3,The displacement function
should be so chosen that the strains at
the interface between elements are finite
(even though indeterminate and not
equal).
? 准则 3,位移模式必须使单元公共边上的
应变在不同单元中为常量。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 33
Convergence Criteria 收敛准则 --3
? 准则 3,位移模式必须使位移处处连续,
(1)单元内位移连续,
(2)单元公共边上的位移连续。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 34
Further discussion about criteria--1
准则的进一步讨论 --1
? Criterion 3 implies a certain continuity of
displacements between elements--------In
the case of strains being defined by first
derivative,the displacements only have to
be continuous between elements,That is
C0 continuity is sufficient
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 35
Further discussion about criteria--2
准则的进一步讨论 --2
? Criterion 3 implies a certain
continuity of displacements between
elements.--------In the plate and shell
problems,the ‘ strains ’are defined
by second derivatives of deflections,
first derivatives of deflections have
to be continuous between elements.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 36
Further discussion about criteria-1,2
准则的进一步讨论 -1,2
? 准则 3 意味着对单元间位移的连续性有一定要
求。 -----应变是位移的一阶导数的情况,例如
弹性力学平面问题，仅要求单元之间位移连续。
称为 C0连续性 。 ------板和壳问题，应变是位移
的二阶导数，要求位移的一阶导数在单元间连
续,C1 连续性 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 37
Further discussion about criteria--3
准则的进一步讨论 --3
? Criterion 1 and 2 are necessary
conditions,Criterion 3 is the sufficient
condition,
准则 1和 2是收敛的必要条件,准则 3是
充分条件。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 38
? 准则 1和 2是收敛的必要条件,不满足
一定不收敛,
? 在满足准则 1和 2的必要条件的前提下,再
满足准则 3,一定收敛。 --协调元
? 在满足准则 1和 2的必要条件的前提下,不
满足准则 3---可能收敛 (非协调元,例薄板
弯曲问题 ),可能不收敛,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 39
Further discussion about criteria--4
准则的进一步讨论 --4
? u=?1+?2x+?3y
= ?1+?2x-y(?5- ?3)/2+y(?5+ ?3)/2
? v=?4+?5x+?6y
= ?4+?6y+x(?5-?3)/2+x(?5+ ?3)/2
? 刚体位移 u= - ?y +u0 v=?x+v0
? u0= ?1 v0= ?4 ?= (?5- ?3)/2 反映刚体位移
? ?x= ?2 ?y= ?6 rxy= ?5+ ?3 反映常量应变
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 40
Further discussion about criteria--4
准则的进一步讨论 --4
? u=?1+?2x+?3y
= ?1+?2x-y(?5- ?3)/2+y(?5+ ?3)/2
? v=?4+?5x+?6y
= ?4+?6y+x(?5-?3)/2+x(?5+ ?3)/2
? 位移在单元内部连续,在单元公共边上连续,
满足准则 3
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 41
6.4 Strain,Stress and Stiffness 应变，应力和劲度
{?}=[L]{f}=[L][N]{?}e =[B]{? }e {?}=[B]{? }e
?/?x 0 Ni 0 Nj 0 Nm 0
[B]=[L][N]= 0 ?/?y 0 Ni 0 Nj 0 Nm
?/?y ?/?x
= [Bi Bj Bm]
A,Strain 应变
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 42
?/?x 0 Ni 0 Nj 0 Nm 0
[B]=[L][N]= 0 ?/?y 0 Ni 0 Nj 0 Nm
?/?y ?/?x
= [Bi Bj Bm]
?Ni /?x 0 bi 0
Bi= 0 ?Ni /?y = 0 ci /(2A)
?Ni/?y ?Ni /?x ci bi
The B matrix is independent of the position
within the element,and hence the strains are
constant throughout it.
应变在单元中为常量。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 43
B,Stress 应力
{? }=[D]{? }=[D][B]{? }e= [S]{?}e
[S]=[D][B]=[DBi DBj DBm]=[Si Sj Sm]
1 ? 0 bi 0
Si=DBi= E/(1- ?2) ? 1 0 1/2A 0 ci
0 0 (1-?)/2 ci bi
bi ?ci
= E/[2A(1-?2)] ?bi ci
(1-?)ci /2 (1-?)bi/2
[S]---Elasticity matrix; 弹性矩阵，应力转换矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 44
C,Stiffness 劲度
C.1 Element Nodal Force Matrix 单元结点力列
阵
{F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
Element nodal forces are the internal forces
between elements and nodes,It is considered
positive or negative according as it acts in the
positive or negative direction of the coordinate
axis when it acts on the element.
单元结点力：单元和结点间相互作用力，作
用在单元上时，沿坐标正向为正,作用在 结点上
时，沿坐标负向为正,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 45
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
Um m i Ui
Vm Vi x
V1=Vj1+Vi2
单元结点力列阵 {F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
整体 结点力列阵 {F}=[U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4 ]T
作用在 结点上 时，沿坐标负向为正,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 46
C,Stiffness 劲度
C.2 The relation between the element nodal
force and nodal displacements
Isolate an element from the structure,Since
body forces and surface forces are moved to the
nodes,only element nodal forces are the
external forces acting on the element,Impose an
arbitrary virtual nodal displacement, The work
done by the nodal forces is equal to the work
done by the stresses.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 47
C,Stiffness 劲度
C.2 单元结点力和单元结点位移列阵的关系
将单元取出作为隔离体，因为体力面力已
移置到结点上，单元上结点力为外力，应
力为内力。施加一个虚位移，结点力作功
等于应力作功可导得 单元结点力和单元结
点位移的关系
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 48
C.2-continueWe=({?*}e)T {F}e
= [ui vi uj vj um vm] Ui
Vi
Uj
Vj
Um
Vm
= Uiui+Vivi+Ujuj+Vjvj +Umum+Vmvm
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 49
C.2-continue
WI= ?? {?*}T{?}dx dy t=({?*}e )T ??[B]T[D][B]dx dy t {?}e
注,{?*}T {?} =[?x* ?y* rxy* ] ?x = ?x?x*+?y?y*+?xyrxy*
?y
?xy
{?*}=[B]{?*}e {?*}T= ({?*}e)T [B]T
{? }=[D][B]{?}e
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 50
C.2-continueWe=({?*}e)T {F}e
WI= ?? {?*}T{?}dx dy t=({?*}e )T ??[B]T[D][B]dx dy t {?}e
We= WI
({?*}e)T {F}e =({?*}e )T ?? [B]T[D][B]dx dy t {?}e
Since {?*}e is arbitrary,we have
{F}e = ?? [B]T[D][B]dx dy t {?}e=[k] {?}e
[k]= ?? [B]T[D][B]dx dy t = [B]T[D][B]At
[k]-----element stiffness matrix,单元劲度矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 51
C,3 The Explicit Form for Element Stiffness Matrix
C.3 单元 劲度矩阵的表达式
[k]= ?? [B]T[D][B]dx dy t = [B]T[D][B]At
BiT
[k]= BjT D [Bi Bj Bm]At
BmT
BiT D Bi BiT D Bj BiT D Bm
[k]= At BjT D Bi BjT D Bj BjT D Bm
BmT DBi BmT DBj BmT D Bm
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 52
kii kij kim
[k]= kji kjj kjm krs=BrTDBs (r,s=i,j,m)
kmi kmj kmm
brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
krsxx krsxy
krs= krsyx krsyy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 53
C.4 The Physical Explanation for Element Stiffness matrix
C.4 单元 劲度矩阵的物理意义
{F}e=[k]{? }e
Ui kiixx kiixy kijxx kijxy kimxx kimxy ui
Vi kiiyx kiiyy kijyx kijyy kimyx kimyy vi
Uj = kjixx kjixy kjjxx kjjxy kjmxx kjmxy uj
Vj kjiyx kjiyy kjjyx kjjyy kjmyx kjmyy vj
Um kmixx kmixy kmjxx kmjxy kmmxx kmmxy um
Vm kmiyx kmiyy kmjyx kmjyy kmmyx kmmyy vm
kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结
点力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 54
kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结
点力
方向
kijyx
局部结点号
结果 原因
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 55
C,5 The Characteristics of the Element Stiffness
Matrix C.5 单元 劲度矩阵的特点
1,对称矩阵
2,每一行元素之和为零,
Assume {?}e=[ui vi uj vj um vm]T=[1 1 1 1 1 1]T
{F}e=[k]{?}e ={0}
3,每一列元素之和为零,
4,[k]为奇异矩阵。 |k|的各行元素乘 1后加到第一行，
行列式值不变，由于第一行元素全为零，故 |k|=0
5,[k]的元素的数值取决于单元形状，大小，方位和弹
性常数，不随单元的平行移动或作 n?的转动而改变。
n为 正整数。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 56
转动 ?,[k]不变
m j i
i j m
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 57
kii kij kim
[k]= kji kjj kjm krs=BrTDBs (r,s=i,j,m)
kmi kmj kmm
brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
krsxx krsxy
krs= krsyx krsyy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 58
In which,1 x y 1 xi yi
其中,Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj
1 xm ym 1 xm ym
= (ai+bix+ciy) /(2A) (i,j,m)
xj yj 1 yj
ai= xm ym = xjym-xmyj bi= - 1 ym =yj-ym
1 xj
ci= 1 xm =xm-xj (i,j,m)
1 xi yi
2A = 1 xj yj
1 xm ym
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 59
6.5 Element Load Matrix 单元荷载列阵
1,Element load matrix
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
It is positive when it acts in the positive
direction of the corresponding axis.
作用在坐标正向为正。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 60
Yi2
Y1 Xi2 i m
1 X1 j
Xj1 Yj1
y j
Xm m i Xi
Ym Yi x
V1=Vj1+Vi2
单元结点列阵 {R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
作用在 结点上
整体 结点荷载列阵 {R}=[X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 ]T
X1=Xj1+Xi2+R1 Y1=Yj1+Yi2 作用在 结点上 时，沿坐标正向为正,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 61
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T和 {P}=[Px Py]T {p}=[X Y]T
{p}=[X Y]T为静力等效，在虚位移 {f*} =[N]{?*}e上作功
相等
2 we1=({?*}e )T{R}e
we2={f*}T{P}+ ?? {f*}T{p}dx dy t + ?{f*}T{p}ds t
= ({?*}e )T ( [N]T{P}+ ??[N]T{p}dx dy t + ?[N]T{p}ds )
we1= we2
({?*}e )T{R}e =
({?*}e )T([N]T{P}+??[N]T{p}dx dyt+ ?[N]T{p}ds )
{R}e = [N]T{P}+ ?? [N]T{p}dx dy t + ?[N]T{p}ds
note,{f*}=[N]{?*}e {f*}T = ({?*}e )T [N]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 62
{R}e = [N]T{P}+ ?? [N]T{p}dx dy t + ?[N]T{p}ds
Xi NiPx ??NiXdxdy ? NiXds
Yi NiPy ??NiYdxdy ? NiYds
Xj NjPx ??NjXdxdy ? NjXds
Yj = NjPy + t ??NjYdxdy +t ? NjYds
Xm NmPx ??NmXdxdy ? NmXds
Ym NmPy ??NmYdxdy ? NmYds
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 63
Body forces,X=0,Y=-?g {R}e = ?? [N]T{p}dx dy t
Xi ??NiXdxdy 0
Yi ??NiYdxdy -W/3
Xj ??NjXdxdy 0
Yj = t ??NjYdxdy = -W/3
Xm ??NmXdxdy 0
Ym ??NmYdxdy -W/3
note,??Nidxdy=A/3 (i,j,m) W= ?gAt
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 64
ij边上面力 {p}=[X=q Y=0]T {R}e = ? [N]T{p}ds t
Xi ?ijNiXds 1
Yi ?ij NiYds 0
Xj ?ij NjXds 1
Yj = t ?ij NjYds = 0 0.5tqLij
Xm ?ij NmXds 0
Ym ?ij NmYds 0
note,?ij Nids=Lij/2 ?ij Njds= Lij/2 ?ij Nmds=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 65
6.6 global analysis 结构整体分析
? 例：
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 66
example 1---
--A.结点编号和
位移列阵
? 结点的局部号, i j m
? 结点的整体号, 1 2 3 4
? element nodal displacement matrix:
单元结点位移列阵, {?}e=[ui vi uj vj um vm]T
? global nodal displacement matrix:
整体结点位移列阵, {?}=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 67
example 1---
--- B,荷载列阵
? Element load matrix 单元荷载列阵
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
{R}1=[0 0 0.5q2 0 0.5q2 0]T
{R}2=[0 -0.5q1 0 0 0 -0.5q1]T
? global load matrix 整体荷载列阵
{R}=[X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4]T
{R}=[R1+0.5q2 -0.5q1 0.5q2 R2 R3x R3y-0.5q1 R4x R4y]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 68
? Element load matrix 单元荷载列阵
{R}e=[Xi Yi Xj Yj Xm Ym]T
{R}1=[0 0 0.5q2 0 0.5q2 0]T
{R}2=[0 -0.5q1 0 0 0 -0.5q1]T
? global load matrix
整体荷载列阵
X1=Xj)1 +Xi )2 +R1=R1+0.5q2
Y1 = Yj)1 +Yi )2=-0.5q1
X2=Xm)1 =+0.5q2
Y2 = Ym)1 +R2=R2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 69
? 链杆反力不放入单元结点荷载列阵中,放
入整体结点荷载列阵中
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 70
C.单元劲度 brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
y
j
m i x
? bi=yj-ym=1 bj=ym-yi=0 bm=yi-yj=-1
? ci=-xj+xm=0 cj=-xm+xi=1 cm=-xi+xj=-1
? Et/[4(1-?2)A]=18Et/35
? kii=18Et/35 1 0
0 5/12
kij=18Et/35 0 1/6
5/12 0
取 ? =1/6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 71
The Element Stiffness Matrix
单元 劲度矩阵
1 0 0 1/6 -1 -1/6
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
[k]=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1
-1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12
-1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 72
C.4 The Physical Explanation for Element Stiffness matrix
C.4 单元 劲度矩阵的物理意义
{F}e=[k]{? }e
Ui kiixx kiixy kijxx kijxy kimxx kimxy ui
Vi kiiyx kiiyy kijyx kijyy kimyx kimyy vi
Uj = kjixx kjixy kjjxx kjjxy kjmxx kjmxy uj
Vj kjiyx kjiyy kjjyx kjjyy kjmyx kjmyy vj
Um kmixx kmixy kmjxx kmjxy kmmxx kmmxy um
Vm kmiyx kmiyy kmjyx kmjyy kmmyx kmmyy vm
kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结
点力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 73
D.整体 劲度矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 74
D.1 结点 1的平衡
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
?Fx=0,U1=X1 1结点 x方向的结点力等于 x方向的结点荷载
?Fy=0,V1=Y1 1结点 y方向的结点力等于 y方向的结点荷载
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 75
U1=Uj1+Ui2
U1=Uj1+Ui2
= kjjxy)1vj1+kjmxx)1 um1 + kiixy)2vi2
= kjjxy)1v1+kjmxx)1 u2 + kiixy)2v1
=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ] v1 + kjmxx)1 u2
=K11xy v1 + K12xx u2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=0
K12xx = kjmxx)1 =-3Et/14
K11xy K12x 整体劲度矩阵
的元素
? kijyx --j结点 x方向发生单位位移在 i结点 y方向的结点
力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 76
U1=Uj1+Ui2
U1=Uj1+Ui2
= kjjxy)1vj1+kjmxx)1 um1 + kiixy)2vi2
= kjjxy)1v1+kjmxx)1 u2 + kiixy)2v1
=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ] v1 + kjmxx)1 u2
=K11xy v1 + K12xx u2
U1=X1 K11xy v1+K12xx u2 =X1
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=0
K12xx = kjmxx)1 =-3Et/14
K11xy K12x 整体劲度矩阵
的元素
X1=Xj1+Xi2+R1=0.5q2+R1
-3Et/14 u2=0.5q2+R1在无自由度方向建立的方程中有链杆反力,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 77
直接 在自由度为 0方向建立方程求反力
1结点 x方向的平衡方程, ?Fx=0,U1=X1
U1= K11xy v1 + K12xx u2
K11xy v1 + K12xx u2 =X1
X1=R1+0.5q2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=18Et/35 (0+0)=0
K12xx = kjmxx)1=18Et/35 (-5/12)=-3Et/14
-3Et/14 u2= R1+0.5q2
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
R1= -3 (17q2-2q1)/342- 0.5q2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 78
V1=Vj1+Vi2
= kjjyy)1vj1+kjmyx)1 um1+ kiiyy)2vi2
=kjjyy)1v1+kjmyx)1 u2+ kiiyy)2v1
=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ] v1 + kjmyx)1 u2
=K11yy v1 + K12yx u2
in which
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]
=51Et/70
K12yx = kjmyx)1 =-3Et/35
?Fy=0,V1=Y1
K11yy v1 + K12yx u2 =Y1
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1
在有自由度方向建立的方程中无链杆反力,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 79
{F}=[K]{?} [K]--整体劲度矩阵
U1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy u1
V1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
U2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
V2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy v2
U3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy u3
V3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy v3
U4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy u4
V4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy v4
K12yx -2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向结点力
整体结点力列阵, {F}=[U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4]T
整体结点位移列阵, {?}=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 80
K12yx --2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向的
结点力
方向
K12yx
整体结点号
结果 原因
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 81
U1 X1 U1 X1
V1 Y1 V1 Y1
U2 X2 U2 X2
V2 Y2 V2 Y2
U3 = X3 F = U3 R = X3 {F}={R}
V3 Y3 V3 Y3 {F}=[K]{? }
U4 X4 U4 X4 [K]{? }={R}
V4 Y4 V4 Y4
整体结点力列阵, {F}=[U1 V2 U3 V3 U4 V4]T
整体结点荷栽列阵, {R}=[X1 Y2 X3 Y3 X4 Y4]T
整体结点位移列阵, {?}=[u1 v2 u3 v3 u4 v4]T
D.6 所有 结
点的平衡方程
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 82
{F}=[K]{?}
U1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy u1
V1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
U2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
V2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy v2
U3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy u3
V3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy v3
U4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy u4
V4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy v4
K12yx -2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向的
结点力
[K]--整体劲度矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 83
没考虑约束条件时的整体平衡方程
{R}=[K]{?}
X1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy u1
Y1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
X2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
Y2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy v2
X3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy u3
Y3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy v3
X4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy u4
Y4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy v4
K12yx --2结点 x方向发生单位位移在 1结点 y方向的结点力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 84
考虑约束条件后的整体平衡方程
Y1 K11yy K12yx v1
X2 = K21xy K22xx u2
{R}=[K]{?}
X1 K11xx K11xy K12xx K12xy K13xx K13xy K14xx K14xy 0
Y1 K11yx K11yy K12yx K12yy K13yx K13yy K14yx K14yy v1
X2 = K21xx K21xy K22xx K22xy K23xx K23xy K24xx K24xy u2
Y2 K21yx K21yy K22yx K22yy K23yx K23yy K24yx K24yy 0
X3 K31xx K31xy K32xx K32xy K33xx K33xy K34xx K34xy 0
Y3 K31yx K31yy K32yx K32yy K33yx K33yy K34yx K34yy 0
X4 K41xx K41xy K42xx K42xy K43xx K43xy K44xx K44xy 0
Y4 K41yx K41yy K42yx K42yy K43yx K43yy K44yx K44yy 0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 85
[K]--整体劲度矩阵的特点
1,对称矩阵
2,元素集中在主对角线附近，高度稀疏,
3,考虑约束条件后的 [K]为非奇异矩阵
4,考虑约束条件前的 [K]为奇异矩阵
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 86
直接 在自由度方向建立方程求结点位移
1结点 y方向的平衡方程, ?Fy=0,V1=Y1
V1= K11yy v1 + K12yx u2
K11yy v1 + K12yx u2 = Y1
Y1 = -0.5q1
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]=18Et/35 (1+5/12)=51Et/70
K12yx = kjmyx)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1 (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 87
直接 在自由度方向建立方程求结点位移
2结点 x方向的平衡方程, ?Fx=0,U2=X2
U2= K21xy v1 + K22xx u2
K21xy v1 + K22xx u2 =X2
X2=0.5q2
K21xy= kmjxy)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
K22xx = kmmxx)1=18Et/35 (17/12)=51Et/70
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2 (3)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 88
直接 在自由度方向建立方程求结点位移
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1 (2)
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2 (3)
v1 =-7(17q1-2q2) /(171Et)
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 89
The Element Stiffness Matrix
单元 劲度矩阵
1 0 0 1/6 -1 -1/6
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
[k]=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1
-1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12
-1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 90
直接 在自由度为 0方向建立方程求反力
1结点 x方向的平衡方程, ?Fx=0,U1=X1
U1= K11xy v1 + K12xx u2
K11xy v1 + K12xx u2 =X1
X1=R1+0.5q2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=18Et/35 (0+0)=0
K12xx = kjmxx)1=18Et/35 (-5/12)=-3Et/14
-3Et/14 u2= R1+0.5q2
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
R1= -3 (17q2-2q1)/342- 0.5q2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 91
结点平衡问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 92
D.1 结点 1的 x向平衡
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
?Fx=0,U1=X1
U1=Uj1+Ui2 = K11xy v1 + K12xx u2
K11xy v1 + K12xx u2 =X1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 93
U1=Uj1+Ui2
U1=Uj1+Ui2
= kjjxy)1vj1+kjmxx)1 um1 + kiixy)2vi2
= kjjxy)1v1+kjmxx)1 u2 + kiixy)2v1
=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ] v1 + kjmxx)1 u2
=K11xy v1 + K12xx u2
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]
K12xx = kjmxx)1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 94
K11xy K12xx
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
K11xy =kjjxy)1 + kiixy)2=0
K12xx = kjmxx)1=-3Et/14
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 95
D.2 结点 1的 y向平衡
Vi2
Y1 Ui2 i m
U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j
y j
m i xV1=Vj1+Vi2
?Fy=0,V1=Y1
V1=Vj1+Vi2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 96
D.2
结
点
1
的
y
向
平
衡
?Fy=0,V1=Y1
V1=Vj1+Vi2 =K11yy v1 + K12yx u2
K11yy v1 + K12yx u2 =Y1
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ] =51Et/70
K12yx = kjmyx)1)=-3Et/35
Y1=-0.5q1
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 97
D.2
结
点
1
的
y
平
衡
V1=Vj1+Vi2
= kjjyy)1vj1+kjmyx)1 um1+ kiiyy)2vi2
= kjjyy)1v1+kjmyx)1 u2+ kiiyy)2v1
=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ] v1 + kjmyx)1 u2
=K11yy v1 + K12yx u2
in which
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]
=51Et/70
K12yx = kjmyx)1 =-3Et/35
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 98
D.3
结
点
1
的
平
衡
K11xy v1 + K12xx u2 =X1=R1+0.5q2
K11yy v1 + K12yx u2 =Y1=-0.5q1
K11xy=[ kjjxy)1 + kiixy)2 ]=18Et/35 (0+0)=0
K12xx = kjmxx)1=18Et/35 (-5/12)=-3Et/14
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]=18Et/35 (1+5/12)=51Et/70
K12yx = kjmyx)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
-3Et/14 u2= R1+0.5q2
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 99
D.4
结
点
2
的
平
衡
K21xy v1 + K22xx u2 =X2=0.5q2
K21yy v1 + K22yx u2 =Y2=R2
K21xy= kmjxy)1=18Et/35 (-1/6)=-3Et/35
K22xx = kmmxx)1=18Et/35 (17/12)=51Et/70
K21yy=[ kmjyy)1 ]=-18Et/35
K22yx = kmmyx)1=18Et/35 (7/12)=3Et/10
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2
-18Et/35v1 +3Et/10u2 =R2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 100
-3Et/14 u2= R1+0.5q2 (1)
51Et/70 v1 -3Et/35u2 =-0.5q1 (2)
-3Et/35v1+51Et/70 u2= 0.5q2 (3)
-18Et/35v1 +3Et/10u2 =R2 (4)
v1 =-7(17q1-2q2) /(171Et)
u2 =7 (17q2-2q1)/(171Et)
D.5 解 结点 1和 2的平衡方程和求反力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 101
Break 8
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 102
有限元的数据输入
实际
结构
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 103
有限元模型
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 104
1,整体控制类数据：
READ(5,*) NP,NE,NM,NR,NI,NL,NG,ND,NC,ML
6 4 1 5 0 3 0 0 5 0
? NP--结点总数 NE--单元总数
? NM--材料类型数
? NR--约束结点总数
? NI--1 平面应变； 0 平面应力
? NL--受集中荷载结点总数
? NG--1 计算自重； 0 不计自重
? ND--非零已知位移总数
? NC--求支座反力的结点总数
? ML--0 无分布荷载； 1 有分布荷载
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 105
? READ(5,*) ((AE(I,J),I=1,4),J=1,NM)
1.0 0.0 0.0 1.0
? AE(1,J)--第 J种材料的弹性模量
? AE(2,J)-- 第 J种材料的泊松比
? AE(3,J)-- 第 J种材料的体力分量 ?g
? AE(4,J)-- 第 J种材料所在单元厚度 t
注,NM--材料类型数
2,材料数据
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 106
? READ(5,*) (X(I),I=1,NP)----结点 x坐标
0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 2.0
? READ(5,*) (Y(I),I=1,NP)----结点 y坐标
2.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0
注, NP--结点总数
3,结点坐标信息
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 107
? READ(5,*) ((MEO(I,J),I=1,2),J=1,NE)
003001,002001,002004,005001,
003002,005001,005006,003001
? MEO(1,J)--第 J单元 i结点整体号和 j结点整体号,6位
? MEO(2,J)--第 J单元 m结点整体号和材料类型号,6位
? 4,单元信息 --单元
局部号对应的整体
号和单元材料类型
号
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 108
? READ(5,*) (JC(I),I=1,NR)----5 位整数,前三位
为 约束结 点号,第四位为 x向约束情况,第五位
为 y 向约束情况,0为受约束,1为自由,
00101,00201,00400,00510,00610
注, NR--约束结点总数
5,约束信息
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 109
6,荷载信息 --承受集中荷载的结点号和荷载分量
? READ(5,*) (NF(I),I=1,NL)----承受集中荷载的
结点号
1,3,6
? READ(5,*) ((FV(I,J),I=1,2),J=1,NL)
-0.5,-0,5,-1.0,-1.0,-0.5,-0.5
FV(1,J)--x向荷载分量
FV(2,J)--y 向荷载分量
? 注, NL--受集中荷载结点总数
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 110
7,位移信息 --非零已知位移 结 点号和非零已知位
移值
? READ(5,*) (NDI(I),I=1,ND)----非零已知位移
结 点号
ND=0,不填 ND--非零已知位移总数
? READ(5,*) (DV(I,J),I=1,2),J=1,ND)
DV(1,J) ----x向非零已知位移值
DV(2,J) ----y向非零已知位移值
? ND=0,不填
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 111
8.求支
座反
力的
信息
? READ(5,*) ((NCE(I,J),I=1,4),J=1,NC)----求支
座反力的结 点号的相关单元号，如不足 4个，
以零补充。 NC--求支座反力的结点总数
1,0,0,0,1,2,3,0,2,0,0,0
2,3,4,0,4,0,0,0
? READ(5,*)
(NCI(J),
J=1,NC) ----求
支座反力的结
点号
1,2,4,5,6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 112
运行有限元程序
? BBBB
WHAT IS NAME OF INPUT FILE:已输数据文件名
WHAT IS NAME OF OUTPUT FILE:放输出结果的
新文件名
Program terminated!
? 出错信息：
negative area in element 5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 113
有限元的数据输出
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 114
NP=6 NE=4 NM=1 NR=5 NI=0 NL=3 NG=
0 ND=0 NC=5 ML=0
NODES OF APPLIED LOAD ****NF=
1 3 6
LUMPED-LOADS***FV=
-.5 -.5 -1.0 -1.0 -.5 -.5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 115
NODAL FORCES
NODE X-COMP,Y-COMP.
1,000000 -.500000
2,000000,000000
3 -1.000000 -1.000000
4,000000,000000
5,000000,000000
6 -.500000,000000
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 116
NODAL DISPLACEMENTS
NODE X-COMP,Y-COMP.
1,000000 -2.000000
2,000000 -1.000000
3 -1.000000 -1.000000
4,000000,000000
5 -1.000000,000000
6 -2.000000,000000
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 117
ELEMENT STRESSES
ELEMENT Y-STRESS MAX-STRESS ANGLE
X-STRESS XY-STRESS MIN-STRESS
1 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0 90.0
2 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0,0
3 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0 90.0
4 -1.0 -1.0,0 -1.0 -1.0 90.0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 118
NODAL REACTIONS
NODE X-COMP Y-COMP
1,000 -.500
2 1.000,000
4,500,500
5,000 1.000
6 -.500,000
? 注：未包括结点荷载引起的反力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 119
6.7 解题的具体步骤 单元划分
一, 解题的具体步骤
1.划单元,编号
2.输入数据,计算
3.成果整理 x
二,单元大小数量 y
1.计算对象的形状,大小和受力特点
2.工程精度要求
3.计算机容量
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 120
三,单元划分宜密部位
? 应力和位移需详细了解部位
? 边界曲折部位,厚度突变部位
? 荷载突变部位
四,结点和单元界线布置
? 不同材料交界线作为单元界线
? 几何形状突变处作为结点
? 荷载突变处和集中荷载作用点作为结点
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 121
五,单元形态
? 单元三个内角接近相等为好
六,结点编号
? [K]为 对称矩阵,高度稀疏,元素集中在主对
角线附近，呈带状分布，一行中第一个非零元
素到最后一个非零元素间的元素个数叫带宽。
只存带宽内元素。
? 编号原则,1.连续编号, 2,使带宽最小,相关结
点编号之差尽可能小,尺寸小方向编号,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 122
6.8 计算成果的整理
一, 位移成果的整理
1,x向位移等值线图
2,y向位移等值线图
3,若干剖面位移图
二, 应力成果的整理
1,?x 等值线图 2,?y 等值线图 3,?xy 等值线图
4,主应力等值线图 5.若干剖面应力图
三, 应力的表征点
1.单元的常量应力认为是单元形心处的应力,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 123
6.8 计算成果的整理
2,绕结点平均法, 围绕某结点的所有单元的应力
平均值作为该结点的应力。
3,二单元平均法：同材料两相邻单元的应力平均，
用来表征两相邻单元公共边中点的应力。
4,边界结点应力,用三个内点的应力抛物线插值
得,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 124
习题,P159,6-4
上机实习：
1,输入数据的例题
2.习题,P159,6-4
3,自选一小型题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 125
Shear stress trajectories in a cantilever beam
悬臂梁的剪应力轨迹线
单位宽度悬臂梁，梁高为 2h,梁
长 L=4h,端部受集中力 P作用，
假设可按材力公式计算应力，
试证明最大 剪应力为：
Max?xy = ?xy* P/ h,其中
?xy* =0.75 ? y12(4x1-4)2+(1-y12)2
y1=y/h x1=x/L 编程绘出
?xy* = 0.75,1,1.5,2,2.5,3的应力轨
迹线,y1的间隔取 0.02
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 126
Break 9
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 127
6-4 Find node displacements and support
reactions(node 1),It is a plane problems with ?=1/6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 128
C.单元劲度 brbs+(1-?)crcs/2 ?brcs +(1-?)crbs/2
krs=Et/[4(1-?2)A] ?crbs+(1-?)brcs/2 crcs +(1-?)brbs/2
(r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题 )
y
j
m i x
? bi=yj-ym=1 bj=ym-yi=0 bm=yi-yj=-1
? ci=-xj+xm=0 cj=-xm+xi=1 cm=-xi+xj=-1
? Et/[4(1-?2)A]=18Et/35
? kii=18Et/35 1 0
0 5/12
kij=18Et/35 0 1/6
5/12 0
取 ? =1/6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 129
The Element Stiffness Matrix
单元 劲度矩阵
1 0 0 1/6 -1 -1/6
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12
[k]=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1
-1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12
-1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 130
K11yy v1 + K12yy v2 =Y1=-0.5p
K21yy v1 + K22yy u2 =Y2=0
K11yy=[ kjjyy)1 + kiiyy)2 ]
=18Et/35 (1+5/12)=(18Et/35)(17/12)
K12yy = kjmyy)1=18Et/35 (-1)
K21yy= kmjyy)1=18Et/35 (-1)
K22yy = kmmyy)1+ kiiyy)3
=18Et/35 (17/12+5/12)
=(18Et/35)(22/12)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 131
18Et/35(17/12 v1 - v2) =-0.5P (2)
18Et/35(-v1+22/12 v2)= 0 (3)
v1 =-77P /(69Et)
v2 =-14P/(23Et)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 132
K41=[ kij)1 + kji)2 ]
0 7/12
=18Et/35 7/12 0
K42=[ kim)1 + kmi)3 ]
-2 -7/12
=18Et/35 -7/12 -10/12
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学第六章有限元 133
R4x = K41xyv1+K42xyv2
=18Et/35[7/12× (-77P/69Et)-
7/12× (-14P/23Et)]=-7P/46
R4y = K41yyv1+K42yyv2
=18Et/35[0-10/12× (-
14P/23Et)]=6P/23
0 7/12 K41xx K41xy
K41 =18Et/35 7/12 0 = K41yx K41yy
-2 -7/12 K42xx K42xy
K42=18Et/35 -7/12 -10/12 = K42yx K42yy
