2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 1
第二章变形体虚位移原理
弹性力学基本概念 — 预备知识
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理和势能原理的应用
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 2
预 备 知 识（回顾）
?线弹性平面问题的平衡
方程
?小变形平面问题的几何
方程
0
0
b
b
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
y
yyx
x
xyx
F
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yxx xx d)d( ??? ??
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y
v
x
u
y
x
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线应变：
A B
C
'A
'B
'C
u
v
xxuu d???
xxvv d???
yyvv d???yyuu d???
xd
yd
角应变：
x
v
y
u
xy ?
??
?
???
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3
?线弹性平面问题物理方程
平面应力：
xyxyxy
xyy
yxx
E
G
E
E
?
?
??
???
?
?
???
?
?
)1(2
)(
1
)(
1
2
2
?
??
?
?
?
?
?
?
平面应变：
?
??
?? 1
x
y
z
平面应力：
0??? yzxzz ???
平面应变：
x
y
z
0??? yzxzz ???
2μ
EE
?? 1
预 备 知 识（回顾）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4
xd
yd
yxd?
yxyd?
xxyd? xyd?
n
s
sFxdS
sFydS
x
y
?平面问题应力边界条件
mlF
mlF
yxyy
xyxx
??
??
??
??
S
S
在应力边界上：
lmml
mlml
yxxyN
yxyxN
)()(
2
22
22
????
????
????
???
?平面问题物理量的矩阵
表示
? ?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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4
32
21
00
0
0
D
DD
DD
D
? ? ? ?Txyyx ???? ?
? ? ? ?Txyyx ???? ?
? ? ? ?Tbbb yx FFF ?
? ? ? ?TSSS yx FFF ?
? ? ? ?Tvud ?
? ? ? ?Tvud ?
应力矩阵
应变矩阵
体积力矩阵
表面力矩阵
位移矩阵
已知位移矩阵
弹性矩阵
预 备 知 识（回顾）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 5
?平面问题物理量的矩阵
表示
取决于材料性质
各相同性、线性弹性时
? ?D
?引入两个算子矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
xy
yx
A
0
0
微分算子矩阵
? ? ?
?
?
??
??
lm
mlL
0
0
方向余弦矩阵
231 1 ????
EDD? ?中：D
22 1 ?
?
??
ED
)1(24 ???
ED
平面应力
平面应变,
?
??
?? 12??? 1 EE
预 备 知 识（回顾 ）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 6
基本方程矩阵表示
?平衡方程
? ?? ? ? ? ? ?0b ?? FA ?
?几何方程
? ? ? ? ? ? ? ?0T ?? ?dA
? ?? ? ? ? ? ?0?? ??D
?物理方程
?边界条件
? ? ? ? ? ? uSdd 0??
? ?? ? ? ? ? ? ?? SFL 0S ??
杆系问题的基本方
程 （作业）
?平衡方程如何建立？
?几何方程如何建立？
?内力和变形间关系如何？
由微段的平衡条件建立
由微段的变形条件建立
?
?
k G AQ
x
v
EIM
EAN
?
?
?
2
2
d
d
以上内容必须
通过自己动手
达到熟练掌握
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 7
变形体虚位移原理和势能原理
一、变形体虚位移时外力功计算
二、变形体虚位移原理表述和证明
三、一些名词含义的解释
四、势能驻值原理和最小势能原理
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 8
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的受力分析
xd
yd o
A B
C D
x?
yyxx d??? ??
xxxx d??? ??
yyxx xxx dd ?????? ???
10
xd
yd
yxd?
yxF x ddb yxx xx d)d( ??? ??
o
A
xxyd?
xyxyxy )ddy( ??? ??
高阶小量??????? yyyyT xxxxx dd)d(21 ????
高阶小量
同理
?
?
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??
?
?
?
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?
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yx
x
yy
y
x
x
x
x
T
x
x
xx
x
x
xxx
d)d(
d)ddd(
2
1
d
?
?
??
?
?
?
其余类推
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 9
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的位移分析
xd
yd o
1
2
3
4
)d21,d21( vvuu xx ??1
2 )d
2
1d,d
2
1d( vvvuuu
yxyx ????
3 )dd
2
1,dd
2
1( vvvuuu
yxyx ????
4
)d21,d21( vvuu yy ??
)d21d21,d21d21( vvvuuu yxyx ????o
)δ,δ( vvuu ??
A
虚
位
移 y
y
x
x
y
x
dd
dd
?
?
?
?
?
?
算子符号
能写出各点
的位移吗？
提示：连续函
数台劳级数展
开
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 10
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的外力功计算
高阶小量?
?
?
??
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????
?
?
?
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?? ??yx
y
u
x
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yx xyxx
xyx dd)]()[(
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2
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2
d
(dd
)d
2
d
(d)d()
2
d
(d
)d
2
d
(d)d()
2
d
(dd δ
b
y
y
ux
x
u
uyxF
y
y
ux
x
u
uxy
y
x
x
u
ux
x
x
uy
y
u
uyx
x
y
y
u
uyW
x
xy
xyxy
x
xx
?
??
?
??
外
8
y方向的力所做的
功等于多少？
yxvFyxyvxv yyxyyxy dd])()[( b ????????????? ????
请大家自行写出内部微元体 x向外力的总虚功
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 11
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的外力功计算
高阶小量
外
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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yxvF
xy
uF
yx
W
yxyx
y
xyy
x
xyx
dd]
δ
)
δδ
(
δ
[(
dd]δ)(δ)[(d δ bb
???
????
yxvFxyuFyxW yxyyxxyx dd]δ)(δ)[(d δ bb ???????????????? ????刚外
yxyvxvyuxuW yxyx dd]δ)δδ(δ[(d δ ???????????? ???变外
原形
刚性位移
变形位移
变
外
刚
外外 WWW d δd δd δ ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 12
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
边界微元体的外力功计算
xd
yd
x
y
A 1
3 2o
xxvvxxuu d21,d211 ??????
yyvxxvvyyuxxuu d21d21,d21d212 ????????????
yyvvyyuu d21,d213 ??????
yyvxxvvyyuxxuuo d31d31,d31d31 ????????????
xd
yd
yxd?
yxyd?
xxyd? xyd?
n
s
sFxdS
sFydS
x
y
AF xdb
AFydb
设 A点虚位移为
vvuu δ,δ ??
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变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
边界微元体的外力功计算
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
????
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2
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2
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3
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3
d
(dd
)
2
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2
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Sb
y
y
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x
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y
y
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x
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x
x
u
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y
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xx
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高阶小量?
???????? sv
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s
x
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xyyyxyxx d)]d
d
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d([d)]
d
d
d
d([
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刚
外外
刚
外
WW
svmlFsumlFW yxyyxyxx
d δd δ
d)]([d)]([d δ SS
?
???????? ????
不管是否平衡均一样
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 14
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
变形体的外力总虚功计算
? ??? 边外内外外 WWW d δd δδ
? ??? 变外刚外 WW d δd δ
yx
x
v
y
u
y
v
x
u
svmlFumlF
yxvF
yx
uF
yx
xyyx
yxyyxyxx
y
yxy
x
xyx
dd)]([
d})]([])({[
dd])()[(
SS
bb
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
????????
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?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
????
????
变
外
刚
外外 WWW δδδ ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 15
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
矩阵表示变形体的外力总虚功
变
外
刚
外外 WWW δδδ ??
? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
?
??
??
?
?
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S
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sdLF
AdFAW
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dδ)(δ
T
S
T
b
刚
外
? ? ? ? 变变外 WAW
A
δdδδ T ?? ? ??
181748
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 16
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的表述
受给定外力作用，变形连续体处于平
衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移
（具有任意、独立性），外力所做的总虚
功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也
即恒满足如下虚功方程
变外 WW δδ ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 变
外
WA
sdFAdFW
A
A S
δdδ
dδdδδ
T
T
S
T
b
??
??
?
? ?
??
?
26
能说
出虚
位移
原理
和虚
功原
理的
表述
有何
区别
吗？
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 17
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的必要性证明
? ?? ? ? ? ? ?0b ?? FA ??
? ?? ? ? ? ? ? ?? SFL 0S ??
必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。
? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? 0dδ)(
dδ)(δ
T
S
T
b
???
???
?
?
?
?
?
S
A
sdLF
AdFAW 刚
外
变
变
外
刚
外外 WWWW δδδδ ???
15
? ? ? ? 变外 WAW
A
δdδδ T ?? ? ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 18
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的必要性证明
? ? ? ? 0δ uSd ??又
必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
??
??
??
????
uSSSS
AA
sdLsdF
AAdFAW
??
?
???
dδ)dδ(
dδdδ)(δ
TT
S
TT
b外
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???
??
???
??
AS
SA
AdAsdL
sdFAdFW
]dδδ)[(dδ)
dδdδ)δ
TTT
T
S
T
b
????
?
外
15
=0? ? ? ? ? ? ? ??? ??
?SA
sdFAdFW dδdδ)δ TSTb外
? ? ? ? 变WAA δdδT ?? ? ??
格林公式
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 19
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的充分性证明
充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。
设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。
也即 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?0b ????? dFA ??
此时，“体积力”为,? ? ? ?dF ??? ?b ? ? ? ?
2
2
d
d
t
dd ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 变
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WA
sdFAddFW
A
A S
??
?????
?
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d
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T
T
S
T
b
??
?
?
因为“平衡”，由必要性可得：
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 20
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的充分性证明
充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 变
外
WA
sdFAddFW
A
A S
δdδ
dδdδ)(δ
T
T
S
T
b
??
?????
?
? ?
??
?
?
因为虚功方程恒成立，由此可得：
? ? ? ? 0dδT ?????A Add?
因为虚位移的任意性和独立性，由此可得：
? ? ? ?0???? d?
这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 21
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的几点说明
1）适用于一切可变形物体（可变性固体、流体
等）。
2）虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是
必要性命题，而后者则是充分必要的命题。
3）王光远院士与我曾经证明，当不是取微元体
进行研究时，不能证明变形体平衡。
4）我们还曾经证明，当虚位移不具有完全任意
和独立性时，也不能证明变形体平衡。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 22
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的几点说明
5）只需将面积分改成体积分，线积分改成面积
分，即可得到三维问题的虚功方程。
6）利用虚位移原理做近似分析时，是应用原理
的充分性，认为是用必要性时错误的。
7）像虚功原理证明中一样，外力总虚功可分解
成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格
林公式实质是切割面内力总虚功为零。
8）格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变
形。 请大家自行考虑如何从虚功方程出发，
用平衡和边界条件推得格林公式。 —— 作业
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 23
变形体虚位移原理和势能原理
一些名词含义的解释
1）任何满足几何方程和位移边界条件的位移，
称作可能位移，记作 [d]k。
2）由可能位移通过几何方程求得的应变，称作
可能应变，记作 [?]k。
3）由可能应变通过物理方程求得的应力，称作
可能应力，记作 [?]k。
4）可能应力在可能应变时所作的功，也即所储
存的应变能，称作可能应变能，记作 Uk。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 24
变形体虚位移原理和势能原理
一些名词含义的解释
5）从可能位移退回到初始（也称自然）状态时，
外力所作的功，称作外力势能，记作 Pf。
6）可能应变能和外力势能的总和，称作对应可
能位移 [d]k的总势能，简称总势能，记作 ?k。
7）可能位移和真实位移的偏差，称作位移的变
分，记作 ? [d]。由此可得应变、应力的变分。
8）可能位移总势能和真实总势能的偏差，其中
与位移变分成线性关系的部分，称作势能的
一阶变分，记作 ?? 。位移变分二次式部分
称作势能的二阶变分,记作 ? 2?。余类推。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 25
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
势能驻值原理的表述,某一变形可能状态为真实
位移状态的充分必要条件是，相应于此位移状态
的变形体势能取驻值。也即势能对位移的一阶变
分恒等于零。
为了证明上述原理，先证明如下的 格林公式：
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
??
?
?
V
VS
V
VdASdL
d
d)(d)(
T
TT
??
??
式中 满足平衡条件,和 间满足几何方
程,还满足位移边界条件。? ????d ??d ???
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 26
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
格林公式 的证明：
? ? ? ? 原理可得满足协调，因此由虚功满足平衡,d??
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 变
外
WVVdF
SdLSdFW
VV
SS u
???
??
??
??
dd
d)(d
TT
b
TT
S
??
?
?
? ? ? ?? ? ???? ??? LFSSSS u S,上又 ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
??
??
?
??
?
V
VS
VS
V
VdASdL
VdFSdL
d
d)(d)(
dd)(
T
TT
T
b
T
??
??
?
格林公式证毕
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 27
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
势能驻值原理 的证明：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
??????
?
V S
V
SdFVdF
Ved
?
?????
??
?
?2kTSkTb
0 k
T
kk
dd
dd)(
k
变形体的总势能可表为：
式中势能的一阶变分为：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? SdFVdFV SVV dδdδdδδ TSTbT ??? ???
?
???
将位移的一阶变分理解为 虚位移,则由变形体虚
位移原理的虚功方程可证势能一阶变分为零，能保
证平衡。因此，势能原理结论正确。
16
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 28
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
最小势能原理：
线性、弹性变形体的总势能可表为：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
?
??????
?
V S
V
SdFVdF
Vd
?
?????
???
?2kTSkTb
k
T
kk
dd
d
2
1
)(
由此可证明，对于一切位移变分，势能的二阶变
分恒大于等于零（仅在位移变分为零时才等于零）。
因此势能取最小值。
从势能原理证明可见，它和虚位移原理等价。都
等价于平衡条件,
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 29
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法
里兹法基本思路,
选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”，
将一个无限自由度的位移设为若干基函数的线性
组合,从而把无限自由度化为有限个自由度问题。
以所设位移作为可能位移,令体系的总势能一
阶变分恒等于零使系统近似平衡,从而求得组合
系数。 代回所设位移场，可进一步确定任意点的
位移，利用几何、物理方程，还可求得应变和应
力等。 上述近似方法即为 里兹法 。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 30
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法
里兹法的解题步骤,
1）选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”
? ? ? ?dS iu ??:
2）设近似位移场为基函数的线性组合
? ? ? ? ? ?dCV i
i
i ?? ?:
3）将所设位移场代入势能表达式，从而将势能
表为组合系数的函数
4）令势能一阶变分（对组合系数偏导）为零，
建立求组合系数的线性代数方程组，并求所需量
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 31
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
1）选取满足位移边界条件（ A点挠
度转角为零）的函数作为“基函数”
4
3
3
2
2
1 xaxaxav ???设
2）对于所选的挠曲线，其虚位移、虚曲率，可能位
移对应的弯矩等如下所示：
433221 δδδδ xaxaxav ??? 433221 δδδδ lalalav B ???
)δ6δ3δ(2δ 2321 xaxaa ???? )63(2 2321 xaxaaEIM ???
A B
qlq
lEI,x
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 32
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
3）外力的总虚功为：
)δ72δ75δ80(
60
δdδ
321
3
0
aaa
ql
vqlxvqW l B
???
??? ?外
4）总虚变形功为：
33
5
2
4
1
3
23
4
2
3
1
2
0 13
2
2
2
1
δ)724520(
5
2
δ)32(6
δ)432(2dδ
aalalal
EI
aalalalEI
aalallaEIxMW l
???
???
???? ? ?变
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 33
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
5）当 v仅取一项时，由虚功方程可得：
EI
qlv
EI
qla
B 33
42
1 ??
当 v仅取二项时，由虚功方程可得：
EI
qlv
EI
qla
EI
qla
B 24
11
424
17 4
2
2
1 ????
当 v取三项时，由虚功方程可得：
EI
ql
v
EI
ql
v
EI
q
a
EI
ql
a
EI
ql
a
BB
24
11
24
11
2434
3
44
32
2
1
??
????
精
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 34
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
5）当 v仅取一项时，弯矩为：
3
2 2qlM ?
当 v仅取二项时，弯矩为：
12
17
2
3
12
17 22 qlMxqlqlM
A ???
当 v取三项时，弯矩为：
精确解2223
22 qx
q lxqlM ???
里兹法位移精度高于内力精度
当试函数组合包含真解时，
结果为精确解，否则为近似解
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 35
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力
(各杆 EA相同 )
])(4 2[2 222 vvuulEAU ????
A
B l
l
D
P
C
设 D点水平位移为 u，竖向位移为 v。在
此位移下，体系的应变能 U为：
体系的外力势能为,PvP
f ??体系的总势能为：
PvvvuulEA ????? ])(4 2[2 222?
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 36
虚位移原理和势能原理的应用
根据势能原理，真实位移应使总势能最小，因此由
势能对位移的偏导数为零可得
0])(
4
2
[
0)](
4
2
[
??????
?
?
????
?
?
Pvvu
l
EA
v
vuu
l
EA
u
?
?
由此可解得
)(2 23)(2 12 ?????? EAPlvEAPlu
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 37
虚位移原理和势能原理的应用
由位移可求得各杆变形（伸长）如下：
vvuu CDBDAD ????? ??? )(2 2
由此可解得各杆的轴力为：
PN
PN
PN
CD
BD
AD
2
32
2
22
2
12
?
?
?
?
?
?
A
B l
l
D
P
C
从这个例子你能得到
什麽结论？
（可参考龙书 14章）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 38
虚位移原理和势能原理的应用
例三：用原理推导等直杆 AB杆端位移和杆端力关系
A B
q
1? 3?
2? 4?
lEI,
取试函数如下：
)1()(
)23()(
)1()(
231)(
2
4
2
3
2
2
32
1
???
???
???
???
???
??
??
???
lN
N
lN
N
1
1
1
1
l
x??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 39
虚位移原理和势能原理的应用
例三：用原理推导等直杆 AB杆端位移和杆端力关系
A B
q
1? 3?
2? 4?
lEI,
杆内任意一点的挠度 v可用结点位移作参数，用试函
数的组合来得到，从试函数示意图可见，此时位移边
界条件自动满足
44332211 ???? NNNNv ????
由此位移引起的杆件应变能 U为：
),,(d)
d
d(
2
1
410
2
2
2
?? ?Ux
x
vEIU l ??
?
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 40
),,(d 414
10
??? ?fiilf PFxqvP ??? ??
虚位移原理和势能原理的应用
由此位移引起的杆件外力势能可用下式求得
由势能原理，总势能对位移的偏导数等于零（这都
是数学推演，请大家自己看龙先生的教程）可得
),,(),,(),,( 414141 ??????? ??? fPU ??
将应变能和外力势能相加，可得杆件总势能为：
? ?? ? ? ?Rk ??
式中 [k],{R}见下一页。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 41
虚位移原理和势能原理的应用
由势能原理所推得的“刚度方程” ? ?? ? ? ?Rk ??
式中刚度矩阵为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 42
虚位移原理和势能原理的应用
由势能原理所推得的“刚度方程” ? ?? ? ? ?Rk ??
式中等效荷载矩阵为
? ? ? ? ? ?
E
2
4
3
2
2
1
12
2
12
2
FF
ql
F
ql
F
ql
F
ql
F
R ??
?
?
?
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?
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?
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?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
希望大家自行
推导上述结果
不难验证，此
结果和由叠加
得到的转角位
移方程一样。
杆端力矩阵
等效结点力矩阵
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 43
势能原理在平面问题中的应用
)(
)(
321
321
?
?
????
????
yBxBByv
yAxAAxu
设可能位移为
试用势能原理求图示平面应力问题的位移。
1q
2q
x
y
a
b显然此位移自动满足位移边界条
件。当只取一项时
11 00 By
v
x
v
y
uA
x
u ?
?
??
?
??
?
??
?
?
由此可得应变能为
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 44
势能原理在平面问题中的应用
)2(
)1(2
dd)2(
)1(2
11
2
1
2
12
0 0 11
2
1
2
12
BABA
E a b
yxBABA
E
U a b
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ? ?
由此可得应变能为
应力边界的位移为 11 bBvaAu byax ?? ??
1211 abBqabAqP f ??
由此可得外力势能为
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 45
势能原理在平面问题中的应用
1211
11
2
1
2
12 )2()1(2
a b Bqa b Aq
BABA
E a b
??
??
?
? ?
?
?
由此可得总势能为
0)22(
)1(2
0)22(
)1(2
2112
1
1112
1
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
abqAB
E a b
B
abqBA
E a b
A
?
?
?
?
?
?
由最小势能原理可得
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 46
势能原理在平面问题中的应用
E
qqB
E
qqA 12
1
21
1
?? ??????
由此可求得
代回可能位移表达式，可得位移为
进一步可以证明，当级数取多项时，其他系数全都
等于零，由“可能位移”所求得的解满足平衡和应力
边界条件，所以上述结果就是精确解。
yE qqvxE qqu 1221 ?? ??????
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 47
? ?? ? ? ? ? ? ? ?
A
y
v
x
v
y
u
x
u
v
yx
u
yx
AdA
yxyx
yxy
A
xyx
A
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δδδδ
δδ
]dδδ)[(
TT
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y
v
x
v
y
u
x
u yxy
A
xyx dδδδδ
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A
y
vu
x
vu
A
yxyxyx dδδδδ?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
??
?
?
??
?
????
18
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 48
? ??? ????
?
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???
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??
?
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SA
SQmPlA
y
Q
x
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A
y
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x
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S
yxyxyx
A
yxyxyx
dδδδδ
d
δδδδ
????
????
? ? ? ?? ? ????? ? SvmlumlS yxyxyx dδδ ????
? ?? ?? ? ? ? SdLS dδT?? ?
高斯公式
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 49
?平面问题物理量的矩阵
表示
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
32
21
00
0
0
D
DD
DD
D
? ? ? ?Txyyx ???? ?
? ? ? ?Txyyx ???? ?
? ? ? ?Tbbb yx FFF ?
? ? ? ?TSSS yx FFF ?
? ? ? ?Tvud ?
? ? ? ?Tvud ?
?引入两个算子矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
yx
A
0
0
微分算子矩阵
? ? ?
?
?
??
??
lm
mlL
0
0
方向余弦矩阵
15
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 50
,结构力学基础, 结束语
?, 结构力学基础, 到此结束。建议自学, 教程, 十四、十五、
十六章，参考其他教材等作出笔记，从而进一步培养自己获
取知识的能力。
? 下学期的内容一定意义上比这学期难,难就难在它要求大家
对本学期知识掌握的扎实，对线性代数、常微分方程等数学
知识和算法语言有较好的功底 。为了学好下学期内容，希望
大家切莫学“熊瞎子掰苞米”，不要学一个扔一个。如果已
经遗忘一些内容，希望自行复习补上！
? 感谢大家这学期对改革试点工作的支持，请大家在考试前将
你对试点工作的希望、意见、建议和体会等交一份书面材料，
谢谢大家！预祝大家考试取得好成绩！
第二章变形体虚位移原理
弹性力学基本概念 — 预备知识
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理和势能原理的应用
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 2
预 备 知 识（回顾）
?线弹性平面问题的平衡
方程
?小变形平面问题的几何
方程
0
0
b
b
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
y
yyx
x
xyx
F
yx
F
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yd
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yxx xx d)d( ??? ??
xxyd?
xxyyxy d)d( ?? ?
o
y
v
x
u
y
x
?
?
?
?
?
?
?
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线应变：
A B
C
'A
'B
'C
u
v
xxuu d???
xxvv d???
yyvv d???yyuu d???
xd
yd
角应变：
x
v
y
u
xy ?
??
?
???
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3
?线弹性平面问题物理方程
平面应力：
xyxyxy
xyy
yxx
E
G
E
E
?
?
??
???
?
?
???
?
?
)1(2
)(
1
)(
1
2
2
?
??
?
?
?
?
?
?
平面应变：
?
??
?? 1
x
y
z
平面应力：
0??? yzxzz ???
平面应变：
x
y
z
0??? yzxzz ???
2μ
EE
?? 1
预 备 知 识（回顾）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4
xd
yd
yxd?
yxyd?
xxyd? xyd?
n
s
sFxdS
sFydS
x
y
?平面问题应力边界条件
mlF
mlF
yxyy
xyxx
??
??
??
??
S
S
在应力边界上：
lmml
mlml
yxxyN
yxyxN
)()(
2
22
22
????
????
????
???
?平面问题物理量的矩阵
表示
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
32
21
00
0
0
D
DD
DD
D
? ? ? ?Txyyx ???? ?
? ? ? ?Txyyx ???? ?
? ? ? ?Tbbb yx FFF ?
? ? ? ?TSSS yx FFF ?
? ? ? ?Tvud ?
? ? ? ?Tvud ?
应力矩阵
应变矩阵
体积力矩阵
表面力矩阵
位移矩阵
已知位移矩阵
弹性矩阵
预 备 知 识（回顾）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 5
?平面问题物理量的矩阵
表示
取决于材料性质
各相同性、线性弹性时
? ?D
?引入两个算子矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xy
yx
A
0
0
微分算子矩阵
? ? ?
?
?
??
??
lm
mlL
0
0
方向余弦矩阵
231 1 ????
EDD? ?中：D
22 1 ?
?
??
ED
)1(24 ???
ED
平面应力
平面应变,
?
??
?? 12??? 1 EE
预 备 知 识（回顾 ）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 6
基本方程矩阵表示
?平衡方程
? ?? ? ? ? ? ?0b ?? FA ?
?几何方程
? ? ? ? ? ? ? ?0T ?? ?dA
? ?? ? ? ? ? ?0?? ??D
?物理方程
?边界条件
? ? ? ? ? ? uSdd 0??
? ?? ? ? ? ? ? ?? SFL 0S ??
杆系问题的基本方
程 （作业）
?平衡方程如何建立？
?几何方程如何建立？
?内力和变形间关系如何？
由微段的平衡条件建立
由微段的变形条件建立
?
?
k G AQ
x
v
EIM
EAN
?
?
?
2
2
d
d
以上内容必须
通过自己动手
达到熟练掌握
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 7
变形体虚位移原理和势能原理
一、变形体虚位移时外力功计算
二、变形体虚位移原理表述和证明
三、一些名词含义的解释
四、势能驻值原理和最小势能原理
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 8
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的受力分析
xd
yd o
A B
C D
x?
yyxx d??? ??
xxxx d??? ??
yyxx xxx dd ?????? ???
10
xd
yd
yxd?
yxF x ddb yxx xx d)d( ??? ??
o
A
xxyd?
xyxyxy )ddy( ??? ??
高阶小量??????? yyyyT xxxxx dd)d(21 ????
高阶小量
同理
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yx
x
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y
x
x
x
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T
x
x
xx
x
x
xxx
d)d(
d)ddd(
2
1
d
?
?
??
?
?
?
其余类推
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 9
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的位移分析
xd
yd o
1
2
3
4
)d21,d21( vvuu xx ??1
2 )d
2
1d,d
2
1d( vvvuuu
yxyx ????
3 )dd
2
1,dd
2
1( vvvuuu
yxyx ????
4
)d21,d21( vvuu yy ??
)d21d21,d21d21( vvvuuu yxyx ????o
)δ,δ( vvuu ??
A
虚
位
移 y
y
x
x
y
x
dd
dd
?
?
?
?
?
?
算子符号
能写出各点
的位移吗？
提示：连续函
数台劳级数展
开
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 10
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的外力功计算
高阶小量?
?
?
??
?
????
?
?
?
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?? ??yx
y
u
x
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yx xyxx
xyx dd)]()[(
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2
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2
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2
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2
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x
y
y
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uyW
x
xy
xyxy
x
xx
?
??
?
??
外
8
y方向的力所做的
功等于多少？
yxvFyxyvxv yyxyyxy dd])()[( b ????????????? ????
请大家自行写出内部微元体 x向外力的总虚功
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 11
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
内部微元体的外力功计算
高阶小量
外
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
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?
?
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y
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uF
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yxyx
y
xyy
x
xyx
dd]
δ
)
δδ
(
δ
[(
dd]δ)(δ)[(d δ bb
???
????
yxvFxyuFyxW yxyyxxyx dd]δ)(δ)[(d δ bb ???????????????? ????刚外
yxyvxvyuxuW yxyx dd]δ)δδ(δ[(d δ ???????????? ???变外
原形
刚性位移
变形位移
变
外
刚
外外 WWW d δd δd δ ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 12
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
边界微元体的外力功计算
xd
yd
x
y
A 1
3 2o
xxvvxxuu d21,d211 ??????
yyvxxvvyyuxxuu d21d21,d21d212 ????????????
yyvvyyuu d21,d213 ??????
yyvxxvvyyuxxuuo d31d31,d31d31 ????????????
xd
yd
yxd?
yxyd?
xxyd? xyd?
n
s
sFxdS
sFydS
x
y
AF xdb
AFydb
设 A点虚位移为
vvuu δ,δ ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 13
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
边界微元体的外力功计算
???
?
?
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?
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2
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3
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2
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2
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Sb
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x
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x
x
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y
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xyx ??外
高阶小量?
???????? sv
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x
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xyyyxyxx d)]d
d
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d([d)]
d
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d
d([
SS ????
刚
外外
刚
外
WW
svmlFsumlFW yxyyxyxx
d δd δ
d)]([d)]([d δ SS
?
???????? ????
不管是否平衡均一样
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 14
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
变形体的外力总虚功计算
? ??? 边外内外外 WWW d δd δδ
? ??? 变外刚外 WW d δd δ
yx
x
v
y
u
y
v
x
u
svmlFumlF
yxvF
yx
uF
yx
xyyx
yxyyxyxx
y
yxy
x
xyx
dd)]([
d})]([])({[
dd])()[(
SS
bb
?
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?
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变
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刚
外外 WWW δδδ ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 15
变形体虚位移原理和势能原理
变形体虚位移时外力功计算
矩阵表示变形体的外力总虚功
变
外
刚
外外 WWW δδδ ??
? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
?
??
??
?
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S
A
sdLF
AdFAW
dδ)(
dδ)(δ
T
S
T
b
刚
外
? ? ? ? 变变外 WAW
A
δdδδ T ?? ? ??
181748
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 16
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的表述
受给定外力作用，变形连续体处于平
衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移
（具有任意、独立性），外力所做的总虚
功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也
即恒满足如下虚功方程
变外 WW δδ ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 变
外
WA
sdFAdFW
A
A S
δdδ
dδdδδ
T
T
S
T
b
??
??
?
? ?
??
?
26
能说
出虚
位移
原理
和虚
功原
理的
表述
有何
区别
吗？
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 17
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的必要性证明
? ?? ? ? ? ? ?0b ?? FA ??
? ?? ? ? ? ? ? ?? SFL 0S ??
必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。
? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? 0dδ)(
dδ)(δ
T
S
T
b
???
???
?
?
?
?
?
S
A
sdLF
AdFAW 刚
外
变
变
外
刚
外外 WWWW δδδδ ???
15
? ? ? ? 变外 WAW
A
δdδδ T ?? ? ??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 18
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的必要性证明
? ? ? ? 0δ uSd ??又
必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
??
??
??
????
uSSSS
AA
sdLsdF
AAdFAW
??
?
???
dδ)dδ(
dδdδ)(δ
TT
S
TT
b外
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???
??
???
??
AS
SA
AdAsdL
sdFAdFW
]dδδ)[(dδ)
dδdδ)δ
TTT
T
S
T
b
????
?
外
15
=0? ? ? ? ? ? ? ??? ??
?SA
sdFAdFW dδdδ)δ TSTb外
? ? ? ? 变WAA δdδT ?? ? ??
格林公式
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 19
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的充分性证明
充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。
设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。
也即 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?0b ????? dFA ??
此时，“体积力”为,? ? ? ?dF ??? ?b ? ? ? ?
2
2
d
d
t
dd ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 变
外
WA
sdFAddFW
A
A S
??
?????
?
? ?
d
dd)(
T
T
S
T
b
??
?
?
因为“平衡”，由必要性可得：
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 20
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的充分性证明
充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 变
外
WA
sdFAddFW
A
A S
δdδ
dδdδ)(δ
T
T
S
T
b
??
?????
?
? ?
??
?
?
因为虚功方程恒成立，由此可得：
? ? ? ? 0dδT ?????A Add?
因为虚位移的任意性和独立性，由此可得：
? ? ? ?0???? d?
这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 21
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的几点说明
1）适用于一切可变形物体（可变性固体、流体
等）。
2）虚功原理和虚位移原理是不同的。前者只是
必要性命题，而后者则是充分必要的命题。
3）王光远院士与我曾经证明，当不是取微元体
进行研究时，不能证明变形体平衡。
4）我们还曾经证明，当虚位移不具有完全任意
和独立性时，也不能证明变形体平衡。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 22
变形体虚位移原理和势能原理
虚位移原理的表述与证明
虚位移原理的几点说明
5）只需将面积分改成体积分，线积分改成面积
分，即可得到三维问题的虚功方程。
6）利用虚位移原理做近似分析时，是应用原理
的充分性，认为是用必要性时错误的。
7）像虚功原理证明中一样，外力总虚功可分解
成荷载与切割面内力的总虚功的和。此时格
林公式实质是切割面内力总虚功为零。
8）格林公式也可理解成是变形体虚功原理的变
形。 请大家自行考虑如何从虚功方程出发，
用平衡和边界条件推得格林公式。 —— 作业
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 23
变形体虚位移原理和势能原理
一些名词含义的解释
1）任何满足几何方程和位移边界条件的位移，
称作可能位移，记作 [d]k。
2）由可能位移通过几何方程求得的应变，称作
可能应变，记作 [?]k。
3）由可能应变通过物理方程求得的应力，称作
可能应力，记作 [?]k。
4）可能应力在可能应变时所作的功，也即所储
存的应变能，称作可能应变能，记作 Uk。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 24
变形体虚位移原理和势能原理
一些名词含义的解释
5）从可能位移退回到初始（也称自然）状态时，
外力所作的功，称作外力势能，记作 Pf。
6）可能应变能和外力势能的总和，称作对应可
能位移 [d]k的总势能，简称总势能，记作 ?k。
7）可能位移和真实位移的偏差，称作位移的变
分，记作 ? [d]。由此可得应变、应力的变分。
8）可能位移总势能和真实总势能的偏差，其中
与位移变分成线性关系的部分，称作势能的
一阶变分，记作 ?? 。位移变分二次式部分
称作势能的二阶变分,记作 ? 2?。余类推。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 25
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
势能驻值原理的表述,某一变形可能状态为真实
位移状态的充分必要条件是，相应于此位移状态
的变形体势能取驻值。也即势能对位移的一阶变
分恒等于零。
为了证明上述原理，先证明如下的 格林公式：
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
??
?
?
V
VS
V
VdASdL
d
d)(d)(
T
TT
??
??
式中 满足平衡条件,和 间满足几何方
程,还满足位移边界条件。? ????d ??d ???
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 26
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
格林公式 的证明：
? ? ? ? 原理可得满足协调，因此由虚功满足平衡,d??
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 变
外
WVVdF
SdLSdFW
VV
SS u
???
??
??
??
dd
d)(d
TT
b
TT
S
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?
?
? ? ? ?? ? ???? ??? LFSSSS u S,上又 ?
? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
??
??
?
??
?
V
VS
VS
V
VdASdL
VdFSdL
d
d)(d)(
dd)(
T
TT
T
b
T
??
??
?
格林公式证毕
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 27
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
势能驻值原理 的证明：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
??????
?
V S
V
SdFVdF
Ved
?
?????
??
?
?2kTSkTb
0 k
T
kk
dd
dd)(
k
变形体的总势能可表为：
式中势能的一阶变分为：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? SdFVdFV SVV dδdδdδδ TSTbT ??? ???
?
???
将位移的一阶变分理解为 虚位移,则由变形体虚
位移原理的虚功方程可证势能一阶变分为零，能保
证平衡。因此，势能原理结论正确。
16
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 28
变形体虚位移原理和势能原理
势能驻值原理和最小势能原理
最小势能原理：
线性、弹性变形体的总势能可表为：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
?
??????
?
V S
V
SdFVdF
Vd
?
?????
???
?2kTSkTb
k
T
kk
dd
d
2
1
)(
由此可证明，对于一切位移变分，势能的二阶变
分恒大于等于零（仅在位移变分为零时才等于零）。
因此势能取最小值。
从势能原理证明可见，它和虚位移原理等价。都
等价于平衡条件,
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 29
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法
里兹法基本思路,
选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”，
将一个无限自由度的位移设为若干基函数的线性
组合,从而把无限自由度化为有限个自由度问题。
以所设位移作为可能位移,令体系的总势能一
阶变分恒等于零使系统近似平衡,从而求得组合
系数。 代回所设位移场，可进一步确定任意点的
位移，利用几何、物理方程，还可求得应变和应
力等。 上述近似方法即为 里兹法 。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 30
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法
里兹法的解题步骤,
1）选取满足位移边界条件的函数作为“基函数”
? ? ? ?dS iu ??:
2）设近似位移场为基函数的线性组合
? ? ? ? ? ?dCV i
i
i ?? ?:
3）将所设位移场代入势能表达式，从而将势能
表为组合系数的函数
4）令势能一阶变分（对组合系数偏导）为零，
建立求组合系数的线性代数方程组，并求所需量
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 31
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
1）选取满足位移边界条件（ A点挠
度转角为零）的函数作为“基函数”
4
3
3
2
2
1 xaxaxav ???设
2）对于所选的挠曲线，其虚位移、虚曲率，可能位
移对应的弯矩等如下所示：
433221 δδδδ xaxaxav ??? 433221 δδδδ lalalav B ???
)δ6δ3δ(2δ 2321 xaxaa ???? )63(2 2321 xaxaaEIM ???
A B
qlq
lEI,x
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 32
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
3）外力的总虚功为：
)δ72δ75δ80(
60
δdδ
321
3
0
aaa
ql
vqlxvqW l B
???
??? ?外
4）总虚变形功为：
33
5
2
4
1
3
23
4
2
3
1
2
0 13
2
2
2
1
δ)724520(
5
2
δ)32(6
δ)432(2dδ
aalalal
EI
aalalalEI
aalallaEIxMW l
???
???
???? ? ?变
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 33
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
5）当 v仅取一项时，由虚功方程可得：
EI
qlv
EI
qla
B 33
42
1 ??
当 v仅取二项时，由虚功方程可得：
EI
qlv
EI
qla
EI
qla
B 24
11
424
17 4
2
2
1 ????
当 v取三项时，由虚功方程可得：
EI
ql
v
EI
ql
v
EI
q
a
EI
ql
a
EI
ql
a
BB
24
11
24
11
2434
3
44
32
2
1
??
????
精
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 34
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算 B点挠度
5）当 v仅取一项时，弯矩为：
3
2 2qlM ?
当 v仅取二项时，弯矩为：
12
17
2
3
12
17 22 qlMxqlqlM
A ???
当 v取三项时，弯矩为：
精确解2223
22 qx
q lxqlM ???
里兹法位移精度高于内力精度
当试函数组合包含真解时，
结果为精确解，否则为近似解
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 35
虚位移原理和势能原理的应用
里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力
(各杆 EA相同 )
])(4 2[2 222 vvuulEAU ????
A
B l
l
D
P
C
设 D点水平位移为 u，竖向位移为 v。在
此位移下，体系的应变能 U为：
体系的外力势能为,PvP
f ??体系的总势能为：
PvvvuulEA ????? ])(4 2[2 222?
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 36
虚位移原理和势能原理的应用
根据势能原理，真实位移应使总势能最小，因此由
势能对位移的偏导数为零可得
0])(
4
2
[
0)](
4
2
[
??????
?
?
????
?
?
Pvvu
l
EA
v
vuu
l
EA
u
?
?
由此可解得
)(2 23)(2 12 ?????? EAPlvEAPlu
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 37
虚位移原理和势能原理的应用
由位移可求得各杆变形（伸长）如下：
vvuu CDBDAD ????? ??? )(2 2
由此可解得各杆的轴力为：
PN
PN
PN
CD
BD
AD
2
32
2
22
2
12
?
?
?
?
?
?
A
B l
l
D
P
C
从这个例子你能得到
什麽结论？
（可参考龙书 14章）
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 38
虚位移原理和势能原理的应用
例三：用原理推导等直杆 AB杆端位移和杆端力关系
A B
q
1? 3?
2? 4?
lEI,
取试函数如下：
)1()(
)23()(
)1()(
231)(
2
4
2
3
2
2
32
1
???
???
???
???
???
??
??
???
lN
N
lN
N
1
1
1
1
l
x??
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 39
虚位移原理和势能原理的应用
例三：用原理推导等直杆 AB杆端位移和杆端力关系
A B
q
1? 3?
2? 4?
lEI,
杆内任意一点的挠度 v可用结点位移作参数，用试函
数的组合来得到，从试函数示意图可见，此时位移边
界条件自动满足
44332211 ???? NNNNv ????
由此位移引起的杆件应变能 U为：
),,(d)
d
d(
2
1
410
2
2
2
?? ?Ux
x
vEIU l ??
?
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 40
),,(d 414
10
??? ?fiilf PFxqvP ??? ??
虚位移原理和势能原理的应用
由此位移引起的杆件外力势能可用下式求得
由势能原理，总势能对位移的偏导数等于零（这都
是数学推演，请大家自己看龙先生的教程）可得
),,(),,(),,( 414141 ??????? ??? fPU ??
将应变能和外力势能相加，可得杆件总势能为：
? ?? ? ? ?Rk ??
式中 [k],{R}见下一页。
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 41
虚位移原理和势能原理的应用
由势能原理所推得的“刚度方程” ? ?? ? ? ?Rk ??
式中刚度矩阵为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
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l
EI
l
EI
l
EI
l
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l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 42
虚位移原理和势能原理的应用
由势能原理所推得的“刚度方程” ? ?? ? ? ?Rk ??
式中等效荷载矩阵为
? ? ? ? ? ?
E
2
4
3
2
2
1
12
2
12
2
FF
ql
F
ql
F
ql
F
ql
F
R ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
希望大家自行
推导上述结果
不难验证，此
结果和由叠加
得到的转角位
移方程一样。
杆端力矩阵
等效结点力矩阵
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 43
势能原理在平面问题中的应用
)(
)(
321
321
?
?
????
????
yBxBByv
yAxAAxu
设可能位移为
试用势能原理求图示平面应力问题的位移。
1q
2q
x
y
a
b显然此位移自动满足位移边界条
件。当只取一项时
11 00 By
v
x
v
y
uA
x
u ?
?
??
?
??
?
??
?
?
由此可得应变能为
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 44
势能原理在平面问题中的应用
)2(
)1(2
dd)2(
)1(2
11
2
1
2
12
0 0 11
2
1
2
12
BABA
E a b
yxBABA
E
U a b
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ? ?
由此可得应变能为
应力边界的位移为 11 bBvaAu byax ?? ??
1211 abBqabAqP f ??
由此可得外力势能为
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 45
势能原理在平面问题中的应用
1211
11
2
1
2
12 )2()1(2
a b Bqa b Aq
BABA
E a b
??
??
?
? ?
?
?
由此可得总势能为
0)22(
)1(2
0)22(
)1(2
2112
1
1112
1
???
?
?
?
?
???
?
?
?
?
abqAB
E a b
B
abqBA
E a b
A
?
?
?
?
?
?
由最小势能原理可得
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 46
势能原理在平面问题中的应用
E
qqB
E
qqA 12
1
21
1
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由此可求得
代回可能位移表达式，可得位移为
进一步可以证明，当级数取多项时，其他系数全都
等于零，由“可能位移”所求得的解满足平衡和应力
边界条件，所以上述结果就是精确解。
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2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 47
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18
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高斯公式
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 49
?平面问题物理量的矩阵
表示
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0
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?引入两个算子矩阵
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0
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微分算子矩阵
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lm
mlL
0
0
方向余弦矩阵
15
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 50
,结构力学基础, 结束语
?, 结构力学基础, 到此结束。建议自学, 教程, 十四、十五、
十六章，参考其他教材等作出笔记，从而进一步培养自己获
取知识的能力。
? 下学期的内容一定意义上比这学期难,难就难在它要求大家
对本学期知识掌握的扎实，对线性代数、常微分方程等数学
知识和算法语言有较好的功底 。为了学好下学期内容，希望
大家切莫学“熊瞎子掰苞米”，不要学一个扔一个。如果已
经遗忘一些内容，希望自行复习补上！
? 感谢大家这学期对改革试点工作的支持，请大家在考试前将
你对试点工作的希望、意见、建议和体会等交一份书面材料，
谢谢大家！预祝大家考试取得好成绩！
