第三章 点、直线、平面的投影
§ 4-1 点的投影
基本几何元素,点、线、面，其中点是最基本的元素。
一、点的正投影规律,
单一投影面（ H）,A →a,但 a→A 。
增加投影面 V（ 丄 H），解决 a→A,详述点 A的水平投影、
正面投影的空间情况。 P81图 4-2（ a）
注意：投影面的代号，投影的代号。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
展开,得结果 P81图 4-2（ b），强调作图要求点在两投影
面体系的投影规律,
① a‘a丄 OX；
② a'ax=Aa,aax=Aa'，即由二维 → 三维。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
1,增加侧立面 W，使 W丄 H及 W丄 V，分空间八个分角（似选
第 Ⅰ 分角）,OX,OY,OZ三轴。
P82图 4-4（ b）,H,W的展开位置。
2,投影规律,P82图 4-4（ c）
① a’a丄 OX；
② a’a”丄 OZ；
③ aax= a”aZ=Aa’（用 45o辅助线）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
3,三等关系,长（ X方向）对正，高（ Z）平齐，宽（ Y）相等
4,投影与坐标的关系,P82图 4-4（ a）
XA（或 Ax） =Oax= Aa”（ A→W 的距离）
YA（或 Ay） =Oay=Aa‘（ A→V 的距离）
ZA（或 Az） =Oay=Aa（ A→H 的距离）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
例 4-3,已知点 A的三面投影图，求点 A的空间位置。
P83 图 4-7
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
三、两点的相对位置
相对位置,上、下、左、右、前、后,P86 图 4-12
重影点,可见性问题,P87 图 4-13
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
? 直线的投影一般仍为直线
? 求直线的投影：求出直线上的两点的投影（关键），同面
投影连线。 P89图 4-16
? 直线：直线段（简称直线，加粗）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
一、一般位置直线 （简称一般线）,
α （ L与 H的倾角）,β, γ≠0 和 γ≠90 o
投影特点,三缩短
1）投影长度 < 实长（ cd=CD?cosα< CD ）
2）投影倾斜于投影轴；反之，直线的两投影倾于投影
轴，则为一般线。
3）投影不反映 α, β, γ 的实际大小。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
特殊位置,投影面的垂直线或平行线。
二、投影面垂直线
投影特点,一积聚，二实长
1）正面垂直线（正垂线）,AB丄 V,AB∥H 和 W
2）水平面垂直线（铅垂线）,AB丄 H,AB∥V 和 W
3）侧面垂直线（侧垂线）,AB丄 W,AB∥V 和 H
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
例,正垂线,AB丄 V，则 a' b'（ V投影）积聚为一点。
ab∥OY H,a”b”∥OY W,ab= a”b”=AB,P91 表 4-4,
β=90 o,α=γ=0
读图,积聚 → 投影面垂直线，如 ab积聚，则 AB丄 H,
AB→ 铅垂线（ P91 表 4-5）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
三、投影面平行线
投影特点,一实长（反映 α 或 β, γ ），二缩短
1）正面平行线（正平线）,AB∥V,倾斜于 H,W
2）水平面平行线（水平线）,AB∥H,倾斜于 V,W
3）侧平面平行线（侧平线）,AB∥W,倾斜于 H,V
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
例,正平线 AB∥V,则 a’b’=AB，反映 α, γ 实形,β=0,
ab∥OX （缩短）,a”b”∥OZ （缩短）,P90 表 4-2。
读图,一投影 ∥ 投影轴，另一投影倾斜于投影轴，则为投影
面平行线，如 ab倾斜，则 AB∥H, AB→ 水平线（ P90 表
4-3）
注意,一般线不包含特殊线，平行线不包含垂直线，最特殊
的直线为投影面垂直线。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-3 直线上的点
? 从属性,P91
? 定比关系,P92 图 4-17,AC/CB =ac/cb=a‘c’/c‘b’
? 例 4-7,P92 图 4-18
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-4 线段的实长和倾角
? 直角三角形法,求一般线的实长,α （或 β, γ ）
? P93 图 4-19，利用一投影为射影，从另一投影取直角边长
度，求出直角三角形，得实长和倾角。
? 辅助投影法,（在换面法一节介绍）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-5 两直线的相对位置
共面直线,相交（斜交、正交）、平行
异面直线,交叉（斜交叉、正交叉）
一、平行二直线,
同面投影平行,P95 图 4-24，注意特殊直线的情况。
二、交叉二直线,
投影的交点为重影点,P96 图 4-26，可见性判断。
三、相交二直线,
三投影的交点符合点的投影规律,P94 图 4-22，注意
特殊直线的情况。
例 4-8,P95 图 4-23
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-5 两直线的相对位置
四、相互垂直二直线,
1,两直线均平行于某投影面时，则在该面上的投影反映
直角实形。
2,有一直线平行于某投影面时，则在该面上的投影反映
直角实形。
3,两直线均倾斜于某投影面时，不反映直角实形。
P98 图 4-28，注意交叉垂直的情况
例 4-11,P98 图 4-29
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
一、平面的表示方法
P99 图 4-30
二、一般位置面 （一般面）,P100表 4-6
1）空间位置,α, β, γ≠0
2）投影特点,三相仿（面积 <实形），不反映 α, β,
γ 实形
3）读图,三投影均为平面图形 → 一般面
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
三、投影面平行面
投影特点,一实形，两积聚
1）正面平行面（正平面）,P∥V, P丄 H和 W, β=0,
α=γ=90 o
2）水平面平行面（水平面）,P∥H, P丄 V和 W,α=0,
β =γ=90 o
3）侧面平行面（侧平面）,P∥W, P丄 V和 H,γ=0,
α=β=90 o
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
例,正平面□ ABCD∥V, P102表 4-8,V投影反映实形,H投
影（积聚） ∥ OX,W投影（积聚） ∥ OZ。
读图,□ a′b′c′d′ （积聚） ∥ OX,
则□ ABCD∥H,且 abcd反映实形。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
四、投影面垂直面
投影特性,一积聚（反映 α 或 β, γ ），二相仿
1）正面垂直面（正垂面）,P丄 V，倾斜于 H,W,
β=90 o,0<α 和 γ<90 o
2）水平面垂直面（铅垂面）,P丄 H，倾斜于 V, W，
α=90 o,0<β 和 γ<90 o
3）侧面垂直面（侧垂面）,P丄 W，倾斜于 H,V,
γ=90 o,0<α 和 β<90 o
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
例,正垂面△ abc丄 V,△ a′b′c′积聚为直线，反映 α,
γ 实形,β=90 o，△ abc、△ a′b′c′仍为三角形（缩
小）,P100 表 4-7
读图,△ abc积聚，不平行 OX，则△ ABC丄 H,P100表 4-7
注意,一般面不包含特殊面，平行面不包含垂直面。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-7 平面上的直线和点
作图原理,定点先定线，作线先找点
一、平面上的直线
P103 图 4-32
二、平面上的点
P104 图 4-33（例 4-12）,改为单一平面上取点。
三、投影面垂直面上的点和直线
P104 图 4-34,P105 图 4-35
§ 4-1 点的投影
基本几何元素,点、线、面，其中点是最基本的元素。
一、点的正投影规律,
单一投影面（ H）,A →a,但 a→A 。
增加投影面 V（ 丄 H），解决 a→A,详述点 A的水平投影、
正面投影的空间情况。 P81图 4-2（ a）
注意：投影面的代号，投影的代号。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
展开,得结果 P81图 4-2（ b），强调作图要求点在两投影
面体系的投影规律,
① a‘a丄 OX；
② a'ax=Aa,aax=Aa'，即由二维 → 三维。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
1,增加侧立面 W，使 W丄 H及 W丄 V，分空间八个分角（似选
第 Ⅰ 分角）,OX,OY,OZ三轴。
P82图 4-4（ b）,H,W的展开位置。
2,投影规律,P82图 4-4（ c）
① a’a丄 OX；
② a’a”丄 OZ；
③ aax= a”aZ=Aa’（用 45o辅助线）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
3,三等关系,长（ X方向）对正，高（ Z）平齐，宽（ Y）相等
4,投影与坐标的关系,P82图 4-4（ a）
XA（或 Ax） =Oax= Aa”（ A→W 的距离）
YA（或 Ay） =Oay=Aa‘（ A→V 的距离）
ZA（或 Az） =Oay=Aa（ A→H 的距离）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
例 4-3,已知点 A的三面投影图，求点 A的空间位置。
P83 图 4-7
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-1 点的投影
三、两点的相对位置
相对位置,上、下、左、右、前、后,P86 图 4-12
重影点,可见性问题,P87 图 4-13
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
? 直线的投影一般仍为直线
? 求直线的投影：求出直线上的两点的投影（关键），同面
投影连线。 P89图 4-16
? 直线：直线段（简称直线，加粗）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
一、一般位置直线 （简称一般线）,
α （ L与 H的倾角）,β, γ≠0 和 γ≠90 o
投影特点,三缩短
1）投影长度 < 实长（ cd=CD?cosα< CD ）
2）投影倾斜于投影轴；反之，直线的两投影倾于投影
轴，则为一般线。
3）投影不反映 α, β, γ 的实际大小。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
特殊位置,投影面的垂直线或平行线。
二、投影面垂直线
投影特点,一积聚，二实长
1）正面垂直线（正垂线）,AB丄 V,AB∥H 和 W
2）水平面垂直线（铅垂线）,AB丄 H,AB∥V 和 W
3）侧面垂直线（侧垂线）,AB丄 W,AB∥V 和 H
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
例,正垂线,AB丄 V，则 a' b'（ V投影）积聚为一点。
ab∥OY H,a”b”∥OY W,ab= a”b”=AB,P91 表 4-4,
β=90 o,α=γ=0
读图,积聚 → 投影面垂直线，如 ab积聚，则 AB丄 H,
AB→ 铅垂线（ P91 表 4-5）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
三、投影面平行线
投影特点,一实长（反映 α 或 β, γ ），二缩短
1）正面平行线（正平线）,AB∥V,倾斜于 H,W
2）水平面平行线（水平线）,AB∥H,倾斜于 V,W
3）侧平面平行线（侧平线）,AB∥W,倾斜于 H,V
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-2 直线的投影
例,正平线 AB∥V,则 a’b’=AB，反映 α, γ 实形,β=0,
ab∥OX （缩短）,a”b”∥OZ （缩短）,P90 表 4-2。
读图,一投影 ∥ 投影轴，另一投影倾斜于投影轴，则为投影
面平行线，如 ab倾斜，则 AB∥H, AB→ 水平线（ P90 表
4-3）
注意,一般线不包含特殊线，平行线不包含垂直线，最特殊
的直线为投影面垂直线。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-3 直线上的点
? 从属性,P91
? 定比关系,P92 图 4-17,AC/CB =ac/cb=a‘c’/c‘b’
? 例 4-7,P92 图 4-18
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-4 线段的实长和倾角
? 直角三角形法,求一般线的实长,α （或 β, γ ）
? P93 图 4-19，利用一投影为射影，从另一投影取直角边长
度，求出直角三角形，得实长和倾角。
? 辅助投影法,（在换面法一节介绍）
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-5 两直线的相对位置
共面直线,相交（斜交、正交）、平行
异面直线,交叉（斜交叉、正交叉）
一、平行二直线,
同面投影平行,P95 图 4-24，注意特殊直线的情况。
二、交叉二直线,
投影的交点为重影点,P96 图 4-26，可见性判断。
三、相交二直线,
三投影的交点符合点的投影规律,P94 图 4-22，注意
特殊直线的情况。
例 4-8,P95 图 4-23
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-5 两直线的相对位置
四、相互垂直二直线,
1,两直线均平行于某投影面时，则在该面上的投影反映
直角实形。
2,有一直线平行于某投影面时，则在该面上的投影反映
直角实形。
3,两直线均倾斜于某投影面时，不反映直角实形。
P98 图 4-28，注意交叉垂直的情况
例 4-11,P98 图 4-29
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
一、平面的表示方法
P99 图 4-30
二、一般位置面 （一般面）,P100表 4-6
1）空间位置,α, β, γ≠0
2）投影特点,三相仿（面积 <实形），不反映 α, β,
γ 实形
3）读图,三投影均为平面图形 → 一般面
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
三、投影面平行面
投影特点,一实形，两积聚
1）正面平行面（正平面）,P∥V, P丄 H和 W, β=0,
α=γ=90 o
2）水平面平行面（水平面）,P∥H, P丄 V和 W,α=0,
β =γ=90 o
3）侧面平行面（侧平面）,P∥W, P丄 V和 H,γ=0,
α=β=90 o
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
例,正平面□ ABCD∥V, P102表 4-8,V投影反映实形,H投
影（积聚） ∥ OX,W投影（积聚） ∥ OZ。
读图,□ a′b′c′d′ （积聚） ∥ OX,
则□ ABCD∥H,且 abcd反映实形。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
四、投影面垂直面
投影特性,一积聚（反映 α 或 β, γ ），二相仿
1）正面垂直面（正垂面）,P丄 V，倾斜于 H,W,
β=90 o,0<α 和 γ<90 o
2）水平面垂直面（铅垂面）,P丄 H，倾斜于 V, W，
α=90 o,0<β 和 γ<90 o
3）侧面垂直面（侧垂面）,P丄 W，倾斜于 H,V,
γ=90 o,0<α 和 β<90 o
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-6 平面及其投影
例,正垂面△ abc丄 V,△ a′b′c′积聚为直线，反映 α,
γ 实形,β=90 o，△ abc、△ a′b′c′仍为三角形（缩
小）,P100 表 4-7
读图,△ abc积聚，不平行 OX，则△ ABC丄 H,P100表 4-7
注意,一般面不包含特殊面，平行面不包含垂直面。
第三章 点、直线、平面的投影
§ 3-7 平面上的直线和点
作图原理,定点先定线，作线先找点
一、平面上的直线
P103 图 4-32
二、平面上的点
P104 图 4-33（例 4-12）,改为单一平面上取点。
三、投影面垂直面上的点和直线
P104 图 4-34,P105 图 4-35
