徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 1
Chapter 3 solution of plane problems
in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials
3.1 多项式解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 2
Review,Inverse method 逆解法
? Select ? satisfying the compatibility equation
设定 ?，并 满足相容方程 ?4 ? =0 (2.12.11)
? find the stress components by 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2-Xx ?y=?2?/?x2-Yy
?xy=-?2?/?x?y (2.12.10)
? find the surface force components by
由下式对给定坐标的物体求出面力分量
(l?x+m ?yx)s = X (m?y+l?xy)s =Y (2.7.2)
? Identify the problem which the ? selected can solve
确定所 设定的 ? 能解决的问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 3
A,?=a+bx+cy,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? find the surface force components by
(l?x+m ?yx)s=X=0 (m?y+l?xy)s =Y=0
? a linear stress function corresponds to the case
of no surface forces and no stress,
? The superposition of a linear function to the
stress function for any problem does not affect
the stresses.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 4
A,?=a+bx+cy,X=0 Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? 由下式对给定坐标的物体求出面力分量
(l?x+m ?yx)s=X=0 (m?y+l?xy)s =Y=0
? 确定所 设定的 ? 能解决的问题为：任意物体无
体力，无面力，无应力。
? 应力函数加或减一个线性项不影响应力。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 5
B,?=ax2,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=2a ?xy=-?2?/?x?y=0
? for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes,find the surface force
components by (l?x+m ?yx)s=X
(m?y+l?xy)s =Y
? the stress function ?=ax2 can solve the problem
of uniform tension (a>0) or uniform
compression (a<0) of a rectangular plate in y
direction,P37 Fig.3.1.1(a)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 6
B,?=ax2,X=0,Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=2a ?xy=-?2?/?x?y=0
? 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
?=ax2 能解决矩形板 y向受均匀拉力 (a>0)或 均
匀压力 (a<0)的问题。 P37 Fig.3.1.1(a)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 7
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 8
C,?=cy2,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=2c ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes,find the surface force
components by (l?x+m ?yx)s=X
(m?y+l?xy)s =Y
? the stress function ?=cy2 can solve the problem
of uniform tension (c>0) or uniform
compression (c<0) of a rectangular plate in x
direction,P37 Fig.3.1.1(c)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 9
C,?=cy2,X=0,Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2= 2c ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
?=cy2 能解决矩形板 x向受均匀拉力 (c>0)或 均
匀压力 (c<0)的问题。 P37 Fig.3.1.1(c)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 10
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 11
D,?=bxy,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=-b
? for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes,find the surface force
components by
(l?x+m ?yx)s=X (m?y+l?xy)s =Y
? the stress function ?=bxy can solve the problem
of a rectangular plate in pure shear,P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 12
D,?=bxy,X=0,Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=-b
? 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
?= bxy 能解决矩形板受 纯剪作用。 P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 13
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 14
E,?=ay3,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation
满足相容方程 ?4 ? =0
? Find the stress components by
由下式求出应力分量 ?x=?2?/?y2=6ay
?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? For a rectangular plate shown in fig.1,find the
surface force components shown in fig.1对 矩形
板求出面力分量，如图 1所示。
? Solve the problem of pure bending of a
rectangular beam,矩形板纯弯曲问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 15
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 16
E,?=ay3,X=0,Y=0
? Fig 1
? Fig 2
? statically equivalent systems 静力等效 a=2M/h3
? ?x=6ay=12My/h3=My/I I=h3/12 ?y= 0 ?xy=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 17
3.2 Determination of displacements when
?x=My/I ?y= 0 ?xy=0 位移的确定
? In the case of plane stress,substitution of
stresses into the physical equations(2.6.4)
yields
平面应力问题，将应力代入物理方程得
应变
?x=[?x- ??y]/E =My/(EI)
?y=[?y- ??x]/E = - ?My/(EI)
rxy=?xy/G =0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 18
Integration of geometrical equations
?x=?u/?x ?y=?v/?y rxy=?u/?y+?v/?x
几何方程的积分
? substitution of strains into the
geometrical equations (2.4.6) yields
将应变代入几何方程
?u/?x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y)
?v/?y = -?My/(EI) v= -?My2/(2EI)+g(x)
?u/?y+?v/?x=0
-df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 19
? =?u/?y= Mx/(EI)- ? ----the cross section
remains plane after bending 横截面弯曲变形后仍
为平面。
1/? = ? 2v/?x2 =- M/(EI) ----all the longitudinal
lines will have the same curvature曲率相同
Separation of variables 分离变量
-df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)=?
? -df(y)/dy=? f(y)=- ?y+u0
? dg(x)/dx+Mx/(EI)=?
g(x)= - Mx2/(2EI)+?x+v0
? u=Mxy/(EI)- ?y+u0 (3.2.5)
v= -?My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+?x+v0 (3.2.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 20
Review,Rigid-body displacements--
displacements corresponding to zero strains
刚体位移 --应变为零时的位移
? u= - ?y +u0 v=?x+v0
? u0--the rigid-body translation in the x direction
x向刚体平动
? v0--the rigid-body translation in the y direction
y向刚体平动
? ? --the rigid-body rotation of the body about z
axis.绕 z 轴的刚体转动
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 21
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 22
Simply supported beam 简支梁
? u=Mxy/(EI)- ?y+u0 (3.2.5)
v= -?My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+?x+v0 (3.2.6)
? u(0,0)=0 u0=0
? v(0,0)=0 v0=0
? v(L,0)=0 ? = ML/(2EI)
? u=Mxy/(EI)- MLy /(2EI) (3.2.8)
v=-?My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+M?x/(2EI)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 23
3.3 Bending of a simple beam under uniform
load简支梁在均布荷载作用下的弯曲
? A simple beam,length 2L,depth h,uniform
load q,P41 fig.3.3.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 24
Semi-inverse method,半逆解法
assume 假定 ?y=?2?/?x2=f(y)
? Successive integration with respect to x yields
对 x连续积分二次得 ??/?x=xf(y) +f1(y)
?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
? substitution of ? into compatibility equation
(?4/?x4+2?4/?x2?y2 +?4/?y4)?=0 (2.12.11) yields
将 ?代入相容方程得：
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 25
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
? X2,f(4)(y)=0 f=Ay3+By2+Cy+D
? x1,f1(4)(y)=0 f1 =Ey3+Fy2+Gy
? x0,f2(4)(y)+2f”(y)=0
f2(4)(y)=-2f”(y)=-12Ay-4B
f2(y)=-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2
? ?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
= x2/2 (Ay3+By2+Cy+D)+x (Ey3+Fy2+Gy)+
(-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2) (3.3.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 26
find the stress components by由下式求应力
?x=?2?/?y2 ?y=?2?/?x2 ?xy=-?2?/?x?y
? ?x=0.5x2(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)+(-2Ay3-
2By2 + 6Hy+2K)
? ?y= Ay3+By2+Cy+D
? ?xy=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 27
The condition of symmetry-----the stress
distribution must symmetric with respect to
the yz plane ( a plane of symmetry )
对称条件 --应力对称分布
? ? -------even function of x x的偶函数
? ?x ?y ---even function of x x 的偶函数
? ?xy ------odd function of x x的奇函数
? E=F=G=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 28
Boundary conditions on y=?h/2
y=?h/2的 边界条件
?y)y=h/2 = 0 ?y)y=-h/2 =-q ?xy)y=?h/2 =0
A=-2q/h3 B=0 C=3q/(2h) D=-q/2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 29
? ?-h/2h/2?x)x=Ldy = 0 H=qL2/h3- q/(10h)
? ?-h/2h/2?x)x=L y dy = 0 K=0
? ?-h/2h/2?xy)x=L dy =-qL satisfied automatically自动满足
Boundary conditions on x=?L due to symmetry,we we
are only required to consider either of the two ends,
x=?L的 边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 30
Solution of stresses 应力的解答
? ?x=My/I+qy/h(4y2/h2-3/5）
? ?y=q/2(1+y/h)(1-2y/h)2
? ?xy=-6qx/h3 (h2/4-y2) Notes:
? 1.the first term of ?x is the same as given in
mechanics of materials,?x 的第一项同材料力学
? 2,The crushing stress ?y is only considered in
elasticity and not in mechanics of materials.
挤压应力 ?y材料力学中不考虑
? 3.?xy is the same as given in mechanics of
materials., 材力弹力 ?xy 相同 4.p45 Fig.3.3.2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 31
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 32
About second term of ?x,?x的 第二项
? ?x=My/I+qy/h(4y2/h2-3/5）
? x=0,y=h/2,M=qL2/2
ratio=second term/first term=第二项 /第一
项 ={q0.5(1-3/5)}/{0.5qL212/h3 h0.5}
=1/[15L2/h2]
ratio= 1/15 L/h=1
ratio= 1/60 L/h=2
ratio= 1/375 L/h=5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 33
About crushing stress ?y 挤压应力 ?y
? ?y=q/2(1+y/h)(1-2y/h)2
? x=0,y=-h/2,?x=-3qL2/h2,?y=- q
ratio= ?x /?y= 3L2/h2
ratio= 3 L/h=1
ratio= 12 L/h=2
ratio= 75 L/h=5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 34
?x=My/I+qy/h(4y2/h2-3/5）
?xy=-6qx/h3 (h2/4-y2)
绘 x=L处 ?x图 ?xy图和证明
? ?-h/2h/2 ?x)x=Ldy = 0
? ?-h/2h/2 ?x)x=L y dy = 0
? ?-h/2h/2 ?xy)x=L dy =-qL
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 35
solution of plane stress boundary problem in terms
of stress function in the case of constant body forces
常体力应力边界问题按应力函数求解的公式
? ?4 ? =0 (2.12.11)
? ?x=?2?/?y2-Xx ?y=?2?/?x2-Yy
?xy=-?2?/?x?y (2.12.10)
? (l?x+m ?yx)s = X (m?y+l?xy)s =Y (2.7.2)
? no displacement boundary condition无位移边界条件
? the condition of single-valued displacements for
multiply connected body 多连体的位移单值条件
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 36
确定应力中常数的方法：
? 有对称条件，可用对称条件确定部分常
数，也可不考虑对称条件,
? 先考虑大边界，后考虑小边界。
? 大边界只能用精确边界条件。
? 小边界可先用精确边界条件，如不能满
足，改用近似边界条件。也可直接用近
似边界条件。
? 所有边均满足边条后，最后的小边界自
动满足，作为校合。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 37
3.4 Triangular gravity wall 三角形重力墙
? P46 Fig.3.4.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 38
Dimension analysis 因次分析
? The dimension of stress is [force][length]-2
? rg--- ?g----[force][length]-3
? x-----[length] y-----[length]
? ?-----dimensionless
? The stresses must be combinations of
expressions in the form of A?gx,B?gy,Crgx,
Drgy,? must be a polynomial of the third degree
and we may assume
?=ax3+bx2y+cxy2 +ey3
? ?4? =0 It is satisfied.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 39
Dimension analysis 因次分析
? 应力的因次是 [力 ][长度 ]-2
? rg--- ?g----[力 ][长度 ]-3
? x-----[长度 ] y-----[长度 ] 影响应力所有因素
? ?-----无因次
? 应力必须是 A?gx,B?gy,Crgx,Drgy的组合, ?必
须是纯三次多项式。故假定：
?=ax3+bx2y+cxy2 +ey3
? ?4 ? =0 满足
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 40
The stress components given by Eqs,(2.12.10) will be
由式 (2.12.10)从 应力函数求应力
? ?x=?2?/?y2-Xx=2cx+6ey
?y=?2?/?x2-Yy=6ax+2by- ?gy (3.4.2)
?xy=-?2?/?x?y=-2bx-2cy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 41
?x=2cx+6ey ?y=6ax+2by- ?gy ?xy=-2bx-2cy
? x=0,?x=-rgy e=-rg/6 ?xy=0 c=0
? x=y tan?,l?x+m?yx=0 m?y+l?xy=0 in
which l=cos? m=-sin? a= b=
? solution,p48 (3.4.5) p46 Fig.3.4.1
Boundary
conditions:
边界条件,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 42
? P46 Fig.3.4.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 43
Break 6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 44
习题作业（英文书）
? 2.13.1
? 2.13.2
? 3.7.2
? 3.7.4
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 45
Chapter three
Exercise
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 46
???
?
???
? ??
???
?
???
? ????
h
y
h
yqy
h
y
h
yqx
3
32
3
32
2
10
134
4
?
3,2 试证,下式
能满足相容方程，并考察它在图 3-2所示矩形
板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的
长为 l，深度为 h，体力不计）。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 47
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 48
证明：因为 ?4?/?x4=0
34
4 24
h
qy
y ??
? ?
能满足相容方程
322
4 24
2 h qyyx ???? ? ?
024242 3322
4
4
4
2
4
????? ??????? h qyh qyyxyx ???
h
qy
h
qy
h
yqx
yx 5
346
3
3
3
2
2
2
??????? ?? 22
32
3
3
2
2 q
h
qy
h
qy
xy ??
??
?
?? ??
h
qx
h
q x y
yxxy 2
36
3
22
??????? ??
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 49
y=?h/2,?y)y=h/2 = 0 ?y)y=-h/2 =-q ?xy)y=?h/2 =0
即上边界受均布压力为 q，下边界没有面力
x=0,?xy)x=0 =0
?-h/2h/2 ?x)x=0dy = 0
?-h/2h/2 ?x)x=0 ydy = 0
左边界 y向面力为 0,x向 面力的合力和合力矩为 0
22
32
3
3
2
2 q
h
qy
h
qy
xy ??
??
?
?? ??
h
qx
h
q x y
yxxy 2
36
3
22
??????? ??
h
qy
h
qy
h
yqx
yx 5
346
3
3
3
2
2
2
??????? ??
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 50
x=L,?-h/2h/2 ?x)x=Ldy = 0
?-h/2h/2 ?x)x=L y dy = 0.5qL2
?-h/2h/2 ?xy)x=L dy =-qL
右边界 y向面力为 -qL,x向 面力的合力为 0,合力
矩为 0.5qL2
能解决悬臂架在上边界受均布荷载 q的问题
22
32
3
3
2
2 q
h
qy
h
qy
xy ??
??
?
?? ??
h
qx
h
q x y
yxxy 2
36
3
22
??????? ??
h
qy
h
qy
h
yqx
yx 5
346
3
3
3
2
2
2
??????? ??
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 51
3.7.1 The simple beam shown in
Fig.3.3.1 is loaded by its own
weight instead of the load q,and
the density of the beam is ρ,
Find the stress components by
using the stress function (3.3.1).
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 52
Bending of a simple beam under uniform
body force简支梁在体力作用下的弯曲
? A simple beam,length 2L,depth h,
? 体力 X=0 Y=ρ g
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 53
Semi-inverse method,半逆解法
assume 假定 ?y=?2?/?x2=f(y)
? Successive integration with respect to y yields
对 x连续积分二次得 ??/?x=xf(y) +f1(y)
?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
? substitution of ? into compatibility equation
(?4/?x4+2?4/?x2?y2 +?4/?y4)?=0 (2.12.11) yields
将 ?代入相容方程得：
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 54
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
? X2,f(4)(y)=0 f=Ay3+By2+Cy+D
? x1,f1(4)(y)=0 f1 =Ey3+Fy2+Gy
? x0,f2(4)(y)+2f”(y)=0
f2(4)(y)=-2f”(y)=-12Ay-4B
f2(y)=-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2
? ?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
= x2/2 (Ay3+By2+Cy+D)+x (Ey3+Fy2+Gy)+
(-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2) (3.3.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 55
find the stress components by由下式求应力
?x=?2?/?y2 ?y=?2?/?x2 -ρ gy?xy=-?2?/?x?y
? ?x=0.5x2(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)+(-2Ay3-
2By2 + 6Hy+2K)
? ?y= Ay3+By2+Cy+D -ρ gy
? ?xy=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 56
The condition of symmetry-----the stress
distribution must symmetric with respect to
the yz plane ( a plane of symmetry )
对称条件 --应力对称分布
? ? -------even function of x x的偶函数
? ?x ?y ---even function of x x 的偶函数
? ?xy ------odd function of x x的奇函数
? E=F=G=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 57
Boundary conditions on y=?h/2
y=?h/2的 边界条件
?y)y=h/2 = 0 ?y)y=-h/2 =0 ?xy)y=?h/2 =0
h3A/8+(B-2ρ gl)h2/4+(C-ρ glh)h/2+D=0
-h3A/8+(B-2ρ gl)h2/4-(C-ρ glh)h/2+D=0
3Ah2/4+Bh+C=0
3Ah2/4-Bh+C=0
解得 A=-2ρ gl /h B=0
C=3ρ glh/2 D=ρ glh2/2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 58
? 在 x=l处,
(1) σx为平衡力系，即
?-h/2h/2 ?x)x=Ldy = 0
?-h/2h/2 ?x)x=L y dy = 0
解得 K=0,H=ρ gl3/h-ρ glh/10
(2) ?-h/2h/2 ?xy)x=L dy = -ρ g hL 满足
Boundary conditions on x=?L due to symmetry,we we
are only required to consider either of the two ends,
x=?L的 边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 59
所以方程为：
σx=-6ρ glx2y/h+4ρ gly3/h
+6ρ gl3y/h-3ρ glhy/5
σy=-2ρ gly3/h-2ρ gly2-ρ glhy/2+ρ glh2/2
?xy =x(6ρ gly2/h-3ρ glh/2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 60
3.7.2设有矩形截面竖柱，密度为 ρ,在
一边侧面上受均布剪力 q，试求应力分量
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 61
? 解：由题假设,σx= 0 = ?2υ/ ?y2
积分得,?υ/ ?y=f1(x)
再积分得,υ=y f1(x)+ f2(x)
? 将上式代入相容方程
?4υ/ ?x4 +2?4υ/ ?y2 ?x2 +?4υ/ ?y4=0
因为,?4υ/ ?x4 =yd4f1(x)/dx4+ d4f2(x)/dx4
?4υ/ ?y4=0 ?4υ/ ?y2 ?x2 =0
∴ yd4f1(x)/dx4 + d4f2(x)/dx4 =0
∴ y1,d4f1(x)/dx4=0 f1(x)=Ax3+Bx2+Cx
y0,d4f2(x)/dx4 =0 f2(x)=Dx3+Ex2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 62
? Φ=y(Ax3+Bx2+Cx)+ Dx3+Ex2
? σx =?2υ/ ?y2 –Xx = 0
σy=?2υ/ ?x2 –Yy =y(6Ax+2B)+6Dx+2E-ρgy
τxy=- ?2υ/ ?y?x =-(3Ax2+2Bx+C)
? 考虑边界条件
? x=0, σx / x =0= 0 自动满足
τxy / x =0= 0 c=0
? x=h,σx / x =h= 0 自动满足
τxy / x =h=q -(3Ah2 +2Bh) =q (1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 63
y=0的小边界,方法 1,不能精确满足时用 圣维南原理
(1) y方向, σy/y =0=0 6Dx+2E=0 即 D=E=0
精确满足
(2)x方向, τxy /y=0=0 3Ax2+2Bx=0 A=B=0
和式（ 1）矛盾,不能精确满足，使用圣维南原理
∫0h τxy /y=0dx=0 即 ∫0h -(3Ax 2 +2Bx+C)dx=0
∴ Ah+B=0 (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 64
y=0的小边界, 方法 2,直接 用 圣维南原理
(1) y方向, ∫0h σy/y =0dx=0 ∫0h (6Dx+2E)dx=0
3Dh+2E=0 (a)
∫0h σy/y =0xdx=0 ∫0h (6Dx2+2Ex)dx=0
2Dh+E=0 (b)
解 (a)(b)得 D=E=0
(2)x方向, ∫0h τxy /y=0dx=0
即 ∫0h -(3Ax 2 +2Bx+C)dx=0
∴ Ah+B=0 (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 65
? 由 (1)(2)得 A=-q/h2 B= q/h
? 将 A=-q/h2 B= q/h C=D=E=0代入应力表达式
σx= 0
σy=y(-6q/h 2 +2q/h-ρg)
τxy = x 23q/h 2 –2xq/h
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 66
本题不讲
3-5.挡水墙密度为 ρ, 厚度为 h,水的密度为 γ
,试求应力分量 。
解：设 σ y=xf(y)，
则有 σ y=?2φ /?x2=xf(y)，
两边对 x积分得：
?φ /?x=x2f(y)/2+f1(y) （ a）
φ =x3f(y)/6+xf1(y)+f2(y) (b)
式中 f1,f2为待定函数 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 67
υ =x3f(y)/6+xf1(y)+f2(y) (b),
则有 ex4υ /ex4=0,e4υ /ex2ey2=xd2f(y)/dy2
e4υ /ey4=x3d4f(y)/6dy4+xd4f1(y)/dy4+d4f2(y)/dy4
应满足相容方程：
x3d4f(y)/6dy4+ x[d2f(y)/dy2+d4f1(y)/dy4]+
d4f2(y)/dy4=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 68
x3d4f(y)/6dy4+ x[d2f(y)/dy2+d4f1(y)/dy4]+
d4f2(y)/dy4=0
对于全梁内的 x,相容方程都应满足 。 所以系数与自由项
皆为零 。
即 d4f(y)/dy4=0 ⑴, d2f(y)/dy2+d4f1(y)/dy4=0 ⑵
,d4f2(y)/dy4=0 ⑶
⑴, ⑶ 方程要求 f(y)=Ay3+By2+Cy+D=0 （ c）
f2(y)=Ey3+Fy2+Ly+M, 由于常数
项与一次项不影响应力分量, f2(y) 可表示为
f2(y)= Ey3+Fy2（ d）
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 69
方程 （ 2） 要求,d4f1(y)/dy4=-d2f(y)/dy2=-12Ay-4B
则 f2(y)=（ -Ay5/10） +（ -By4/6） +Gy3+Hy2+Ky （ e）,
常数项不影响应力分量, 略去 。
将 c,d,e代入 b得：
υ =x3(Ay3+By2+Cy+D)+x[ （ -Ay5/10 ） + （ -By4/6 ）
+Gy3+Hy2+Ky]+ Ey3+Fy2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 70
υ =x3(Ay3+By2+Cy+D)+x[（ -Ay5/10） +（ -By4/6）
+Gy3+Hy2+Ky]+ Ey3+Fy2
由 （ 2-23） 式：
σ x=e2υ /ey2=x3(6Ay+2B)/6+x(-2Ay3-
2By2+6Gy+2H)+6Ey+2F-ρ gx（ ）
σ y=e2υ /ex2=x(Ay3+By2+Cy+D)（ ）
τ xy=-e2υ /exey=-x2(3Ay2+2By+C)/2+Ay4/2+2By3/3-
3Gy2-2Hy-K（ ）
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 71
这些赢利分量满足平衡微分方程和相容方程, 现考察
能否满足应力边界条件 。
左面, y=h/2,应力边界条件为 （ σ y|y=h/2） =-
γ gx,（ τ yx| y=h/2） =0
则有 Ah3/8+Bh2/4+Ch/2+D=-γ g ①
-x2(3Ah2/4+2Bh/2+C)/2+Ah4/32+2Bh3/24-3Gh2/4-
Hh-K=0 ②
右面, y=-h/2,应力边界条件为 （ σ y|y=-h/2） =0
,（ τ yx| y=-h/2） =0
则有 -Ah3/8+Bh2/4+ （ -Ch/2 ） +D=0
③
-x2(3Ah2/4+（ -2Bh/2） +C)/2+Ah4/32+（ -2Bh3/24） -
3Gh2/4+Hh-K=0 ④
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 72
方程 ②, ④ 对全梁 x都满足, 所以系数与常数项都为
零 。
② –④ 得,-x2Bh+Bh3/6-2Hh=0 解得,B=0,H=0。
① +③ 得,2D=-γ g 解得,D=-γ g/2
将 B,D值代入 ① 得,Ah3/8+C/2=-γ g/2 ⑤
④ 式 x前系数为零得,3Ah2/4+C=0 ⑥
联立 ⑤, ⑥ 得,A=2γ g/ h3,C=-3γ g/2h
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 73
上端, 应力边界应满足 （ σ x∣x= 0） =0,（
τ xy∣x= 0） =0,显然不能精确满足 。
利用圣维南原理,在 -h/2到 h/2积分得：
∫ (σ x） x=0dy=0,∫ （ σ x） x=0ydy=0,∫ （ τ xy）
x=0dy=0
由此可得,∫ （ 6Ey+2F） dy=0 积
分后得,F=0
∫ 6Ey2dy=0 积分后得,E=0
∫ （ Ah4/32-3Gh2/4-K ） =0 积分后 得,γ gh/80-
Gh2/4-K=0 ⑦
② +④ 得,γ gh/8-3Gh2/2-2K=0
联立, 得,G=γ g/10h,K=γ gh/80。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 74
将以上系数代入 （ ） （ ） （ ） 得：
σ x=2γ gx3y/h3+3γ gxy/5h-4γ xy3g/h3-ρ gx
σ y=γ gx（ 2y2/h3-3y/2h-1/2）
τ xy=-γ gx2（ 3y2/h3-3/4h ） - γ gy[(-
y3/3h)+3y/10h-h/80y].
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 75
3.7.4设图中的三角形只受重力作用，而梁
的密度为 ρ,试用三次式的应力函数求解
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 76
? 解,由题知,设 Φ为 纯三次式
设 Φ=ax3+bx2y+cxy2+dy3
? ∴ σx =?2υ/ ?y2 -Xx =2cx+6dy
σy =?2υ/ ?x2 -Yy =6ax+2by-ρgy
τxy = -?2υ/ ?x ?y=-2bx-2cy
? 考虑边界条件
? 顶面 y=0,(σy ) y=0 =6ax=0 →a=0
(τyx ) y=0 =2bx=0 →b=0
? 斜面 y=x tanα l=-sinα m=cosα
[l(σx) +m(τxy )] y=xtanα =0
[m(σy) +l(τxy )] y=xtanα =0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 77
? ∴ -sinα(2cx+6dy)+cosα(-2cy)=0
cosα(-ρgy)+(-sinα)(-2cy)=0
解得 c=(ρ g ctgα )/2 d=-(ρ g ctg2α )/3
? ∴ σx =ρ gx ctgα -2ρ gy ctg2α
σy= -ρ gy
τxy = -ρ gy ctgα
Chapter 3 solution of plane problems
in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials
3.1 多项式解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 2
Review,Inverse method 逆解法
? Select ? satisfying the compatibility equation
设定 ?，并 满足相容方程 ?4 ? =0 (2.12.11)
? find the stress components by 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2-Xx ?y=?2?/?x2-Yy
?xy=-?2?/?x?y (2.12.10)
? find the surface force components by
由下式对给定坐标的物体求出面力分量
(l?x+m ?yx)s = X (m?y+l?xy)s =Y (2.7.2)
? Identify the problem which the ? selected can solve
确定所 设定的 ? 能解决的问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 3
A,?=a+bx+cy,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? find the surface force components by
(l?x+m ?yx)s=X=0 (m?y+l?xy)s =Y=0
? a linear stress function corresponds to the case
of no surface forces and no stress,
? The superposition of a linear function to the
stress function for any problem does not affect
the stresses.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 4
A,?=a+bx+cy,X=0 Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? 由下式对给定坐标的物体求出面力分量
(l?x+m ?yx)s=X=0 (m?y+l?xy)s =Y=0
? 确定所 设定的 ? 能解决的问题为：任意物体无
体力，无面力，无应力。
? 应力函数加或减一个线性项不影响应力。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 5
B,?=ax2,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=2a ?xy=-?2?/?x?y=0
? for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes,find the surface force
components by (l?x+m ?yx)s=X
(m?y+l?xy)s =Y
? the stress function ?=ax2 can solve the problem
of uniform tension (a>0) or uniform
compression (a<0) of a rectangular plate in y
direction,P37 Fig.3.1.1(a)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 6
B,?=ax2,X=0,Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=2a ?xy=-?2?/?x?y=0
? 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
?=ax2 能解决矩形板 y向受均匀拉力 (a>0)或 均
匀压力 (a<0)的问题。 P37 Fig.3.1.1(a)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 7
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 8
C,?=cy2,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=2c ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes,find the surface force
components by (l?x+m ?yx)s=X
(m?y+l?xy)s =Y
? the stress function ?=cy2 can solve the problem
of uniform tension (c>0) or uniform
compression (c<0) of a rectangular plate in x
direction,P37 Fig.3.1.1(c)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 9
C,?=cy2,X=0,Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2= 2c ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
?=cy2 能解决矩形板 x向受均匀拉力 (c>0)或 均
匀压力 (c<0)的问题。 P37 Fig.3.1.1(c)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 10
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 11
D,?=bxy,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation ?4 ? =0
? find the stress components by
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=-b
? for a rectangular plate with its edges parallel to
the coordinate axes,find the surface force
components by
(l?x+m ?yx)s=X (m?y+l?xy)s =Y
? the stress function ?=bxy can solve the problem
of a rectangular plate in pure shear,P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 12
D,?=bxy,X=0,Y=0
? 满足相容方程 ?4 ? =0
? 由下式求出应力分量
?x=?2?/?y2=0 ?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=-b
? 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
?= bxy 能解决矩形板受 纯剪作用。 P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 13
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 14
E,?=ay3,X=0,Y=0
? It satisfies the compatibility equation
满足相容方程 ?4 ? =0
? Find the stress components by
由下式求出应力分量 ?x=?2?/?y2=6ay
?y=?2?/?x2=0 ?xy=-?2?/?x?y=0
? For a rectangular plate shown in fig.1,find the
surface force components shown in fig.1对 矩形
板求出面力分量，如图 1所示。
? Solve the problem of pure bending of a
rectangular beam,矩形板纯弯曲问题
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 15
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 16
E,?=ay3,X=0,Y=0
? Fig 1
? Fig 2
? statically equivalent systems 静力等效 a=2M/h3
? ?x=6ay=12My/h3=My/I I=h3/12 ?y= 0 ?xy=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 17
3.2 Determination of displacements when
?x=My/I ?y= 0 ?xy=0 位移的确定
? In the case of plane stress,substitution of
stresses into the physical equations(2.6.4)
yields
平面应力问题，将应力代入物理方程得
应变
?x=[?x- ??y]/E =My/(EI)
?y=[?y- ??x]/E = - ?My/(EI)
rxy=?xy/G =0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 18
Integration of geometrical equations
?x=?u/?x ?y=?v/?y rxy=?u/?y+?v/?x
几何方程的积分
? substitution of strains into the
geometrical equations (2.4.6) yields
将应变代入几何方程
?u/?x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y)
?v/?y = -?My/(EI) v= -?My2/(2EI)+g(x)
?u/?y+?v/?x=0
-df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 19
? =?u/?y= Mx/(EI)- ? ----the cross section
remains plane after bending 横截面弯曲变形后仍
为平面。
1/? = ? 2v/?x2 =- M/(EI) ----all the longitudinal
lines will have the same curvature曲率相同
Separation of variables 分离变量
-df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)=?
? -df(y)/dy=? f(y)=- ?y+u0
? dg(x)/dx+Mx/(EI)=?
g(x)= - Mx2/(2EI)+?x+v0
? u=Mxy/(EI)- ?y+u0 (3.2.5)
v= -?My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+?x+v0 (3.2.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 20
Review,Rigid-body displacements--
displacements corresponding to zero strains
刚体位移 --应变为零时的位移
? u= - ?y +u0 v=?x+v0
? u0--the rigid-body translation in the x direction
x向刚体平动
? v0--the rigid-body translation in the y direction
y向刚体平动
? ? --the rigid-body rotation of the body about z
axis.绕 z 轴的刚体转动
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 21
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 22
Simply supported beam 简支梁
? u=Mxy/(EI)- ?y+u0 (3.2.5)
v= -?My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+?x+v0 (3.2.6)
? u(0,0)=0 u0=0
? v(0,0)=0 v0=0
? v(L,0)=0 ? = ML/(2EI)
? u=Mxy/(EI)- MLy /(2EI) (3.2.8)
v=-?My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+M?x/(2EI)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 23
3.3 Bending of a simple beam under uniform
load简支梁在均布荷载作用下的弯曲
? A simple beam,length 2L,depth h,uniform
load q,P41 fig.3.3.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 24
Semi-inverse method,半逆解法
assume 假定 ?y=?2?/?x2=f(y)
? Successive integration with respect to x yields
对 x连续积分二次得 ??/?x=xf(y) +f1(y)
?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
? substitution of ? into compatibility equation
(?4/?x4+2?4/?x2?y2 +?4/?y4)?=0 (2.12.11) yields
将 ?代入相容方程得：
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 25
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
? X2,f(4)(y)=0 f=Ay3+By2+Cy+D
? x1,f1(4)(y)=0 f1 =Ey3+Fy2+Gy
? x0,f2(4)(y)+2f”(y)=0
f2(4)(y)=-2f”(y)=-12Ay-4B
f2(y)=-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2
? ?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
= x2/2 (Ay3+By2+Cy+D)+x (Ey3+Fy2+Gy)+
(-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2) (3.3.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 26
find the stress components by由下式求应力
?x=?2?/?y2 ?y=?2?/?x2 ?xy=-?2?/?x?y
? ?x=0.5x2(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)+(-2Ay3-
2By2 + 6Hy+2K)
? ?y= Ay3+By2+Cy+D
? ?xy=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 27
The condition of symmetry-----the stress
distribution must symmetric with respect to
the yz plane ( a plane of symmetry )
对称条件 --应力对称分布
? ? -------even function of x x的偶函数
? ?x ?y ---even function of x x 的偶函数
? ?xy ------odd function of x x的奇函数
? E=F=G=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 28
Boundary conditions on y=?h/2
y=?h/2的 边界条件
?y)y=h/2 = 0 ?y)y=-h/2 =-q ?xy)y=?h/2 =0
A=-2q/h3 B=0 C=3q/(2h) D=-q/2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 29
? ?-h/2h/2?x)x=Ldy = 0 H=qL2/h3- q/(10h)
? ?-h/2h/2?x)x=L y dy = 0 K=0
? ?-h/2h/2?xy)x=L dy =-qL satisfied automatically自动满足
Boundary conditions on x=?L due to symmetry,we we
are only required to consider either of the two ends,
x=?L的 边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 30
Solution of stresses 应力的解答
? ?x=My/I+qy/h(4y2/h2-3/5）
? ?y=q/2(1+y/h)(1-2y/h)2
? ?xy=-6qx/h3 (h2/4-y2) Notes:
? 1.the first term of ?x is the same as given in
mechanics of materials,?x 的第一项同材料力学
? 2,The crushing stress ?y is only considered in
elasticity and not in mechanics of materials.
挤压应力 ?y材料力学中不考虑
? 3.?xy is the same as given in mechanics of
materials., 材力弹力 ?xy 相同 4.p45 Fig.3.3.2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 31
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 32
About second term of ?x,?x的 第二项
? ?x=My/I+qy/h(4y2/h2-3/5）
? x=0,y=h/2,M=qL2/2
ratio=second term/first term=第二项 /第一
项 ={q0.5(1-3/5)}/{0.5qL212/h3 h0.5}
=1/[15L2/h2]
ratio= 1/15 L/h=1
ratio= 1/60 L/h=2
ratio= 1/375 L/h=5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 33
About crushing stress ?y 挤压应力 ?y
? ?y=q/2(1+y/h)(1-2y/h)2
? x=0,y=-h/2,?x=-3qL2/h2,?y=- q
ratio= ?x /?y= 3L2/h2
ratio= 3 L/h=1
ratio= 12 L/h=2
ratio= 75 L/h=5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 34
?x=My/I+qy/h(4y2/h2-3/5）
?xy=-6qx/h3 (h2/4-y2)
绘 x=L处 ?x图 ?xy图和证明
? ?-h/2h/2 ?x)x=Ldy = 0
? ?-h/2h/2 ?x)x=L y dy = 0
? ?-h/2h/2 ?xy)x=L dy =-qL
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 35
solution of plane stress boundary problem in terms
of stress function in the case of constant body forces
常体力应力边界问题按应力函数求解的公式
? ?4 ? =0 (2.12.11)
? ?x=?2?/?y2-Xx ?y=?2?/?x2-Yy
?xy=-?2?/?x?y (2.12.10)
? (l?x+m ?yx)s = X (m?y+l?xy)s =Y (2.7.2)
? no displacement boundary condition无位移边界条件
? the condition of single-valued displacements for
multiply connected body 多连体的位移单值条件
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 36
确定应力中常数的方法：
? 有对称条件，可用对称条件确定部分常
数，也可不考虑对称条件,
? 先考虑大边界，后考虑小边界。
? 大边界只能用精确边界条件。
? 小边界可先用精确边界条件，如不能满
足，改用近似边界条件。也可直接用近
似边界条件。
? 所有边均满足边条后，最后的小边界自
动满足，作为校合。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 37
3.4 Triangular gravity wall 三角形重力墙
? P46 Fig.3.4.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 38
Dimension analysis 因次分析
? The dimension of stress is [force][length]-2
? rg--- ?g----[force][length]-3
? x-----[length] y-----[length]
? ?-----dimensionless
? The stresses must be combinations of
expressions in the form of A?gx,B?gy,Crgx,
Drgy,? must be a polynomial of the third degree
and we may assume
?=ax3+bx2y+cxy2 +ey3
? ?4? =0 It is satisfied.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 39
Dimension analysis 因次分析
? 应力的因次是 [力 ][长度 ]-2
? rg--- ?g----[力 ][长度 ]-3
? x-----[长度 ] y-----[长度 ] 影响应力所有因素
? ?-----无因次
? 应力必须是 A?gx,B?gy,Crgx,Drgy的组合, ?必
须是纯三次多项式。故假定：
?=ax3+bx2y+cxy2 +ey3
? ?4 ? =0 满足
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 40
The stress components given by Eqs,(2.12.10) will be
由式 (2.12.10)从 应力函数求应力
? ?x=?2?/?y2-Xx=2cx+6ey
?y=?2?/?x2-Yy=6ax+2by- ?gy (3.4.2)
?xy=-?2?/?x?y=-2bx-2cy
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 41
?x=2cx+6ey ?y=6ax+2by- ?gy ?xy=-2bx-2cy
? x=0,?x=-rgy e=-rg/6 ?xy=0 c=0
? x=y tan?,l?x+m?yx=0 m?y+l?xy=0 in
which l=cos? m=-sin? a= b=
? solution,p48 (3.4.5) p46 Fig.3.4.1
Boundary
conditions:
边界条件,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 42
? P46 Fig.3.4.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 43
Break 6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 44
习题作业（英文书）
? 2.13.1
? 2.13.2
? 3.7.2
? 3.7.4
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 45
Chapter three
Exercise
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 46
???
?
???
? ??
???
?
???
? ????
h
y
h
yqy
h
y
h
yqx
3
32
3
32
2
10
134
4
?
3,2 试证,下式
能满足相容方程，并考察它在图 3-2所示矩形
板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的
长为 l，深度为 h，体力不计）。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 47
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 48
证明：因为 ?4?/?x4=0
34
4 24
h
qy
y ??
? ?
能满足相容方程
322
4 24
2 h qyyx ???? ? ?
024242 3322
4
4
4
2
4
????? ??????? h qyh qyyxyx ???
h
qy
h
qy
h
yqx
yx 5
346
3
3
3
2
2
2
??????? ?? 22
32
3
3
2
2 q
h
qy
h
qy
xy ??
??
?
?? ??
h
qx
h
q x y
yxxy 2
36
3
22
??????? ??
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 49
y=?h/2,?y)y=h/2 = 0 ?y)y=-h/2 =-q ?xy)y=?h/2 =0
即上边界受均布压力为 q，下边界没有面力
x=0,?xy)x=0 =0
?-h/2h/2 ?x)x=0dy = 0
?-h/2h/2 ?x)x=0 ydy = 0
左边界 y向面力为 0,x向 面力的合力和合力矩为 0
22
32
3
3
2
2 q
h
qy
h
qy
xy ??
??
?
?? ??
h
qx
h
q x y
yxxy 2
36
3
22
??????? ??
h
qy
h
qy
h
yqx
yx 5
346
3
3
3
2
2
2
??????? ??
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 50
x=L,?-h/2h/2 ?x)x=Ldy = 0
?-h/2h/2 ?x)x=L y dy = 0.5qL2
?-h/2h/2 ?xy)x=L dy =-qL
右边界 y向面力为 -qL,x向 面力的合力为 0,合力
矩为 0.5qL2
能解决悬臂架在上边界受均布荷载 q的问题
22
32
3
3
2
2 q
h
qy
h
qy
xy ??
??
?
?? ??
h
qx
h
q x y
yxxy 2
36
3
22
??????? ??
h
qy
h
qy
h
yqx
yx 5
346
3
3
3
2
2
2
??????? ??
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 51
3.7.1 The simple beam shown in
Fig.3.3.1 is loaded by its own
weight instead of the load q,and
the density of the beam is ρ,
Find the stress components by
using the stress function (3.3.1).
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 52
Bending of a simple beam under uniform
body force简支梁在体力作用下的弯曲
? A simple beam,length 2L,depth h,
? 体力 X=0 Y=ρ g
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 53
Semi-inverse method,半逆解法
assume 假定 ?y=?2?/?x2=f(y)
? Successive integration with respect to y yields
对 x连续积分二次得 ??/?x=xf(y) +f1(y)
?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
? substitution of ? into compatibility equation
(?4/?x4+2?4/?x2?y2 +?4/?y4)?=0 (2.12.11) yields
将 ?代入相容方程得：
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 54
x2/2 f(4)(y)+xf1(4)(y)+f2(4)(y)+2f”(y)=0
? X2,f(4)(y)=0 f=Ay3+By2+Cy+D
? x1,f1(4)(y)=0 f1 =Ey3+Fy2+Gy
? x0,f2(4)(y)+2f”(y)=0
f2(4)(y)=-2f”(y)=-12Ay-4B
f2(y)=-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2
? ?=x2 f(y)/2 +xf1(y)+f2(y)
= x2/2 (Ay3+By2+Cy+D)+x (Ey3+Fy2+Gy)+
(-A/10 y5-B/6 y4+Hy3+ky2) (3.3.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 55
find the stress components by由下式求应力
?x=?2?/?y2 ?y=?2?/?x2 -ρ gy?xy=-?2?/?x?y
? ?x=0.5x2(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)+(-2Ay3-
2By2 + 6Hy+2K)
? ?y= Ay3+By2+Cy+D -ρ gy
? ?xy=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 56
The condition of symmetry-----the stress
distribution must symmetric with respect to
the yz plane ( a plane of symmetry )
对称条件 --应力对称分布
? ? -------even function of x x的偶函数
? ?x ?y ---even function of x x 的偶函数
? ?xy ------odd function of x x的奇函数
? E=F=G=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 57
Boundary conditions on y=?h/2
y=?h/2的 边界条件
?y)y=h/2 = 0 ?y)y=-h/2 =0 ?xy)y=?h/2 =0
h3A/8+(B-2ρ gl)h2/4+(C-ρ glh)h/2+D=0
-h3A/8+(B-2ρ gl)h2/4-(C-ρ glh)h/2+D=0
3Ah2/4+Bh+C=0
3Ah2/4-Bh+C=0
解得 A=-2ρ gl /h B=0
C=3ρ glh/2 D=ρ glh2/2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 58
? 在 x=l处,
(1) σx为平衡力系，即
?-h/2h/2 ?x)x=Ldy = 0
?-h/2h/2 ?x)x=L y dy = 0
解得 K=0,H=ρ gl3/h-ρ glh/10
(2) ?-h/2h/2 ?xy)x=L dy = -ρ g hL 满足
Boundary conditions on x=?L due to symmetry,we we
are only required to consider either of the two ends,
x=?L的 边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 59
所以方程为：
σx=-6ρ glx2y/h+4ρ gly3/h
+6ρ gl3y/h-3ρ glhy/5
σy=-2ρ gly3/h-2ρ gly2-ρ glhy/2+ρ glh2/2
?xy =x(6ρ gly2/h-3ρ glh/2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 60
3.7.2设有矩形截面竖柱，密度为 ρ,在
一边侧面上受均布剪力 q，试求应力分量
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 61
? 解：由题假设,σx= 0 = ?2υ/ ?y2
积分得,?υ/ ?y=f1(x)
再积分得,υ=y f1(x)+ f2(x)
? 将上式代入相容方程
?4υ/ ?x4 +2?4υ/ ?y2 ?x2 +?4υ/ ?y4=0
因为,?4υ/ ?x4 =yd4f1(x)/dx4+ d4f2(x)/dx4
?4υ/ ?y4=0 ?4υ/ ?y2 ?x2 =0
∴ yd4f1(x)/dx4 + d4f2(x)/dx4 =0
∴ y1,d4f1(x)/dx4=0 f1(x)=Ax3+Bx2+Cx
y0,d4f2(x)/dx4 =0 f2(x)=Dx3+Ex2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 62
? Φ=y(Ax3+Bx2+Cx)+ Dx3+Ex2
? σx =?2υ/ ?y2 –Xx = 0
σy=?2υ/ ?x2 –Yy =y(6Ax+2B)+6Dx+2E-ρgy
τxy=- ?2υ/ ?y?x =-(3Ax2+2Bx+C)
? 考虑边界条件
? x=0, σx / x =0= 0 自动满足
τxy / x =0= 0 c=0
? x=h,σx / x =h= 0 自动满足
τxy / x =h=q -(3Ah2 +2Bh) =q (1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 63
y=0的小边界,方法 1,不能精确满足时用 圣维南原理
(1) y方向, σy/y =0=0 6Dx+2E=0 即 D=E=0
精确满足
(2)x方向, τxy /y=0=0 3Ax2+2Bx=0 A=B=0
和式（ 1）矛盾,不能精确满足，使用圣维南原理
∫0h τxy /y=0dx=0 即 ∫0h -(3Ax 2 +2Bx+C)dx=0
∴ Ah+B=0 (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 64
y=0的小边界, 方法 2,直接 用 圣维南原理
(1) y方向, ∫0h σy/y =0dx=0 ∫0h (6Dx+2E)dx=0
3Dh+2E=0 (a)
∫0h σy/y =0xdx=0 ∫0h (6Dx2+2Ex)dx=0
2Dh+E=0 (b)
解 (a)(b)得 D=E=0
(2)x方向, ∫0h τxy /y=0dx=0
即 ∫0h -(3Ax 2 +2Bx+C)dx=0
∴ Ah+B=0 (2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 65
? 由 (1)(2)得 A=-q/h2 B= q/h
? 将 A=-q/h2 B= q/h C=D=E=0代入应力表达式
σx= 0
σy=y(-6q/h 2 +2q/h-ρg)
τxy = x 23q/h 2 –2xq/h
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 66
本题不讲
3-5.挡水墙密度为 ρ, 厚度为 h,水的密度为 γ
,试求应力分量 。
解：设 σ y=xf(y)，
则有 σ y=?2φ /?x2=xf(y)，
两边对 x积分得：
?φ /?x=x2f(y)/2+f1(y) （ a）
φ =x3f(y)/6+xf1(y)+f2(y) (b)
式中 f1,f2为待定函数 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 67
υ =x3f(y)/6+xf1(y)+f2(y) (b),
则有 ex4υ /ex4=0,e4υ /ex2ey2=xd2f(y)/dy2
e4υ /ey4=x3d4f(y)/6dy4+xd4f1(y)/dy4+d4f2(y)/dy4
应满足相容方程：
x3d4f(y)/6dy4+ x[d2f(y)/dy2+d4f1(y)/dy4]+
d4f2(y)/dy4=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 68
x3d4f(y)/6dy4+ x[d2f(y)/dy2+d4f1(y)/dy4]+
d4f2(y)/dy4=0
对于全梁内的 x,相容方程都应满足 。 所以系数与自由项
皆为零 。
即 d4f(y)/dy4=0 ⑴, d2f(y)/dy2+d4f1(y)/dy4=0 ⑵
,d4f2(y)/dy4=0 ⑶
⑴, ⑶ 方程要求 f(y)=Ay3+By2+Cy+D=0 （ c）
f2(y)=Ey3+Fy2+Ly+M, 由于常数
项与一次项不影响应力分量, f2(y) 可表示为
f2(y)= Ey3+Fy2（ d）
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 69
方程 （ 2） 要求,d4f1(y)/dy4=-d2f(y)/dy2=-12Ay-4B
则 f2(y)=（ -Ay5/10） +（ -By4/6） +Gy3+Hy2+Ky （ e）,
常数项不影响应力分量, 略去 。
将 c,d,e代入 b得：
υ =x3(Ay3+By2+Cy+D)+x[ （ -Ay5/10 ） + （ -By4/6 ）
+Gy3+Hy2+Ky]+ Ey3+Fy2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 70
υ =x3(Ay3+By2+Cy+D)+x[（ -Ay5/10） +（ -By4/6）
+Gy3+Hy2+Ky]+ Ey3+Fy2
由 （ 2-23） 式：
σ x=e2υ /ey2=x3(6Ay+2B)/6+x(-2Ay3-
2By2+6Gy+2H)+6Ey+2F-ρ gx（ ）
σ y=e2υ /ex2=x(Ay3+By2+Cy+D)（ ）
τ xy=-e2υ /exey=-x2(3Ay2+2By+C)/2+Ay4/2+2By3/3-
3Gy2-2Hy-K（ ）
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 71
这些赢利分量满足平衡微分方程和相容方程, 现考察
能否满足应力边界条件 。
左面, y=h/2,应力边界条件为 （ σ y|y=h/2） =-
γ gx,（ τ yx| y=h/2） =0
则有 Ah3/8+Bh2/4+Ch/2+D=-γ g ①
-x2(3Ah2/4+2Bh/2+C)/2+Ah4/32+2Bh3/24-3Gh2/4-
Hh-K=0 ②
右面, y=-h/2,应力边界条件为 （ σ y|y=-h/2） =0
,（ τ yx| y=-h/2） =0
则有 -Ah3/8+Bh2/4+ （ -Ch/2 ） +D=0
③
-x2(3Ah2/4+（ -2Bh/2） +C)/2+Ah4/32+（ -2Bh3/24） -
3Gh2/4+Hh-K=0 ④
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 72
方程 ②, ④ 对全梁 x都满足, 所以系数与常数项都为
零 。
② –④ 得,-x2Bh+Bh3/6-2Hh=0 解得,B=0,H=0。
① +③ 得,2D=-γ g 解得,D=-γ g/2
将 B,D值代入 ① 得,Ah3/8+C/2=-γ g/2 ⑤
④ 式 x前系数为零得,3Ah2/4+C=0 ⑥
联立 ⑤, ⑥ 得,A=2γ g/ h3,C=-3γ g/2h
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 73
上端, 应力边界应满足 （ σ x∣x= 0） =0,（
τ xy∣x= 0） =0,显然不能精确满足 。
利用圣维南原理,在 -h/2到 h/2积分得：
∫ (σ x） x=0dy=0,∫ （ σ x） x=0ydy=0,∫ （ τ xy）
x=0dy=0
由此可得,∫ （ 6Ey+2F） dy=0 积
分后得,F=0
∫ 6Ey2dy=0 积分后得,E=0
∫ （ Ah4/32-3Gh2/4-K ） =0 积分后 得,γ gh/80-
Gh2/4-K=0 ⑦
② +④ 得,γ gh/8-3Gh2/2-2K=0
联立, 得,G=γ g/10h,K=γ gh/80。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 74
将以上系数代入 （ ） （ ） （ ） 得：
σ x=2γ gx3y/h3+3γ gxy/5h-4γ xy3g/h3-ρ gx
σ y=γ gx（ 2y2/h3-3y/2h-1/2）
τ xy=-γ gx2（ 3y2/h3-3/4h ） - γ gy[(-
y3/3h)+3y/10h-h/80y].
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 75
3.7.4设图中的三角形只受重力作用，而梁
的密度为 ρ,试用三次式的应力函数求解
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 76
? 解,由题知,设 Φ为 纯三次式
设 Φ=ax3+bx2y+cxy2+dy3
? ∴ σx =?2υ/ ?y2 -Xx =2cx+6dy
σy =?2υ/ ?x2 -Yy =6ax+2by-ρgy
τxy = -?2υ/ ?x ?y=-2bx-2cy
? 考虑边界条件
? 顶面 y=0,(σy ) y=0 =6ax=0 →a=0
(τyx ) y=0 =2bx=0 →b=0
? 斜面 y=x tanα l=-sinα m=cosα
[l(σx) +m(τxy )] y=xtanα =0
[m(σy) +l(τxy )] y=xtanα =0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第三章 77
? ∴ -sinα(2cx+6dy)+cosα(-2cy)=0
cosα(-ρgy)+(-sinα)(-2cy)=0
解得 c=(ρ g ctgα )/2 d=-(ρ g ctg2α )/3
? ∴ σx =ρ gx ctgα -2ρ gy ctg2α
σy= -ρ gy
τxy = -ρ gy ctgα
