商学系 Business Depart,
主讲,
第一章 统计学导论
第二章 统计调查
第三章 统计整理
第四章 综合指标
第五章 动态数列
第六章 统计指数
第七章 抽样推断
第八章 相关回归分析
内 容 目 录
第四章
综 合 指 标
?本章内容
第一节 总量指标
第二节 相对指标
第三节 平均指标
第四节 标志变异指标
?本章重点
四节内容都重要
?本章难点
几种指标的综合运用
?具体要求
1.理解－各种指标的含义
2.掌握－相对指标、平均指标和标志变异
指标的计算
第一节 总 量 指 标
一、什么是综合指标
所谓 综合指标，就是统计指标 （回顾统计指标
的概念），是将调查得到的资料经过整理计算后，
获得的用于说明和反映社会经济现象总体数量特征
的统计指标。
综合指标主要有 总量指标、相对指标、平均指
标和标志变异指标 几种。本章将分四节内容分别讲
述之，本节先讲 总量指标 。
二、总量指标的含义及表现形式
1.含义,所谓总量指标又称 统计绝对数或绝对指
标,它是反映社会经济现象在一定时间、地点、条件
下的总规模、总水平的综合指标。同时，总量指标还
可以表现为总量之间的 绝对差数 。
例,2003年，我国国内生产总值为 116694亿元 ；
全年对外贸易顺差 255亿美元，比上年减少 49亿美元；
全年粮食种植面积 9941万公顷,比上年减少 448万公
顷；年末全国总人口为 129227万人；年末全部金融机
构本外币各项存款余额 220364亿元 。
2.表现形式,从以上内容可以看出，总量指标的
表现形式是有 计量单位 的绝对数，即是个 有名数 ；同
时总量指标的数值随统计范围的大小而发生增减变动。
具体含义如下,
计
量
单
位
实物单位
价值单位
劳动单位
标准实物单位
度量衡单位
自然单位 复合单位
多重单位
计量单位,计量中所用到的标准已知量。
实物单位,根据事物的自然属性和特点而采用的计
量单位。
自然单位,按照被研究对象的自然属性来度量其数
量的计量单位。
度量衡单位,按照统一的度量衡制度的规定来度量
客观事物的一种计量单位。
标准实物单位,是按照统一折算的标准来计量被研
究现象数量的一种计量单位。
复合单位和多重单位,两种或两种以上的单位结合
使用的单位。
价值单位,用货币来度量社会财富和劳动成果的计量
单位。
劳动单位,是以劳动时间表示的计量单位。
二、总量指标的种类
根据不同的标准，可以对总量指标进行以下几种
划分,
(一 )按其反映总体内容的不同,分为 总体单位总量
和 总体标志总量 。
前者表示的是所调查的总体内所包含的总体单位
总数,即有几个总体单位；后者指的是总体各单位某种
数量标志值的总和
在一个特定的总体内，只存在一个单位总量，但
可能同时并存多个标志总量，构成一个总量指标体系。
总体单位总量和总体标志总量的地位和性质并不是
固定不变的,二者随研究目的不同而变化 。
例,
某地区工业企业情况调查表
厂 别 工人数（人） 年产值（万元）
甲 厂 1200 400
乙 厂 1800 1000
丙 厂 1000 400
丁 厂 1000 200
合 计 5000 2000
当研究 企业平均规模 时，那么企业就为总体单位，
企业总数为单位总量，各企业工人总数为标志总量。
＝1 2 5 0 人/ 每厂45000＝企业总数工人总数企业平均规模＝
总体单位总量
总体标志总量
当研究 企业劳动效益 时，那么工人就为总体单位，
各企业工人总数为单位总量，各企业的总产值成为标
志总量。 工人总数这个指标 的地位已经改变了。
＝0, 4 万元/ 每人
5000
2000＝
工人总数
总产值企业劳动效益＝
总体单位总量
总体标志总量
(二 )按其反映时间状况的不同,分为 时期指标 和 时
点指标 。
1.时期指标 （ 流量指标 ）, 是反映某种社会经济
现象在一段时间发展变化结果的总量指标 。 (参看前例 )
其具体特点如下,
（ 1） 指标前一般都带有, 某年,, 某月,, 某天,
等词 。
（ 2） 指标的数值具有连续计数的特点 。
（ 3） 指标的各期数值可以直接加总 。
（ 4） 指标的数值的大小与时期长短成正比 。
（ 5） 在应用时期指标时, 应明确所属的时期范围 。
2.时点指标 （ 存量指标 ）, 是反映社会经济现象
在某一时刻 (瞬间 )状况上的总量指标 。 （ 参看前例 ）
其具体特点如下,
（ 1） 指标前一般都带有, 某年末,, 某月末,
等词 。
（ 2） 指标的数值只能间断计数 。
（ 3） 指标的数值一般不能直接加总 。
（ 4） 指标的数值的大小与时期长短无直接关系 。
（ 5） 在应用时点指标时, 应注意它的时刻特性 。
(三 )按其所采用计量单位的不同,分为 实物指
标, 价值指标和劳动量指标 。
1.实物指标,是以 实物单位 计量的统计指标 。
按实物单位计算的指标 最大的特点 是它直接反映
产品的使用价值或现象的具体内容, 能具体表明事物
的规模和水平, 是计算价值指标的基础 。 但指标的综
合性能较差, 无法进行汇总 。
2.价值指标,是以 货币单位 计量的统计指标 。
价值指标计量的 最大优点 是它具有最广泛的综合
性和概括能力，能使不能加总的使用价值相加，可以
表示现象的总规模和总水平，但它脱离了物质内容，
有时不能准确的反映实际情况。在实际工作中常常把
实物指标和价值指标结合起来使用。
3.劳动量指标,劳动量指标是以 劳动单位 即工日、
工时等劳动时间计量的统计指标。
三、总量指标的作用
（１） 总量指标是对社会经济现象总体认识的起点。
（２） 总量指标是编制计划，实行经营管理的主要依据。
（３） 总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。
四、计算总量指标时需注意的问题
1.必须注意现象的同类性，不同种类的实物指标不
能加总。
2.必须明确每项指标的统计含义。不同的指标能用
于加总的项目是不同的。
3.必须做到计量单位的一致。计量单位不一致不能
加总，必须换算成统一的单位时才能加总。
第二节 相 对 指 标
一、相对指标的概念、表现形式及作用
1.概念,相对指标就是应用 对比的方法,来反映社
会经济现象中某些相关事物间数量联系程度的综合指
标, 又称统计相对数。
基本公式, 数值 A/数值 B
特点,把两个对比的具体数值概括化或抽象化,
使人们对事物有一个清晰的概念。
6 0 %2 0 人1 2 人全班人数男生人数某班男生比重 ???
例,
2.表现形式,相对指标的表现形式有两种，一种
是 有名数,另一种是 无名数 。
有名数,是将对比的分子指标和分母指标的计量
单位结合使用，以表明事物的密度、普遍程度和强度
等。主要用于下面将讲到的强度相对指标。
人/ 每平方公里＝
平方公里
人
＝
土地面积
人口数
某地人口密度＝
??
??
??
无名数,是一种抽象化的数值，不带计量单位，一
般分为系数或倍数、成数（十分数的习惯叫法）、百分
数、千分数等。它们分别是将对比的基数抽象化为 1、
10,100,1000时而得到的相对指标。实际应用时应根
据所比较的数值的具体情况和使用习惯来定。
3.作用,
（ 1） 可以使人们对现象之间存在的内在联系有较为
深刻的认识，能够综合地表明有关现象之间的联系程度，
反映现象的比率、构成、速度、程度、密度等。
（ 2） 能使一些不能直接对比的事物找到比较的基础。
（ 3） 相对指标便于记忆、有利于保密。
二、相对指标的种类及计算
根据研究的目的和任务不同，对比的基础不同，
相对指标一般可分为 结构相对指标、比例相对指标、
比较相对指标、强度相对指标和计划完成程度相对指
标 等六种。下面将分别对它们的基本含义、计算方法、
作用和相互之间的比较进行详述。
（一）结构相对指标
1.含义,结构相对指标就是利用统计分组法，将
总体区分为不同性质的各部分，以部分数值与总体全
部数值对比而得出比重或比率，以反映总体内部构成
情况的综合指标。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1） 结构相对指标一般用百分数表示。
（ 2） 结构相对指标的分子分母可以是总体单位数,
也可以是总体标志数值。
（ 3） 各部分所占比重之和等于 100％或 1。
（ 4） 分子分母属同一总体且不可逆。
1 0 0 ％
总体全部数值
总体部分数值结构相对指标 ??
4.结构相对指标的作用,
（ 1） 可以反映总体内部的结构情况，从而认清事
物和现象的性质和特征。
（ 2） 通过不同时期相对数的变动，可以看出事物
的变化过程及其发展趋势。
（ 3） 能反映对人力、物力、财力的利用程度及生
产经营效果的好坏。
（二）比例相对指标
1.含义,比例相对指标是同一总体内不同组成部
分指标数值对比的相对指标。它反映的总体内部的比
例关系。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1）比例相对指标可以用百分数表示，也可以用
一比几或几比几的形式表示。
（ 2）分子分母可以是总体单位数，也可以是总体
标志数值。
（ 3）分子分母属同一总体且可逆。
1 0 0 ％
总体中另一部分数值
总体中某部分数值比例相对指标 ??
4.作用,
比例相对指标与结构相对数指标作用基本相同，
从形式上看，二者只是对比方式不同，侧重点各异。
利用比例相对指标能帮助我们认识客观事物按比
例发展的状况，判断比例关系正常与否以及分析它对
社会经济发展的影响。
（三）比较相对指标
1.含义,比较相对指标是将处在不同条件下的同
类指标作静态对比得出的综合指标。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1）比较相对指标一般用百分数或倍数表示。
（ 2）分子和分母的位臵一般可以互换。
（ 3）用来对比的两个指标必须是同性质的，是可以
对比的。
（ 4）分子和分母可以是绝对数对比，也可以是相对
数或平均数对比，一般用相对数和平均数对比。
1 0 0 ％
数值另一条件下的同类指标
值某条件下的某类指标数比较相对指标 ??
4.作用
主要是对事物发展在不同地区、不同部门、不同
单位或不同个人之间进行比较分析，以反映现象之间
的差别程度。
（四）强度相对指标
1.含义,强度相对指标是两个性质不同但有一定
联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另
一现象中发展的强度、密度和普遍程度。
2.计算公式
100％
的总量指标数值另一有联系而性质不同
某一总量指标数值
强度相对指标
?
?
人/ 每平方公里＝
平方公里
人
＝
土地面积
人口数
某地人口密度＝
??
??
??
例,
3.注意要点,
（ 1） 强度相对指标一般用复名数表示，少数用百
分数或千分数表示。
（ 2） 某些指标分子和分母的位臵可以互换。
（ 3） 正、逆指标的区分。（参书中的例子）
（ 4） 强度相对指标具有“平均”的含义，但它不
是“平均数”。（具体区别在第三节讲述）
4.作用
（ 1） 说明一个国家、地区、部门的经济实力或为
社会服务的能力。
（ 2） 反映和考核社会经济效益。
（ 3） 为编制计划和长远规划提供参考依据。
（五）动态相对指标
1.含义,动态相对指标是将不同时期的同类现象进
行对比，表明同类事物在不同时间状态下的对比关系，
说明现象在时间上的运动、发展和变化。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1） 动态相对指标一般用百分数表示。
（ 2） 基期和报告期的含义和基期的确定。
（ 3） 有发展速度可以得出增长速度。
1 0 0 ％
基期指标
报告期指标度）动态相对指标（发展速 ??
4.作用,
动态相对指标应用十分广泛，具体内容将在下一章
“动态数列”中讲述。
（六）计划完成程度相对指标
1.含义,计划完成程度相对指标是用来检查、监督
计划执行情况的相对指标。它以现象在某一段时间内
的实际完成数与计划数对比，来观察计划完成程度。
2.基本计算公式,
1 0 0 ％
计划完成数
实际完成数计划完成程度相对指标 ??
3.注意要点,
（ 1） 计划完成程度指标一般以百分数表示。
（ 2） 分子分母的指标性质及计算等方面应一致。
（ 3） 分子分母的位臵不可互换。
（ 4） 根据计划数表现形式的不同，具体计算时较
复杂。
4.计划完成程度指标的具体计算,
（ 1）计划任务数以 绝对数 形式出现
[例 ]某年某企业工业增加值计划指标为 200万元，
实际该年该企业完成产值 220万元
1 1 0 %
2 0 0 万元
2 2 0 万元
计划数
实际完成数计划完成程度 ???
（ 2）计划任务数以相对数形式出现
[例 ]某厂计划今年的消耗比上年降 5%，产值增 8%。
实际完成情况是：消耗降 6%，产值升 7%，试分别计算
其计划完成程度。
分析,
?
?
?
?
?
???
???
?
9 4 % x6 ) % x( 1 0 0本年实际
9 5 % x5 ) % x( 1 0 0本年计划
1 0 0 % x上年实际
消耗
9 8, 9 5 %
95%
94%
计划任务数%
实际完成数% ??消耗计划完成程度 =
1－ 6％
1－ 5％
计算,
计算,
9 9, 0 7 %
1 0 8 %
1 0 7 %
计划任务数%
实际完成数% ??产值计划完成程度 =
1+7％
1+8％
计划提高或降低百分数或1
实际提高或降低百分数或1
计划数%
实际完成数％
计划完成程度相对数
??
??
?
?
计算公式,
（ 3）计划任务数以 平均数 形式出现
[例 ]设某企业某月生产某产品，计划每人每日平均
产量为 50件，实际每人每日平均产量为 60件，则
5.计划执行进度的测量,
（具体计算参下例）
＝1 2 0 ％
50
60＝
计划平均数
实际平均数对数＝劳动生产率计划完成相
公式,
1 0 0 ％
全期计划数
累计至本期实际完成数计划执行进度＝ ?
[ 例 ] 某企业有关资料如下，试计算计划完成进度。
季
度
计划数 实际数
计划
完成
程度 %
实际
累计
产量
计划执行
进度（ % ）
一
二
三
四
1000
1100
1150
1250
900
1200
1300
90
109
113
900
2100
3400
900/4500=20
2100/4500= 4 6, 7
3400/4500=75, 5
合计 4500
6.长期计划的检查,
＃短期计划（一年以下）和长期计划（五年、十
年）
（ 1）水平法：即只规定计划期最末一年应达到的
水平。
计算公式,
平计划末年计划达到的水
平计划末年实际达到的水计划执行情况＝
[例 ]某油田按五年计划规定 最后一年 的石油产量
应达到 50万吨的水平，实际执行情况如下,
第四年 第五年 第
一
年
第
二
年
第
三
年
第
一
季
第
二
季
第
三
季
第
四
季
第
一
季
第
二
季
第
三
季
第
四
季
产量 42 45 47 10 11 13 13 13 12 14 13
%104
50
52
50
13141213
??
???计划完成程度 =
提前完成计划时间的计算,只要有连续一年的
实际完成数达到了计划期末年规定的水平，就视作
计划完成。余下的时间即为提前完成长期计划的时
间。
参前例,
（ 1）第五年第 4季至第五年第 1季,52；
（ 2）第五年第 3季至第四年第 4季,52；
（ 3）第五年第 2季至第四年第 3季,51；
（ 4）第五年第 1季至第四年第 2季,50。
?提前三个季度完成五年计划。
（ 2）累计法：即规定整个计划期内累计完成量应达
到的水平。
计算公式,
计划规定的数
量计划期间实际累计完成计划执行情况＝
[例 ]某地区五年计划规定,1996—2000年的五年固定
资产投资总额合计为 1296亿元，实际完成 1450亿元，则
计划完成程度 =1450/1296=111.88%
提前完成计划时间,时点前移。
假定：该地区至 2000年 6月 30日止实际完成投资额正
好为 1296亿元。
计划执行,1/1/1996—30/6/2000?固定资产投资
额为 1296,?提前半年完成五年计划。
三、相对指标之间的比较
（一）结构相对指标和比例相对指标的比较
（二）比例相对指标和比较相对指标的比较
（三）强度相对指标与“平均数指标”比较
（四）动态相对指标和其他相对指标的比较
四、计算和正确运用相对指标的原则
1.注意两个对比指标的可比性。
2.相对指标和总量指标相结合的原则。
3.各种相对指标结合运用的原则。
第三节 平 均 指 标
一、平均指标概念、特点和作用
1.概念,平均指标又称统计 平均数,用以反映社
会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地
点条件下所达到的一般水平的综合指标。
2.特点,
（ 1）数量差异抽象化；
（ 2）反映总体变量值的集中趋势；
（ 3）掩盖了现象的内部差异。
（ 4）只能就同类现象计算。
『 参书中的例子 』
3.作用,
（ 1）具有比较分析的作用。
（ 2）可以作为论断事物的一种数量标准或参考。
（ 3）可以进行数量上的推断。
二、平均指标的种类及计算
※ 平均指标的分类
?
?
?
?
?
?
?
动态平均数
静态平均数
?
?
?
?
?
?
?
位臵平均数
计算平均数
?
?
?
?
?
几何平均数
调和平均数
算术平均数
?
?
?
众数
中位数
?
?
?
加权算术平均数
简单算术平均数
※ 平均指标的计算
（一）算术平均数
1.算术平均数的概念,算术平均数是总体标志总
量除以总体单位数的结果，它是计算社会经济现象平
均指标最常用方法和基本形式。
其基本计算公式为,
总体单位总量
总体标志总量算术平均数＝
注意要点,
（ 1） 计算公式中，标志总量和总体单位数必须同
属于一个总体。
（ 2） 算术平均数和强度相对指标的区别：前者是
同一总体的标志总量与总体单位总数之比，标志总量
是随着总体单位数的变动而相应变动；后者则是两个
性质不同而有联系的总量指标之比，作为分子的总量
指标数值并不随着作为分母的总量指标数值的变动而
变动。
（ 3） 在具备总体标志总量及总体单位总数时，
可直接利用上述公式计算平均数。
（参书中的例子）
（ 4） 在实际当中，上述公式中的两个数值往往
不能直接掌握，而必须要根据所掌握的资料来计算，
根据掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可
将算术平均数分为 简单算术平均数 和 加权算术平均
数 。
2.简单算术平均数
如果掌握的资料是总体各单位的标志值，而且没
有经过分组，则可先将各单位的标志值相加得出标志
总量，然后再除以总体单位数，通过此种方法计算得
到的平均数称为简单算术平均数。
『 例 』 某生产小组有 5名工人，生产某种零件，日
产量（件）分别为 12,13,14,15,14，则平均每个
工人日产零件件数为,
将上式用符号表示即可得到简单算术平均数的计
算公式如下,
1 3, 6 ( 件)
5
1415141312 ?????
总和符号
总体单位数
各单位标志值，，，
算术平均数
??
?
????
?
n
xxx
x
n21
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n
?
?
??????
? ? 121
n
x?
式中,
简单算术平均数的计算公式,
3.加权算术平均数
如果掌握的资料是经过分组整理编成了单项数列
或组距数列，并且每组次数不同时，就应采用加权算
术平均数的方法计算算术平均数。
（ 1）单项式数列的加权算术平均数
基本的具体方法是：将各组标志值分别乘以相应
的各组单位数（ 绝对权数 ）求出各组标志总量，并加
总得到总体标志总量，同时把各组单位数相加求出总
体单位总数，然后用总体标志总量除以总体单位总数，
即得算术平均数。
『 参下例（引用的是书中 P101面例 5－ 2的表 5－ 1
的资料和数据） 』
按日产量分组（件） xi 工人数（人） fi 日产量 × 工人数 xifi
50（ x1）
60 （ x2）
65 （ x3）
72 （ x4）
85 （ x5）
4（ f1）
3 （ f2）
22 （ f3）
7 （ f4）
4 （ f5）
200（ x1f1）
180 （ x2f2）
1430 （ x3f3）
504 （ x4f4）
340 （ x5f5）
合计 ＝ 40 ＝ 2654
?
?
n
i i
f
1
?
?
n
i ii
fx
1
上例中若以 x代表各组标志值,f代表各组单位数（绝
对权数），则 可得加权算术平均数的公式的如下 一种表
现形式,
50× 4＋ 60× 3＋ 65× 22＋ 72× 7＋ 85× 4
4＋ 3＋ 22＋ 7＋ 4 ＝ x日平均产量
?
?
n
i i
f
1
?
?
n
i ii
fx
1
=2654/40=66.35件 /人 / =
?
?
?
???
???
?
?
?
n
i
n
i
i
ii
n
nn
f
fx
fff
fxfxfx
x
1
1
21
2211
?
?
?
?
f
xf
按日产量分组
（件） xi
工人数
（人） fi 各组工人的比重
50
60
65
72
85
4
3
22
7
4
0.1
0.075
0.55
0.175
0.1
5
4.5
35.75
12.6
8.5
合计 40 1 66.35
f
f
? f
fx
??
下面将上例简单变换，看看 相对权数 的情况,
日平均产量
＝ 4× 0.1＋ 3× 0.075＋ 22× 0.55＋ 7× 0.175＋ 4× 0.1 x
显然,
f
f
x
?
?? ?
?
?
???
?
?
???
?
??
?
??
??
???
?
?
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
nn
i
n
n
ii
f
f
x
f
fxfxfx
f
f
x
f
f
x
f
f
xx
11
111
1
2211
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
f
xf
x
( 变形公式)
f
fx
?
??
=66.35件 /人
由此例可得到加权算术平均数的 另一种表现形式,
※ 由以上公式理解 权数,
（ 1） 权数：对算术平均数值高低具有 权衡轻重作用
的数 ?次数（ f）或频率 (f/?f)。
（ 2） 权数的种类
A、绝对权数 ? f；
B、相对权数 ? f/?f。
（ 3） 同一总体资料，用这两种权数计算的加权算术
平均数相同（可能会有微小误差，但是是计算误
差）。
）时（当 121 ????? AAfff n?
结论,权数相等用简单式；权数不等用加权式 。
AAA
AxAxAx
fff
fxfxfx
f
xfx n
n
nn
???
????
???
????
?
??
?
?
?
? 21
21
2211
""
111
21 权数失效???
???
????
n
xxxx n
?
?
另外,当变量数列中各组的次数相等，即各组的
权数相等时，采用简单算术平均数和加权算术平均数
计算的结果一样。 （参书中 103面例子）
从公式推导看,
（ 2）组距式数列的加权算术平均数
组距式数列加权算术平均数的计算方法与上述
单项式数列的计算方法基本相同，所不同的只是以
各组的组中值 (组中值的计算 )作为各组的代表值，然
后加权计算。
如此计算有一定的假定性，只能是近似值。
『 参书中 102面的例子 』
4.算术平均数的数学性质
不作具体讲述，了解每条性质的结果即可，利
用这些性质有时可以进行简便计算。
5.算术平均数的几点说明
（ 1） 应用广泛。
（ 2） 容易受极端值影响，特别是极大值。
『 参书中 108面例子 』
（ 3） 由组距数列计算算术平均数有一定的假定性，
是个近似值，特别是开口组的组距假定，近似性更大。
（二）调和平均数
1.调和平均数的概念,调和平均数又称, 倒数平
均数,,从 形式上 看它是各个变量值倒数的算术平均
数的倒数,实际上 它是算数平均数的变形。
根据掌握资料的不同和计算的复杂程度不同，调
和平均数也分为 简单调和平均数 和 加权调和平均数 。
2.简单调和平均数
[例 1]某种蔬菜价格：早上 0.4元 /斤（ x1），中午
0.25元 /斤（ x2），晚上 0.20元 /斤（ x3），某人早、中、
晚各买 1斤（ f），求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分母资料已知
斤元＝
斤
元
/28.0
3
85.0
3
120.0125.014.0
?
?????
?
?
?
n
x
x
以上为简单算数平均数的算法
[例 2]类似地某人早、中、晚各买 1元，求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分子资料已知
斤
斤斤
斤元
元
5
20.0
11
4
25.0
11
,5.2
/4.0
11
3
21
??
????
x
xx
斤元
斤
元
/26.0
5.11
3
20.0
1
25.0
1
4.0
1
111
1
??
??
??
?
?
?
x
n
H
以上为简单调和平均数的算法
※ 由例 2得简单调和平均数计算公式,
式中,H:调和平均数
xi:各标志值
n:标志值项数
?
?
??????
?
??????
?
?
n
i
i
n
n
x
n
xxx
n
n
xxx
H
121
21
1111
111
1
?
x
n
1
3.加权调和平均数
[例 1]某种蔬菜价格：早上 0.4元 /斤（ x1），中午
0.25（ x2），晚上 0.20（ x3），若某人早、中、晚分别
买 2.5斤（ f1）,8斤（ f2）, 15斤（ f3）,求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分母资料（权数）已
知
斤元
总数量
总金额
/24.0
1585.2
1520.0825.05.24.0
?
??
?????
?
?
?
??
f
xf
x
以上为加权算数平均数的算法
[例 2]某种蔬菜价格：早上 0.4元 /斤（ x1），中午
0.25（ x2），晚上 0.20（ x3），若某人早、中、晚分别
购买的金额是 1元（ m1）,2元（ m2）, 3元（ m3）,
求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分子资料已知
斤元
斤
元
/24.0
5.25
6
20.0
3
25.0
2
40.0
1
321
??
??
??
?
?
?
?
x
m
m
H
以上为加权调和平均数的算法
?
?
?
?
?
m
x
m
x
m
m
1
?
?
?
?
?
?
??????
??????
?
?
?
?
?
n
i
i
i
n
i
i
n
i i
i
n
i
i
n
n
n
m
x
m
x
m
m
x
m
x
m
x
m
mmm
H
H
1
1
1
1
2
2
1
1
21
1
式中,HH:加权调和平均数
xi:各标志值
n:标志值项数
mi:为特定的权数，它
不是各组标志值出现的次数，
而是各组标志总量。
※ 由例 2得加权调和平均数计算公式,
※ 将以上例 1和例 2整理如下,
每斤价格（ x）元 购买数量（ f）斤 购买金额（ m=xf）元
早,0.40
中,0.25
晚,0.20
2.5（ f1 ）
8.0 （ f2）
15 （ f3）
1 （ m1 ）
2 （ m2）
3 （ m3）
合计 ＝ 25.5 ＝ 6
f? m?
如果已知购买数量则应用加权算数平均数计算；
如果已知购买金额则应用加权调和平均数计算。二者计
算出来的平均价格是一致的。（亦可参考书中 110面例
5－ 5），从而 可以看出调和平均数是算数平均数的变
形，只是所掌握的资料不同而采取不同的计算形式来计
算平均指标。 以上情况亦可从以下公式推导看出。
已知
1式加权算数平均数 ??????
?
??
f
xf
x
2式加权调和平均数 ??????
?
?
?
1 m
x
m
H H
令 m=xf，则 f=m/x,将其代入 1式，得,
H
H
m
x
m
f
xf
x ＝＝
1
?
?
?
?
?
加权算数平均数 加权调和平均数
另外,
当 m1= m2 =?? = mn时，简单调和平均数与加权
调和平均数计算的结果是相等的。
令 m1= m2 =?? = mn ＝ A
x
n
x
A
x
A
AA
x
m
x
m
mm
x
m
m
H
1
21
2
2
1
1
21
?
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
参看书中 109面例 5－ 4
4.由平均指标计算平均指标
? 参前例 ?
5.由相对指标计算平均指标
? 参书中 111面例子 ?
6.调和平均数应用上的特点
1.应用范围小。
2.若标志值中有零值，则不能计算。
3.也易受极端值影响，特别是极小数值。
4.若是组距数列，同样存在假定性和近似性。
（三）几何平均数
1.几何平均数的概念,几何平均数又称, 对数平
均数,,它是若干项变量值连乘积开其项数次方得算
术根。
主要适用于当各项变量值的连乘积等于总比率或
总速度时计算平均比率或平均速度。 （在下动态数列
一章中有一简单应用）。
几何平均数可分为简单几何平均数和加权几何平
均数。一般常用的是简单几何平均数，在此主要了解
简单几何平均数的公式即可。
变量值个数n x －变量值
Π －连乘符号 －几何平均数x
式中：
G
?
nn
nG xxxxx ????????? 21
2.简单几何平均数的计算公式,
（四）中位数
1.中位数的概念,将总体中某一数量标志的各个
数值按大小顺序排列，处于中间位臵的标志值就是中
位数（用 Me表示）。
[例 ]某科室 9人年龄,24,25,25,26,26,27,
28,29,55
2.中位数的计算方法,
（ 1）由未分组资料确定中位数（较简单）
※ 首先对标志值从小到大排序；
※ 然后用下列公式确定中位数的位臵；
（n 是总体单位数） 中位数位臵
2
1n ＋＝
※ 注意,如果总体单位数是奇数，则位于数列中
间位臵的标志值为中位数。
【 参书中 116面例 5－ 6】
如果总体单位数是偶数，则位于数列中间两项的
标志值的算术平均数为中位数。
【 参书中 116面例 5－ 7】
（ 2）由单项数列确定中位数（较简单）
①求中位数位臵＝
②计算各组的累计次数（向上累计或向下累计）
③根据中位数位臵找出中位数
【 参书中 117面表 5－ 10】
（ 3）由组距数列确定中位数（比较复杂）
① 用公式 求出中位数
所在组的位臵。
)f 为总体单位之和( ??
2
f
)f 为总体单位之和( ??
2
f
② 用比例插值法确定中位数的值
【 参书中 118面表 5－ 11】
以下 两个公式是重点,
※ 下限公式（向上累计时用）
i
f
s
LM
m
m
f
e ?
?
??
?
?
12
※ 上限公式（向下累计时用）
i
f
s
UM
m
m
f
e ?
?
??
?
?
12
两个公式中,
L,U －分别表示中位数所在组的下限和上限
fm－表示中位数所在组的次数
Sm-1－表示中位数所在组以下的累计次数
Sm＋ 1－表示中位数所在组以上的累计次数
∑f－表示总次数
i－表示中位数所在组的组距
3.中位数的应用特点
（ 1） 是一种位臵平均数，不受极端值及开口组
的影响，具有稳健性。
（ 2） 不能进行代数运算。
（五）众数
1.众数的概念,众数是总体中出现次数最多的标
志值。用 Mo表示。
【 参书中 113面例子 】
2.众数的计算方法
（ 1）单项数列确定众数（简单）
具体方法是：直接观察次数，出现次数最多的标
志值就是众数。
【 参书中 113面例子及下面的例子 】
按鞋码分组 x 售出双数 f
38
39
40 （ M o ）
41
42
10
30
70
40
20
合计 170
38 39 40 41 42
80
60
40
20
x
f
例,
峰顶对应的变量值 ?Mo
（ 2）组距数列确定众数（较复杂）
根据组距数列只能计算出众数的近似值，其方法由
两种,
①组中值法（较简单）
具体方法是：先直接观察，找出众数组，那么 众数
组的组中值 就可认为是众数近似值。
计算公式为,
2
UL
M o
?
?
式中,
Mo -----众数
L -----众数组下限
U -----众数组上限 【 参书中 114面例子 】
※ 注意
利用此种方法计算众数有一定的局限性。只适用
于众数组组距不大，且组内变量值分布比较均匀的情
况。否则，众数的代表性就不强。
②插补法（较复杂）
具体方法：先找出众数组，然后运用插补法公式
推算 众数的近似值 。
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
???
?
??
iUM
iLM
o
o
21
2
21
1
上限公式
下限公式
式中符号含义,
（ A） L为 Mo组的下限,U为上限；
（ B） i = U – L即众数组的组距；
（ C） ?1= fm – fm-1即众数组次数与前一组次数之差；
?2= fm – fm+1即众数组次数与后一组次数之差。
按成绩分组 人数
50 以下
50 — 60
60 — 70
(L) 70 — 80 (U)
80 — 90
90 以上
10
20
30 (f m - 1 )
? 50 (f m )
40 (f m+1 )
30
合计 180
例,
7.7610
)4050()3050(
3050
70
21
1
??
???
?
??
?
???
?
?? iLM
o
分别用两个公式计算得,
7.7610
)4050()3050(
4050
80
21
2
??
???
?
??
?
???
?
?? iUM
o
【 亦可参看书 115面例子 】
3.众数的应用特点,
（ 1）同中位数一样是位臵平均数，不受极端值和
开口组数列得影响。
（ 2）众数不易确定，当分布数列没有明显的集中
趋势而趋均匀分布时，则无众数可言。
第四节 标志变异指标
一、标志变异指标的含义和作用
（一）标志变异指标的含义,
标志变异指标又称标志变动度，它是一系列用来
综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度
的综合指标。常常与平均指标结合使用，综合反映事
物发展在数量方面的共性和特殊性。
（二）标志变异指标的作用,
1.标志变异指标是衡量平均数代表性的尺度。
2.标志变异指标是反映社会经济活动过程均衡性
和稳定性的一个重要指标。 【 参书中 120面的例子 】
二、标志变异指标的种类及计算
标志变异指标包括以下几种：全距, 平均差, 标
准差和标志变异系数 。
（ 一 ） 全距
全距又称极差，是总体各单位标志中的最大值和
最小值之差。
计算公式,
全距 = 标志值的最大值－标志值的最小值
（ R） (Xmax) (Xmin)
其优点是,计算方便，意义明确，是测定标志变
动程度的简便方法。
其缺点是,全距指标只表示总体变动的范围，且
数值的大小受极端值的影响。因此，是最一般的研究
标志的变动情况的指标。
（二）平均差
平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝
对值的算术平均数, 反映的是各标志值对其平均数的
平均差异程度 。 其计算方法有简单和加权两种形式 。
1.简单平均差的计算,它是在资料未分组的情况
下采用的计算方法 。
计算公式如下,
2.加权平均差的计算,它是在资料已分组的情况
下采用的计算方法 。
计算公式如下,
n
xx
DA
? ?
???
?
? ?
???
f
fxx
DA
3.平均差的特点,
（ 1） 平均差是根据全部变量计算出来的，受极端
值影响较小，对整个变量值的离散趋势有较充分的代
表性。
（ 2） 平均差计算采用取 离差绝对值 的方法来消除
正负离差，因而不适合于代数方法的推算，使其应用
受到限制。
（三）标准差
标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离
差平方的算术平均数的平方根, 又称为均方差 。 它是
测定标志变动程度的 最主要的指标 。
标准差的实质与平均差基本相同, 只是在数学
处理方法上与平均差不同, 平均差是用取绝对值的
方法消除离差的正负号然后用算术平均的方法求出
平均离差；而标准差是用平方的方法消除离差的正
负号, 然后对离差的平方计算算术平均数, 并开方
求出标准差 。 标准差的计算也有简单和加权两种形
式 。
1.简单式计算：对未分组资料采用 。
n
xx 2)( ??
??
2.加权式计算：对已分组资料采用。
【 参书中 122－ 124面的例子 】
（四）标志变异系数（离散系数）
标志变异系数是以相对数形式表示的变异指标。
它是通过变异指标中的全距、平均差或标准差与平均
数对比得到的。常用的是标准差系数 。
f
fxx
?
??
?
2
)(
?
变异系数的应用条件是,当所对比的两个数列的
水平高低不同时, 就不能采用全距, 平均差或标准差
进行对比分析, 因为它们都是绝对指标, 其数值的大
小不仅受各单位标志值差异程度的影响, 而且受到总
体单位标志值本身水平高低的影响；为了对比分析不
同水平的变量数列之间标志值的变异程度, 就必须消
除数列水平高低的影响, 这时就要计算变异系数 。
变异系数反映的是单位平均水平下标志值的离散
程度，因而通过计算变异系数为水平高低不同的两个
数列提供了对比的基础。
标准差和平均差系数的计算方法如下,
%1 0 0??
x
V
?
?标准差系数：
%100
.
,??
x
DA
V DA平均差系数：
【 参书中 124面及以下的例子 】
[例 ]已知下列资料，试比较哪组数据更集中（整齐）。
%93.173 41.1 ??? ?V幼儿组
幼儿组 身高 成人组 身高
王甜
张琴
李朋
英洁
伍平
71
72
73
74
75
佐江财
佑海尔
魏联想
马容声
帅新飞
164
166
168
170
172
83.2,168 ??? ?x成人组
41.1,73 ??? ?x幼儿组
更整齐成人组 ???? %68.1168 83.2?V
主讲,
第一章 统计学导论
第二章 统计调查
第三章 统计整理
第四章 综合指标
第五章 动态数列
第六章 统计指数
第七章 抽样推断
第八章 相关回归分析
内 容 目 录
第四章
综 合 指 标
?本章内容
第一节 总量指标
第二节 相对指标
第三节 平均指标
第四节 标志变异指标
?本章重点
四节内容都重要
?本章难点
几种指标的综合运用
?具体要求
1.理解－各种指标的含义
2.掌握－相对指标、平均指标和标志变异
指标的计算
第一节 总 量 指 标
一、什么是综合指标
所谓 综合指标，就是统计指标 （回顾统计指标
的概念），是将调查得到的资料经过整理计算后，
获得的用于说明和反映社会经济现象总体数量特征
的统计指标。
综合指标主要有 总量指标、相对指标、平均指
标和标志变异指标 几种。本章将分四节内容分别讲
述之，本节先讲 总量指标 。
二、总量指标的含义及表现形式
1.含义,所谓总量指标又称 统计绝对数或绝对指
标,它是反映社会经济现象在一定时间、地点、条件
下的总规模、总水平的综合指标。同时，总量指标还
可以表现为总量之间的 绝对差数 。
例,2003年，我国国内生产总值为 116694亿元 ；
全年对外贸易顺差 255亿美元，比上年减少 49亿美元；
全年粮食种植面积 9941万公顷,比上年减少 448万公
顷；年末全国总人口为 129227万人；年末全部金融机
构本外币各项存款余额 220364亿元 。
2.表现形式,从以上内容可以看出，总量指标的
表现形式是有 计量单位 的绝对数，即是个 有名数 ；同
时总量指标的数值随统计范围的大小而发生增减变动。
具体含义如下,
计
量
单
位
实物单位
价值单位
劳动单位
标准实物单位
度量衡单位
自然单位 复合单位
多重单位
计量单位,计量中所用到的标准已知量。
实物单位,根据事物的自然属性和特点而采用的计
量单位。
自然单位,按照被研究对象的自然属性来度量其数
量的计量单位。
度量衡单位,按照统一的度量衡制度的规定来度量
客观事物的一种计量单位。
标准实物单位,是按照统一折算的标准来计量被研
究现象数量的一种计量单位。
复合单位和多重单位,两种或两种以上的单位结合
使用的单位。
价值单位,用货币来度量社会财富和劳动成果的计量
单位。
劳动单位,是以劳动时间表示的计量单位。
二、总量指标的种类
根据不同的标准，可以对总量指标进行以下几种
划分,
(一 )按其反映总体内容的不同,分为 总体单位总量
和 总体标志总量 。
前者表示的是所调查的总体内所包含的总体单位
总数,即有几个总体单位；后者指的是总体各单位某种
数量标志值的总和
在一个特定的总体内，只存在一个单位总量，但
可能同时并存多个标志总量，构成一个总量指标体系。
总体单位总量和总体标志总量的地位和性质并不是
固定不变的,二者随研究目的不同而变化 。
例,
某地区工业企业情况调查表
厂 别 工人数（人） 年产值（万元）
甲 厂 1200 400
乙 厂 1800 1000
丙 厂 1000 400
丁 厂 1000 200
合 计 5000 2000
当研究 企业平均规模 时，那么企业就为总体单位，
企业总数为单位总量，各企业工人总数为标志总量。
＝1 2 5 0 人/ 每厂45000＝企业总数工人总数企业平均规模＝
总体单位总量
总体标志总量
当研究 企业劳动效益 时，那么工人就为总体单位，
各企业工人总数为单位总量，各企业的总产值成为标
志总量。 工人总数这个指标 的地位已经改变了。
＝0, 4 万元/ 每人
5000
2000＝
工人总数
总产值企业劳动效益＝
总体单位总量
总体标志总量
(二 )按其反映时间状况的不同,分为 时期指标 和 时
点指标 。
1.时期指标 （ 流量指标 ）, 是反映某种社会经济
现象在一段时间发展变化结果的总量指标 。 (参看前例 )
其具体特点如下,
（ 1） 指标前一般都带有, 某年,, 某月,, 某天,
等词 。
（ 2） 指标的数值具有连续计数的特点 。
（ 3） 指标的各期数值可以直接加总 。
（ 4） 指标的数值的大小与时期长短成正比 。
（ 5） 在应用时期指标时, 应明确所属的时期范围 。
2.时点指标 （ 存量指标 ）, 是反映社会经济现象
在某一时刻 (瞬间 )状况上的总量指标 。 （ 参看前例 ）
其具体特点如下,
（ 1） 指标前一般都带有, 某年末,, 某月末,
等词 。
（ 2） 指标的数值只能间断计数 。
（ 3） 指标的数值一般不能直接加总 。
（ 4） 指标的数值的大小与时期长短无直接关系 。
（ 5） 在应用时点指标时, 应注意它的时刻特性 。
(三 )按其所采用计量单位的不同,分为 实物指
标, 价值指标和劳动量指标 。
1.实物指标,是以 实物单位 计量的统计指标 。
按实物单位计算的指标 最大的特点 是它直接反映
产品的使用价值或现象的具体内容, 能具体表明事物
的规模和水平, 是计算价值指标的基础 。 但指标的综
合性能较差, 无法进行汇总 。
2.价值指标,是以 货币单位 计量的统计指标 。
价值指标计量的 最大优点 是它具有最广泛的综合
性和概括能力，能使不能加总的使用价值相加，可以
表示现象的总规模和总水平，但它脱离了物质内容，
有时不能准确的反映实际情况。在实际工作中常常把
实物指标和价值指标结合起来使用。
3.劳动量指标,劳动量指标是以 劳动单位 即工日、
工时等劳动时间计量的统计指标。
三、总量指标的作用
（１） 总量指标是对社会经济现象总体认识的起点。
（２） 总量指标是编制计划，实行经营管理的主要依据。
（３） 总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。
四、计算总量指标时需注意的问题
1.必须注意现象的同类性，不同种类的实物指标不
能加总。
2.必须明确每项指标的统计含义。不同的指标能用
于加总的项目是不同的。
3.必须做到计量单位的一致。计量单位不一致不能
加总，必须换算成统一的单位时才能加总。
第二节 相 对 指 标
一、相对指标的概念、表现形式及作用
1.概念,相对指标就是应用 对比的方法,来反映社
会经济现象中某些相关事物间数量联系程度的综合指
标, 又称统计相对数。
基本公式, 数值 A/数值 B
特点,把两个对比的具体数值概括化或抽象化,
使人们对事物有一个清晰的概念。
6 0 %2 0 人1 2 人全班人数男生人数某班男生比重 ???
例,
2.表现形式,相对指标的表现形式有两种，一种
是 有名数,另一种是 无名数 。
有名数,是将对比的分子指标和分母指标的计量
单位结合使用，以表明事物的密度、普遍程度和强度
等。主要用于下面将讲到的强度相对指标。
人/ 每平方公里＝
平方公里
人
＝
土地面积
人口数
某地人口密度＝
??
??
??
无名数,是一种抽象化的数值，不带计量单位，一
般分为系数或倍数、成数（十分数的习惯叫法）、百分
数、千分数等。它们分别是将对比的基数抽象化为 1、
10,100,1000时而得到的相对指标。实际应用时应根
据所比较的数值的具体情况和使用习惯来定。
3.作用,
（ 1） 可以使人们对现象之间存在的内在联系有较为
深刻的认识，能够综合地表明有关现象之间的联系程度，
反映现象的比率、构成、速度、程度、密度等。
（ 2） 能使一些不能直接对比的事物找到比较的基础。
（ 3） 相对指标便于记忆、有利于保密。
二、相对指标的种类及计算
根据研究的目的和任务不同，对比的基础不同，
相对指标一般可分为 结构相对指标、比例相对指标、
比较相对指标、强度相对指标和计划完成程度相对指
标 等六种。下面将分别对它们的基本含义、计算方法、
作用和相互之间的比较进行详述。
（一）结构相对指标
1.含义,结构相对指标就是利用统计分组法，将
总体区分为不同性质的各部分，以部分数值与总体全
部数值对比而得出比重或比率，以反映总体内部构成
情况的综合指标。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1） 结构相对指标一般用百分数表示。
（ 2） 结构相对指标的分子分母可以是总体单位数,
也可以是总体标志数值。
（ 3） 各部分所占比重之和等于 100％或 1。
（ 4） 分子分母属同一总体且不可逆。
1 0 0 ％
总体全部数值
总体部分数值结构相对指标 ??
4.结构相对指标的作用,
（ 1） 可以反映总体内部的结构情况，从而认清事
物和现象的性质和特征。
（ 2） 通过不同时期相对数的变动，可以看出事物
的变化过程及其发展趋势。
（ 3） 能反映对人力、物力、财力的利用程度及生
产经营效果的好坏。
（二）比例相对指标
1.含义,比例相对指标是同一总体内不同组成部
分指标数值对比的相对指标。它反映的总体内部的比
例关系。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1）比例相对指标可以用百分数表示，也可以用
一比几或几比几的形式表示。
（ 2）分子分母可以是总体单位数，也可以是总体
标志数值。
（ 3）分子分母属同一总体且可逆。
1 0 0 ％
总体中另一部分数值
总体中某部分数值比例相对指标 ??
4.作用,
比例相对指标与结构相对数指标作用基本相同，
从形式上看，二者只是对比方式不同，侧重点各异。
利用比例相对指标能帮助我们认识客观事物按比
例发展的状况，判断比例关系正常与否以及分析它对
社会经济发展的影响。
（三）比较相对指标
1.含义,比较相对指标是将处在不同条件下的同
类指标作静态对比得出的综合指标。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1）比较相对指标一般用百分数或倍数表示。
（ 2）分子和分母的位臵一般可以互换。
（ 3）用来对比的两个指标必须是同性质的，是可以
对比的。
（ 4）分子和分母可以是绝对数对比，也可以是相对
数或平均数对比，一般用相对数和平均数对比。
1 0 0 ％
数值另一条件下的同类指标
值某条件下的某类指标数比较相对指标 ??
4.作用
主要是对事物发展在不同地区、不同部门、不同
单位或不同个人之间进行比较分析，以反映现象之间
的差别程度。
（四）强度相对指标
1.含义,强度相对指标是两个性质不同但有一定
联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另
一现象中发展的强度、密度和普遍程度。
2.计算公式
100％
的总量指标数值另一有联系而性质不同
某一总量指标数值
强度相对指标
?
?
人/ 每平方公里＝
平方公里
人
＝
土地面积
人口数
某地人口密度＝
??
??
??
例,
3.注意要点,
（ 1） 强度相对指标一般用复名数表示，少数用百
分数或千分数表示。
（ 2） 某些指标分子和分母的位臵可以互换。
（ 3） 正、逆指标的区分。（参书中的例子）
（ 4） 强度相对指标具有“平均”的含义，但它不
是“平均数”。（具体区别在第三节讲述）
4.作用
（ 1） 说明一个国家、地区、部门的经济实力或为
社会服务的能力。
（ 2） 反映和考核社会经济效益。
（ 3） 为编制计划和长远规划提供参考依据。
（五）动态相对指标
1.含义,动态相对指标是将不同时期的同类现象进
行对比，表明同类事物在不同时间状态下的对比关系，
说明现象在时间上的运动、发展和变化。
2.计算公式,
3.注意要点,
（ 1） 动态相对指标一般用百分数表示。
（ 2） 基期和报告期的含义和基期的确定。
（ 3） 有发展速度可以得出增长速度。
1 0 0 ％
基期指标
报告期指标度）动态相对指标（发展速 ??
4.作用,
动态相对指标应用十分广泛，具体内容将在下一章
“动态数列”中讲述。
（六）计划完成程度相对指标
1.含义,计划完成程度相对指标是用来检查、监督
计划执行情况的相对指标。它以现象在某一段时间内
的实际完成数与计划数对比，来观察计划完成程度。
2.基本计算公式,
1 0 0 ％
计划完成数
实际完成数计划完成程度相对指标 ??
3.注意要点,
（ 1） 计划完成程度指标一般以百分数表示。
（ 2） 分子分母的指标性质及计算等方面应一致。
（ 3） 分子分母的位臵不可互换。
（ 4） 根据计划数表现形式的不同，具体计算时较
复杂。
4.计划完成程度指标的具体计算,
（ 1）计划任务数以 绝对数 形式出现
[例 ]某年某企业工业增加值计划指标为 200万元，
实际该年该企业完成产值 220万元
1 1 0 %
2 0 0 万元
2 2 0 万元
计划数
实际完成数计划完成程度 ???
（ 2）计划任务数以相对数形式出现
[例 ]某厂计划今年的消耗比上年降 5%，产值增 8%。
实际完成情况是：消耗降 6%，产值升 7%，试分别计算
其计划完成程度。
分析,
?
?
?
?
?
???
???
?
9 4 % x6 ) % x( 1 0 0本年实际
9 5 % x5 ) % x( 1 0 0本年计划
1 0 0 % x上年实际
消耗
9 8, 9 5 %
95%
94%
计划任务数%
实际完成数% ??消耗计划完成程度 =
1－ 6％
1－ 5％
计算,
计算,
9 9, 0 7 %
1 0 8 %
1 0 7 %
计划任务数%
实际完成数% ??产值计划完成程度 =
1+7％
1+8％
计划提高或降低百分数或1
实际提高或降低百分数或1
计划数%
实际完成数％
计划完成程度相对数
??
??
?
?
计算公式,
（ 3）计划任务数以 平均数 形式出现
[例 ]设某企业某月生产某产品，计划每人每日平均
产量为 50件，实际每人每日平均产量为 60件，则
5.计划执行进度的测量,
（具体计算参下例）
＝1 2 0 ％
50
60＝
计划平均数
实际平均数对数＝劳动生产率计划完成相
公式,
1 0 0 ％
全期计划数
累计至本期实际完成数计划执行进度＝ ?
[ 例 ] 某企业有关资料如下，试计算计划完成进度。
季
度
计划数 实际数
计划
完成
程度 %
实际
累计
产量
计划执行
进度（ % ）
一
二
三
四
1000
1100
1150
1250
900
1200
1300
90
109
113
900
2100
3400
900/4500=20
2100/4500= 4 6, 7
3400/4500=75, 5
合计 4500
6.长期计划的检查,
＃短期计划（一年以下）和长期计划（五年、十
年）
（ 1）水平法：即只规定计划期最末一年应达到的
水平。
计算公式,
平计划末年计划达到的水
平计划末年实际达到的水计划执行情况＝
[例 ]某油田按五年计划规定 最后一年 的石油产量
应达到 50万吨的水平，实际执行情况如下,
第四年 第五年 第
一
年
第
二
年
第
三
年
第
一
季
第
二
季
第
三
季
第
四
季
第
一
季
第
二
季
第
三
季
第
四
季
产量 42 45 47 10 11 13 13 13 12 14 13
%104
50
52
50
13141213
??
???计划完成程度 =
提前完成计划时间的计算,只要有连续一年的
实际完成数达到了计划期末年规定的水平，就视作
计划完成。余下的时间即为提前完成长期计划的时
间。
参前例,
（ 1）第五年第 4季至第五年第 1季,52；
（ 2）第五年第 3季至第四年第 4季,52；
（ 3）第五年第 2季至第四年第 3季,51；
（ 4）第五年第 1季至第四年第 2季,50。
?提前三个季度完成五年计划。
（ 2）累计法：即规定整个计划期内累计完成量应达
到的水平。
计算公式,
计划规定的数
量计划期间实际累计完成计划执行情况＝
[例 ]某地区五年计划规定,1996—2000年的五年固定
资产投资总额合计为 1296亿元，实际完成 1450亿元，则
计划完成程度 =1450/1296=111.88%
提前完成计划时间,时点前移。
假定：该地区至 2000年 6月 30日止实际完成投资额正
好为 1296亿元。
计划执行,1/1/1996—30/6/2000?固定资产投资
额为 1296,?提前半年完成五年计划。
三、相对指标之间的比较
（一）结构相对指标和比例相对指标的比较
（二）比例相对指标和比较相对指标的比较
（三）强度相对指标与“平均数指标”比较
（四）动态相对指标和其他相对指标的比较
四、计算和正确运用相对指标的原则
1.注意两个对比指标的可比性。
2.相对指标和总量指标相结合的原则。
3.各种相对指标结合运用的原则。
第三节 平 均 指 标
一、平均指标概念、特点和作用
1.概念,平均指标又称统计 平均数,用以反映社
会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地
点条件下所达到的一般水平的综合指标。
2.特点,
（ 1）数量差异抽象化；
（ 2）反映总体变量值的集中趋势；
（ 3）掩盖了现象的内部差异。
（ 4）只能就同类现象计算。
『 参书中的例子 』
3.作用,
（ 1）具有比较分析的作用。
（ 2）可以作为论断事物的一种数量标准或参考。
（ 3）可以进行数量上的推断。
二、平均指标的种类及计算
※ 平均指标的分类
?
?
?
?
?
?
?
动态平均数
静态平均数
?
?
?
?
?
?
?
位臵平均数
计算平均数
?
?
?
?
?
几何平均数
调和平均数
算术平均数
?
?
?
众数
中位数
?
?
?
加权算术平均数
简单算术平均数
※ 平均指标的计算
（一）算术平均数
1.算术平均数的概念,算术平均数是总体标志总
量除以总体单位数的结果，它是计算社会经济现象平
均指标最常用方法和基本形式。
其基本计算公式为,
总体单位总量
总体标志总量算术平均数＝
注意要点,
（ 1） 计算公式中，标志总量和总体单位数必须同
属于一个总体。
（ 2） 算术平均数和强度相对指标的区别：前者是
同一总体的标志总量与总体单位总数之比，标志总量
是随着总体单位数的变动而相应变动；后者则是两个
性质不同而有联系的总量指标之比，作为分子的总量
指标数值并不随着作为分母的总量指标数值的变动而
变动。
（ 3） 在具备总体标志总量及总体单位总数时，
可直接利用上述公式计算平均数。
（参书中的例子）
（ 4） 在实际当中，上述公式中的两个数值往往
不能直接掌握，而必须要根据所掌握的资料来计算，
根据掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可
将算术平均数分为 简单算术平均数 和 加权算术平均
数 。
2.简单算术平均数
如果掌握的资料是总体各单位的标志值，而且没
有经过分组，则可先将各单位的标志值相加得出标志
总量，然后再除以总体单位数，通过此种方法计算得
到的平均数称为简单算术平均数。
『 例 』 某生产小组有 5名工人，生产某种零件，日
产量（件）分别为 12,13,14,15,14，则平均每个
工人日产零件件数为,
将上式用符号表示即可得到简单算术平均数的计
算公式如下,
1 3, 6 ( 件)
5
1415141312 ?????
总和符号
总体单位数
各单位标志值，，，
算术平均数
??
?
????
?
n
xxx
x
n21
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n
?
?
??????
? ? 121
n
x?
式中,
简单算术平均数的计算公式,
3.加权算术平均数
如果掌握的资料是经过分组整理编成了单项数列
或组距数列，并且每组次数不同时，就应采用加权算
术平均数的方法计算算术平均数。
（ 1）单项式数列的加权算术平均数
基本的具体方法是：将各组标志值分别乘以相应
的各组单位数（ 绝对权数 ）求出各组标志总量，并加
总得到总体标志总量，同时把各组单位数相加求出总
体单位总数，然后用总体标志总量除以总体单位总数，
即得算术平均数。
『 参下例（引用的是书中 P101面例 5－ 2的表 5－ 1
的资料和数据） 』
按日产量分组（件） xi 工人数（人） fi 日产量 × 工人数 xifi
50（ x1）
60 （ x2）
65 （ x3）
72 （ x4）
85 （ x5）
4（ f1）
3 （ f2）
22 （ f3）
7 （ f4）
4 （ f5）
200（ x1f1）
180 （ x2f2）
1430 （ x3f3）
504 （ x4f4）
340 （ x5f5）
合计 ＝ 40 ＝ 2654
?
?
n
i i
f
1
?
?
n
i ii
fx
1
上例中若以 x代表各组标志值,f代表各组单位数（绝
对权数），则 可得加权算术平均数的公式的如下 一种表
现形式,
50× 4＋ 60× 3＋ 65× 22＋ 72× 7＋ 85× 4
4＋ 3＋ 22＋ 7＋ 4 ＝ x日平均产量
?
?
n
i i
f
1
?
?
n
i ii
fx
1
=2654/40=66.35件 /人 / =
?
?
?
???
???
?
?
?
n
i
n
i
i
ii
n
nn
f
fx
fff
fxfxfx
x
1
1
21
2211
?
?
?
?
f
xf
按日产量分组
（件） xi
工人数
（人） fi 各组工人的比重
50
60
65
72
85
4
3
22
7
4
0.1
0.075
0.55
0.175
0.1
5
4.5
35.75
12.6
8.5
合计 40 1 66.35
f
f
? f
fx
??
下面将上例简单变换，看看 相对权数 的情况,
日平均产量
＝ 4× 0.1＋ 3× 0.075＋ 22× 0.55＋ 7× 0.175＋ 4× 0.1 x
显然,
f
f
x
?
?? ?
?
?
???
?
?
???
?
??
?
??
??
???
?
?
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
nn
i
n
n
ii
f
f
x
f
fxfxfx
f
f
x
f
f
x
f
f
xx
11
111
1
2211
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
f
xf
x
( 变形公式)
f
fx
?
??
=66.35件 /人
由此例可得到加权算术平均数的 另一种表现形式,
※ 由以上公式理解 权数,
（ 1） 权数：对算术平均数值高低具有 权衡轻重作用
的数 ?次数（ f）或频率 (f/?f)。
（ 2） 权数的种类
A、绝对权数 ? f；
B、相对权数 ? f/?f。
（ 3） 同一总体资料，用这两种权数计算的加权算术
平均数相同（可能会有微小误差，但是是计算误
差）。
）时（当 121 ????? AAfff n?
结论,权数相等用简单式；权数不等用加权式 。
AAA
AxAxAx
fff
fxfxfx
f
xfx n
n
nn
???
????
???
????
?
??
?
?
?
? 21
21
2211
""
111
21 权数失效???
???
????
n
xxxx n
?
?
另外,当变量数列中各组的次数相等，即各组的
权数相等时，采用简单算术平均数和加权算术平均数
计算的结果一样。 （参书中 103面例子）
从公式推导看,
（ 2）组距式数列的加权算术平均数
组距式数列加权算术平均数的计算方法与上述
单项式数列的计算方法基本相同，所不同的只是以
各组的组中值 (组中值的计算 )作为各组的代表值，然
后加权计算。
如此计算有一定的假定性，只能是近似值。
『 参书中 102面的例子 』
4.算术平均数的数学性质
不作具体讲述，了解每条性质的结果即可，利
用这些性质有时可以进行简便计算。
5.算术平均数的几点说明
（ 1） 应用广泛。
（ 2） 容易受极端值影响，特别是极大值。
『 参书中 108面例子 』
（ 3） 由组距数列计算算术平均数有一定的假定性，
是个近似值，特别是开口组的组距假定，近似性更大。
（二）调和平均数
1.调和平均数的概念,调和平均数又称, 倒数平
均数,,从 形式上 看它是各个变量值倒数的算术平均
数的倒数,实际上 它是算数平均数的变形。
根据掌握资料的不同和计算的复杂程度不同，调
和平均数也分为 简单调和平均数 和 加权调和平均数 。
2.简单调和平均数
[例 1]某种蔬菜价格：早上 0.4元 /斤（ x1），中午
0.25元 /斤（ x2），晚上 0.20元 /斤（ x3），某人早、中、
晚各买 1斤（ f），求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分母资料已知
斤元＝
斤
元
/28.0
3
85.0
3
120.0125.014.0
?
?????
?
?
?
n
x
x
以上为简单算数平均数的算法
[例 2]类似地某人早、中、晚各买 1元，求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分子资料已知
斤
斤斤
斤元
元
5
20.0
11
4
25.0
11
,5.2
/4.0
11
3
21
??
????
x
xx
斤元
斤
元
/26.0
5.11
3
20.0
1
25.0
1
4.0
1
111
1
??
??
??
?
?
?
x
n
H
以上为简单调和平均数的算法
※ 由例 2得简单调和平均数计算公式,
式中,H:调和平均数
xi:各标志值
n:标志值项数
?
?
??????
?
??????
?
?
n
i
i
n
n
x
n
xxx
n
n
xxx
H
121
21
1111
111
1
?
x
n
1
3.加权调和平均数
[例 1]某种蔬菜价格：早上 0.4元 /斤（ x1），中午
0.25（ x2），晚上 0.20（ x3），若某人早、中、晚分别
买 2.5斤（ f1）,8斤（ f2）, 15斤（ f3）,求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分母资料（权数）已
知
斤元
总数量
总金额
/24.0
1585.2
1520.0825.05.24.0
?
??
?????
?
?
?
??
f
xf
x
以上为加权算数平均数的算法
[例 2]某种蔬菜价格：早上 0.4元 /斤（ x1），中午
0.25（ x2），晚上 0.20（ x3），若某人早、中、晚分别
购买的金额是 1元（ m1）,2元（ m2）, 3元（ m3）,
求平均价格。
[原型公式 ]
平均价格 =总金额 /总数量 ? 分子资料已知
斤元
斤
元
/24.0
5.25
6
20.0
3
25.0
2
40.0
1
321
??
??
??
?
?
?
?
x
m
m
H
以上为加权调和平均数的算法
?
?
?
?
?
m
x
m
x
m
m
1
?
?
?
?
?
?
??????
??????
?
?
?
?
?
n
i
i
i
n
i
i
n
i i
i
n
i
i
n
n
n
m
x
m
x
m
m
x
m
x
m
x
m
mmm
H
H
1
1
1
1
2
2
1
1
21
1
式中,HH:加权调和平均数
xi:各标志值
n:标志值项数
mi:为特定的权数，它
不是各组标志值出现的次数，
而是各组标志总量。
※ 由例 2得加权调和平均数计算公式,
※ 将以上例 1和例 2整理如下,
每斤价格（ x）元 购买数量（ f）斤 购买金额（ m=xf）元
早,0.40
中,0.25
晚,0.20
2.5（ f1 ）
8.0 （ f2）
15 （ f3）
1 （ m1 ）
2 （ m2）
3 （ m3）
合计 ＝ 25.5 ＝ 6
f? m?
如果已知购买数量则应用加权算数平均数计算；
如果已知购买金额则应用加权调和平均数计算。二者计
算出来的平均价格是一致的。（亦可参考书中 110面例
5－ 5），从而 可以看出调和平均数是算数平均数的变
形，只是所掌握的资料不同而采取不同的计算形式来计
算平均指标。 以上情况亦可从以下公式推导看出。
已知
1式加权算数平均数 ??????
?
??
f
xf
x
2式加权调和平均数 ??????
?
?
?
1 m
x
m
H H
令 m=xf，则 f=m/x,将其代入 1式，得,
H
H
m
x
m
f
xf
x ＝＝
1
?
?
?
?
?
加权算数平均数 加权调和平均数
另外,
当 m1= m2 =?? = mn时，简单调和平均数与加权
调和平均数计算的结果是相等的。
令 m1= m2 =?? = mn ＝ A
x
n
x
A
x
A
AA
x
m
x
m
mm
x
m
m
H
1
21
2
2
1
1
21
?
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
参看书中 109面例 5－ 4
4.由平均指标计算平均指标
? 参前例 ?
5.由相对指标计算平均指标
? 参书中 111面例子 ?
6.调和平均数应用上的特点
1.应用范围小。
2.若标志值中有零值，则不能计算。
3.也易受极端值影响，特别是极小数值。
4.若是组距数列，同样存在假定性和近似性。
（三）几何平均数
1.几何平均数的概念,几何平均数又称, 对数平
均数,,它是若干项变量值连乘积开其项数次方得算
术根。
主要适用于当各项变量值的连乘积等于总比率或
总速度时计算平均比率或平均速度。 （在下动态数列
一章中有一简单应用）。
几何平均数可分为简单几何平均数和加权几何平
均数。一般常用的是简单几何平均数，在此主要了解
简单几何平均数的公式即可。
变量值个数n x －变量值
Π －连乘符号 －几何平均数x
式中：
G
?
nn
nG xxxxx ????????? 21
2.简单几何平均数的计算公式,
（四）中位数
1.中位数的概念,将总体中某一数量标志的各个
数值按大小顺序排列，处于中间位臵的标志值就是中
位数（用 Me表示）。
[例 ]某科室 9人年龄,24,25,25,26,26,27,
28,29,55
2.中位数的计算方法,
（ 1）由未分组资料确定中位数（较简单）
※ 首先对标志值从小到大排序；
※ 然后用下列公式确定中位数的位臵；
（n 是总体单位数） 中位数位臵
2
1n ＋＝
※ 注意,如果总体单位数是奇数，则位于数列中
间位臵的标志值为中位数。
【 参书中 116面例 5－ 6】
如果总体单位数是偶数，则位于数列中间两项的
标志值的算术平均数为中位数。
【 参书中 116面例 5－ 7】
（ 2）由单项数列确定中位数（较简单）
①求中位数位臵＝
②计算各组的累计次数（向上累计或向下累计）
③根据中位数位臵找出中位数
【 参书中 117面表 5－ 10】
（ 3）由组距数列确定中位数（比较复杂）
① 用公式 求出中位数
所在组的位臵。
)f 为总体单位之和( ??
2
f
)f 为总体单位之和( ??
2
f
② 用比例插值法确定中位数的值
【 参书中 118面表 5－ 11】
以下 两个公式是重点,
※ 下限公式（向上累计时用）
i
f
s
LM
m
m
f
e ?
?
??
?
?
12
※ 上限公式（向下累计时用）
i
f
s
UM
m
m
f
e ?
?
??
?
?
12
两个公式中,
L,U －分别表示中位数所在组的下限和上限
fm－表示中位数所在组的次数
Sm-1－表示中位数所在组以下的累计次数
Sm＋ 1－表示中位数所在组以上的累计次数
∑f－表示总次数
i－表示中位数所在组的组距
3.中位数的应用特点
（ 1） 是一种位臵平均数，不受极端值及开口组
的影响，具有稳健性。
（ 2） 不能进行代数运算。
（五）众数
1.众数的概念,众数是总体中出现次数最多的标
志值。用 Mo表示。
【 参书中 113面例子 】
2.众数的计算方法
（ 1）单项数列确定众数（简单）
具体方法是：直接观察次数，出现次数最多的标
志值就是众数。
【 参书中 113面例子及下面的例子 】
按鞋码分组 x 售出双数 f
38
39
40 （ M o ）
41
42
10
30
70
40
20
合计 170
38 39 40 41 42
80
60
40
20
x
f
例,
峰顶对应的变量值 ?Mo
（ 2）组距数列确定众数（较复杂）
根据组距数列只能计算出众数的近似值，其方法由
两种,
①组中值法（较简单）
具体方法是：先直接观察，找出众数组，那么 众数
组的组中值 就可认为是众数近似值。
计算公式为,
2
UL
M o
?
?
式中,
Mo -----众数
L -----众数组下限
U -----众数组上限 【 参书中 114面例子 】
※ 注意
利用此种方法计算众数有一定的局限性。只适用
于众数组组距不大，且组内变量值分布比较均匀的情
况。否则，众数的代表性就不强。
②插补法（较复杂）
具体方法：先找出众数组，然后运用插补法公式
推算 众数的近似值 。
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
???
?
??
iUM
iLM
o
o
21
2
21
1
上限公式
下限公式
式中符号含义,
（ A） L为 Mo组的下限,U为上限；
（ B） i = U – L即众数组的组距；
（ C） ?1= fm – fm-1即众数组次数与前一组次数之差；
?2= fm – fm+1即众数组次数与后一组次数之差。
按成绩分组 人数
50 以下
50 — 60
60 — 70
(L) 70 — 80 (U)
80 — 90
90 以上
10
20
30 (f m - 1 )
? 50 (f m )
40 (f m+1 )
30
合计 180
例,
7.7610
)4050()3050(
3050
70
21
1
??
???
?
??
?
???
?
?? iLM
o
分别用两个公式计算得,
7.7610
)4050()3050(
4050
80
21
2
??
???
?
??
?
???
?
?? iUM
o
【 亦可参看书 115面例子 】
3.众数的应用特点,
（ 1）同中位数一样是位臵平均数，不受极端值和
开口组数列得影响。
（ 2）众数不易确定，当分布数列没有明显的集中
趋势而趋均匀分布时，则无众数可言。
第四节 标志变异指标
一、标志变异指标的含义和作用
（一）标志变异指标的含义,
标志变异指标又称标志变动度，它是一系列用来
综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度
的综合指标。常常与平均指标结合使用，综合反映事
物发展在数量方面的共性和特殊性。
（二）标志变异指标的作用,
1.标志变异指标是衡量平均数代表性的尺度。
2.标志变异指标是反映社会经济活动过程均衡性
和稳定性的一个重要指标。 【 参书中 120面的例子 】
二、标志变异指标的种类及计算
标志变异指标包括以下几种：全距, 平均差, 标
准差和标志变异系数 。
（ 一 ） 全距
全距又称极差，是总体各单位标志中的最大值和
最小值之差。
计算公式,
全距 = 标志值的最大值－标志值的最小值
（ R） (Xmax) (Xmin)
其优点是,计算方便，意义明确，是测定标志变
动程度的简便方法。
其缺点是,全距指标只表示总体变动的范围，且
数值的大小受极端值的影响。因此，是最一般的研究
标志的变动情况的指标。
（二）平均差
平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝
对值的算术平均数, 反映的是各标志值对其平均数的
平均差异程度 。 其计算方法有简单和加权两种形式 。
1.简单平均差的计算,它是在资料未分组的情况
下采用的计算方法 。
计算公式如下,
2.加权平均差的计算,它是在资料已分组的情况
下采用的计算方法 。
计算公式如下,
n
xx
DA
? ?
???
?
? ?
???
f
fxx
DA
3.平均差的特点,
（ 1） 平均差是根据全部变量计算出来的，受极端
值影响较小，对整个变量值的离散趋势有较充分的代
表性。
（ 2） 平均差计算采用取 离差绝对值 的方法来消除
正负离差，因而不适合于代数方法的推算，使其应用
受到限制。
（三）标准差
标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离
差平方的算术平均数的平方根, 又称为均方差 。 它是
测定标志变动程度的 最主要的指标 。
标准差的实质与平均差基本相同, 只是在数学
处理方法上与平均差不同, 平均差是用取绝对值的
方法消除离差的正负号然后用算术平均的方法求出
平均离差；而标准差是用平方的方法消除离差的正
负号, 然后对离差的平方计算算术平均数, 并开方
求出标准差 。 标准差的计算也有简单和加权两种形
式 。
1.简单式计算：对未分组资料采用 。
n
xx 2)( ??
??
2.加权式计算：对已分组资料采用。
【 参书中 122－ 124面的例子 】
（四）标志变异系数（离散系数）
标志变异系数是以相对数形式表示的变异指标。
它是通过变异指标中的全距、平均差或标准差与平均
数对比得到的。常用的是标准差系数 。
f
fxx
?
??
?
2
)(
?
变异系数的应用条件是,当所对比的两个数列的
水平高低不同时, 就不能采用全距, 平均差或标准差
进行对比分析, 因为它们都是绝对指标, 其数值的大
小不仅受各单位标志值差异程度的影响, 而且受到总
体单位标志值本身水平高低的影响；为了对比分析不
同水平的变量数列之间标志值的变异程度, 就必须消
除数列水平高低的影响, 这时就要计算变异系数 。
变异系数反映的是单位平均水平下标志值的离散
程度，因而通过计算变异系数为水平高低不同的两个
数列提供了对比的基础。
标准差和平均差系数的计算方法如下,
%1 0 0??
x
V
?
?标准差系数：
%100
.
,??
x
DA
V DA平均差系数：
【 参书中 124面及以下的例子 】
[例 ]已知下列资料，试比较哪组数据更集中（整齐）。
%93.173 41.1 ??? ?V幼儿组
幼儿组 身高 成人组 身高
王甜
张琴
李朋
英洁
伍平
71
72
73
74
75
佐江财
佑海尔
魏联想
马容声
帅新飞
164
166
168
170
172
83.2,168 ??? ?x成人组
41.1,73 ??? ?x幼儿组
更整齐成人组 ???? %68.1168 83.2?V
