2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
第三章 杆系结构单元分析
最基本的概念都在第三、四章，
因此必须下功夫学好
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第三章 杆系结构单元分析
引 言
等直杆单元的单元分析
杆系结构单元分析的实质
杆系结构单元分析子程序
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3.1 引 言
结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也
取荷载作用点。图中 1,2,3,4点均为结点。
单元：两结点间的等直杆段。图中 1-3,2-4,3-4为
单元。
编码：黑的结点编号称整体码。
红的 1,2局限于单元，称
局部码。
坐标：兰的坐标称
整体坐标。红的 x,y局限于单元，称局部坐标
1
3 4
2
y
x
x
y
1
2
1
1
2
2
右手系
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3.2 等直杆单元的单元分析
目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决
结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。
杆系最简单，由它介绍思想和方法容易掌握，
可为以后学习奠定基础，因此必须深刻理解。
3.2.1 等直拉压杆
结构中拆出的单元如图所示。
1）广义坐标法
设任意点位移为 u=a1+ a2x
广义坐标，边界条件只两个
幂级数简单
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l
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3.2 等直杆单元的单元分析
利用边界条件可得
a1＝ u1； a2＝ (u2- u1)／ l
将广义坐标代回 u=a1+ a2x,整理后可得
u=(1-x／ l)u1+ u2x／ l
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l
2）形函数及性质
?-1=-1=1 lxN ?==2 lxN
形函数 自然坐标
1 1
本点处为 1
它点处为 0
?处总和为 1
任意点的位移可用形函数表为
u=(1-x／ l)u1+ u2x／ l=Ｎ 1u1＋ Ｎ ２ u２
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轴力
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l３）用虚位移原理列式
3-1）虚位移
设结点虚位移为 ?ui（ i=1,2），
则 ? u=Ｎ 1 ?u1＋ Ｎ ２ ?u２
δ δ () δ dlii
i
W F u p x u x??? ?
0外
3-2）外力虚功
3-3）虚变形功
??
?
??
??
l
i
i
i
l
i
i
i
u
x
N
FxFW
u
x
N
EA
x
u
EAF
0
N
0
N
N
δ
d
d
dδδ
d
d
d
d
∑?变
3.2 等直杆单元的单元分析
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右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l
? ? ? ?21 NNN ?
3-4）用矩阵表示
? ?? ?euNu ?
? ? ? ?T21 uuu e ?
? ? ? ?T21 δδδ uuu e ?
? ? ? ?euNu δδ ? ? ?? ? ? ?? ?ee uBEAuNxEAF ?? d dN
? ? ? ?euB δδ ??
? ? ? ? ? ? ? ?elee uxNpuFW δdδδ 0T ???外
? ? ? ?T21 FFF e ?
? ?? ? ? ? ? ?eel uxBuBEAW δd)(δ T0??变
3.2 等直杆单元的单元分析
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i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l3-5）单元刚度方程
由虚位移原理可得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?elle uxBEABxNpF dd T00 T ?? ??
引入如下矩阵：
单元刚度矩阵 ? ? ? ? ? ??? l
e xBEABk 0
T d
单元等效荷载 ? ? ? ??? l
e xNxpF 0
TE d)(
则单元刚度方程改写为
? ? ? ? ? ? ? ?eeee ukFF ?? E
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
EA
k e
3.2 等直杆单元的单元分析
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4）小结
? ? ? ? ? ? ? ?eeee ukFF ?? E
4-1）单元位移场可用“广义坐标法”建立。
4-2）形函数“本点 1，它点 0，任意点总和 1”。
4-3）虚位移原理列式结果单元刚度方程为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
EA
k e ? ? ? ??? le xNxpF 0 TE d)(
满跨均布轴力时
? ? ? ?TE 115.0 plF e ?
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2.2 等直杆扭转
结构中拆出的单元如图所示。
1）试凑法
设任意点自然坐标为 ?,为满足“本 1，它 0”
可设 N1=1-?, N2= ? 。 ? = N1 ? 1+ N2 ? 2。
由性质试凑得到 右手系
i jx
y
1 2?1,M1 ?2,M2m
GJ,l
2）势能原理列式
2-1）外力势能 )d)((
0f ? ???? i
l
ii xxmFP ??
2-2）应变能
xxGJxU l )ddd()dd(21 0 T ????
3.2 等直杆单元的单元分析
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右手系
i jx
y
1 2?1,M1 ?2,M2m
GJ,l2-3）总势能 ? =U +P
f
? ? ? ? ? ? ? ?eeee kFF ??? E
2-4）势能原理列式结果为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
GJ
k e ? ? ? ??? le xNxmF 0 TE d)(
3）小结
3-1）形函数可根据其性质通过试凑来建立。
3-2）将总势能表为结点位移的函数，可由变分为零
列式（偏导数为零）得到单元刚度方程。
满跨均布扭矩时
? ? ? ?TE 115.0 mlF e ?
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2.3 等直弯曲杆单元
1）杆端位移（不计轴向变形）
2）杆中任意点位移
2-1）设挠度为
2-2）由此可见,N1是图示 v1=1的挠曲线，因此由
3
12
l
EI
2
6
l
EI
x
)( xM
? ? ? ?2211T ?? vvd e ?
? ?? ?edNNNNv 4321?
232
2 612
)(
d
d
l
EIx
l
EIxM
x
vEI ???
积分二次，利用边界条件 可得 010 ???? v,v,x
3.2 等直杆单元的单元分析
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同理，可得
3）势能原理单元列式
3-1）应变能为
则
l
xNv ????? ??? ;132 23
11
? ? ? ?BN
x
x
x
vEIU l ?? ?
0 2
2
2
2
2
d
d ;d)
d
d(
2
1 若记
3-2）外力势能为
22 )1( ?? ?? lN
)-(124 ??lN ??)23(23 ?? ??N
? ? ? ? ? ? ? ?ele dxBEIBdU d21 0 TT ??
3.2 等直杆单元的单元分析
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在图示荷载作用下（
坐标正向为正）外力势为
3-3）总势能为
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ele
l
e
dx
x
N
mNqdF
x
x
v
mqvdFP
)d
d
d
(
)d
d
d
(
0
T
0
T
f
?
?
?????
?????
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ele
e
l
e
d
x
N
mNqdF
dxBEIBd
?
?
????
?
0
T
0
TT
) dx
d
d
(-
d
2
1
?
q
m
3.2 等直杆单元的单元分析
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3-4）单元列式
由势能原理可得
? ? ? ? ? ?? ??? le x
x
NmNqF
0
T
T
E )dd
d(-
? ? ? ?0??
?
ed
?
? ? ? ? ? ? ? ?eeee dkFF ?? E
? ? ? ? ? ? xBEIBk l d
0
T??
单元刚度方程
单元刚度矩阵
经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下
等效结点荷载
满跨均布时
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
12
2
12
2
2
2
E
ql
ql
m
ql
ql
m
F
e
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2 等直杆单元的单元分析
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
22
22
3
0
T
4626
612612
2646
612612
d
llll
ll
llll
ll
l
EI
xBEIBk
l
单元刚度矩阵
经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下
和转
角位
移方
程结
果相
同
29
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3-5) 小结
3-5-1) 杆件单元形函数也可由挠曲线微分方程求得。
3-5-2) 利用虚位移原理或势能原理列式所的结果和
用叠加原理建立的杆端位移 -力关系一样。
3-5-3) 所得单元刚度矩阵对称、奇异（ 1,3行 1,3
列是相关的）。
3.2.4 考虑轴向变形直杆弯曲单元
1) 单元上任一点的位移
1-1) 单元上任一点的位移包含轴向和横向位移分量
? ? ? ?Tvud ? 由纯弯单元建立由拉压单元建立
3.2 等直杆单元的单元分析
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1-2) 单元形函数由 3.2.1和 3.2.3组合得到
2) 应变能
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? vvvv
uu
NNNN
NNN
4321
21
00
0000
1-3) 任意点位移 ? ? ? ?? ?
edNd ?
式中 ? ? ? ?T2
22111 ?? vuvud e ?
2-1) 应变由两部分
引起：拉压和弯曲。 ? ?
T
2
2
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
u
?
3.2 等直杆单元的单元分析
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x
x
vEI
x
uEAU ]d)
d
d()
d
d([
2
1 2
2
2l
0
2 ?? ?
x
x
vmvqupP l )]d
d
d([
0f
??????? ?
拉压 弯曲
4) 单元列式
由应变能和外力势能可见，单元刚度方程可由
拉压和弯曲上述已获得的结果组合得到。
3) 外力势能
式中 p,u向右为正； q,v向上为正； m和转角逆
时针为正。
2-2) 应变能也包含两部分，拉压和弯曲互不藕联。
3.2 等直杆单元的单元分析
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? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
EAk u
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
k
v
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
000000
000000
000000
000000
000000
000000
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
vvvv
vvvv
uu
vvvv
vvvv
uu
e
kkkk
kkkk
kk
kkkk
kkkk
kk
k
44434241
34333231
2221
24232221
14131211
1211
00
00
0000
00
00
00003.2 等直杆单元的单元分析
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同理可以组合得到
? ? ? ?TE432211E vvuvvue FFFFFFF ?
? ? ? ? ? ? ? ?eeee dkFF ?? E单元刚度方程
5) 小结
5-1) 这种单元称作“梁柱自由式单元”，它也具有
对称性、奇异性。
5-2) 单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可由拉压和
弯曲单元组合得到。下面多处在“变形不藕联”
条件下，利用简单单元直接构造组合单元。
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2.5 有约束单元
1) 由“梁柱自由式单元”建立有约束单元刚度方
程的原则为
1-1) 刚度矩阵中划去被约束位移对应的行和列。
1-2) 等效结点荷载矩阵中划去被约束位移对应的行。
1-3) 单元刚度方程形式不变。
? ? ? ? ? ? ? ?eeee dkFF ?? E单元刚度方程2) 连续梁单元
划去 1,2,4,5行、列。
3.2 等直杆单元的单元分析
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单元刚度矩阵和单元等效荷载矩阵为
试自行写出单元刚度和单元等效荷载矩阵。
3) 简支单元
划去 1,2,5行、列。
? ? ?
?
?
?
?
?
?
42
24
l
EIk
e
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? G
G
e M
M
F
2
1
E
满跨均布时
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
12
12
2
2
E
ql
ql
F e
4) 小结
如约束能限制刚体位移，单元刚度矩阵非奇异。
3.2 等直杆单元的单元分析
式中 MG 为固端弯矩，顺时针为正。
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3.2.6 计剪切变形和带有刚域的单元
1) 计剪切变形的单元（短粗杆）
?
????
?
????
1
231 32
1N
1-1) 形函数 用广义坐标、试
凑和解挠曲线微分方程都比
较困难，这里直接给出。
)]}1(
2
2[
1
11{ 2
2 ?
???
?
? ???
?
?? lN
)(l
EI
??1
12
3
)(l
EI
??1
6
2
x
)(xM
3.2 等直杆单元的单元分析
参考, 有限单元法
基础, P.41-44
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图和式中的 ?为
])23([
13
????
?
? ??
?
?N
)](1
2
[
1
2
4 ?
???
?
? ???
?
? lN
2
12
k G A l
EI??
对细长杆 ?
趋于零，形
函数同前。
对形函数建立
有兴趣的同学
可用力法 +位
移计算来验证
3.2 等直杆单元的单元分析
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1-2) 用力法解超静定，求 ?ij时考虑剪切变形影响。
由所建立的形常数、载常数，可利用叠加原理
得到杆端力 -位移的关系，它即单元刚度方程。
1-3) 用杆件模型计算高层框架 -剪力墙结构时，代
表剪力墙的杆件要考虑剪切变形。
1-4) 单元刚度、等效荷载矩阵的各元素见, 教材, 。
2) 带刚域的单元
高层框架 -剪力墙结构用杆件模型分析时，与剪
力墙连接的单元，要考虑刚域的影响。
这种单元的刚度特性，可由弹性段单元刚度方
程，再考虑此段杆端位移、杆端力和单元杆端位移、
杆端力间的变换关系来建立。结果见, 教材, 。
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2.7 平面单元分析总结
3) 虚位移原理、势能原理的结果完全相同。
4) 单元刚度矩阵对称。自由单元奇异，无刚体位移
单元可逆。
1) 单元分析的关键是：建立单元位移场。
2) 单元位移场一般可用广义坐标法、试凑法建立。
5) 无藕联情况下，组合单元的单元特性可由简单单
元组装得到。
6) 单元刚度方程和由形、载常数用叠加原理所得单
元杆端位移 -杆端力关系完全相同。
7) 单元上外力是平衡的（静力问题），但由位移求
内力并不平衡，杆中内力以后解决。
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2.8 空间单元分析总原则
空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。
1) 空间拉压（桁架）单元
空间桁架单元与平面桁架单元相同。
2) 交叉梁（格栅）单元
杆端位移、杆端力如图所示
x
yz
可由无轴向变形弯曲单元
和扭转单元组合得到。
由于杆端位移和内力的编号顺序如图所示
因此必须注意,1,3（ 4,6）力 -位移正向规定和
弯曲单元的区别，故 k13,k16,k46的符号与弯曲单元
相反。同理，等效荷载元素的符号也要改变。
3.2 等直杆单元的单元分析
12
3
54
6
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由此可得交叉梁单元的单元刚度矩阵为
3.2 等直杆单元的单元分析
PP
P
e
E I E I E I E I
l l l l
G I G I
ll
E I E I E I
ll l
k
E I E I
ll
GI
l
EI
l
??
? ? ?
??
??
?
??
??
?? ?
??
??
??
??
????
3 2 3 2
2
32
12 6 12 6
00
0 0 0
4 6 2
0
12 6
0
0
4
对称
16
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3) 空间梁单元
杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角，
杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。
空间梁单元正向
3.2 等直杆单元的单元分析
2
1
3
4
56
7
8
10
1112
1 2
1 21 4
2 5
3 6x,z平面梁单元
1 2
x,y平面梁单元
2
1
4
3
1 2
扭转单元
1 2
与交叉梁单元一样，只要注意
正向与图示平面单元的区别，
即可根据图示编号由平面单元
组合得到。
作业
试写出图示位
移编号下的单元
刚度矩阵
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3.3 杆系结构单元分析的实质
3.3.1 单元刚度矩阵的性质
空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。
1) 空间拉压（桁架）单元
空间桁架单元与平面桁架单元相同。
2) 交叉梁单元
杆端位移、杆端力如图所示
x
yz
可由无轴向变形弯曲单元
和扭转单元组合得到。
3) 空间梁单元
杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角，
杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。
可由拉压单元、两个无轴向变形弯曲单元和扭
转单元组合得到。
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第三章 杆系结构单元分析
最基本的概念都在第三、四章，
因此必须下功夫学好
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第三章 杆系结构单元分析
引 言
等直杆单元的单元分析
杆系结构单元分析的实质
杆系结构单元分析子程序
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3.1 引 言
结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也
取荷载作用点。图中 1,2,3,4点均为结点。
单元：两结点间的等直杆段。图中 1-3,2-4,3-4为
单元。
编码：黑的结点编号称整体码。
红的 1,2局限于单元，称
局部码。
坐标：兰的坐标称
整体坐标。红的 x,y局限于单元，称局部坐标
1
3 4
2
y
x
x
y
1
2
1
1
2
2
右手系
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3.2 等直杆单元的单元分析
目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决
结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。
杆系最简单，由它介绍思想和方法容易掌握，
可为以后学习奠定基础，因此必须深刻理解。
3.2.1 等直拉压杆
结构中拆出的单元如图所示。
1）广义坐标法
设任意点位移为 u=a1+ a2x
广义坐标，边界条件只两个
幂级数简单
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l
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3.2 等直杆单元的单元分析
利用边界条件可得
a1＝ u1； a2＝ (u2- u1)／ l
将广义坐标代回 u=a1+ a2x,整理后可得
u=(1-x／ l)u1+ u2x／ l
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l
2）形函数及性质
?-1=-1=1 lxN ?==2 lxN
形函数 自然坐标
1 1
本点处为 1
它点处为 0
?处总和为 1
任意点的位移可用形函数表为
u=(1-x／ l)u1+ u2x／ l=Ｎ 1u1＋ Ｎ ２ u２
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轴力
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l３）用虚位移原理列式
3-1）虚位移
设结点虚位移为 ?ui（ i=1,2），
则 ? u=Ｎ 1 ?u1＋ Ｎ ２ ?u２
δ δ () δ dlii
i
W F u p x u x??? ?
0外
3-2）外力虚功
3-3）虚变形功
??
?
??
??
l
i
i
i
l
i
i
i
u
x
N
FxFW
u
x
N
EA
x
u
EAF
0
N
0
N
N
δ
d
d
dδδ
d
d
d
d
∑?变
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
右手系
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l
? ? ? ?21 NNN ?
3-4）用矩阵表示
? ?? ?euNu ?
? ? ? ?T21 uuu e ?
? ? ? ?T21 δδδ uuu e ?
? ? ? ?euNu δδ ? ? ?? ? ? ?? ?ee uBEAuNxEAF ?? d dN
? ? ? ?euB δδ ??
? ? ? ? ? ? ? ?elee uxNpuFW δdδδ 0T ???外
? ? ? ?T21 FFF e ?
? ?? ? ? ? ? ?eel uxBuBEAW δd)(δ T0??变
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
i jx
y
1 2u1,F1 u2,F2p
EA,l3-5）单元刚度方程
由虚位移原理可得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?elle uxBEABxNpF dd T00 T ?? ??
引入如下矩阵：
单元刚度矩阵 ? ? ? ? ? ??? l
e xBEABk 0
T d
单元等效荷载 ? ? ? ??? l
e xNxpF 0
TE d)(
则单元刚度方程改写为
? ? ? ? ? ? ? ?eeee ukFF ?? E
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
EA
k e
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
4）小结
? ? ? ? ? ? ? ?eeee ukFF ?? E
4-1）单元位移场可用“广义坐标法”建立。
4-2）形函数“本点 1，它点 0，任意点总和 1”。
4-3）虚位移原理列式结果单元刚度方程为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
EA
k e ? ? ? ??? le xNxpF 0 TE d)(
满跨均布轴力时
? ? ? ?TE 115.0 plF e ?
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2.2 等直杆扭转
结构中拆出的单元如图所示。
1）试凑法
设任意点自然坐标为 ?,为满足“本 1，它 0”
可设 N1=1-?, N2= ? 。 ? = N1 ? 1+ N2 ? 2。
由性质试凑得到 右手系
i jx
y
1 2?1,M1 ?2,M2m
GJ,l
2）势能原理列式
2-1）外力势能 )d)((
0f ? ???? i
l
ii xxmFP ??
2-2）应变能
xxGJxU l )ddd()dd(21 0 T ????
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
右手系
i jx
y
1 2?1,M1 ?2,M2m
GJ,l2-3）总势能 ? =U +P
f
? ? ? ? ? ? ? ?eeee kFF ??? E
2-4）势能原理列式结果为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
GJ
k e ? ? ? ??? le xNxmF 0 TE d)(
3）小结
3-1）形函数可根据其性质通过试凑来建立。
3-2）将总势能表为结点位移的函数，可由变分为零
列式（偏导数为零）得到单元刚度方程。
满跨均布扭矩时
? ? ? ?TE 115.0 mlF e ?
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2.3 等直弯曲杆单元
1）杆端位移（不计轴向变形）
2）杆中任意点位移
2-1）设挠度为
2-2）由此可见,N1是图示 v1=1的挠曲线，因此由
3
12
l
EI
2
6
l
EI
x
)( xM
? ? ? ?2211T ?? vvd e ?
? ?? ?edNNNNv 4321?
232
2 612
)(
d
d
l
EIx
l
EIxM
x
vEI ???
积分二次，利用边界条件 可得 010 ???? v,v,x
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
同理，可得
3）势能原理单元列式
3-1）应变能为
则
l
xNv ????? ??? ;132 23
11
? ? ? ?BN
x
x
x
vEIU l ?? ?
0 2
2
2
2
2
d
d ;d)
d
d(
2
1 若记
3-2）外力势能为
22 )1( ?? ?? lN
)-(124 ??lN ??)23(23 ?? ??N
? ? ? ? ? ? ? ?ele dxBEIBdU d21 0 TT ??
3.2 等直杆单元的单元分析
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在图示荷载作用下（
坐标正向为正）外力势为
3-3）总势能为
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ele
l
e
dx
x
N
mNqdF
x
x
v
mqvdFP
)d
d
d
(
)d
d
d
(
0
T
0
T
f
?
?
?????
?????
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ele
e
l
e
d
x
N
mNqdF
dxBEIBd
?
?
????
?
0
T
0
TT
) dx
d
d
(-
d
2
1
?
q
m
3.2 等直杆单元的单元分析
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3-4）单元列式
由势能原理可得
? ? ? ? ? ?? ??? le x
x
NmNqF
0
T
T
E )dd
d(-
? ? ? ?0??
?
ed
?
? ? ? ? ? ? ? ?eeee dkFF ?? E
? ? ? ? ? ? xBEIBk l d
0
T??
单元刚度方程
单元刚度矩阵
经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下
等效结点荷载
满跨均布时
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
12
2
12
2
2
2
E
ql
ql
m
ql
ql
m
F
e
3.2 等直杆单元的单元分析
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3.2 等直杆单元的单元分析
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
22
22
3
0
T
4626
612612
2646
612612
d
llll
ll
llll
ll
l
EI
xBEIBk
l
单元刚度矩阵
经数学推导可得单元刚度矩阵元素如下
和转
角位
移方
程结
果相
同
29
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3-5) 小结
3-5-1) 杆件单元形函数也可由挠曲线微分方程求得。
3-5-2) 利用虚位移原理或势能原理列式所的结果和
用叠加原理建立的杆端位移 -力关系一样。
3-5-3) 所得单元刚度矩阵对称、奇异（ 1,3行 1,3
列是相关的）。
3.2.4 考虑轴向变形直杆弯曲单元
1) 单元上任一点的位移
1-1) 单元上任一点的位移包含轴向和横向位移分量
? ? ? ?Tvud ? 由纯弯单元建立由拉压单元建立
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
1-2) 单元形函数由 3.2.1和 3.2.3组合得到
2) 应变能
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? vvvv
uu
NNNN
NNN
4321
21
00
0000
1-3) 任意点位移 ? ? ? ?? ?
edNd ?
式中 ? ? ? ?T2
22111 ?? vuvud e ?
2-1) 应变由两部分
引起：拉压和弯曲。 ? ?
T
2
2
d
d
d
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
v
x
u
?
3.2 等直杆单元的单元分析
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x
x
vEI
x
uEAU ]d)
d
d()
d
d([
2
1 2
2
2l
0
2 ?? ?
x
x
vmvqupP l )]d
d
d([
0f
??????? ?
拉压 弯曲
4) 单元列式
由应变能和外力势能可见，单元刚度方程可由
拉压和弯曲上述已获得的结果组合得到。
3) 外力势能
式中 p,u向右为正； q,v向上为正； m和转角逆
时针为正。
2-2) 应变能也包含两部分，拉压和弯曲互不藕联。
3.2 等直杆单元的单元分析
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? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
l
EAk u
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
22
22
3
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
EI
k
v
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000000
000000
000000
000000
000000
000000
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
vvvv
vvvv
uu
vvvv
vvvv
uu
e
kkkk
kkkk
kk
kkkk
kkkk
kk
k
44434241
34333231
2221
24232221
14131211
1211
00
00
0000
00
00
00003.2 等直杆单元的单元分析
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同理可以组合得到
? ? ? ?TE432211E vvuvvue FFFFFFF ?
? ? ? ? ? ? ? ?eeee dkFF ?? E单元刚度方程
5) 小结
5-1) 这种单元称作“梁柱自由式单元”，它也具有
对称性、奇异性。
5-2) 单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可由拉压和
弯曲单元组合得到。下面多处在“变形不藕联”
条件下，利用简单单元直接构造组合单元。
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2.5 有约束单元
1) 由“梁柱自由式单元”建立有约束单元刚度方
程的原则为
1-1) 刚度矩阵中划去被约束位移对应的行和列。
1-2) 等效结点荷载矩阵中划去被约束位移对应的行。
1-3) 单元刚度方程形式不变。
? ? ? ? ? ? ? ?eeee dkFF ?? E单元刚度方程2) 连续梁单元
划去 1,2,4,5行、列。
3.2 等直杆单元的单元分析
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单元刚度矩阵和单元等效荷载矩阵为
试自行写出单元刚度和单元等效荷载矩阵。
3) 简支单元
划去 1,2,5行、列。
? ? ?
?
?
?
?
?
?
42
24
l
EIk
e
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? G
G
e M
M
F
2
1
E
满跨均布时
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
12
12
2
2
E
ql
ql
F e
4) 小结
如约束能限制刚体位移，单元刚度矩阵非奇异。
3.2 等直杆单元的单元分析
式中 MG 为固端弯矩，顺时针为正。
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3.2.6 计剪切变形和带有刚域的单元
1) 计剪切变形的单元（短粗杆）
?
????
?
????
1
231 32
1N
1-1) 形函数 用广义坐标、试
凑和解挠曲线微分方程都比
较困难，这里直接给出。
)]}1(
2
2[
1
11{ 2
2 ?
???
?
? ???
?
?? lN
)(l
EI
??1
12
3
)(l
EI
??1
6
2
x
)(xM
3.2 等直杆单元的单元分析
参考, 有限单元法
基础, P.41-44
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图和式中的 ?为
])23([
13
????
?
? ??
?
?N
)](1
2
[
1
2
4 ?
???
?
? ???
?
? lN
2
12
k G A l
EI??
对细长杆 ?
趋于零，形
函数同前。
对形函数建立
有兴趣的同学
可用力法 +位
移计算来验证
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
1-2) 用力法解超静定，求 ?ij时考虑剪切变形影响。
由所建立的形常数、载常数，可利用叠加原理
得到杆端力 -位移的关系，它即单元刚度方程。
1-3) 用杆件模型计算高层框架 -剪力墙结构时，代
表剪力墙的杆件要考虑剪切变形。
1-4) 单元刚度、等效荷载矩阵的各元素见, 教材, 。
2) 带刚域的单元
高层框架 -剪力墙结构用杆件模型分析时，与剪
力墙连接的单元，要考虑刚域的影响。
这种单元的刚度特性，可由弹性段单元刚度方
程，再考虑此段杆端位移、杆端力和单元杆端位移、
杆端力间的变换关系来建立。结果见, 教材, 。
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2.7 平面单元分析总结
3) 虚位移原理、势能原理的结果完全相同。
4) 单元刚度矩阵对称。自由单元奇异，无刚体位移
单元可逆。
1) 单元分析的关键是：建立单元位移场。
2) 单元位移场一般可用广义坐标法、试凑法建立。
5) 无藕联情况下，组合单元的单元特性可由简单单
元组装得到。
6) 单元刚度方程和由形、载常数用叠加原理所得单
元杆端位移 -杆端力关系完全相同。
7) 单元上外力是平衡的（静力问题），但由位移求
内力并不平衡，杆中内力以后解决。
3.2 等直杆单元的单元分析
2009-11-10 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定
3.2.8 空间单元分析总原则
空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。
1) 空间拉压（桁架）单元
空间桁架单元与平面桁架单元相同。
2) 交叉梁（格栅）单元
杆端位移、杆端力如图所示
x
yz
可由无轴向变形弯曲单元
和扭转单元组合得到。
由于杆端位移和内力的编号顺序如图所示
因此必须注意,1,3（ 4,6）力 -位移正向规定和
弯曲单元的区别，故 k13,k16,k46的符号与弯曲单元
相反。同理，等效荷载元素的符号也要改变。
3.2 等直杆单元的单元分析
12
3
54
6
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由此可得交叉梁单元的单元刚度矩阵为
3.2 等直杆单元的单元分析
PP
P
e
E I E I E I E I
l l l l
G I G I
ll
E I E I E I
ll l
k
E I E I
ll
GI
l
EI
l
??
? ? ?
??
??
?
??
??
?? ?
??
??
??
??
????
3 2 3 2
2
32
12 6 12 6
00
0 0 0
4 6 2
0
12 6
0
0
4
对称
16
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3) 空间梁单元
杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角，
杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。
空间梁单元正向
3.2 等直杆单元的单元分析
2
1
3
4
56
7
8
10
1112
1 2
1 21 4
2 5
3 6x,z平面梁单元
1 2
x,y平面梁单元
2
1
4
3
1 2
扭转单元
1 2
与交叉梁单元一样，只要注意
正向与图示平面单元的区别，
即可根据图示编号由平面单元
组合得到。
作业
试写出图示位
移编号下的单元
刚度矩阵
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3.3 杆系结构单元分析的实质
3.3.1 单元刚度矩阵的性质
空间单元的单元特性由平面简单单元组装得到。
1) 空间拉压（桁架）单元
空间桁架单元与平面桁架单元相同。
2) 交叉梁单元
杆端位移、杆端力如图所示
x
yz
可由无轴向变形弯曲单元
和扭转单元组合得到。
3) 空间梁单元
杆端位移为三个坐标方向线位移和三个绕轴转角，
杆端力为三个坐标向力和力偶矩矢。坐标正向为正。
可由拉压单元、两个无轴向变形弯曲单元和扭
转单元组合得到。
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