?三、分支稳定和增量
变刚度极限分析及程序
本部分学习内容
暂时参考, 结构力学教程,
第十八、十九章相关内容
更多的例子可看 SMCAI
?三、分支稳定和增量
变刚度极限分析及程序
结构稳定性分析基本概念
分支稳定分析程序
结构极限分析基本概念
增量变刚度极限分析程序
3.1 结构稳定性分析基本概念
3.1.1 一些基本概念
薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件
或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、
刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。
结构稳定分 静力 和 动力 稳定两大类，本章只讨论
静力稳定。
一些问题可以抽象为受压杆都是“理想中心受压
直杆”计算模型，这称为 完善体系 。如果结构杆件
不满足上述“理想中心受压直杆”假定 (不直或有偏
心 )，此系统称 非完善体系 。
完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将
变化，也即随荷载变大有分叉点，称 分支点稳定 。
3.1 结构稳定性分析基本概念
非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。
但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷
载反而减少），这类稳定现象称 极值点稳定 。
一些扁平拱式结构还可能产生从受压跳转到受拉
的,急跳” 现象，当然实际结构不允许出现这情况。
本章以讨论分支点稳定问题临界荷载为主，也介
绍一点其他内容。
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比
十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变
形影响。因此线弹性材料力 -位移成正比，叠加原理
适用。
在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠
加原理不再适用。
SMCAI
3.1 结构稳定性分析基本概念
3.1.2 稳定问题分析基本方法一：静力法
通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定
问题的特征，确定临界荷载的方法 —— 静力法。
1) 分支点稳定问题
1-1) 分析步骤
设定约束所允许的可能失稳状态
建立平衡方程
用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）
建立特征方程
求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
1-2) 按大、小挠度分析及结论
待切换到 SMCAI 。
SMCAI
3.1 结构稳定性分析基本概念
3.1.3 稳定问题分析基本方法二：能量法
通过考虑失稳状态下的应变能、外力时能，利用
稳定问题的能量特征（总势能取驻值），确定临界
荷载的方法 —— 能量法（只讨论分支点问题）。
1) 分析步骤
设定约束所允许的可能失稳状态
通过求应变能、外力时能确定总势能
用分支点稳定的能量准则（总势能取驻值）建立
特征方程
求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
2) 举例
待切换到 SMCAI 。
SMCAI
,结构力学教程, 和
SMCAI 上还有许多内容
限于授课学时希望学有
余力的同学能自学。
3.2 分支稳定分析程序
用有限单元法可以解决两类稳定问题，还可以考
虑弹性后的屈曲问题。但这些有待大家今后继续学
习，本节只介绍弹性分支点稳定问题。这等于假定
结构直到临界状态 材料是处于弹性阶段，荷载达临
界值以前结构处于无弯矩状态、可忽略轴向变形影
响 。
3.2.1 基本原理
1) 刚度方程的建立
在第二章建立单元刚度方程时，不计杆内压力对
弯曲变形的影响，如前所述这里要考虑这一影响。
1-1) 单元位移场
仍然取 2.2.3不计轴向变形平面弯曲杆单元形函数
因此单元挠曲线仍可表为,v=[N][d]e
3.2 分支稳定分析程序
形函数为
1-2）单元应变能为
则
132 231 ???? ??? N;lx
? ? ? ?BNvEIU l ?? ?
0 2
2
2
2
2
dx
d dx ;)
dx
d(
2
1 若记
1-3）单元外力势能
外力势能包括两部分：一、杆端力的外力势能；
二、轴向压力的外力势能。
22 )1( ?? ?? lN
)-(124 ??lN ??)23(23 ?? ??N
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eeeele dkddBEIBdU T
0
TT
2
1dx
2
1 ?? ?
由图可见
3.2 分支稳定分析程序
杆端力外力势为 ? ? ? ?
eef dFP
T
1 ??
22 ddxdxdxdxd ve ' ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? egNeel 'eNf dkFddNNdFP T'
0
TT
2 2
1dx
2
???? ?
dx dx
dv
dx’为了说明轴向压力的外力势，首先看示意图。
因此
? ? ? ? ? ? ? ?e''e dNNdve TT2
2
1
dx
d
2
1d ??
?
??
?
??
由此可得轴向压力的外力势为
式中
? ? ? ?dxd NN ' ?
由此可得外力总势能为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?egNeee
fff
dkFddF
PPP
TT
21
2
1
???
??
几何刚度矩阵
3.2 分支稳定分析程序
1-4) 单元列式
有了上述结果，利用势能原理可得单元刚度方程，
经坐标转换后为
([k]e-[k]g)[d]e =[F]e
1-5) 整体分析
根据有关编码信息，由单元对号入座后可得
([K] -[K]g)[?] =[0]
请大家考虑为什麽式中右端项为零？
由上述结果可见，根据平衡的两重性，为使位移
不等于零（能在弯曲状态平衡），必须 [K]-[K]g对应
的行列式等于零。这就是分支点稳定的特征方程。
3.2 分支稳定分析程序
3.2.2 迭代法求临界荷载
1) 基本假定：除不计轴向变形，失稳前结构处于无
弯矩状态外，还假定所有荷载变化时彼此保持固定
的比例 —— 称作比例加载。
因此 [K]g=?[K]g
?[?]=[K]-1[K]g[?]=[H][?]经改造后得
上式可用迭代法进行求解,迭代公式为
整体刚度方程为 ([K]-?[K]g)[?]=[0]
? n+1[?]n+1=[H][?]n
具体计算时，可任意假定一个非零的位移 [?]n，然后
进行反复迭代，直到两次迭代结果的误差达到精度
要求为止。
3.2 分支稳定分析程序
3.2.3 分支点稳定计算程序的使用说明
SMCAI
3.3 结构极限分析基本概念
3.4 增量变刚度极限分析程序
这两部分内容请自学 SMCAI
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变刚度极限分析及程序
结构稳定性分析基本概念
分支稳定分析程序
结构极限分析基本概念
增量变刚度极限分析程序
3.1 结构稳定性分析基本概念
3.1.1 一些基本概念
薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件
或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、
刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。
结构稳定分 静力 和 动力 稳定两大类，本章只讨论
静力稳定。
一些问题可以抽象为受压杆都是“理想中心受压
直杆”计算模型，这称为 完善体系 。如果结构杆件
不满足上述“理想中心受压直杆”假定 (不直或有偏
心 )，此系统称 非完善体系 。
完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将
变化，也即随荷载变大有分叉点，称 分支点稳定 。
3.1 结构稳定性分析基本概念
非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。
但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷
载反而减少），这类稳定现象称 极值点稳定 。
一些扁平拱式结构还可能产生从受压跳转到受拉
的,急跳” 现象，当然实际结构不允许出现这情况。
本章以讨论分支点稳定问题临界荷载为主，也介
绍一点其他内容。
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比
十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变
形影响。因此线弹性材料力 -位移成正比，叠加原理
适用。
在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠
加原理不再适用。
SMCAI
3.1 结构稳定性分析基本概念
3.1.2 稳定问题分析基本方法一：静力法
通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定
问题的特征，确定临界荷载的方法 —— 静力法。
1) 分支点稳定问题
1-1) 分析步骤
设定约束所允许的可能失稳状态
建立平衡方程
用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）
建立特征方程
求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
1-2) 按大、小挠度分析及结论
待切换到 SMCAI 。
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3.1 结构稳定性分析基本概念
3.1.3 稳定问题分析基本方法二：能量法
通过考虑失稳状态下的应变能、外力时能，利用
稳定问题的能量特征（总势能取驻值），确定临界
荷载的方法 —— 能量法（只讨论分支点问题）。
1) 分析步骤
设定约束所允许的可能失稳状态
通过求应变能、外力时能确定总势能
用分支点稳定的能量准则（总势能取驻值）建立
特征方程
求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
2) 举例
待切换到 SMCAI 。
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限于授课学时希望学有
余力的同学能自学。
3.2 分支稳定分析程序
用有限单元法可以解决两类稳定问题，还可以考
虑弹性后的屈曲问题。但这些有待大家今后继续学
习，本节只介绍弹性分支点稳定问题。这等于假定
结构直到临界状态 材料是处于弹性阶段，荷载达临
界值以前结构处于无弯矩状态、可忽略轴向变形影
响 。
3.2.1 基本原理
1) 刚度方程的建立
在第二章建立单元刚度方程时，不计杆内压力对
弯曲变形的影响，如前所述这里要考虑这一影响。
1-1) 单元位移场
仍然取 2.2.3不计轴向变形平面弯曲杆单元形函数
因此单元挠曲线仍可表为,v=[N][d]e
3.2 分支稳定分析程序
形函数为
1-2）单元应变能为
则
132 231 ???? ??? N;lx
? ? ? ?BNvEIU l ?? ?
0 2
2
2
2
2
dx
d dx ;)
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2
1 若记
1-3）单元外力势能
外力势能包括两部分：一、杆端力的外力势能；
二、轴向压力的外力势能。
22 )1( ?? ?? lN
)-(124 ??lN ??)23(23 ?? ??N
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eeeele dkddBEIBdU T
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TT
2
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2
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由图可见
3.2 分支稳定分析程序
杆端力外力势为 ? ? ? ?
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22 ddxdxdxdxd ve ' ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? egNeel 'eNf dkFddNNdFP T'
0
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2 2
1dx
2
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dx’为了说明轴向压力的外力势，首先看示意图。
因此
? ? ? ? ? ? ? ?e''e dNNdve TT2
2
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2
1d ??
?
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由此可得轴向压力的外力势为
式中
? ? ? ?dxd NN ' ?
由此可得外力总势能为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?egNeee
fff
dkFddF
PPP
TT
21
2
1
???
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几何刚度矩阵
3.2 分支稳定分析程序
1-4) 单元列式
有了上述结果，利用势能原理可得单元刚度方程，
经坐标转换后为
([k]e-[k]g)[d]e =[F]e
1-5) 整体分析
根据有关编码信息，由单元对号入座后可得
([K] -[K]g)[?] =[0]
请大家考虑为什麽式中右端项为零？
由上述结果可见，根据平衡的两重性，为使位移
不等于零（能在弯曲状态平衡），必须 [K]-[K]g对应
的行列式等于零。这就是分支点稳定的特征方程。
3.2 分支稳定分析程序
3.2.2 迭代法求临界荷载
1) 基本假定：除不计轴向变形，失稳前结构处于无
弯矩状态外，还假定所有荷载变化时彼此保持固定
的比例 —— 称作比例加载。
因此 [K]g=?[K]g
?[?]=[K]-1[K]g[?]=[H][?]经改造后得
上式可用迭代法进行求解,迭代公式为
整体刚度方程为 ([K]-?[K]g)[?]=[0]
? n+1[?]n+1=[H][?]n
具体计算时，可任意假定一个非零的位移 [?]n，然后
进行反复迭代，直到两次迭代结果的误差达到精度
要求为止。
3.2 分支稳定分析程序
3.2.3 分支点稳定计算程序的使用说明
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3.4 增量变刚度极限分析程序
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