1
第七章 信号的运算与处理
? 教学时数,10学时
? 重点与难点,
? 1、进一步理解与掌握运放“虚短”与“虚断”
的概念，并能熟练运用。
? 2、掌握基本运算电路。
? 3、模拟乘 (除 )法器、有源滤波电路
2
2.集成运放输入电阻很高，两输入电流几乎
为零，即虚断。
本章所讨论的集成运放的基本应用电路，
主要包括加法、减法、微分、积分运算电路。
在分析各种运算和处理电路时，由运放构
成的电路通常工作在深度负反馈条件下，常用
到以下两个概念,
1.集成运放两个输入端之间的电压通常接近于
零，即虚短。
7-1 概 述
3
一、理想运放的性能指标,
? 开环差模增益 Aod=∞
? 差模输入电阻 Rid=∞
? 输出电阻 Ro=0
? 共模抑制比 KCMR =∞
? 上限截止频率 fH≈∞
? 失调电压 Uoi,失调电流 Ioi,电压温漂,
电流温漂,理想时均为 0。
? 最大共模输入电压 Uicmax、最大差模输入电
压 Uidmax、转换速率 SR等。
在分析时将一般运放看成理想运放。
A ∞
+
-
dT
dUoi
dT
dIoi
4
二, 理想运放的工作区
理想运放的工作区
域一般分为两个,
线性工作区和非线性工
作区。
1、线性工作区
运放工作在线性
工作区时，其输出电
压 uo与差模电压成线
性关系。即
)uu(Au iiodo ?? ??
v
0
v
0 H
0 v
P
- v
N
v
0 L
线性区
正向饱和区
负向饱和区
A uo
ui-
ui+ Δuid
5
这就是理想运放的一个重要特征，称
为,虚短路” 。即两输入端电压无限接近。
由于理想运放的 Rid≈∞，而 ΔUid≈0，故
两输入端电流也为 0。即
0ii ?? ??
这一个特征称为,虚断路” 。即两输入
端电流趋近于 0。
由于理想运放 Aod=∞，而 uo又为有限值，故
以上关系式中
0uu ii ?? ??
即
?? ? ii uu
6
+
—
ui uO
I-
I+
U-
U+
U+ ≈U- 虚短,
I+ ≈I- =0 虚断,
虚地,U- ≈U+=0
RP
RN
通常应使 RP=RN,
RN为限流电阻；
RP为平衡 电阻。
7
对于工作在线性区的运放，“虚短”和
“虚断”特性是分析运放电路输出、输入
关系的重要基础。
对于理想运放，只要在运放的输入端
施加很小的差模电压,uo就会有一个接近
电源电压的输出值。因此必须在运放的输
出端和输入端之间引入一个负反馈，从而
保证输出与输入成线性关系。
因此有无负反馈是判断运放电路工作
在线性区的重要特征。
所有工作在运算电路和放大电路中的
运放都是工作在线性区。
8
v 0
v om
0 v P - v N
-v om
2、非线性工作区
如果运放工作时不接
反馈或接入正反馈时，其
输出将为 ± Vom，此时输
出与输入电压为非线性关
系。称运放工作在非线性
区。其电压传输特性如图
当 ui+＞ ui-时,uo=Vom
当 ui+＜ ui-时,uo=－ Vom
尽管 uo为有限值，由于运放 Ri=∞，故 i+=i-=0，
仍然为“虚断”。
9
7-2 基本运算电路
由运放为放大电路组成的运算电路均
工作在线性工作区，并且输入、输出信号
均以“地”为参考点。
在运算电路中，以输入电压为自变量，
以输出电压为函数，通过对输入端子及反
馈电路的不同组合，实现各种数学运算功
能，通过输出电压反映运算结果。这就是
运算电路的基本思想。“运算放大器”也
因此得名。
10
比例运算电路
微积分运算电路
反相比例运算电路
同相比例运算电路
电压跟随器
微分运算电路
积分运算电路
加减运算电路 反 相求和电 路 同 相求和电 路
差分电路
其他运算电路
指数运算电路
对数运算电路
乘法运算电路
除法运算电路
11
一、反相比例运算电路
结构特点,输入电压 ui通过
R1加入运放反向输入端，故
输出 uo与输入反相位。
负反馈 Rf引到反相输入端，
为电压并联负反馈。
Rp为平衡电阻，以保证运放
差分输入的对称性。其值为
ui=0时,uo=0输入端的等效
电阻。故 Rp=R1 // Rf 。
对理想运放,uN=uP,iN=iP=0，有 i1=if
即
f
oN
1
Ni
R
uu
R
uu ???
uo
Rf
R1
RP
ui
i1
if
A
N
P
12
0uu PN ??
i
1
f
o uR
R
u ??
1
f
i
o
P R
R
u
u
K ???
比例系数 （ 放大倍数 ）
虚地
整理得,
由于
电路的输入电阻
Ro≈0
电路的输出电阻
Ri≈R1
13
反相比例电路的特点,
1,共模输入电压为 0，因此对运放的共模抑制比
要求低。
2,由于电压负反馈的作用，输出电阻小，可认
为是 0，因此带负载能力强。
3,由于并联负反馈的作用，输入电阻小，因此
对输入电流有一定的要求。
4,在放大倍数较大时，该电路结构不再适用 。
14
二、同相比例运算电路
结构特点,负反馈引到反
相输入端，信号从同相端
输入。
反馈方式,电压串联负反
馈。输入电阻较高。
Rf
R1
RP
ui
uo
A
iR if
N
P
对理想运放,uP=uN,iN=iP=0，有
即
f
No
1f
Pi
R
uu
//RR
uu ???
i
1
f
o u)R
R
1(u ??
整理得,
uo与 ui同相且大于 ui。
1f
pi
fR R//R
uuii ???
15
同相比例电路的特点,
3,共模输入电压为 ui，不为零,因此对运放的共
模抑制比要求高。
1,由于电压负反馈的作用，输出电阻小，可认
为是 0，因此带负载能力强。
2,由于串联负反馈的作用，输入电阻大。
4,Rf = 0 或 R1= ? 时, Auf=1 输出电压全部引到
反相输入端, 信号从同相端输入 。 电压跟随器
是同相比例运算放大器的特例 。
16
_
+
?
+
?
Rf
R1
RP
ui
uo
Au=1+ Rf R
1
当 Rf =0时,Au=1 uo=ui
三, 电压跟随器
此电路是电压串联
负反馈，输入电阻大，
输出电阻小，在电路
中作用与分离元件的
射极输出器相同，但
是电压跟随性能更好。
17
例 1,R1=10k?,Rf=20k?,ui =-1V。求,uo, RP应
为多大？
RP=R1//Rf =10//20=6.7 k?
uo
Rf
R1
RP
ui
i1
if
A
N
P
KP= -(Rf /R1)= -20/10= -2
uo= KP ui=(-2)(-1)=2V
18
例 2,R1=10k?,Rf=20k?,ui =-1V。求,uo, RP应
为多大？
uo= KP ui=(3)(-1)=-3V
RP=R1//Rf =10//20=6.7 k?
KP=1+ =1+20/10=3 Rf R
1
Rf
R1
RP
ui
uo
A
iR if
N
P
19
例 3,求 Au =?
0?? ?? uu
i1= i2=0
虚短路
虚开路
3
M
3 R
ui ??
2
M
2
1
i
1 R
ui
R
ui ????
为提高比例系数，采用 T形网络反相比例运算电路
uo
R2
R1
RP
ui
R4
R3
i1
i2 i4
i3
M
A
解,
4
oM
4 R
uui ??
432 iii ??
20
)
R
R
R
R
(1
R
R
RR
RRRRRR
u
u
A
3
4
2
4
1
2
31
434232
i
o
u
????
??
????
i
31
434232
o u)RR
RRRRRR(u ????
该放大电路，在放大倍数较大时，可避免使用大电
阻。但 R3的存在，削弱了负反馈。
21
例 4,自举扩展 输入电阻反相比例电路，求 Ri。
解,A1为一反相比例放大器，则
I
1
2
O UR
RU ??
A2也为一反相比例放大器，则
II
1
2
2
1
O
2
1
O2
2UU)
R
R
)(
R
2R
(
U
R
2R
U
????
??
有 II=IR1－ IR,
而
1
I
R1 R
UI ?
R
U
R
U2U
R
UUI IIIIO2
R ?
????
故
I
1
1I
1
I
RR1I U)RR
RR(
R
U
R
UI-II －????
1
1
I
I
i RR
RR
I
UR
－???
22
作业,P378~379
1,4,6
23
四、加减运算电路
作用,将若干个输入信号之和或之差按比
例运算。
类型,同相求和和反相求和。
方法,引入深度电压并联负反馈或电压串联
负反馈。这样输出电压与运放的开环
放大倍数无关，只与输入电压和反馈
系数有关。
24
实际应用时可依需要改变输入端的个数，以适
应不同的运算要求。
f1211P R//R//RR ?
1、反相加法运算电路
R12
_
+
Rf R11
ui2 uo
RP
ui1 如图所示为实现两个
输入电压 ui1,ui1的反相
加法电路，该电路为多输
入的电压并联负反馈电路。
由于电路存在虚短，运放
的净输入电压 uid=0，反
相端为虚地。
平衡电阻,
25
0uu NP ??
Fiii ?? 1211
)
R
u
R
u
(Ru
12
2i
11
1i
fo ????
调节反相求和电路的某一路信号的输入电阻，不影响
输入电压和输出电压的比例关系，故该电路可实现不
同量纲输入电压的求和运算。当 Rf=R11=R12时,
f
ON
12
Ni2
11
N1i
R
uu
R
uu
R
uu ?????
)uu(u 2i1io ???
i12
iF
i11 R
12
Rf R11
ui2 uo
RP
ui1
P
N _
+
26
2、同相求和运算
可以看出，改变 R21,R22会影响电路的输入电阻，
因此该电路对输入电压的调整作用没有反向加法电
路方便。
2221f1 R//RR//R ?
R1 Rf
ui1
uo R
21
R22 u
i2
_
+
将多个输入电压
加到运放的同相输入
端，就构成同相加法
电路。
根据虚地原则，有
27
如果以 uP 为输入,则同
相比例电路输出电压为,
P
1
f
o u)R
R
1(u ??
)u
RR
Ru
RR
R)(
R
R
1(u 2i
1211
11
1i
1211
12
1
f
o ??????
同相求和电路的各输入信号的放大倍数互相影响，不能
单独调整。
由 虚短,虚断原则,uP=uN, iP=iN=0
2i
2221
21
1i
2221
22
P uRR
Ru
RR
Ru
?
?
?
?
R1 Rf
ui1
uo R
21
R22 u
i2
_
+
28
左图也是同相求和运算
电路,如何求同相输入
端的电位？
提示,
1,虚开路：流入同相端的
电流为 0。
2,节点电位法求 uP。
-
R1 Rf
+ ui1
uo R
21
R22 u
i2
R′
29
3、减法运算电路
（ 1）利用反相求和实现减法运算电路
-
Rf1
+
ui2
uo1
R2
ui1 R
1
R3
-
Rf2
+
uo
R2
R4
A1
A2
该电路第一级为反相比例电路，第二级为反相加
法电路组成。
30
1i
1
1f
1o uR
R
u ??
2f241f13 R//R2
1R,R//RR ??
）（ 2i1i
1
1f
2
2f
o uuR
R
R
R
u ??
-
Rf1
+
ui2
uo1
R2
ui1 R
1
R3
-
Rf2
+
uo
R2
R4
A1
A2
)uu(
R
R
u 2i1o
2
2f
o ???将 u
o1代入，整理得
选择 Rf2=R2,Rf1=R1，则
2i1io uuu ??
31
R 1
R f
-
+
R 2
R 3
ui1
ui2
uo
（ 2）利用差分电路实现减法运算电路
如图电路，该电路利用
了同相比例与反相比例
相结合的运算方法。
根据运放的虚短虚断原则，有
f
oN
1
N1i
R
uu
R
uu ???
3
P
2
P2i
R
u
R
uu ??
1i
1
f
2i
32
3
1
f1
o uR
Ru)
RR
R)(
R
RR(u ?
?
???
当 R1= R2= R3= Rf，则上式可写为
1i2io uuu ??
32
（ 3）利用反相求和实现加减法运算电路
利用反相加法器与
输入反相，同相加法器
与输入同相的特点可实
现加减法运算。
643f21 R//R//RR//R//R ?
R2
Rf R1
ui2 uo
ui1
R4 u
i4
ui3
R3
R6
_
+
根据虚地原则，有
)RuRu)(R//R//R(u
4
4i
3
3i
643P ??
根据虚断原则，有
f
oN
2
N2i
1
N1i
R
uu
R
uu
R
uu ?????
根据虚断原则，有
33
)]
R
u
R
u
()
R
u
R
u
[(R
]u)
R
1
R
1
R
1
(
R
u
R
u
[Ru
2
2i
1
1i
4
4i
3
3i
f
N
f212
2i
1
1i
fo
????
??????
R2
Rf R1
ui2 uo
ui1
R4 u
i4
ui3
R3
R6
_
+
由于 uP=uN
整理得,
34
差动放大器放大了两个信号的差，但是它的输
入电阻不高（ =2R1）,这是由于反相输入造成。
因此应选用较高 KCMR的运放。
_
+
R2
R1
R1
ui2
uo
R2
ui1
35
（ 4）利用三运放组成加减运算电路
uo
R1
R1
– A
R2
R2
+
uo2
+ A
– A
R
R
RW
ui1
ui2
uo1
a
b
+
36
1ia uu ? 2ib uu ?
W
ba
W
oo
R
uu
RR
uu ??
?
?
2
21
W
ii
R
uu 21 ??
?? 12 oo uu
)(2 12 ii
W
W uu
R
RR ??
虚短路,
虚开路,
uo2
+ A
– A
R
R
RW
ui1
ui2
uo1
a
b
+
37
)(
2
12
1
2
ii
W
W
o uuR
RR
R
R
u ?
?
??
? 三运放电路是差
动放大器，放大
倍数可变。
? 由于输入均在同
相端，此电路的
输入电阻高。
)( 12
1
2
ooo uuR
R
u ??
R1
R1
– A
R2
R2
+
38
1,它们都引入电压负反馈，因此输出电阻都比
较小 。
2,关于输入电阻：反相输入的输入电阻较小，
同相输入的输入电阻较高。
3,同相输入的共模电压高，反相输入的共模电
压小。
比例运算电路与加减运算电路小结
4,以上放大器均可级联,级联时各级放大倍数
独立计算。
39
五,积分微分运算电路
积分、微分运算电路在实际工作中应用非
常广泛。在传统仪表控制系统中常用积分、微
分运算电路作为控制对象的调节环节；信号发
生器中的信号源也采用积分电路；数字万用表
中的 A/D转换器也是采用双积分式的。
1、反相积分运算电路
ui
+ Ａ
R
R2
C
uo － 该电路是在基本反相比例运算电路基础上将反馈电
阻用电容 C取代后得到。
40
i1
iF
ui
+ Ａ
R
R2
C
uo －
Rf
根据虚地原则，有
F1 ii ?
而
R
u
R
uui iNi
1 ?
??
???? tt cCON 0 dtiC1uuu
)t(udtu
RC
1u
00
t
0 iO
???? ?
实用中一般在 C上并联一电阻 Rf,以防止对低频和
直流信号输入时 Ad过大起到限幅作用。
式中 u0(t0)为电容在初始时刻的电压值。
41
2、同相积分运算电路
如果将输入信号按同相比
例电路接法从同相输入，并将
反馈电阻和平衡电阻用电容 C
取代，便构成同相积分电路。
iCF
i1
ui + Ａ
R
R
Cf
uo －
C iR
在反相输入端，有
CF1 ii ?
dt
)uu(dC
R
u0 ON
f
N ???
dt
duC
R
u
dt
duC O
f
NN
f ??
．．．．．①
42
在同相输入端，有
CR ii ?
dt
duC
R
uu PPi ??
R
u
R
u
dt
duC iPP ??,．．．．②
由于 uP=uN，取 C=Cf，则① =②,即
R
u
dt
duC iO ?
)t(udtu
RC
1u
00
t
0 io
??? ?
i1
ui + Ａ
R
R
Cf
uo －
C iR
实现了同相积分。
43
对于输入信号的不同，积分电路可表现出不同
的输出特性,
若输入为阶跃信号，则
积分电路表现为与输入成线
性关系增长直到 C充电结束，
使运放进入饱和状态。充电
时间 τ=RC。
若输入为方波信号，则
积分电路表现为充电与放电
交替进行的状态（理想），
对外表现为三角波。
t
ui
0
t
uo
0 τ
t
ui
0
t
uo
0
44
积分电路的主要用途,
1,在电子开关中用于延迟。
2,波形变换。例：将方波变为三角波。
3,A/D转换中，将电压量变为时间量。
4,移相。
45
3、微分运算电路
如果将积分电路中 R和 C
的位置互换，便构成基本微分
电路。它是积分的逆运算。
根据虚断原则，有
CR ii ?
而
dt
duCi i
c ? R
ui O
R ??
dt
duCRRiu i
Ro ?????
当输入电压 us为阶跃信号时，
输出电压仍为一个有限值，随
着 C的充电。 uo将逐渐地衰减，
最后趋近于零。
46
该电路说明微分电路对输入信号特别敏感，故
它的抗干扰能力差。另外，对反馈信号具有滞后作
用的 RC环节，与集成运放内部电路的滞后作用叠
加在一起，可能引起自激振荡。再者 ui突变时，输
入电流会较大，输入电流与反馈电阻的乘积可能超
过集成运放的最大输出电压，有可能使电路不能正
常工作。
改进型的微分电路如
图所示。其中 R1起限流作
用,R2和 C2并联起相位补
偿作用。该电路是近似的
微分电路。
47
例 1,设计一个加减运算电路,RF=240k?,使
uo=10ui1+ 8ui2 - 20ui3
解, (1) 画电路。
系数为负的信号从
反相端输入，系数
为正的信号从同相
端输入。
-
R3 RF
?
+ +
ui1
uo R
2
R1
ui2
R4
ui3
48
(2) 求各电阻值。
-
R3 RF
?
+ +
ui1
uo R
2
R1
ui2
R4
ui3
FRRRRR ////// 3421 ?
)(
3
3
2
2
1
1
R
u
R
u
R
uRu iii
Fo ???
?? k240FR
uo=10ui1+ 8ui2 - 20ui3
?? k241R
?? k302R
?? k123R
?? k804R
49
例 2,A/D变换器要求其输入电压的幅度为 0 ~ +5V，
现有信号变化范围为 -5V~+5V。试设计一电平变
换电路，将其变化范围变为 0~+5V。
+5V
-5V
+5V
+2.5V
电平抬高电路 A/D 计算机 ui uo
uo = 0.5ui+2.5 V
50
uo =0.5ui +2.5 V
=0.5 (ui +5) V
_
+
?
+
?
10k? 20k?
+5V
5k?
ui
20k?
uo1 uo
_
+
?
+
? 20k?
20k?
10k ?
)5(5.0)5(20101 ??????? iio uuu )5(5.02020 1 ????? ioo uuu
51
例 3,R1=10k?,R2=20k?,ui 1=-1V,ui 2=1V 。
求,uo
uo _
+
?
+
?
R2
R1
R1
R2
ui1
_
+
?
+
?
ui2
_
+
?
+
?
R2
R1
RP
uo= (uo2- uo1)
=(20/10)[3-(-1) ]
=8V
R2
R1
uo1= ui1=-1V
uo2= ui2(1+R2/R1)=3V
52
例 4,由三运放放大器组成的温度测量电路。
uo
R1
R1
+ + ?
A3
R2
R2
+ + ?
A1
_
+
?
A2
R
R
RW
+
E=+5V
R
R
R
Rt
ui
Rt,热敏电阻 集成化,仪表放大器
53
Rt=f (T° C)
uo
R1
R1
+ + ?
A3
R2
R2
+ + ?
A1
_
+
?
A2
R
R
RW
+
E=+5V
R
R
R
Rt
ui
ERR RREERR Ru
t
t
t
t
i )(22 ?
???
??
ERR RRR RRRRuR RRRRu
t
t
W
W
i
W
W
o )(2
22
1
2
1
2
?
????????
54
s i n ( 9 0 )R C t??? o
c o sou R C t???
t
ui
0
t
uo
0
s i niut ??
例 5：,求 u。
i
o
duu R C
dt
??
u i ?－
+ + uo
R
R2
i1
iF
C
90°
55
运算电路 要求
1,熟记各种单运放组成的基本运算电路的电路
图及放大倍数公式。
2,掌握以上基本运算电路的级联组合的计算。
3,会用,虚开路 (ii=0)”和“虚短路 (u+=u–),分
析给定运算电路的 放大倍数。
56
作业,P379~383
8,13,16
17,19
第七章 信号的运算与处理
? 教学时数,10学时
? 重点与难点,
? 1、进一步理解与掌握运放“虚短”与“虚断”
的概念，并能熟练运用。
? 2、掌握基本运算电路。
? 3、模拟乘 (除 )法器、有源滤波电路
2
2.集成运放输入电阻很高，两输入电流几乎
为零，即虚断。
本章所讨论的集成运放的基本应用电路，
主要包括加法、减法、微分、积分运算电路。
在分析各种运算和处理电路时，由运放构
成的电路通常工作在深度负反馈条件下，常用
到以下两个概念,
1.集成运放两个输入端之间的电压通常接近于
零，即虚短。
7-1 概 述
3
一、理想运放的性能指标,
? 开环差模增益 Aod=∞
? 差模输入电阻 Rid=∞
? 输出电阻 Ro=0
? 共模抑制比 KCMR =∞
? 上限截止频率 fH≈∞
? 失调电压 Uoi,失调电流 Ioi,电压温漂,
电流温漂,理想时均为 0。
? 最大共模输入电压 Uicmax、最大差模输入电
压 Uidmax、转换速率 SR等。
在分析时将一般运放看成理想运放。
A ∞
+
-
dT
dUoi
dT
dIoi
4
二, 理想运放的工作区
理想运放的工作区
域一般分为两个,
线性工作区和非线性工
作区。
1、线性工作区
运放工作在线性
工作区时，其输出电
压 uo与差模电压成线
性关系。即
)uu(Au iiodo ?? ??
v
0
v
0 H
0 v
P
- v
N
v
0 L
线性区
正向饱和区
负向饱和区
A uo
ui-
ui+ Δuid
5
这就是理想运放的一个重要特征，称
为,虚短路” 。即两输入端电压无限接近。
由于理想运放的 Rid≈∞，而 ΔUid≈0，故
两输入端电流也为 0。即
0ii ?? ??
这一个特征称为,虚断路” 。即两输入
端电流趋近于 0。
由于理想运放 Aod=∞，而 uo又为有限值，故
以上关系式中
0uu ii ?? ??
即
?? ? ii uu
6
+
—
ui uO
I-
I+
U-
U+
U+ ≈U- 虚短,
I+ ≈I- =0 虚断,
虚地,U- ≈U+=0
RP
RN
通常应使 RP=RN,
RN为限流电阻；
RP为平衡 电阻。
7
对于工作在线性区的运放，“虚短”和
“虚断”特性是分析运放电路输出、输入
关系的重要基础。
对于理想运放，只要在运放的输入端
施加很小的差模电压,uo就会有一个接近
电源电压的输出值。因此必须在运放的输
出端和输入端之间引入一个负反馈，从而
保证输出与输入成线性关系。
因此有无负反馈是判断运放电路工作
在线性区的重要特征。
所有工作在运算电路和放大电路中的
运放都是工作在线性区。
8
v 0
v om
0 v P - v N
-v om
2、非线性工作区
如果运放工作时不接
反馈或接入正反馈时，其
输出将为 ± Vom，此时输
出与输入电压为非线性关
系。称运放工作在非线性
区。其电压传输特性如图
当 ui+＞ ui-时,uo=Vom
当 ui+＜ ui-时,uo=－ Vom
尽管 uo为有限值，由于运放 Ri=∞，故 i+=i-=0，
仍然为“虚断”。
9
7-2 基本运算电路
由运放为放大电路组成的运算电路均
工作在线性工作区，并且输入、输出信号
均以“地”为参考点。
在运算电路中，以输入电压为自变量，
以输出电压为函数，通过对输入端子及反
馈电路的不同组合，实现各种数学运算功
能，通过输出电压反映运算结果。这就是
运算电路的基本思想。“运算放大器”也
因此得名。
10
比例运算电路
微积分运算电路
反相比例运算电路
同相比例运算电路
电压跟随器
微分运算电路
积分运算电路
加减运算电路 反 相求和电 路 同 相求和电 路
差分电路
其他运算电路
指数运算电路
对数运算电路
乘法运算电路
除法运算电路
11
一、反相比例运算电路
结构特点,输入电压 ui通过
R1加入运放反向输入端，故
输出 uo与输入反相位。
负反馈 Rf引到反相输入端，
为电压并联负反馈。
Rp为平衡电阻，以保证运放
差分输入的对称性。其值为
ui=0时,uo=0输入端的等效
电阻。故 Rp=R1 // Rf 。
对理想运放,uN=uP,iN=iP=0，有 i1=if
即
f
oN
1
Ni
R
uu
R
uu ???
uo
Rf
R1
RP
ui
i1
if
A
N
P
12
0uu PN ??
i
1
f
o uR
R
u ??
1
f
i
o
P R
R
u
u
K ???
比例系数 （ 放大倍数 ）
虚地
整理得,
由于
电路的输入电阻
Ro≈0
电路的输出电阻
Ri≈R1
13
反相比例电路的特点,
1,共模输入电压为 0，因此对运放的共模抑制比
要求低。
2,由于电压负反馈的作用，输出电阻小，可认
为是 0，因此带负载能力强。
3,由于并联负反馈的作用，输入电阻小，因此
对输入电流有一定的要求。
4,在放大倍数较大时，该电路结构不再适用 。
14
二、同相比例运算电路
结构特点,负反馈引到反
相输入端，信号从同相端
输入。
反馈方式,电压串联负反
馈。输入电阻较高。
Rf
R1
RP
ui
uo
A
iR if
N
P
对理想运放,uP=uN,iN=iP=0，有
即
f
No
1f
Pi
R
uu
//RR
uu ???
i
1
f
o u)R
R
1(u ??
整理得,
uo与 ui同相且大于 ui。
1f
pi
fR R//R
uuii ???
15
同相比例电路的特点,
3,共模输入电压为 ui，不为零,因此对运放的共
模抑制比要求高。
1,由于电压负反馈的作用，输出电阻小，可认
为是 0，因此带负载能力强。
2,由于串联负反馈的作用，输入电阻大。
4,Rf = 0 或 R1= ? 时, Auf=1 输出电压全部引到
反相输入端, 信号从同相端输入 。 电压跟随器
是同相比例运算放大器的特例 。
16
_
+
?
+
?
Rf
R1
RP
ui
uo
Au=1+ Rf R
1
当 Rf =0时,Au=1 uo=ui
三, 电压跟随器
此电路是电压串联
负反馈，输入电阻大，
输出电阻小，在电路
中作用与分离元件的
射极输出器相同，但
是电压跟随性能更好。
17
例 1,R1=10k?,Rf=20k?,ui =-1V。求,uo, RP应
为多大？
RP=R1//Rf =10//20=6.7 k?
uo
Rf
R1
RP
ui
i1
if
A
N
P
KP= -(Rf /R1)= -20/10= -2
uo= KP ui=(-2)(-1)=2V
18
例 2,R1=10k?,Rf=20k?,ui =-1V。求,uo, RP应
为多大？
uo= KP ui=(3)(-1)=-3V
RP=R1//Rf =10//20=6.7 k?
KP=1+ =1+20/10=3 Rf R
1
Rf
R1
RP
ui
uo
A
iR if
N
P
19
例 3,求 Au =?
0?? ?? uu
i1= i2=0
虚短路
虚开路
3
M
3 R
ui ??
2
M
2
1
i
1 R
ui
R
ui ????
为提高比例系数，采用 T形网络反相比例运算电路
uo
R2
R1
RP
ui
R4
R3
i1
i2 i4
i3
M
A
解,
4
oM
4 R
uui ??
432 iii ??
20
)
R
R
R
R
(1
R
R
RR
RRRRRR
u
u
A
3
4
2
4
1
2
31
434232
i
o
u
????
??
????
i
31
434232
o u)RR
RRRRRR(u ????
该放大电路，在放大倍数较大时，可避免使用大电
阻。但 R3的存在，削弱了负反馈。
21
例 4,自举扩展 输入电阻反相比例电路，求 Ri。
解,A1为一反相比例放大器，则
I
1
2
O UR
RU ??
A2也为一反相比例放大器，则
II
1
2
2
1
O
2
1
O2
2UU)
R
R
)(
R
2R
(
U
R
2R
U
????
??
有 II=IR1－ IR,
而
1
I
R1 R
UI ?
R
U
R
U2U
R
UUI IIIIO2
R ?
????
故
I
1
1I
1
I
RR1I U)RR
RR(
R
U
R
UI-II －????
1
1
I
I
i RR
RR
I
UR
－???
22
作业,P378~379
1,4,6
23
四、加减运算电路
作用,将若干个输入信号之和或之差按比
例运算。
类型,同相求和和反相求和。
方法,引入深度电压并联负反馈或电压串联
负反馈。这样输出电压与运放的开环
放大倍数无关，只与输入电压和反馈
系数有关。
24
实际应用时可依需要改变输入端的个数，以适
应不同的运算要求。
f1211P R//R//RR ?
1、反相加法运算电路
R12
_
+
Rf R11
ui2 uo
RP
ui1 如图所示为实现两个
输入电压 ui1,ui1的反相
加法电路，该电路为多输
入的电压并联负反馈电路。
由于电路存在虚短，运放
的净输入电压 uid=0，反
相端为虚地。
平衡电阻,
25
0uu NP ??
Fiii ?? 1211
)
R
u
R
u
(Ru
12
2i
11
1i
fo ????
调节反相求和电路的某一路信号的输入电阻，不影响
输入电压和输出电压的比例关系，故该电路可实现不
同量纲输入电压的求和运算。当 Rf=R11=R12时,
f
ON
12
Ni2
11
N1i
R
uu
R
uu
R
uu ?????
)uu(u 2i1io ???
i12
iF
i11 R
12
Rf R11
ui2 uo
RP
ui1
P
N _
+
26
2、同相求和运算
可以看出，改变 R21,R22会影响电路的输入电阻，
因此该电路对输入电压的调整作用没有反向加法电
路方便。
2221f1 R//RR//R ?
R1 Rf
ui1
uo R
21
R22 u
i2
_
+
将多个输入电压
加到运放的同相输入
端，就构成同相加法
电路。
根据虚地原则，有
27
如果以 uP 为输入,则同
相比例电路输出电压为,
P
1
f
o u)R
R
1(u ??
)u
RR
Ru
RR
R)(
R
R
1(u 2i
1211
11
1i
1211
12
1
f
o ??????
同相求和电路的各输入信号的放大倍数互相影响，不能
单独调整。
由 虚短,虚断原则,uP=uN, iP=iN=0
2i
2221
21
1i
2221
22
P uRR
Ru
RR
Ru
?
?
?
?
R1 Rf
ui1
uo R
21
R22 u
i2
_
+
28
左图也是同相求和运算
电路,如何求同相输入
端的电位？
提示,
1,虚开路：流入同相端的
电流为 0。
2,节点电位法求 uP。
-
R1 Rf
+ ui1
uo R
21
R22 u
i2
R′
29
3、减法运算电路
（ 1）利用反相求和实现减法运算电路
-
Rf1
+
ui2
uo1
R2
ui1 R
1
R3
-
Rf2
+
uo
R2
R4
A1
A2
该电路第一级为反相比例电路，第二级为反相加
法电路组成。
30
1i
1
1f
1o uR
R
u ??
2f241f13 R//R2
1R,R//RR ??
）（ 2i1i
1
1f
2
2f
o uuR
R
R
R
u ??
-
Rf1
+
ui2
uo1
R2
ui1 R
1
R3
-
Rf2
+
uo
R2
R4
A1
A2
)uu(
R
R
u 2i1o
2
2f
o ???将 u
o1代入，整理得
选择 Rf2=R2,Rf1=R1，则
2i1io uuu ??
31
R 1
R f
-
+
R 2
R 3
ui1
ui2
uo
（ 2）利用差分电路实现减法运算电路
如图电路，该电路利用
了同相比例与反相比例
相结合的运算方法。
根据运放的虚短虚断原则，有
f
oN
1
N1i
R
uu
R
uu ???
3
P
2
P2i
R
u
R
uu ??
1i
1
f
2i
32
3
1
f1
o uR
Ru)
RR
R)(
R
RR(u ?
?
???
当 R1= R2= R3= Rf，则上式可写为
1i2io uuu ??
32
（ 3）利用反相求和实现加减法运算电路
利用反相加法器与
输入反相，同相加法器
与输入同相的特点可实
现加减法运算。
643f21 R//R//RR//R//R ?
R2
Rf R1
ui2 uo
ui1
R4 u
i4
ui3
R3
R6
_
+
根据虚地原则，有
)RuRu)(R//R//R(u
4
4i
3
3i
643P ??
根据虚断原则，有
f
oN
2
N2i
1
N1i
R
uu
R
uu
R
uu ?????
根据虚断原则，有
33
)]
R
u
R
u
()
R
u
R
u
[(R
]u)
R
1
R
1
R
1
(
R
u
R
u
[Ru
2
2i
1
1i
4
4i
3
3i
f
N
f212
2i
1
1i
fo
????
??????
R2
Rf R1
ui2 uo
ui1
R4 u
i4
ui3
R3
R6
_
+
由于 uP=uN
整理得,
34
差动放大器放大了两个信号的差，但是它的输
入电阻不高（ =2R1）,这是由于反相输入造成。
因此应选用较高 KCMR的运放。
_
+
R2
R1
R1
ui2
uo
R2
ui1
35
（ 4）利用三运放组成加减运算电路
uo
R1
R1
– A
R2
R2
+
uo2
+ A
– A
R
R
RW
ui1
ui2
uo1
a
b
+
36
1ia uu ? 2ib uu ?
W
ba
W
oo
R
uu
RR
uu ??
?
?
2
21
W
ii
R
uu 21 ??
?? 12 oo uu
)(2 12 ii
W
W uu
R
RR ??
虚短路,
虚开路,
uo2
+ A
– A
R
R
RW
ui1
ui2
uo1
a
b
+
37
)(
2
12
1
2
ii
W
W
o uuR
RR
R
R
u ?
?
??
? 三运放电路是差
动放大器，放大
倍数可变。
? 由于输入均在同
相端，此电路的
输入电阻高。
)( 12
1
2
ooo uuR
R
u ??
R1
R1
– A
R2
R2
+
38
1,它们都引入电压负反馈，因此输出电阻都比
较小 。
2,关于输入电阻：反相输入的输入电阻较小，
同相输入的输入电阻较高。
3,同相输入的共模电压高，反相输入的共模电
压小。
比例运算电路与加减运算电路小结
4,以上放大器均可级联,级联时各级放大倍数
独立计算。
39
五,积分微分运算电路
积分、微分运算电路在实际工作中应用非
常广泛。在传统仪表控制系统中常用积分、微
分运算电路作为控制对象的调节环节；信号发
生器中的信号源也采用积分电路；数字万用表
中的 A/D转换器也是采用双积分式的。
1、反相积分运算电路
ui
+ Ａ
R
R2
C
uo － 该电路是在基本反相比例运算电路基础上将反馈电
阻用电容 C取代后得到。
40
i1
iF
ui
+ Ａ
R
R2
C
uo －
Rf
根据虚地原则，有
F1 ii ?
而
R
u
R
uui iNi
1 ?
??
???? tt cCON 0 dtiC1uuu
)t(udtu
RC
1u
00
t
0 iO
???? ?
实用中一般在 C上并联一电阻 Rf,以防止对低频和
直流信号输入时 Ad过大起到限幅作用。
式中 u0(t0)为电容在初始时刻的电压值。
41
2、同相积分运算电路
如果将输入信号按同相比
例电路接法从同相输入，并将
反馈电阻和平衡电阻用电容 C
取代，便构成同相积分电路。
iCF
i1
ui + Ａ
R
R
Cf
uo －
C iR
在反相输入端，有
CF1 ii ?
dt
)uu(dC
R
u0 ON
f
N ???
dt
duC
R
u
dt
duC O
f
NN
f ??
．．．．．①
42
在同相输入端，有
CR ii ?
dt
duC
R
uu PPi ??
R
u
R
u
dt
duC iPP ??,．．．．②
由于 uP=uN，取 C=Cf，则① =②,即
R
u
dt
duC iO ?
)t(udtu
RC
1u
00
t
0 io
??? ?
i1
ui + Ａ
R
R
Cf
uo －
C iR
实现了同相积分。
43
对于输入信号的不同，积分电路可表现出不同
的输出特性,
若输入为阶跃信号，则
积分电路表现为与输入成线
性关系增长直到 C充电结束，
使运放进入饱和状态。充电
时间 τ=RC。
若输入为方波信号，则
积分电路表现为充电与放电
交替进行的状态（理想），
对外表现为三角波。
t
ui
0
t
uo
0 τ
t
ui
0
t
uo
0
44
积分电路的主要用途,
1,在电子开关中用于延迟。
2,波形变换。例：将方波变为三角波。
3,A/D转换中，将电压量变为时间量。
4,移相。
45
3、微分运算电路
如果将积分电路中 R和 C
的位置互换，便构成基本微分
电路。它是积分的逆运算。
根据虚断原则，有
CR ii ?
而
dt
duCi i
c ? R
ui O
R ??
dt
duCRRiu i
Ro ?????
当输入电压 us为阶跃信号时，
输出电压仍为一个有限值，随
着 C的充电。 uo将逐渐地衰减，
最后趋近于零。
46
该电路说明微分电路对输入信号特别敏感，故
它的抗干扰能力差。另外，对反馈信号具有滞后作
用的 RC环节，与集成运放内部电路的滞后作用叠
加在一起，可能引起自激振荡。再者 ui突变时，输
入电流会较大，输入电流与反馈电阻的乘积可能超
过集成运放的最大输出电压，有可能使电路不能正
常工作。
改进型的微分电路如
图所示。其中 R1起限流作
用,R2和 C2并联起相位补
偿作用。该电路是近似的
微分电路。
47
例 1,设计一个加减运算电路,RF=240k?,使
uo=10ui1+ 8ui2 - 20ui3
解, (1) 画电路。
系数为负的信号从
反相端输入，系数
为正的信号从同相
端输入。
-
R3 RF
?
+ +
ui1
uo R
2
R1
ui2
R4
ui3
48
(2) 求各电阻值。
-
R3 RF
?
+ +
ui1
uo R
2
R1
ui2
R4
ui3
FRRRRR ////// 3421 ?
)(
3
3
2
2
1
1
R
u
R
u
R
uRu iii
Fo ???
?? k240FR
uo=10ui1+ 8ui2 - 20ui3
?? k241R
?? k302R
?? k123R
?? k804R
49
例 2,A/D变换器要求其输入电压的幅度为 0 ~ +5V，
现有信号变化范围为 -5V~+5V。试设计一电平变
换电路，将其变化范围变为 0~+5V。
+5V
-5V
+5V
+2.5V
电平抬高电路 A/D 计算机 ui uo
uo = 0.5ui+2.5 V
50
uo =0.5ui +2.5 V
=0.5 (ui +5) V
_
+
?
+
?
10k? 20k?
+5V
5k?
ui
20k?
uo1 uo
_
+
?
+
? 20k?
20k?
10k ?
)5(5.0)5(20101 ??????? iio uuu )5(5.02020 1 ????? ioo uuu
51
例 3,R1=10k?,R2=20k?,ui 1=-1V,ui 2=1V 。
求,uo
uo _
+
?
+
?
R2
R1
R1
R2
ui1
_
+
?
+
?
ui2
_
+
?
+
?
R2
R1
RP
uo= (uo2- uo1)
=(20/10)[3-(-1) ]
=8V
R2
R1
uo1= ui1=-1V
uo2= ui2(1+R2/R1)=3V
52
例 4,由三运放放大器组成的温度测量电路。
uo
R1
R1
+ + ?
A3
R2
R2
+ + ?
A1
_
+
?
A2
R
R
RW
+
E=+5V
R
R
R
Rt
ui
Rt,热敏电阻 集成化,仪表放大器
53
Rt=f (T° C)
uo
R1
R1
+ + ?
A3
R2
R2
+ + ?
A1
_
+
?
A2
R
R
RW
+
E=+5V
R
R
R
Rt
ui
ERR RREERR Ru
t
t
t
t
i )(22 ?
???
??
ERR RRR RRRRuR RRRRu
t
t
W
W
i
W
W
o )(2
22
1
2
1
2
?
????????
54
s i n ( 9 0 )R C t??? o
c o sou R C t???
t
ui
0
t
uo
0
s i niut ??
例 5：,求 u。
i
o
duu R C
dt
??
u i ?－
+ + uo
R
R2
i1
iF
C
90°
55
运算电路 要求
1,熟记各种单运放组成的基本运算电路的电路
图及放大倍数公式。
2,掌握以上基本运算电路的级联组合的计算。
3,会用,虚开路 (ii=0)”和“虚短路 (u+=u–),分
析给定运算电路的 放大倍数。
56
作业,P379~383
8,13,16
17,19
