问题的提出：
已知函数在n+1个不同的点上的函数值分别为,求一个次数不超过n的多项式,使其满足,，即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
n次拉格朗日型插值多项式:
截断误差：
牛顿插值公式:
;
。
拉格朗日插值与牛顿插值的比较:
(1)和均是n次多项式,且均满足插值条件:
。
由插值多项式的唯一性,,因而,两个公式的余项是相等的,即
则可知n阶差商与导数的关系如下：
(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可。
（3）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。
§3.3、差分与等距牛顿插值公式
插值节点为等距节点：
，,
h称为步长，函数在的函数值为。
1. 差分的概念
一阶差分: ；
二阶差分: 一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：
。
以上定义的是前差：从起向前的函数值的差，Δ称为向前差分算子。
而下面定义向后差分，▽表示向后差分算子，
，
,…，
分别称为一阶，二阶，. . . ，m阶向后差分。
中心差分，表示中心差分算子，
如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成
二阶中心差分为：
除差分算子外，常用的算子符号还有：
不变算子I:
移位算子E：
由上面各种算子的定义可得算子间的关系：
由 ，
可得
同理可得
差分的性质
性质1: 各阶差分均可用函数值表示，
其中为二项式展开系数。
性质2:可用各阶差分表示函数值。
例如：可用向前差分表示，因为
于是有
性质3:在等距插值的情况下,由定义可得出差分和差商（均差）有如下关系：
同理，对向后差分有
验证差分和均差有如下关系：
因为
所以 ，
。
由差商与导数的关系，
可推出差分与导数的关系：
性质4:各种差分之间可以互化。
例如：
2.等距节点的牛顿插值公式
将牛顿差商（均差）插值公式中各阶差商（均差）用相应差分代替，就可得到各种形式的等距结点插值公式。
牛顿向前插值公式：
如果节点，要计算
附近点的函数的值，可令， 于是
把其代入牛顿插值公式，
得牛顿向前插值公式，
其中
其余项为：
牛顿向后插值公式：
如果要计算附近点的函数的值，插值点应按的次序排列，有
取节点，可令，
代入上式得牛顿向后插值公式：
其余项为：
如果在函数表中间，推导公式应取节点为并按
的次序重新把牛顿插值公式改写。
向前、向后差分表
一阶差分
二阶差分
三阶差分
…
n阶差分
┇
┇
┇
┇
┇
1
┇
1
例：在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B从4000至11000区间的查表问题。为节省计算机存储单元，采用每500高斯存入一个at值，在利用差分公式计算。
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
11000
1.38
1.48
1.58
1.69
1.81
1.94
1.10
2.28
2.50
2.76
3.06
3.41
3.83
4.33
4.93
0.10
0.10
0.11
0.12
0.13
0.16
0.18
0.22
0.26
0.30
0.35
0.42
0.50
0.60
0
0.01
0.01
0.01
0.03
0.02
0.04
0.04
0.04
0.05
0.07
0.08
0.10
01
0
0
0.02
-0.01
0.02
0
0
0.01
0.02
0.01
0.02
从差分表中看到三阶差分近似于0，计算时只需二阶差分。当4000≤B≤10500时用牛顿前插公式；当10500≤B≤11000时用牛顿后插公式；
例如，求f（5200）时取，h=500,B=5200,t=0.4,取n=2，由公式计算得：
这个结果与直接查表得到的值相同，说明用此算法在计算机上求值是可行的。
