徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 1
Chapter 8 Theory of Spatial Problems
第八章：空间问题的理论
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 2
? Plane problems平面问题的平衡方程
??x/?x+??yx/?y+X=0 ??xy/?x+??y/?y+Y=0 (2.2.2)
? Spatial problems空间问题的平衡方程
??x/?x+??yx/?y+??zx/?z+X=0 (8.1.1)
??xy/?x+ ??y/?y+??zy/?z+Y=0 (8.1.2)
??xz/?x +??yz/?y+ ??z/?z+Z=0 (8.1.3)
8.1 Differential equations of equilibrium
平衡微分方程
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 3
??x/?x+??yx/?y+??zx/?z+X=0 (8.1.1)
??xy/?x+ ??y/?y+??zy/?z+Y=0 (8.1.2)
??xz/?x +??yz/?y+ ??z/?z+Z=0 (8.1.3
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 4
8.2 State of Stress at a point,一点的应力
? Problem 1,When the six stress components ?x
?y ?z ?xy ?xz ?yz at a certain point P are known,
we want to find the stress acting on any
inclined plane passing through the point,Let
the outward normal to the inclined plane be N
and the direction cosines of N be
l=cos(N,x) m=cos(N,y) n=cos(N z)
? 问题 1：已知 1.P点 的 ?x ?y ?z ?xy ?xz ?yz 2.过 P
点的斜面的法线方向余弦 l,m,n,求斜面上应力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 5
XN=l?x+m ?yx+n ?zx
YN=l?xy + m?y +n?zy (8.2.1)
ZN=l ?xz+m?yz+n?z
Problem1.1,Stress components XN YN ZN
acting on any inclined plane
斜面上应力 XN YN ZN
XN=l?x+m ?yx
YN= l?xy+ m?y (2.3.3)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 7
Problem1.2,Stress components ?N ?N acting on any
inclined plane 斜面上应力 ?N ?N
? Plane problems,projection of XN YN on the
normal N will give ?N,projection of XN YN
perpendicular to the normal N will give ?N
XN YN(XN=l?x+m ?yx YN=m?y+l?xy)投影到法线方
向为 ?N,投影到和法线垂直的方向为 ?N
?N=lXN+m YN=l2 ?x +m2?y+2lm?xy (2.3.4)
?N=lYN - m XN=lm (?y- ?x)+(l2- m2)?xy (2.3.5)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 8
Problem1.2,Stress components ?N ?N acting on any
inclined plane 斜面上应力 ?N ?N
Spatial problems:
XN=l?x+m ?yx+n ?zx
YN=l?xy + m?y +n?zy (8.2.1)
ZN=l ?xz+m?yz+n?z
1,Substitution of Eqs,(8.2.1) into
?N=l XN+mYN+n ZN yields
?N =l2 ?x +m2?y+n2 ?z +2lm?xy+ 2ln?xz +2mn?yz
2,?N =SQRT(XN2+YN2+ZN2-?N2)
Note,The six stress components completely define
the state of stress at a point in the body concerned,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 9
Stress boundary condition应力边界条件
X=l?x+m ?yx+n ?zx
Y=l?xy + m?y +n?zy (8.2.4)
Z=l ?xz+m?yz+n?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 10
8.3 Principal stress 主应力
Plane problems 平面问题
? ?1= (?x + ?y)/2 + ?[(?x - ?y ) /2]2 +?xy2
? ?2= (?x + ?y)/2 - ?[(?x - ?y ) /2]2 +?xy2
? tan(?,x)=(?- ?x )/ ?xy= ?xy /(?- ?y)
(?= ?1 or ?2)
? ?1+?2=?x+?y Invariants of the state of stress
? 应力主面 -a principal plane of stress
? 主应力 -a principal stress
? 应力主轴 -a principal axis of stress
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 11
Spatial problems,空间 问题 主应力
? XN YN ZN为主应力 ? 的分量
XN=l? YN= m? ZN=n?
XN=l?x+m ?yx+n ?zx
YN=l?xy + m?y +n?zy (8.2.1)
ZN=l ?xz+m?yz+n?z
? XN=l? = l?x+m ?yx+n ?zx
YN= m?=l?xy + m?y+n?zy
ZN=n?= l?xz+m?yz+n?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 12
Spatial problems,空间 问题 主应力
? ?x -? ?yx ?zx l 0
?xy ?y-? ?zy m = 0 (8.3.3)
?xz ?yz ?z-? n 0
? The determinant of coefficients must vanish
?x -? ?yx ?zx
?xy ?y-? ?zy = 0
?xz ?yz ?z-?
?3-(?x +?y+ ?z)?2+(?x ?y +?y ?z +?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2)?
-(?x ?y ?z- ?x ?yz2 -?y ?zx2 - ?z ?xy2 +2 ?yx?zx?xz)=0 (8.3.4)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 13
Spatial problems,空间 问题 主应力
? ?x -? ?yx ?zx l 0
?xy ?y-? ?zy m = 0 (8.3.3)
?xz ?yz ?z-? n 0
? l2+m2+n2=1 (8.3.2)
? ?3-(?x +?y+ ?z)?2+(?x ?y +?y ?z +?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2)?
-(?x ?y ?z- ?x ?yz2 -?y ?zx2 - ?z ?xy2 +2 ?yx?zx?xz)=0 (8.3.4)
? The three real roots ?1 ?2 ?3 of Eq,(8.3.4) will be the
three principal stresses
? Using any two of Eqs,(8.3.3) and Eq,(8.3.2),we can
find the direction cosines l m n once the principal
stresses are known.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 14
Spatial problems,空间 问题 应力不变量
? ?3-(?x +?y+ ?z)?2+(?x ?y +?y ?z + ?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2)?
-(?x ?y ?z- ?x ?yz2 -?y ?zx2 - ?z ?xy2 +2 ?yx?zx?xz)=0 (8.3.4)
? (? -?1) (? -?2) (? -?3)=0
?3-(?1 +?2+?3)?2 +(?1?2+?1?3+?2?3)? -?1?2?3=0
? Invariants of the state of stress
?=?1 +?2+?3= ?x +?y+ ?z
?2=?1?2+?1?3+?2?3=?x ?y +?y ?z +?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2
?3=?1?2?3= ?x?y?z-?x?yz2-?y?zx2-?z?xy2+2?yx?zx?xz
They are independent of the orientation of
coordinate axes.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 15
8.4 Maximum and minimum shearing
stresses
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 16
Plane problems,Maximum and minimum shearing
stress 平面问题,最大最小剪应力
? ?max= (?1 - ?2)/2 ?min= - (?1 - ?2)/2
They are acting on planes inclined at 45 with ?1 or ?2
最大与最小剪应力发生在与应力主向成 45度的斜面上
? ?N= (?1 + ?2)/2
The normal stresses on the planes of maximum and
minimum shearing stresses at a point are equal and
take the mean value of the two principal stresses at
the point.
在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值 都
等于两个主应力的平均值。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 17
Spatial problems,空间 问题
? We orient the coordinate axes x,y,z along the
principal stresses ?1,?2,?3 respectively
? l 0 ? ? 0.5 ? ? 0.5
m ? ? 0.5 0 ? ? 0.5
n ? ? 0.5 ? ? 0.5 0
? ?N (?2 - ?3)/2 (?3 - ?1)/2 (?1 - ?2)/2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 18
Spatial problems,空间 问题
? The magnitude of the largest shearing stress is
equal to half the difference between the largest
and the smallest principal stresses,(?3 - ?1)/2
? The largest shearing stress acts on the plane
bisecting the angle between the largest and the
smallest principal stresses and passing through
the line of action of the third principal stress.
l ? ? 0.5
m 0
n ? ? 0.5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 19
8.5 Geometrical equations,Rigid-body
displacements,Volume Strain
几何方程，刚体位移,体积应变
? 平面问题几何方程
?x=?u/?x ?y=?v/?y rxy=?u/?y+?v/?x
? 空间问题几何方程
?x=?u/?x ?y=?v/?y ?z=?w/?z
rxy=?u/?y+?v/?x
rxz=?u/?z+?w/?x
ryz=?w/?y+?v/?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 20
Rigid-body displacements 刚体位移
? 平面问题刚体位移 u= - ?y +u0 v= ?x+v0
? 空间问题刚体位移 u= u0+ ?yz -?z y
v= v0 + ?zx- ?xz w= w0+ ?xy -?y x
Physical meanings of u0 v0 w0 ?x ?y ?z
刚体位移中 u0 v0 w0 ?x ?y ?z 的物理意义。
? u0 v0 w0 --the rigid-body translation in the x,y,z
direction respectively,分别为 x,y,z向刚体平动
? ?x ?y ?z --the rigid-body rotation of the body
about x,y,z axis respectively,分别为 绕 x,y,z 轴的
刚体转动
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 21
? 空间问题 体积应变 Volume Strain
e=[(dx+?xdx)(dy+?ydy)(dz+?zdz)-dxdydz]/dxdydz
=(1+?x)(1+?y)(1+?z)-1=?x+?y+?z
= ?u/?x+?v/?y+?w/?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 22
8.7 Physical equations,物理方程
? ?x=[?x- ??y- ??z]/E rxy=?xy/G
?y=[?y- ??x- ??z]/E rxz=?xz/G (1)
?z=[?z- ??x- ??y]/E rzy=?zy/G
? Adding the first three of Eqs,(1) together,we obtain
?x+?y+?z=(1-2?)/E (?x+?y+?z)
e=(1-2?)/E ? (8.7.3)
in which e=?x+?y+?z
?=?1 +?2+?3= ?x +?y+ ?z
Eqs,(8.7.3) shows the relation and the proportionality
between the volume strain e and the volume stress ?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 23
? E--the modulus of elasticity or Young`s
modulus 弹 性模量 杨氏模量
? ?--Poisson`s ratio 泊松比
? G--the shear modulus 剪切 模量
? They are interrelated by the equation。
E ? G 的关系式 G=E/[2(1+?)]
? e-- 体积应变 Volume Strain
? ? --体积应力 volume stress
? E/(1-2?)---体积弹性模量,the volume
modulus of elasticity
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 24
8.8 Axial symmetry and spherical symmetry,
轴对称和球对称
Axial symmetry 轴对称
? Plane problems,?r= ?r(r) ??= ?? (r) ?r?=0
? Spatial problems,?r= ?r(r,z) ??= ?? (r,z) ?r?=0
?z= ?z(r,z) ?rz= ?rz(r,z) ?z?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 25
Spherical symmetry--point symmetry --
Spatial problems,?R= ?R(R) ?T= ?T (R)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 26
Chapter 9 Solutions of Spatial Problems
第九章：空间问题的解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 27
9.1 Solution in terms of displacements
? Differential equations of equilibrium in
terms of displacements are (9.1.3)
? The displacement boundary conditions
are given by Eqs,(8.7.7)
? The stress boundary conditions are given
by Eqs,(8.2.4) in which the stress
components are expressed in terms of
displacement components through Eqs,
(9.1.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 28
9.1 按位移求解
? 用位移表示的平衡微分方程 (9.1.3)
? 位移边界条件 (8.7.7)
? 应力边界条件 (8.2.4)
其中 应力用位移表达 (9.1.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 29
9.2 Infinite elastic layer under gravity and
uniform pressure半空间体受重力和均布压力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 30
按位移求解
? 用位移表示的平衡微分方程 (9.1.3)
u=0 v=0 w=w(z)
? 位移边界条件 (8.7.7)
w)z=h =0
? 应力边界条件 (8.2.4)
其中 应力用位移表达 (9.1.1)
?z)z=0 = -q ?zx )z=0 = ?zy )z=0 =0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 31
应力分量 stress components
? ?z= -q- ?gz
? ?x= ?y= ?z ?/(1-?)
? ?/(1-?)-----the coefficient of lateral pressure in
soil mechanics and foundation engineering.
侧压力系数
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 32
9.6 Concentrated normal load on boundary of a
semi-infinite body
9.8 Distribution normal load on boundary of a
semi-infinite body
9.3 Hollow sphere subjected to uniform pressures
Chapter 8 Theory of Spatial Problems
第八章：空间问题的理论
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 2
? Plane problems平面问题的平衡方程
??x/?x+??yx/?y+X=0 ??xy/?x+??y/?y+Y=0 (2.2.2)
? Spatial problems空间问题的平衡方程
??x/?x+??yx/?y+??zx/?z+X=0 (8.1.1)
??xy/?x+ ??y/?y+??zy/?z+Y=0 (8.1.2)
??xz/?x +??yz/?y+ ??z/?z+Z=0 (8.1.3)
8.1 Differential equations of equilibrium
平衡微分方程
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 3
??x/?x+??yx/?y+??zx/?z+X=0 (8.1.1)
??xy/?x+ ??y/?y+??zy/?z+Y=0 (8.1.2)
??xz/?x +??yz/?y+ ??z/?z+Z=0 (8.1.3
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 4
8.2 State of Stress at a point,一点的应力
? Problem 1,When the six stress components ?x
?y ?z ?xy ?xz ?yz at a certain point P are known,
we want to find the stress acting on any
inclined plane passing through the point,Let
the outward normal to the inclined plane be N
and the direction cosines of N be
l=cos(N,x) m=cos(N,y) n=cos(N z)
? 问题 1：已知 1.P点 的 ?x ?y ?z ?xy ?xz ?yz 2.过 P
点的斜面的法线方向余弦 l,m,n,求斜面上应力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 5
XN=l?x+m ?yx+n ?zx
YN=l?xy + m?y +n?zy (8.2.1)
ZN=l ?xz+m?yz+n?z
Problem1.1,Stress components XN YN ZN
acting on any inclined plane
斜面上应力 XN YN ZN
XN=l?x+m ?yx
YN= l?xy+ m?y (2.3.3)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 6
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 7
Problem1.2,Stress components ?N ?N acting on any
inclined plane 斜面上应力 ?N ?N
? Plane problems,projection of XN YN on the
normal N will give ?N,projection of XN YN
perpendicular to the normal N will give ?N
XN YN(XN=l?x+m ?yx YN=m?y+l?xy)投影到法线方
向为 ?N,投影到和法线垂直的方向为 ?N
?N=lXN+m YN=l2 ?x +m2?y+2lm?xy (2.3.4)
?N=lYN - m XN=lm (?y- ?x)+(l2- m2)?xy (2.3.5)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 8
Problem1.2,Stress components ?N ?N acting on any
inclined plane 斜面上应力 ?N ?N
Spatial problems:
XN=l?x+m ?yx+n ?zx
YN=l?xy + m?y +n?zy (8.2.1)
ZN=l ?xz+m?yz+n?z
1,Substitution of Eqs,(8.2.1) into
?N=l XN+mYN+n ZN yields
?N =l2 ?x +m2?y+n2 ?z +2lm?xy+ 2ln?xz +2mn?yz
2,?N =SQRT(XN2+YN2+ZN2-?N2)
Note,The six stress components completely define
the state of stress at a point in the body concerned,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 9
Stress boundary condition应力边界条件
X=l?x+m ?yx+n ?zx
Y=l?xy + m?y +n?zy (8.2.4)
Z=l ?xz+m?yz+n?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 10
8.3 Principal stress 主应力
Plane problems 平面问题
? ?1= (?x + ?y)/2 + ?[(?x - ?y ) /2]2 +?xy2
? ?2= (?x + ?y)/2 - ?[(?x - ?y ) /2]2 +?xy2
? tan(?,x)=(?- ?x )/ ?xy= ?xy /(?- ?y)
(?= ?1 or ?2)
? ?1+?2=?x+?y Invariants of the state of stress
? 应力主面 -a principal plane of stress
? 主应力 -a principal stress
? 应力主轴 -a principal axis of stress
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 11
Spatial problems,空间 问题 主应力
? XN YN ZN为主应力 ? 的分量
XN=l? YN= m? ZN=n?
XN=l?x+m ?yx+n ?zx
YN=l?xy + m?y +n?zy (8.2.1)
ZN=l ?xz+m?yz+n?z
? XN=l? = l?x+m ?yx+n ?zx
YN= m?=l?xy + m?y+n?zy
ZN=n?= l?xz+m?yz+n?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 12
Spatial problems,空间 问题 主应力
? ?x -? ?yx ?zx l 0
?xy ?y-? ?zy m = 0 (8.3.3)
?xz ?yz ?z-? n 0
? The determinant of coefficients must vanish
?x -? ?yx ?zx
?xy ?y-? ?zy = 0
?xz ?yz ?z-?
?3-(?x +?y+ ?z)?2+(?x ?y +?y ?z +?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2)?
-(?x ?y ?z- ?x ?yz2 -?y ?zx2 - ?z ?xy2 +2 ?yx?zx?xz)=0 (8.3.4)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 13
Spatial problems,空间 问题 主应力
? ?x -? ?yx ?zx l 0
?xy ?y-? ?zy m = 0 (8.3.3)
?xz ?yz ?z-? n 0
? l2+m2+n2=1 (8.3.2)
? ?3-(?x +?y+ ?z)?2+(?x ?y +?y ?z +?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2)?
-(?x ?y ?z- ?x ?yz2 -?y ?zx2 - ?z ?xy2 +2 ?yx?zx?xz)=0 (8.3.4)
? The three real roots ?1 ?2 ?3 of Eq,(8.3.4) will be the
three principal stresses
? Using any two of Eqs,(8.3.3) and Eq,(8.3.2),we can
find the direction cosines l m n once the principal
stresses are known.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 14
Spatial problems,空间 问题 应力不变量
? ?3-(?x +?y+ ?z)?2+(?x ?y +?y ?z + ?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2)?
-(?x ?y ?z- ?x ?yz2 -?y ?zx2 - ?z ?xy2 +2 ?yx?zx?xz)=0 (8.3.4)
? (? -?1) (? -?2) (? -?3)=0
?3-(?1 +?2+?3)?2 +(?1?2+?1?3+?2?3)? -?1?2?3=0
? Invariants of the state of stress
?=?1 +?2+?3= ?x +?y+ ?z
?2=?1?2+?1?3+?2?3=?x ?y +?y ?z +?z ?x-?yx2-?zx2-?xy2
?3=?1?2?3= ?x?y?z-?x?yz2-?y?zx2-?z?xy2+2?yx?zx?xz
They are independent of the orientation of
coordinate axes.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 15
8.4 Maximum and minimum shearing
stresses
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 16
Plane problems,Maximum and minimum shearing
stress 平面问题,最大最小剪应力
? ?max= (?1 - ?2)/2 ?min= - (?1 - ?2)/2
They are acting on planes inclined at 45 with ?1 or ?2
最大与最小剪应力发生在与应力主向成 45度的斜面上
? ?N= (?1 + ?2)/2
The normal stresses on the planes of maximum and
minimum shearing stresses at a point are equal and
take the mean value of the two principal stresses at
the point.
在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值 都
等于两个主应力的平均值。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 17
Spatial problems,空间 问题
? We orient the coordinate axes x,y,z along the
principal stresses ?1,?2,?3 respectively
? l 0 ? ? 0.5 ? ? 0.5
m ? ? 0.5 0 ? ? 0.5
n ? ? 0.5 ? ? 0.5 0
? ?N (?2 - ?3)/2 (?3 - ?1)/2 (?1 - ?2)/2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 18
Spatial problems,空间 问题
? The magnitude of the largest shearing stress is
equal to half the difference between the largest
and the smallest principal stresses,(?3 - ?1)/2
? The largest shearing stress acts on the plane
bisecting the angle between the largest and the
smallest principal stresses and passing through
the line of action of the third principal stress.
l ? ? 0.5
m 0
n ? ? 0.5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 19
8.5 Geometrical equations,Rigid-body
displacements,Volume Strain
几何方程，刚体位移,体积应变
? 平面问题几何方程
?x=?u/?x ?y=?v/?y rxy=?u/?y+?v/?x
? 空间问题几何方程
?x=?u/?x ?y=?v/?y ?z=?w/?z
rxy=?u/?y+?v/?x
rxz=?u/?z+?w/?x
ryz=?w/?y+?v/?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 20
Rigid-body displacements 刚体位移
? 平面问题刚体位移 u= - ?y +u0 v= ?x+v0
? 空间问题刚体位移 u= u0+ ?yz -?z y
v= v0 + ?zx- ?xz w= w0+ ?xy -?y x
Physical meanings of u0 v0 w0 ?x ?y ?z
刚体位移中 u0 v0 w0 ?x ?y ?z 的物理意义。
? u0 v0 w0 --the rigid-body translation in the x,y,z
direction respectively,分别为 x,y,z向刚体平动
? ?x ?y ?z --the rigid-body rotation of the body
about x,y,z axis respectively,分别为 绕 x,y,z 轴的
刚体转动
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 21
? 空间问题 体积应变 Volume Strain
e=[(dx+?xdx)(dy+?ydy)(dz+?zdz)-dxdydz]/dxdydz
=(1+?x)(1+?y)(1+?z)-1=?x+?y+?z
= ?u/?x+?v/?y+?w/?z
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 22
8.7 Physical equations,物理方程
? ?x=[?x- ??y- ??z]/E rxy=?xy/G
?y=[?y- ??x- ??z]/E rxz=?xz/G (1)
?z=[?z- ??x- ??y]/E rzy=?zy/G
? Adding the first three of Eqs,(1) together,we obtain
?x+?y+?z=(1-2?)/E (?x+?y+?z)
e=(1-2?)/E ? (8.7.3)
in which e=?x+?y+?z
?=?1 +?2+?3= ?x +?y+ ?z
Eqs,(8.7.3) shows the relation and the proportionality
between the volume strain e and the volume stress ?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 23
? E--the modulus of elasticity or Young`s
modulus 弹 性模量 杨氏模量
? ?--Poisson`s ratio 泊松比
? G--the shear modulus 剪切 模量
? They are interrelated by the equation。
E ? G 的关系式 G=E/[2(1+?)]
? e-- 体积应变 Volume Strain
? ? --体积应力 volume stress
? E/(1-2?)---体积弹性模量,the volume
modulus of elasticity
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 24
8.8 Axial symmetry and spherical symmetry,
轴对称和球对称
Axial symmetry 轴对称
? Plane problems,?r= ?r(r) ??= ?? (r) ?r?=0
? Spatial problems,?r= ?r(r,z) ??= ?? (r,z) ?r?=0
?z= ?z(r,z) ?rz= ?rz(r,z) ?z?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 25
Spherical symmetry--point symmetry --
Spatial problems,?R= ?R(R) ?T= ?T (R)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 26
Chapter 9 Solutions of Spatial Problems
第九章：空间问题的解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 27
9.1 Solution in terms of displacements
? Differential equations of equilibrium in
terms of displacements are (9.1.3)
? The displacement boundary conditions
are given by Eqs,(8.7.7)
? The stress boundary conditions are given
by Eqs,(8.2.4) in which the stress
components are expressed in terms of
displacement components through Eqs,
(9.1.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 28
9.1 按位移求解
? 用位移表示的平衡微分方程 (9.1.3)
? 位移边界条件 (8.7.7)
? 应力边界条件 (8.2.4)
其中 应力用位移表达 (9.1.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 29
9.2 Infinite elastic layer under gravity and
uniform pressure半空间体受重力和均布压力
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 30
按位移求解
? 用位移表示的平衡微分方程 (9.1.3)
u=0 v=0 w=w(z)
? 位移边界条件 (8.7.7)
w)z=h =0
? 应力边界条件 (8.2.4)
其中 应力用位移表达 (9.1.1)
?z)z=0 = -q ?zx )z=0 = ?zy )z=0 =0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 31
应力分量 stress components
? ?z= -q- ?gz
? ?x= ?y= ?z ?/(1-?)
? ?/(1-?)-----the coefficient of lateral pressure in
soil mechanics and foundation engineering.
侧压力系数
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第二章 32
9.6 Concentrated normal load on boundary of a
semi-infinite body
9.8 Distribution normal load on boundary of a
semi-infinite body
9.3 Hollow sphere subjected to uniform pressures
