§3.牛顿(Newton)插值
3.1差商及其性质
一.差商定义
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为
其中为待定系数，可由插值条件
确定。
当
依次可得到。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。
定义：称为函数关于节点 的一阶差商，记为。
一阶差商,的差商 称为关于节点的二阶差商，记为。
递归地用k-1阶差商来定义k阶差商，
称为关于k+1个节点的k阶差商。
二. 差商（均差）的性质
性质1:k阶差商可以表示成k+1个函数值
的线性组合,即
可用归纳法证明。
例: ;
这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对称性)。即
性质2：
依对称性，对调定义公式左端k阶差商中与的位置，
再将各差商中的节点按原来次序排列。
性质3:若是的n次多项式,则一阶差商是
的n-1次多项式,二阶差商是的n-2次多项式;
一般地,函数的阶差商是的n-k次多项式,而时,阶差商为零。
若是的n次多项式，则也是n次多项式，且。于是可分解为
其中为n-1次多项式。所以
为n-1次多项式
三.利用差商表计算差商
利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。如下表：
一阶差商
二阶差商
三阶差商
┇
┇
┇
┇
┇
如要计算四阶差商,再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
1
3
4
7
0
2
15
12
计算三阶差商。
解：列表计算
一阶差商
二阶差商
三阶差商
1
0
3
2
1
4
15
13
4
7
12
-1
-3.5
-1.25
3.2 牛顿插值公式
根据差商定义，把看成上的一点，可得
┅
只要把后一式代入前一式，得:
最后一项中, 差商部分含有,为余项部分,记作
;
而前面n+1项中, 差商部分都不含有,因而前面n+1项是关于的n次多项式,记作
这就是牛顿插值公式。于是,上式记为。
由牛顿插值公式与
比较知：
例如:当n=1时，
,
其中,。
这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。
当n=2时,
这就是牛顿二次插值多项式。
显然, ,
。
即满足二次插值条件。
例2:已知
1
3
4
7
0
2
15
12
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解:在例1中,我们已计算出
,,,;
则牛顿三次插值多项式为
。
例3:已知在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式求的近似值。
一阶
二阶
三阶
四阶
五阶
解：
;
;
欲求,只需在之后再加一项:
故。
截断误差：
拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1)和均是n次多项式,且均满足插值条件:
。
由插值多项式的唯一性,,因而,两个公式的余项是相等的,即
则可知n阶差商与导数的关系如下：
(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可。
（3）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。
