徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 1
Chapter 4 solution of plane problems in
polar coordinates
第四章 平面问题极坐标解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 2
Polar coordinates 极坐标
? The position of a point P in polar coordinates is
defined by the radial coordinate r and the
angular coordinate ?,
一点 P的极坐标用径向坐标 r和角坐标 ?表示
P (r,?)
? displacements:位移, ur u?
? strains:应变, ?r ?? rr?
? stresses,应力, ?r ?? ?r?
? body force:体力, Kr K?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 3
x
r
?
r
?
y
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 4
4.1 Differential equations of equilibrium in
polar coordinates极坐标中的平衡微分方程
? P54(E) Fig,4.1.1; P58(中 )图 4-1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 5
Review,differential equations of equilibrium in
rectangular coordinate直角坐标 平衡方程
? ??x/?x+??yx/?y+X=0 --x方向的平衡方程，体力
和应力都是 x方向，故应力的第二个下标为 x方
向。对应力的第一个下标求导。
? ??y/?y+??xy/?x+Y=0 --y方向的平衡方程，体
力和应力都是 y方向，故应力的第二个下标为 y
方向。对应力的第一个下标求导。
? In the first (second) differential equation of
equilibrium,the body force and stresses are in
the x (y) direction,the second coordinate
subscript in stresses is x (y),the differential of
stresses is respect to the first subscripts,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 6
两种坐标系中的平
衡微分方程的比较
? ??x/?x+??yx/?y+X=0
??y/?y+??xy/?x+Y=0 (2.2.2)
? ??r/?r+???r/(r??)+(?r-??)/r+Kr=0 (4.1.1)
???/(r??)+??r?/?r+2?r?/r+K?=0 (4.1.2)
? (?r-??)/r---正 r面面积大于负 r面面积,??与通过
形心的 r轴有一角度
? 2?r?/r---- ?r? 作用的正 r面面积大于负 r面面积，
??r与通过形心的 ?轴有一角度
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 7
4.2 geometrical and physical equations in
polar coordinates极坐标中的几何物理方程
? P57(E) Fig,4.2.1;P60(中 )图 4-2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 8
Only the radial displacement takes place只有径向位移
? PP?=ur AA?=ur+?ur/?rdr BB?= ur+?ur/??d?
? ?r=(P?A? -PA)/PA=(AA?-PP?)/PA=[(ur+?ur/?rdr)-
ur]/dr=?ur/?r
? ??=(P?B?-PB)/PB=[(r+ur)d?-rd?]/(rd?)=ur/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 9
Only the radial displacement takes place只有径向位移
? the angle of rotation of PA will be ?=0
? the angle of rotation of PB will be ? ?=(BB?-
PP?)/PB=[(ur+?ur/??d?)-ur]/rd?=?ur/(r??)
? rr? =?+?=?ur/(r??)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 10
Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
? PP??=u? AA??=u?+?u?/?rdr BB??=u?+?u?/??d?
? ?r=0
? ??=(P??B??-PB)/PB=(BB??-PP??)/PB =[(u?+?u?/??d?)- u?
]/(rd?)= ?u?/(r??)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 11
Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
? the angle of rotation of PA will be ?=(AA??-PP??)/
PA =[(u?+?u?/?rdr)-u? ]/dr= ?u?/?r
? the angle of rotation of PB will be ? ?=-
<pop ?? =- PP??/OP=-u?/r
? rr? =?+?=?u?/?r-u?/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 12
geometrical equations in rectangular
coordinates
直角坐标中的几何方程
?x=?u/?x ?y=?v/?y rxy=?u/?y+?v/?x
? geometrical equations in polar coordinates
极坐标中的几何方程
? ?r=?ur/?r ??=ur/r +?u?/(r??)
rr? =?ur/(r??) +?u?/?r-u?/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 13
?x=?u/?x ?y=?v/?y中的 规律
? 由 ?x=?u/?x ?y=?v/?y,得出规律：某一坐标方
向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变
中的项 。
1,?x=?u/?x ---x方向的位移 u对 x坐标求导 ?u/?x 为
x方向线段的正应变 ?x 。
2,?y=?v/?y ---y方向的位移 v 对 y坐标求导 ?v/?y
为 y方向线段的正应变 ?y 。
? 将此规律应用到极坐标 。 则有 r方向的位移 ur
对 r求导为 r方向的正应变中的项 ?r=?ur/?r。 ?
方向的位移 u?对 ?求导 （ 再除以 r以保持因次一
致 ）, 为 ?方向的正应变中的项 ??=?u?/(r??)。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 14
rxy=?u/?y+?v/?x中的 一般规律
? 由 rxy=?u/?y+?v/?x,总结出一般规律, 即设有
两个正交坐标方向, 一个坐标方向的位移 （ 如
u） 对另一个坐标方向 （ y） 求导为该坐标方向
（ y） 线段的转角 。
1,?u/?y--x方向的位移 u 对 y坐标求导为 y方向线
段的转角。
2,?v/?x--y方向的位移 v 对 x坐标求导为 x方向线
段的转角。
? 应用这一规律于极坐标，就能方便地解释
?ur/(r??) +?u?/?r为 rr?中的项。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 15
??=ur/r +?u?/(r??)
? ??=[2?(r+a)- 2?r])/ 2?r=a/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 16
rr? =?ur/(r??) +?u?/?r-u?/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 17
physical equations in polar coordinates
极坐标中的物理方程
? The physical equations in the two coordinate
systems must have the same form,but with r
and ? in place of x and y respectively.
? ?x=[?x- ??y]/E (2.6.4)
?y=[?y- ??x]/E rxy=?xy/G
x--r y--?
? ?r=[?r- ???]/E (4.2.14-16)
??=[??- ??r]/E rr?=?r?/G
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 18
4.3 stress function and compatibility equation
in polar coordinates
极坐标中的应力函数及相容方程
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) ??=?2?/?r2
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]= -1/r ?2?/(?r??)+1/r2 ??/??
? ?r+??=??/(r?r)+?2?/(r2??2)+?2?/?r2
? ?x+?y=?2?/?y2+?2?/?x2 ?r+??= ?x+?y
? ??/(r?r)+?2?/(r2??2)+?2?/?r2=?2?/?y2+?2?/?x2
? ?2=?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2=?2/?y2+?2/?x2
? ?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ?=0 (4.3.9)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 19
4.4 coordinate transformation of stress
components应力分量的 坐标变换式
? Egs,(4.4.1)---(4.4.12)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 20
4.5 Axisymmetrial stresses and corresponding
displacements轴对称应力和相应的位移
? Axisymmetrial stresses,轴对称应力：
1.the normal stress components are
independent of ?
2.the shearing stress components vanish
3.hence the stress distribution is
symmetrical with respect to any plane
passing through the z axis,
?r= ?r(r) ??= ?? (r) ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 21
?r= ?r(r) ??= ?? (r) ?r?=0
?r(r) ?? (r)
?r(r)
?? (r)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 22
Axisymmetrial stresses 轴对称应力
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) ??=?2?/?r2
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]= -1/r ?2?/(?r??)+1/r2 ??/??
?=?(r)
?r=??/(r?r) ??=?2?/?r2 ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 23
the compatibility equation and its solution
相容方程及其解
? ?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ?=0 (4.3.9)
?=?(r)
?4?=[?/(r?r)+?2/?r2 ]2 ? =0
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
? ?r=??/(r?r)=A/r2+B(1+2lnr)+2C (4.5.3)
??=?2?/?r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C (4.5.4)
?r?=0 (4.5.5)
? Substitution of Eqs,(4.5.3)-(4.5.5) into physical
Equations yields the axisymmetrical strain
components,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 24
[?/(r?r)+?2/?r2 ]2 ? =0
? [?/(r?r)+?2/?r2 ] [? ? /(r?r)+?2 ? /?r2 ] =0
? ?/(r?r) ? ? /(r?r)=r-2 ?’’-r-3 ?’
?/(r?r) [?2 ? /?r2 ]=r-1?’’’
?2/?r2 [? ? /(r?r) ]= ?/?r[r-1 ?’’-r-2 ?’]
= r-1?’’’-2r-2?’’+2r-3 ?’
?2/?r2 [?2 ? /?r2 ]=d4?/dr4
? r4?’’’’+2r3 ?’’’ -r2 ?’’ +r?’=0
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 25
r4?’’’’+2r3 ?’’’ -r2 ?’’ +r?’=0
? Assume r=et
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 26
the corresponding strains and displacements
相应的应变及位移
? Substitution of Eqs,(4.5.3)-(4.5.5) into physical
Equations yields the axisymmetrical strain
components,将式 (4.5.3)-(4.5.5) 的应力代入物
理方程得应变分量，为轴对称。
? Substituting the strains into geometrical
equations and then doing some integration,we
obtain the displacements,将 应变分量代入几何
方程并积分等可得位移分量，一般不为轴对称
。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 27
The corresponding displacements in plane
stress problems 平面应力问题的相应位移
? ur=1/E[-(1+?)A/r+2(1-?)Br(lnr-1)+(1-3?)Br
+2(1- ?)Cr]+Icos?+Ksin? (4.5.16)
u?=4Br?/E+Hr-Isin?+Kcos? (4.5.17)
? they are usually not symmetrical about the z
axis,位移分量一般不为轴对称,
? u?=4Br?/E may be multi-valued
displacements.可能为位移多值项。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 28
The symmetrical displacements in plane
stress problems
平面应力问题的 轴对称 位移
? ur=1/E[-(1+?)A/r+2(1-?)Br(lnr-1)+(1-3?)Br
+2(1- ?)Cr]+Icos?+Ksin? (4.5.16)
u?=4Br?/E+Hr-Isin?+Kcos? (4.5.17)
I=K=H=B=0
? ur=1/E[-(1+?)A/r+2(1-?)Br(lnr-1)+(1-3?)Br
+2(1- ?)Cr]
u?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 29
rigid-body displacements,刚体位移
? ur= Icos?+Ksin?
u?=Hr-Isin?+Kcos?
? I--the rigid-body translation in the x direction.
I-- x向的刚体平动。
? K--the rigid-body translation in the y direction.
K-- y 向的刚体平动 。
? H--the rigid-body rotation about the z axis.
H-- 绕 z轴的刚体转动
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 30
4.6 Hollow cylinder subjected to uniform
pressures均布压力作用下的中空圆柱体
? P65(E) Fig.4.6.1 p71(中 ) 图 4-4
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 31
Stresses 应力
? ?r=??/(r?r)=A/r2+B(1+2lnr)+2C (4.5.3)
??=?2?/?r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C (4.5.4)
?r?=0 (4.5.5)
the condition of single-valued
displacements leads to B=0
? ?r=A/r2+2C ??=-A/r2+2C ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 32
Boundary conditions 边界条件
? ?r=A/r2+2C ??=-A/r2+2C ?r?=0
? ?r?)r=a=0 and ?r?)r=b=0 are satisfied
automatically
? ?r)r=a=-qa ?r)r=b=-qb
------p65(E) Eqs.(4.6.1)---------A C
? Lame`s formulas for the stress P66(E)(4.6.2)
拉密解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 33
Only internal pressure acts 只有内压 qa?0 qb=0
P66(E) Eqs,(4.6.3) Fig.4.6.1.b.
b??saint-venant?s principle
? Only external pressure acts只有外压 qa= 0 qb? 0
? P66(E) Egs,(4.6.5) Fig.4.6.1c.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 34
4.7 pure bending of curved beams
曲梁的纯弯曲
P67(E) Fig.4.7.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 35
curved beams 曲梁
? A curved beam with a constant narrow
rectangular cross section.矩形断面曲梁
? A curved beam with a circular axis.圆轴曲梁
? Inner radius is a; outer radius is b;central angle
is ?.内半径 a,外半径 b,中心角 ?.
? The moment of each couple per unit width of the
beam at the ends is M.单位宽度的端弯矩为 M.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 36
Axisymmetrical stresses of the curved beam
曲梁的轴对称应力
? Since the bending moment is constant along the
beam,the stress distribution is the same on all
cross sections and the solution of the problem
can therefore be obtained by using Eqs,(4.5.2)
to (4.5.5)因为弯矩相同，因此各断面上应力分
布相同而可用 轴对称应力表达式 (4.5.2) 到
(4.5.5)
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
? ?r=??/(r?r)=A/r2+B(1+2lnr)+2C (4.5.3)
??=?2?/?r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C (4.5.4)
?r?=0 (4.5.5)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 37
Boundary
conditions
边界条件
? 1,?r?)r=a=0,?r?)r=b=0,??r)?=0=0 and ?? r)?= ?=0
are satisfied automatically
? 2,?r)r=a=0 A/a2+B(1+2lna)+2c=0 (4.7.2)
?r)r=b=0 A/b2+B(1+2lnb)+2c=0 (4.7.3)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 38
Boundary conditions 边界条件
? 3,?ab??)?=0dr=0
?ab??)?=0dr= ?ab d2?/dr2 dr= (d?/dr)ab=(r ?r)ab
=b?r) r=b -a?r)r=a=0
satisfied automatically if Eqs.(4.7.2)(4.7.3) are
satisfied,
当方程 (4.7.2)(4.7.3)满足后，
?ab??)?=0dr=0 自动满足。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 39
Boundary conditions 边界条件
? 4,?ab??)?=0 rdr=M
?ab??)?=0 rdr= ?ab rd2?/dr2 dr = ?ab rd(d?/dr)=
(rd?/dr)ab - ?ab d?/dr dr =(r2?r)ab- ? )ab
=b2?r) r=b -a2?r)r=a -? )ab = - ? )ab
= ? )r=a - ? )r=b=M
?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
? (Alna+Ba2lna+Ca2+D)-
(Alnb+Bb2lnb+Cb2+D)=M (4.7.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 40
Boundary conditions 边界条件
? Solving for A,B,C from Eqs,(4.7.2)(4.7.3)(4.7.6)
and then substituting A B C into Eqs.(4.5.3) to
(4.5.5),we obtain the Golovin?s solution Eqs,
(4.7.7) to (4.7.9)
? 解方程 (4.7.2)(4.7.3)(4.7.6)得 A B C，然后将 A
B C代入 方程 (4.5.3) 至 (4.5.5)得 Golovin?s 解答
(4.7.7) 至 (4.7.9)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 41
Analysis of the solution解答分析
? The distribution of ?r and ??is approximately
shown in Fig,4.7.2 应力 ?r 和 ??近似地
绘于图 4.7.2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 42
Analysis of the solution 解答分析
? mechanics of materials 材料力学
?r=0 ?r?=0 ???0
? Elasticity 弹性力学 ?r?0 ?r?=0 ???0 the
neutral axis (where ??=0) is located a little
nearer surface than the outer surface.中性轴偏
内
? mechanics of materials 材料力学
Elasticity 弹性力学
Cross sections remain plane after bending.
弯曲后横截面仍为平面。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 43
4.9 Effect of circular holes on stress
distribution 圆孔对应力分布的影响
? A phenomenon of stress concentration in the
neighborhood of a hole,an elastic body without hole
is subjected to a certain stress distribution,If a small
hole is made inside the body,large additional stress
in the neighborhood of the hole will take place,
However the stress distribution is almost the same at
distances which are large in comparison with the
dimension of the hole,It is called the phenomenon of
stress concentration,It is of a localized character,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 44
4.9 Effect of circular holes on stress
distribution 圆孔对应力分布的影响
? 孔边应力集中现象,
无孔弹性体中有某种应力分布，在该弹性体中
有一小孔后，孔边产生很大的附加应力，而离
孔较远处应力基本无变化。这种现象叫孔边应
力集中现象，它具有局部性。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 45
A,a rectangular plate with a small circular hole of
radius a and subjected to uniform tensile force of
intensity q in the x direction,
具有半径为 a的小圆孔的矩形板在 x方向受均布荷载 q
? p71(E) Fig,4.9.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 46
The stress at any point on the circle r=b ??a will
be the same as if there were no hole at all.
半径为 b>>a的圆周上的应力同无孔时的应力
? ?x)r=b=q ?y)r=b=0 ?yx )r=b=0
p61(E) (4.4.4) to (4.4.6)
?r=0.5q+0.5q cos2?
??=0.5q-0.5q cos2?
?r?= -0.5q sin2?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 47
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 48
?r=0.5q+0.5q cos2? ?r?= -0.5q sin2?
?r=0.5q ?r?= 0 part 1
?r= +0.5q cos2? part2
?r?= -0.5q sin2?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 49
Part 1 r=b,?r=0.5q ?r?=0
? P66 Eqs,(4.6.5) with qb=-0.5q and a/b=0
become Eqs,(4.9.4) p72
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 50
Part 2 r=b:?r=0.5q cos2? ?r?= -0.5q sin2?
? Since ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) ??=?2?/?r2
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]
we assume ? = f(r) cos2?
? ?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2? =0 (4.3.9)
? cos2?[f(4) (r) +2/r f???(r)-9/r2f??+9/r3f?]=0
? f(4) (r) +2/r f???(r)-9/r2f??+9/r3f?=0
? f=Ar4+Br2+C+D/r2
? ? = cos2?[Ar4+Br2+C+D/r2 ]
? p73 Eqs,(4.9.5) ?r ???r?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 51
Part 2--boundary condition
?r)r=a=0 ?r? )r=a =0
?r)r=b= 0.5q cos2? ?r? )r=b = -0.5q sin2?
---------A B C D
? Solution=part1+part 2
Eqs,(4.9.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 52
??)r=a =q(1-2cos2?)
max?? )r=a =3q independent of a
两端受拉，产生压应力。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 53
B,a rectangular plate with a small circular hole of
radius a and subjected to uniform tensile force of
intensity q1 and q2 in the x and y direction
respectively,具有半径为 a的小圆孔的矩形板在 x
和 y方向分别受到均布荷载 q1和 q2作用。
? 1.Put q=q1 in Eqs,(4.9.6)用 q=q1 代入式 (4.9.6)
? 2.put q=q2 and replace ? by ?+?/2 in Eqs,(4.9.6)式
(4.9.6) 中 q用 q2代,? 用 ?+?/2 代,
? 3,Adding the results together,we obtain
Eqs.(4.9.7)上述结果相加得本问题解答 (4.9.7)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 54
C,A plate of any shape in plane stress or strain
condition with a small circle hole located at some
distance away from the boundary is subjected to any
external forces.
? Assume that there is no hole,find the stress
components and then the magnitudes and
directions of the principal stresses,?1 and ?2,at
the point corresponding to the center of the hole.
? Place the origin of coordinates at the center of the
hole,with x and y axes along ?1 and ?2
respectively,and apply Eqs.(4.9.7) with q1= ?1 and
q2=?2,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 55
C,任意平面问题的板中有一离边界较远的
半径为 a的小圆孔，受到任意荷载 作用 。
? 假定无洞，求出洞中心处的应力，主应力 ?1
和 ?2 及方向。
? 置坐标原点于洞中心,x 轴在 ?1 方向,y 轴
在 ?2 方向，将 q1= ?1 和 q2=?2 代入式 (4.9.7)得
欲求的解答。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 56
4.10 wedge loaded at the vertex or on the
edges 契形体在契顶或契边受力
? P75(E) Fig.4.10.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 57
A,a wedge is subjected to a concentrated
load at its vertex,契形体在契顶受集中力
? 因次分析 dimensional analysis
stress--[force][length]-2
P -- [force][length]-1
r -- [length]
?,?,?---dimensionless
? stresses---P/r
? ? = r f(?)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 58
?
? ? = r f(?) (1)
? substitution of (1) into
?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ?=0
yields 1/r3[f(4)(?)+2f?? +f]=0
? [f(4)(?)+2f?? +f]=0
? f= [A cos? +B sin?+?(C cos?+Dsin?)]
? ?=r[A cos? +B sin?+?(C cos?+Dsin?)]
? ?=r?(C cos?+Dsin?)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 59
? stresses
? ?=r?(C cos?+Dsin?)
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2)
=2/r (Dcos?-Csin?) (4.10.3)
??=?2?/?r2=0 (4.10.4)
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]=0 (4.14.5)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 60
boundary condition
? ?r=2/r (Dcos?-Csin?) ??= 0 ?r?=0
? ??)?=??/2 = 0 ?r? ) ?=??/2 =0 are satisfied
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 61
boundary condition ?r=2/r (Dcos?-Csin?)
? free body 0AB
?Fx=0 ?- ?/2?/2?rcos? rd?+Pcos?=0
?Fy=0 ?- ?/2?/2?rsin? rd?+Psin?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 62
boundary condition ?r=2/r (Dcos?-Csin?)
? free body 0AB
?Fx=0 ?- ?/2?/2?rcos? rd?+Pcos?=0
?Fy=0 ?- ?/2?/2?rsin? rd?+Psin?=0
? solving for D C and substituting D C into
Eq,(4.10.3),we obtain,
?r=-2P/r[(cos?cos?)/(?+sin?)+(sin?sin?)/(?-sin?)]
??=0 ?r?=0 (4.10.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 63
special case 1特例 1,?=? ?=?/2
? Fig,P
y
x
? ?r=-2Psin?/(?r) ??=0 ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 64
Special case 2 特例 2,?=? ?=0---------------
4.11 concentrated normal load on a straight
boundary(Flamant?s problem)直线边界上作
用法向集中荷载 (符拉芒问题）
? ?r=-2P cos? /(? r) ??=0 ?r?=0 (4.11.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 65
displacements 平面应力问题的位移
? ?r=-2Psin?/(? r) ??=0 ?r?=0
? ur=-2Pcos?lnr/(?E)-(1-?)P?sin? /(?E) +Icos?
u?=2Psin?lnr/(?E)+(1+?)Psin?/(?E)-(1-?)
P?cos?/(?E)-Isin?
in which I is the rigid-body translation in
the x direction,其中 I为 x向刚体平动 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 66
Settlement--vertical displacement,positive
downward,沉陷 --铅直向位移，向下为正
? u?=2Psin?lnr/(?E)+(1+?)Psin?/(?E)-(1-?)
P?cos?/(?E)-Isin?
? M(r,?=?/2)--arbitrary point on the surface
M点沉陷 =-u?)M=-2Plnr/(?E)-(1+?)P/(?E)+I
? M(r,?=-?/2)--arbitrary point on the surface
M点沉陷 = u?)M=-2Plnr/(?E)-(1+?)P/(?E)+I
? B(s,?=??/2)---base point
B点沉陷 =-2Plns/(?E)-(1+?)P/(?E)+I
? M点相对沉陷 =M点沉陷 -B点沉陷 = u?)M -u?)B
= 2P/(?E) ln(s/r)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 67
P
y
x
中文书 4-10
B,Uniform normal loads on a straight
boundary 直线边界上作用法向分布荷载
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 68
? 习题作业（英文书） 4.12.1 4.12.5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 69
? 4-12-1 Derive the following equations for
coordinate transformation of displacement
components:
? 推导位移分量的坐标变换式：
ur=u cos?+v sin?
u?=-u sin?+v cos?
u= ur cos?- u? sin?
v= ur sin?+ u? cos?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 70
? 4-12-2 A hollow cylinder with inner radius a
and outer radius b is subjected to an internal
pressure of intensity q,Find the change of the
inner radius,the outer radius and the
thickness.
? 4-1 设有内半径为 a外半径为 b的圆筒受内压 q
，求内半径 外半径和圆筒厚度的改变。
ur )r=a ur )r=b
ur )r=b- ur )r=a
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 71
4-2 设有一刚体，具有半径为 b的圆柱形孔道，
孔道内放置内半径为 a外半径为 b的圆筒，受
圆筒内压 q，求圆筒的应力。
平面应变问题，轴对称应力
?r=A/r2+2C ??=-A/r2+2C ?r?=0
?r )r=a =-q ur )r=b=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 72
4-12-5 A wedge of
infinite length is
subjected to
uniform shearing
forces of intensity
q on its edges.
Find stress
components by
using Eq,
(4.10.12)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 73
? ?=r2(A cos2?+B sin2?+C?+D)
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2)
=-2A cos2?-2B sin2? +2C?+2D
??=?2?/?r2
= 2A cos2?+2B sin2? +2C?+2D
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]
= 2A sin2?-2B cos2? -C
??)?=??/2 = 0
?? r) ?=??/2 = ?q ABCD
Chapter 4 solution of plane problems in
polar coordinates
第四章 平面问题极坐标解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 2
Polar coordinates 极坐标
? The position of a point P in polar coordinates is
defined by the radial coordinate r and the
angular coordinate ?,
一点 P的极坐标用径向坐标 r和角坐标 ?表示
P (r,?)
? displacements:位移, ur u?
? strains:应变, ?r ?? rr?
? stresses,应力, ?r ?? ?r?
? body force:体力, Kr K?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 3
x
r
?
r
?
y
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 4
4.1 Differential equations of equilibrium in
polar coordinates极坐标中的平衡微分方程
? P54(E) Fig,4.1.1; P58(中 )图 4-1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 5
Review,differential equations of equilibrium in
rectangular coordinate直角坐标 平衡方程
? ??x/?x+??yx/?y+X=0 --x方向的平衡方程，体力
和应力都是 x方向，故应力的第二个下标为 x方
向。对应力的第一个下标求导。
? ??y/?y+??xy/?x+Y=0 --y方向的平衡方程，体
力和应力都是 y方向，故应力的第二个下标为 y
方向。对应力的第一个下标求导。
? In the first (second) differential equation of
equilibrium,the body force and stresses are in
the x (y) direction,the second coordinate
subscript in stresses is x (y),the differential of
stresses is respect to the first subscripts,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 6
两种坐标系中的平
衡微分方程的比较
? ??x/?x+??yx/?y+X=0
??y/?y+??xy/?x+Y=0 (2.2.2)
? ??r/?r+???r/(r??)+(?r-??)/r+Kr=0 (4.1.1)
???/(r??)+??r?/?r+2?r?/r+K?=0 (4.1.2)
? (?r-??)/r---正 r面面积大于负 r面面积,??与通过
形心的 r轴有一角度
? 2?r?/r---- ?r? 作用的正 r面面积大于负 r面面积，
??r与通过形心的 ?轴有一角度
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 7
4.2 geometrical and physical equations in
polar coordinates极坐标中的几何物理方程
? P57(E) Fig,4.2.1;P60(中 )图 4-2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 8
Only the radial displacement takes place只有径向位移
? PP?=ur AA?=ur+?ur/?rdr BB?= ur+?ur/??d?
? ?r=(P?A? -PA)/PA=(AA?-PP?)/PA=[(ur+?ur/?rdr)-
ur]/dr=?ur/?r
? ??=(P?B?-PB)/PB=[(r+ur)d?-rd?]/(rd?)=ur/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 9
Only the radial displacement takes place只有径向位移
? the angle of rotation of PA will be ?=0
? the angle of rotation of PB will be ? ?=(BB?-
PP?)/PB=[(ur+?ur/??d?)-ur]/rd?=?ur/(r??)
? rr? =?+?=?ur/(r??)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 10
Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
? PP??=u? AA??=u?+?u?/?rdr BB??=u?+?u?/??d?
? ?r=0
? ??=(P??B??-PB)/PB=(BB??-PP??)/PB =[(u?+?u?/??d?)- u?
]/(rd?)= ?u?/(r??)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 11
Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
? the angle of rotation of PA will be ?=(AA??-PP??)/
PA =[(u?+?u?/?rdr)-u? ]/dr= ?u?/?r
? the angle of rotation of PB will be ? ?=-
<pop ?? =- PP??/OP=-u?/r
? rr? =?+?=?u?/?r-u?/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 12
geometrical equations in rectangular
coordinates
直角坐标中的几何方程
?x=?u/?x ?y=?v/?y rxy=?u/?y+?v/?x
? geometrical equations in polar coordinates
极坐标中的几何方程
? ?r=?ur/?r ??=ur/r +?u?/(r??)
rr? =?ur/(r??) +?u?/?r-u?/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 13
?x=?u/?x ?y=?v/?y中的 规律
? 由 ?x=?u/?x ?y=?v/?y,得出规律：某一坐标方
向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变
中的项 。
1,?x=?u/?x ---x方向的位移 u对 x坐标求导 ?u/?x 为
x方向线段的正应变 ?x 。
2,?y=?v/?y ---y方向的位移 v 对 y坐标求导 ?v/?y
为 y方向线段的正应变 ?y 。
? 将此规律应用到极坐标 。 则有 r方向的位移 ur
对 r求导为 r方向的正应变中的项 ?r=?ur/?r。 ?
方向的位移 u?对 ?求导 （ 再除以 r以保持因次一
致 ）, 为 ?方向的正应变中的项 ??=?u?/(r??)。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 14
rxy=?u/?y+?v/?x中的 一般规律
? 由 rxy=?u/?y+?v/?x,总结出一般规律, 即设有
两个正交坐标方向, 一个坐标方向的位移 （ 如
u） 对另一个坐标方向 （ y） 求导为该坐标方向
（ y） 线段的转角 。
1,?u/?y--x方向的位移 u 对 y坐标求导为 y方向线
段的转角。
2,?v/?x--y方向的位移 v 对 x坐标求导为 x方向线
段的转角。
? 应用这一规律于极坐标，就能方便地解释
?ur/(r??) +?u?/?r为 rr?中的项。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 15
??=ur/r +?u?/(r??)
? ??=[2?(r+a)- 2?r])/ 2?r=a/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 16
rr? =?ur/(r??) +?u?/?r-u?/r
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 17
physical equations in polar coordinates
极坐标中的物理方程
? The physical equations in the two coordinate
systems must have the same form,but with r
and ? in place of x and y respectively.
? ?x=[?x- ??y]/E (2.6.4)
?y=[?y- ??x]/E rxy=?xy/G
x--r y--?
? ?r=[?r- ???]/E (4.2.14-16)
??=[??- ??r]/E rr?=?r?/G
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 18
4.3 stress function and compatibility equation
in polar coordinates
极坐标中的应力函数及相容方程
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) ??=?2?/?r2
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]= -1/r ?2?/(?r??)+1/r2 ??/??
? ?r+??=??/(r?r)+?2?/(r2??2)+?2?/?r2
? ?x+?y=?2?/?y2+?2?/?x2 ?r+??= ?x+?y
? ??/(r?r)+?2?/(r2??2)+?2?/?r2=?2?/?y2+?2?/?x2
? ?2=?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2=?2/?y2+?2/?x2
? ?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ?=0 (4.3.9)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 19
4.4 coordinate transformation of stress
components应力分量的 坐标变换式
? Egs,(4.4.1)---(4.4.12)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 20
4.5 Axisymmetrial stresses and corresponding
displacements轴对称应力和相应的位移
? Axisymmetrial stresses,轴对称应力：
1.the normal stress components are
independent of ?
2.the shearing stress components vanish
3.hence the stress distribution is
symmetrical with respect to any plane
passing through the z axis,
?r= ?r(r) ??= ?? (r) ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 21
?r= ?r(r) ??= ?? (r) ?r?=0
?r(r) ?? (r)
?r(r)
?? (r)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 22
Axisymmetrial stresses 轴对称应力
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) ??=?2?/?r2
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]= -1/r ?2?/(?r??)+1/r2 ??/??
?=?(r)
?r=??/(r?r) ??=?2?/?r2 ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 23
the compatibility equation and its solution
相容方程及其解
? ?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ?=0 (4.3.9)
?=?(r)
?4?=[?/(r?r)+?2/?r2 ]2 ? =0
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
? ?r=??/(r?r)=A/r2+B(1+2lnr)+2C (4.5.3)
??=?2?/?r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C (4.5.4)
?r?=0 (4.5.5)
? Substitution of Eqs,(4.5.3)-(4.5.5) into physical
Equations yields the axisymmetrical strain
components,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 24
[?/(r?r)+?2/?r2 ]2 ? =0
? [?/(r?r)+?2/?r2 ] [? ? /(r?r)+?2 ? /?r2 ] =0
? ?/(r?r) ? ? /(r?r)=r-2 ?’’-r-3 ?’
?/(r?r) [?2 ? /?r2 ]=r-1?’’’
?2/?r2 [? ? /(r?r) ]= ?/?r[r-1 ?’’-r-2 ?’]
= r-1?’’’-2r-2?’’+2r-3 ?’
?2/?r2 [?2 ? /?r2 ]=d4?/dr4
? r4?’’’’+2r3 ?’’’ -r2 ?’’ +r?’=0
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 25
r4?’’’’+2r3 ?’’’ -r2 ?’’ +r?’=0
? Assume r=et
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 26
the corresponding strains and displacements
相应的应变及位移
? Substitution of Eqs,(4.5.3)-(4.5.5) into physical
Equations yields the axisymmetrical strain
components,将式 (4.5.3)-(4.5.5) 的应力代入物
理方程得应变分量，为轴对称。
? Substituting the strains into geometrical
equations and then doing some integration,we
obtain the displacements,将 应变分量代入几何
方程并积分等可得位移分量，一般不为轴对称
。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 27
The corresponding displacements in plane
stress problems 平面应力问题的相应位移
? ur=1/E[-(1+?)A/r+2(1-?)Br(lnr-1)+(1-3?)Br
+2(1- ?)Cr]+Icos?+Ksin? (4.5.16)
u?=4Br?/E+Hr-Isin?+Kcos? (4.5.17)
? they are usually not symmetrical about the z
axis,位移分量一般不为轴对称,
? u?=4Br?/E may be multi-valued
displacements.可能为位移多值项。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 28
The symmetrical displacements in plane
stress problems
平面应力问题的 轴对称 位移
? ur=1/E[-(1+?)A/r+2(1-?)Br(lnr-1)+(1-3?)Br
+2(1- ?)Cr]+Icos?+Ksin? (4.5.16)
u?=4Br?/E+Hr-Isin?+Kcos? (4.5.17)
I=K=H=B=0
? ur=1/E[-(1+?)A/r+2(1-?)Br(lnr-1)+(1-3?)Br
+2(1- ?)Cr]
u?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 29
rigid-body displacements,刚体位移
? ur= Icos?+Ksin?
u?=Hr-Isin?+Kcos?
? I--the rigid-body translation in the x direction.
I-- x向的刚体平动。
? K--the rigid-body translation in the y direction.
K-- y 向的刚体平动 。
? H--the rigid-body rotation about the z axis.
H-- 绕 z轴的刚体转动
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 30
4.6 Hollow cylinder subjected to uniform
pressures均布压力作用下的中空圆柱体
? P65(E) Fig.4.6.1 p71(中 ) 图 4-4
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 31
Stresses 应力
? ?r=??/(r?r)=A/r2+B(1+2lnr)+2C (4.5.3)
??=?2?/?r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C (4.5.4)
?r?=0 (4.5.5)
the condition of single-valued
displacements leads to B=0
? ?r=A/r2+2C ??=-A/r2+2C ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 32
Boundary conditions 边界条件
? ?r=A/r2+2C ??=-A/r2+2C ?r?=0
? ?r?)r=a=0 and ?r?)r=b=0 are satisfied
automatically
? ?r)r=a=-qa ?r)r=b=-qb
------p65(E) Eqs.(4.6.1)---------A C
? Lame`s formulas for the stress P66(E)(4.6.2)
拉密解答
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 33
Only internal pressure acts 只有内压 qa?0 qb=0
P66(E) Eqs,(4.6.3) Fig.4.6.1.b.
b??saint-venant?s principle
? Only external pressure acts只有外压 qa= 0 qb? 0
? P66(E) Egs,(4.6.5) Fig.4.6.1c.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 34
4.7 pure bending of curved beams
曲梁的纯弯曲
P67(E) Fig.4.7.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 35
curved beams 曲梁
? A curved beam with a constant narrow
rectangular cross section.矩形断面曲梁
? A curved beam with a circular axis.圆轴曲梁
? Inner radius is a; outer radius is b;central angle
is ?.内半径 a,外半径 b,中心角 ?.
? The moment of each couple per unit width of the
beam at the ends is M.单位宽度的端弯矩为 M.
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 36
Axisymmetrical stresses of the curved beam
曲梁的轴对称应力
? Since the bending moment is constant along the
beam,the stress distribution is the same on all
cross sections and the solution of the problem
can therefore be obtained by using Eqs,(4.5.2)
to (4.5.5)因为弯矩相同，因此各断面上应力分
布相同而可用 轴对称应力表达式 (4.5.2) 到
(4.5.5)
? ?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
? ?r=??/(r?r)=A/r2+B(1+2lnr)+2C (4.5.3)
??=?2?/?r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C (4.5.4)
?r?=0 (4.5.5)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 37
Boundary
conditions
边界条件
? 1,?r?)r=a=0,?r?)r=b=0,??r)?=0=0 and ?? r)?= ?=0
are satisfied automatically
? 2,?r)r=a=0 A/a2+B(1+2lna)+2c=0 (4.7.2)
?r)r=b=0 A/b2+B(1+2lnb)+2c=0 (4.7.3)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 38
Boundary conditions 边界条件
? 3,?ab??)?=0dr=0
?ab??)?=0dr= ?ab d2?/dr2 dr= (d?/dr)ab=(r ?r)ab
=b?r) r=b -a?r)r=a=0
satisfied automatically if Eqs.(4.7.2)(4.7.3) are
satisfied,
当方程 (4.7.2)(4.7.3)满足后，
?ab??)?=0dr=0 自动满足。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 39
Boundary conditions 边界条件
? 4,?ab??)?=0 rdr=M
?ab??)?=0 rdr= ?ab rd2?/dr2 dr = ?ab rd(d?/dr)=
(rd?/dr)ab - ?ab d?/dr dr =(r2?r)ab- ? )ab
=b2?r) r=b -a2?r)r=a -? )ab = - ? )ab
= ? )r=a - ? )r=b=M
?=Alnr+Br2lnr+Cr2+D (4.5.2)
? (Alna+Ba2lna+Ca2+D)-
(Alnb+Bb2lnb+Cb2+D)=M (4.7.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 40
Boundary conditions 边界条件
? Solving for A,B,C from Eqs,(4.7.2)(4.7.3)(4.7.6)
and then substituting A B C into Eqs.(4.5.3) to
(4.5.5),we obtain the Golovin?s solution Eqs,
(4.7.7) to (4.7.9)
? 解方程 (4.7.2)(4.7.3)(4.7.6)得 A B C，然后将 A
B C代入 方程 (4.5.3) 至 (4.5.5)得 Golovin?s 解答
(4.7.7) 至 (4.7.9)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 41
Analysis of the solution解答分析
? The distribution of ?r and ??is approximately
shown in Fig,4.7.2 应力 ?r 和 ??近似地
绘于图 4.7.2
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 42
Analysis of the solution 解答分析
? mechanics of materials 材料力学
?r=0 ?r?=0 ???0
? Elasticity 弹性力学 ?r?0 ?r?=0 ???0 the
neutral axis (where ??=0) is located a little
nearer surface than the outer surface.中性轴偏
内
? mechanics of materials 材料力学
Elasticity 弹性力学
Cross sections remain plane after bending.
弯曲后横截面仍为平面。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 43
4.9 Effect of circular holes on stress
distribution 圆孔对应力分布的影响
? A phenomenon of stress concentration in the
neighborhood of a hole,an elastic body without hole
is subjected to a certain stress distribution,If a small
hole is made inside the body,large additional stress
in the neighborhood of the hole will take place,
However the stress distribution is almost the same at
distances which are large in comparison with the
dimension of the hole,It is called the phenomenon of
stress concentration,It is of a localized character,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 44
4.9 Effect of circular holes on stress
distribution 圆孔对应力分布的影响
? 孔边应力集中现象,
无孔弹性体中有某种应力分布，在该弹性体中
有一小孔后，孔边产生很大的附加应力，而离
孔较远处应力基本无变化。这种现象叫孔边应
力集中现象，它具有局部性。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 45
A,a rectangular plate with a small circular hole of
radius a and subjected to uniform tensile force of
intensity q in the x direction,
具有半径为 a的小圆孔的矩形板在 x方向受均布荷载 q
? p71(E) Fig,4.9.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 46
The stress at any point on the circle r=b ??a will
be the same as if there were no hole at all.
半径为 b>>a的圆周上的应力同无孔时的应力
? ?x)r=b=q ?y)r=b=0 ?yx )r=b=0
p61(E) (4.4.4) to (4.4.6)
?r=0.5q+0.5q cos2?
??=0.5q-0.5q cos2?
?r?= -0.5q sin2?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 47
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 48
?r=0.5q+0.5q cos2? ?r?= -0.5q sin2?
?r=0.5q ?r?= 0 part 1
?r= +0.5q cos2? part2
?r?= -0.5q sin2?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 49
Part 1 r=b,?r=0.5q ?r?=0
? P66 Eqs,(4.6.5) with qb=-0.5q and a/b=0
become Eqs,(4.9.4) p72
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 50
Part 2 r=b:?r=0.5q cos2? ?r?= -0.5q sin2?
? Since ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2) ??=?2?/?r2
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]
we assume ? = f(r) cos2?
? ?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2? =0 (4.3.9)
? cos2?[f(4) (r) +2/r f???(r)-9/r2f??+9/r3f?]=0
? f(4) (r) +2/r f???(r)-9/r2f??+9/r3f?=0
? f=Ar4+Br2+C+D/r2
? ? = cos2?[Ar4+Br2+C+D/r2 ]
? p73 Eqs,(4.9.5) ?r ???r?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 51
Part 2--boundary condition
?r)r=a=0 ?r? )r=a =0
?r)r=b= 0.5q cos2? ?r? )r=b = -0.5q sin2?
---------A B C D
? Solution=part1+part 2
Eqs,(4.9.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 52
??)r=a =q(1-2cos2?)
max?? )r=a =3q independent of a
两端受拉，产生压应力。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 53
B,a rectangular plate with a small circular hole of
radius a and subjected to uniform tensile force of
intensity q1 and q2 in the x and y direction
respectively,具有半径为 a的小圆孔的矩形板在 x
和 y方向分别受到均布荷载 q1和 q2作用。
? 1.Put q=q1 in Eqs,(4.9.6)用 q=q1 代入式 (4.9.6)
? 2.put q=q2 and replace ? by ?+?/2 in Eqs,(4.9.6)式
(4.9.6) 中 q用 q2代,? 用 ?+?/2 代,
? 3,Adding the results together,we obtain
Eqs.(4.9.7)上述结果相加得本问题解答 (4.9.7)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 54
C,A plate of any shape in plane stress or strain
condition with a small circle hole located at some
distance away from the boundary is subjected to any
external forces.
? Assume that there is no hole,find the stress
components and then the magnitudes and
directions of the principal stresses,?1 and ?2,at
the point corresponding to the center of the hole.
? Place the origin of coordinates at the center of the
hole,with x and y axes along ?1 and ?2
respectively,and apply Eqs.(4.9.7) with q1= ?1 and
q2=?2,
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 55
C,任意平面问题的板中有一离边界较远的
半径为 a的小圆孔，受到任意荷载 作用 。
? 假定无洞，求出洞中心处的应力，主应力 ?1
和 ?2 及方向。
? 置坐标原点于洞中心,x 轴在 ?1 方向,y 轴
在 ?2 方向，将 q1= ?1 和 q2=?2 代入式 (4.9.7)得
欲求的解答。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 56
4.10 wedge loaded at the vertex or on the
edges 契形体在契顶或契边受力
? P75(E) Fig.4.10.1
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 57
A,a wedge is subjected to a concentrated
load at its vertex,契形体在契顶受集中力
? 因次分析 dimensional analysis
stress--[force][length]-2
P -- [force][length]-1
r -- [length]
?,?,?---dimensionless
? stresses---P/r
? ? = r f(?)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 58
?
? ? = r f(?) (1)
? substitution of (1) into
?4?=[?/(r?r)+?2/(r2??2)+?2/?r2 ]2 ?=0
yields 1/r3[f(4)(?)+2f?? +f]=0
? [f(4)(?)+2f?? +f]=0
? f= [A cos? +B sin?+?(C cos?+Dsin?)]
? ?=r[A cos? +B sin?+?(C cos?+Dsin?)]
? ?=r?(C cos?+Dsin?)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 59
? stresses
? ?=r?(C cos?+Dsin?)
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2)
=2/r (Dcos?-Csin?) (4.10.3)
??=?2?/?r2=0 (4.10.4)
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]=0 (4.14.5)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 60
boundary condition
? ?r=2/r (Dcos?-Csin?) ??= 0 ?r?=0
? ??)?=??/2 = 0 ?r? ) ?=??/2 =0 are satisfied
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 61
boundary condition ?r=2/r (Dcos?-Csin?)
? free body 0AB
?Fx=0 ?- ?/2?/2?rcos? rd?+Pcos?=0
?Fy=0 ?- ?/2?/2?rsin? rd?+Psin?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 62
boundary condition ?r=2/r (Dcos?-Csin?)
? free body 0AB
?Fx=0 ?- ?/2?/2?rcos? rd?+Pcos?=0
?Fy=0 ?- ?/2?/2?rsin? rd?+Psin?=0
? solving for D C and substituting D C into
Eq,(4.10.3),we obtain,
?r=-2P/r[(cos?cos?)/(?+sin?)+(sin?sin?)/(?-sin?)]
??=0 ?r?=0 (4.10.6)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 63
special case 1特例 1,?=? ?=?/2
? Fig,P
y
x
? ?r=-2Psin?/(?r) ??=0 ?r?=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 64
Special case 2 特例 2,?=? ?=0---------------
4.11 concentrated normal load on a straight
boundary(Flamant?s problem)直线边界上作
用法向集中荷载 (符拉芒问题）
? ?r=-2P cos? /(? r) ??=0 ?r?=0 (4.11.1)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 65
displacements 平面应力问题的位移
? ?r=-2Psin?/(? r) ??=0 ?r?=0
? ur=-2Pcos?lnr/(?E)-(1-?)P?sin? /(?E) +Icos?
u?=2Psin?lnr/(?E)+(1+?)Psin?/(?E)-(1-?)
P?cos?/(?E)-Isin?
in which I is the rigid-body translation in
the x direction,其中 I为 x向刚体平动 。
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 66
Settlement--vertical displacement,positive
downward,沉陷 --铅直向位移，向下为正
? u?=2Psin?lnr/(?E)+(1+?)Psin?/(?E)-(1-?)
P?cos?/(?E)-Isin?
? M(r,?=?/2)--arbitrary point on the surface
M点沉陷 =-u?)M=-2Plnr/(?E)-(1+?)P/(?E)+I
? M(r,?=-?/2)--arbitrary point on the surface
M点沉陷 = u?)M=-2Plnr/(?E)-(1+?)P/(?E)+I
? B(s,?=??/2)---base point
B点沉陷 =-2Plns/(?E)-(1+?)P/(?E)+I
? M点相对沉陷 =M点沉陷 -B点沉陷 = u?)M -u?)B
= 2P/(?E) ln(s/r)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 67
P
y
x
中文书 4-10
B,Uniform normal loads on a straight
boundary 直线边界上作用法向分布荷载
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 68
? 习题作业（英文书） 4.12.1 4.12.5
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 69
? 4-12-1 Derive the following equations for
coordinate transformation of displacement
components:
? 推导位移分量的坐标变换式：
ur=u cos?+v sin?
u?=-u sin?+v cos?
u= ur cos?- u? sin?
v= ur sin?+ u? cos?
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 70
? 4-12-2 A hollow cylinder with inner radius a
and outer radius b is subjected to an internal
pressure of intensity q,Find the change of the
inner radius,the outer radius and the
thickness.
? 4-1 设有内半径为 a外半径为 b的圆筒受内压 q
，求内半径 外半径和圆筒厚度的改变。
ur )r=a ur )r=b
ur )r=b- ur )r=a
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 71
4-2 设有一刚体，具有半径为 b的圆柱形孔道，
孔道内放置内半径为 a外半径为 b的圆筒，受
圆筒内压 q，求圆筒的应力。
平面应变问题，轴对称应力
?r=A/r2+2C ??=-A/r2+2C ?r?=0
?r )r=a =-q ur )r=b=0
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 72
4-12-5 A wedge of
infinite length is
subjected to
uniform shearing
forces of intensity
q on its edges.
Find stress
components by
using Eq,
(4.10.12)
徐汉忠第一版 2000/7 弹性力学 第四章 73
? ?=r2(A cos2?+B sin2?+C?+D)
? ?r=??/(r?r)+?2?/(r2??2)
=-2A cos2?-2B sin2? +2C?+2D
??=?2?/?r2
= 2A cos2?+2B sin2? +2C?+2D
?r?=- (?/?r)[??/(r??)]
= 2A sin2?-2B cos2? -C
??)?=??/2 = 0
?? r) ?=??/2 = ?q ABCD
