§ 3.QR方法
一、基本 QR方法
60年代出现的 QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与
特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。
理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵 Q和
一个上三角矩阵 R的乘积，而且当 R的对角元符号取定时，分解是
唯一的。
()
( 1 )
( 1 )
( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 )
1 1 1 1 1 1 1
Q R Q R
( 1,2,),
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kk
k
kk
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k
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A
A A Q R Q A R A R Q Q A Q A
A
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L
基本 方法的基本思想是利用矩阵的 分解通过迭代格式
将 化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），从而求出
矩阵 的全部特征值与特征向量。
由 即 。于是 即
与 相似。
同理可
()
( 2,3,)
k
A A k ?:L得,。故它们有相同的特征值。
可证，在一定条件下，基本 QR方法产生的矩阵序列｛ A(k)｝
“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角
线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主
对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果 A是实对称阵，
则｛ A(k)｝,基本”收敛于对角矩阵。
因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线
子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当 k充分大时,A(k)的
主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为 A的特征值的
近似。
基本的 QR方法的主要运算是对矩阵 QR分解，分解的方法有
多种。如 Schmit正交化方法 (略 )。
基本 QR方法每次迭代都需作一次 QR分解与矩阵乘法，计算
量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的 QR方法是先用一系列
相似变换将 A化成拟上三角矩阵（称为上 Hessenberg矩阵），然
后对此矩阵用基本 QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，
故可减少运算量。化 A为相似的拟上三角阵的方法有多种。
()( ) 0kAu???
二、豪斯豪尔德 (Householder)变换
22
11
2
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
12
1
(,,) 1,
1 2 2 2
2 1 2 2
2
2 2 1 2
1;
( 2) de t ( ) 1 ;
( 3 )
T
nn
n
T n
n n n
T
w w w w w w
w w w w w
w w w w w
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w w w w w
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LL
L
L
L L L
L
设向量 满足 则称
为 矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质：
（ ） 是实对称的正交矩阵，即
仅 1 1 n 1,1
,;w
? ? ?有两个不等的特征值,其中 是 重特征值
是单重特征值 为其相应的特征向量
22
1
2
,0,
,( ),
21
( ) ( 2 ) ( )
2 2
2
T
T
n
T
TT
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x w w x w
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L
(4) 考虑以 为法向量过原点 的超平面
为任意的数 有
证,且
w
xo
()
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
2
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,
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( 2 ) 2 ( ),
2 ( ) ( )
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T
T T T
T
TT
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H o u se h o ld e r H H x x y
x x y
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x x y
x x y
H x I ww x x x x y x
x x y
x x y x x y x x y
x x x y x
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m
m
m
m
m m m
mm
定理设 为 中任意非零向量 且 则存在
矩阵 使得 。
证,令 于是
由 －范数的定义.
2
22
2
2 2 2
1 2,1 2 1 2 1 2,
2
2 2 ( )
(,) (,,,) (,,,) (,)
,
TT
T T T T
TT
n n n n
x x y x y y
x x x y x x x x y x
x x x y y y y y y x x x
H x x y
?
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mm
L L L L（）
代入上式得
2
22
22
22
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,
,
()
i
H x x y
x
H ou se ho lde r x
y e x H ou se ho lde r
x x y x x y
ww
x x y x x y
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m
mm
上式得
此定理表明，对任一非零向量 都可以构造
一个 变换，它将 变成事先给定的单位
向量的倍数。特别地取 则 经过
变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时，
为避免误差取
2
2
2
()
()
ii
ii
x x e sign x
w
x x e sign x
?
??
?
。
三、化一般矩阵为拟上三角阵
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
1
( 2,3,,),
House hol de r
nn
nn
n
nn nn
ii
h h h h
h h h h
H h h h
hh
h i n
A
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L
L
L
O O M
L
称形如
的矩阵为拟上三角阵，也称为上海森堡（Hes sen ber g)
阵。如果次对角线元 全不为零 则称该
矩阵为不可约的上Hes sen ber g矩阵。
讨论用 变换将一般矩阵 相似变换成
Hessenberg 阵
11
11
11
1
1
1
11 2
1 1 1 21 31 1
1
1 1 22 1
22
2 12 13 1 22
,
1 0 0
0
0
1
(,,,),
(,,,),
T
T
n
T
n
HH
H A H
HH
H
H n H ouse holde r
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H A H a a a a
H a H A H
a
a a a a A
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L
M
L
L
首先，选取矩阵 使得经 相似变换后的矩阵
的第一列中有尽可能多的零元素。为此，
应取 为如下形式
其中 为 阶 矩阵。于是有
其中
2
2
11
1
11
.
( 1,0,,0),
2
n
n nn
T
a
aa
H H a
H A H n
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L
M L M
L
L由上节定理，只要取 使得 就会
使得变换后的矩阵 的第一列出现 个零元。
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1
1 1 1 1
2
11
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2
2
1
2
2
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()
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w
a a e s i g n a
w H H a a e s i g n a
a a e s i g n a
H
Ho u s e h o l d e r
H
H
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L
L
MM
为避免在计算 时会产生较大的误差 取
。
同理，可构造如下列形式 矩阵
2 1 1 2
12
2 2 2 1 1 2 2
* * * *
* * * *
* * *
**
2 2,,,
,.
n n n
H H AH H
n n Ho u s e h o l d e r H H
H H H H AH H H H
H He s s e n b e r g A
H
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L
L
L
M O M
L
LL
使得
*
如此进行 次，可以构造 个 矩阵
使得
其中 为上 矩阵。特别地，当 为实对称矩阵，则
经过上述正交变换后,变为三对角阵。
1 1 1 1 1
22
2
2
,
5 2 2 2 3 2
1 0 5 2 2 2 2
0 2 1 0
0 2 4 1
( 1,0,0),( 1,00),
21
,
0
2
()
(
TT
ii
i
Hous e hol de r A
A
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Hous e hol de r H H
x x e s i gn x
w
x x e s i gn x
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例用 变换将矩阵 化成拟上三角阵。
解：因 由
为使 矩阵 满足
由公式
'
2
'
'
,( 2,2 ) 2( 1,0)
)
2 2 2
( 2 2,2 ) (,),
2
2 2 2
TT
i
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w
w
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w
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2
2
2 2 2 2 2
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4 4 2 2
2
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2 2 2 2 2
4 4 2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
22
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22
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22
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00
22
1 0 0 0
5 2 5 10 1 0 0
1 0 3 2
22
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0 2 2 3
22
0 0 1 2
22
00
22
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于是有
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?
四、拟上三角矩阵的 QR分解
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
21
1
0(
nn
nn
n
nn nn
Hn
G iv e ns
H Q R
h h h h
h h h h
H h h h
hh
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???
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L
L
L
O O M
因为拟上三角阵 的特殊形状，通常用 个旋
转变换（又称 变换）可将它化成上三角矩阵，
从而得到 的 分解式。
具体步骤为：
设 否则进行下一步），
22 11
1 11 21 1
1
11
11
21
1 21
1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 12 13 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
22 23 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
21 32 33 3
( 2 ) ( 2 )
1
c os,
c os si n 0 0
si n c os 0 0
si n, 0 0 1
1
n
n
n
nn nn
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L
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L
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取旋转矩阵，其中,
则
( 2 )
H
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2
32
22
22
32
( 2 ) 2 ( 2 ) 2
2 2 2 3 2
(( 2 )
3222
22
2
0(
10
c os si n
si n c os
1
1
( ) ( )
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V
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hh
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设 否则进行下一步），再取旋转矩阵
－
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2
.
r
2
32
( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
1 1 2 1 3 1 1 1
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
2 2 3 2 1 2
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
( 3 )3 3 3 1 3
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
4 3 4 1 4
( 3 ) ( 3 )
1
nn
nn
nn
nn
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VH
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r h h h
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（）
则
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1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( )
1
1
kk
kk
k k k k
k k n n
k k k
k k k k n k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
k
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r h h h
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O
L
L
O M M
假设上述过程已进行了 步，有
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1
1
( ) ( )
1
( ) 2 ( ) 2
1
0,
1
1
c os si n
si n c os
1
c os,si n,
( ) ( ).
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O
O
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其中
()
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
1
k
kk
k k k
k k n
kk
k k k k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
VH
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O
L
L
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( 1 )
1
k
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?因此，最多做 次旋转变换，即得
()
1 1 2 2 1
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 3 1
( ) ( )
2 2 3 2
()
33
n
n n n n
n n n
n
nn
n
n
n
n
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2 1 3 2 1
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Q V V V
n Q R
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H R Q Q H Q
QR
QR
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L
L
L
因为 均为正交矩阵，故
其中 仍为正交矩阵。可算出完成这
一过程的运算量约为 比一般矩阵的 分解的运
算量 少一个数量级。
可证明 仍是拟上三角阵，于
是可按上述步骤一直迭代下去，这样得到的 方法
的运算量比基本 方法大
QR
为减少。需要说明的是，
通常用 方法计算特征值，然后用反幂法求其相应
的特征向量。
' 2 2
''
2
5 3 2
6 4 4
4 4 5
( 6,4 ) 6 4 ( 1,0 ) ( 6 5 2,4 )
( 0,9 5 7 0 9 2,0,2 8 9 7 8 4 )
2
1 0 0,9 1 6 0 2 5 0,2 7 7 3 5 0 0,8 3 2
2
0 1 0,2 7 7 3 5 0 0,0 8 3 9 7 4 7
T T T
T
T
QR A
A
w
w w w
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例：用 方法求矩阵 的全部特征值。
解：首先将 化成拟上三角阵，取
1
0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
1 0 0
0 0,8 3 2 0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0 0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
H
???
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??
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??
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??
???
??
于是
11
( 1 ) 2 2
1
1 1 1
21
5 1.386 750 3.328 200
7.211 102 1.230 768 8.153 840
0 0.153 846 2.230 767
,5 ( 7.211 02) 8.774 964
c os 5 0.569 80,si n 0.821 781
H H AH
H A H Q R
H H r
r
V
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? ? ? ? ?
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即为与 相似的拟上三角矩阵。将 进行 分解，
记
取
0.569 803 0.821 781 0
0.821 781 0.569 803 0
0 0 1
???
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( 1 )
21
22
2
22
22
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,43 83 10 1,91 10 30
0 0,15 38 46 2,23 07 67
( 0,43 83 10 ) ( 0,15 38 46 ) 0,46 45 26,
c os 0.438310 0.943564,
si n 0.153846 0.331189
VH
r
r
r
?
?
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? ? ? ?
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? ? ? ?
于是
再取
32
( 1 )
3 2 2 1 1
1 0 0
0 0.943564 0.331189
0 0,33 11 89 0,94 35 64
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,46 45 26 2,54 19 82
0 0 1,47 19 53
V
V V H R
??
??
??
??
??
??
??
??
? ? ?
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??
??
于是
1 2 1 3 2
( 2 )
11
0,5 6 9 8 0 3 0,7 7 5 4 0 3 0,2 7 2 1 6 5
0,8 2 1 7 8 1 0,5 3 7 6 4 3 0,1 8 8 7 1 2
0 0,3 3 1 1 8 9 0,9 4 3 5 6 4
3,5 1 9 4 8 2 4,9 2 5 4 9 1 1 0,8 4 0 1 1 7
0,3 8 1 7 3 9 1,0 9 1 6 2 7 2,3 1 0 6 5 3
0 0,4 8 7 4 9 5 1,3 8 8 8 8 3
,1 1
TT
Q V V
H R Q
??
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??
第一次迭代得
重复上述过程 迭代 次
( 1 2 )
1 2 3
2,9 9 2 0 3 2 1,0 0 0 3 8 5 3 1 2,0 1 3 3 9 2
0,0 0 7 4 9 6 2,0 0 4 6 9 5 1,9 4 1 9 7 1
0 0,0 0 0 3 2 5 0,9 9 9 8 9 5
2,9 9 2 0 3 2,2,0 0 4 6 9 5,0,9 9 9 8 9 5 3,2,1,
0,0 0 7 4 9 6
H
QR
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???
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得
精确值
下三角非对角元的最大模为 。 方法“基本”收敛较慢。
带原点位移的 QR方法
? 略
一、基本 QR方法
60年代出现的 QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与
特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。
理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵 Q和
一个上三角矩阵 R的乘积，而且当 R的对角元符号取定时，分解是
唯一的。
()
( 1 )
( 1 )
( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 )
1 1 1 1 1 1 1
Q R Q R
( 1,2,),
,,
k
kk
k
kk
A Q R
k
A R Q
AA
A
A A Q R Q A R A R Q Q A Q A
A
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L
基本 方法的基本思想是利用矩阵的 分解通过迭代格式
将 化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），从而求出
矩阵 的全部特征值与特征向量。
由 即 。于是 即
与 相似。
同理可
()
( 2,3,)
k
A A k ?:L得,。故它们有相同的特征值。
可证，在一定条件下，基本 QR方法产生的矩阵序列｛ A(k)｝
“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角
线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主
对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果 A是实对称阵，
则｛ A(k)｝,基本”收敛于对角矩阵。
因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线
子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当 k充分大时,A(k)的
主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为 A的特征值的
近似。
基本的 QR方法的主要运算是对矩阵 QR分解，分解的方法有
多种。如 Schmit正交化方法 (略 )。
基本 QR方法每次迭代都需作一次 QR分解与矩阵乘法，计算
量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的 QR方法是先用一系列
相似变换将 A化成拟上三角矩阵（称为上 Hessenberg矩阵），然
后对此矩阵用基本 QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，
故可减少运算量。化 A为相似的拟上三角阵的方法有多种。
()( ) 0kAu???
二、豪斯豪尔德 (Householder)变换
22
11
2
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
12
1
(,,) 1,
1 2 2 2
2 1 2 2
2
2 2 1 2
1;
( 2) de t ( ) 1 ;
( 3 )
T
nn
n
T n
n n n
T
w w w w w w
w w w w w
w w w w w
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w w w w w
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LL
L
L
L L L
L
设向量 满足 则称
为 矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质：
（ ） 是实对称的正交矩阵，即
仅 1 1 n 1,1
,;w
? ? ?有两个不等的特征值,其中 是 重特征值
是单重特征值 为其相应的特征向量
22
1
2
,0,
,( ),
21
( ) ( 2 ) ( )
2 2
2
T
T
n
T
TT
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H I w w w w w
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x w w w x w w w
x w w x w
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L
(4) 考虑以 为法向量过原点 的超平面
为任意的数 有
证,且
w
xo
()
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
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,,,1,
,
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( 2 ) 2 ( ),
2 ( ) ( )
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T
T T T
T
TT
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H o u se h o ld e r H H x x y
x x y
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x x y
x x y
H x I ww x x x x y x
x x y
x x y x x y x x y
x x x y x
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m
m
m
m
m m m
mm
定理设 为 中任意非零向量 且 则存在
矩阵 使得 。
证,令 于是
由 －范数的定义.
2
22
2
2 2 2
1 2,1 2 1 2 1 2,
2
2 2 ( )
(,) (,,,) (,,,) (,)
,
TT
T T T T
TT
n n n n
x x y x y y
x x x y x x x x y x
x x x y y y y y y x x x
H x x y
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mm
L L L L（）
代入上式得
2
22
22
22
,
,
,
()
i
H x x y
x
H ou se ho lde r x
y e x H ou se ho lde r
x x y x x y
ww
x x y x x y
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m
mm
上式得
此定理表明，对任一非零向量 都可以构造
一个 变换，它将 变成事先给定的单位
向量的倍数。特别地取 则 经过
变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时，
为避免误差取
2
2
2
()
()
ii
ii
x x e sign x
w
x x e sign x
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?
。
三、化一般矩阵为拟上三角阵
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
1
( 2,3,,),
House hol de r
nn
nn
n
nn nn
ii
h h h h
h h h h
H h h h
hh
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A
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L
L
L
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L
称形如
的矩阵为拟上三角阵，也称为上海森堡（Hes sen ber g)
阵。如果次对角线元 全不为零 则称该
矩阵为不可约的上Hes sen ber g矩阵。
讨论用 变换将一般矩阵 相似变换成
Hessenberg 阵
11
11
11
1
1
1
11 2
1 1 1 21 31 1
1
1 1 22 1
22
2 12 13 1 22
,
1 0 0
0
0
1
(,,,),
(,,,),
T
T
n
T
n
HH
H A H
HH
H
H n H ouse holde r
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H A H a a a a
H a H A H
a
a a a a A
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L
M
L
L
首先，选取矩阵 使得经 相似变换后的矩阵
的第一列中有尽可能多的零元素。为此，
应取 为如下形式
其中 为 阶 矩阵。于是有
其中
2
2
11
1
11
.
( 1,0,,0),
2
n
n nn
T
a
aa
H H a
H A H n
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L
M L M
L
L由上节定理，只要取 使得 就会
使得变换后的矩阵 的第一列出现 个零元。
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1
1
1 1 1 1
2
11
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2
2
1
2
2
,
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()
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00
00
w
a a e s i g n a
w H H a a e s i g n a
a a e s i g n a
H
Ho u s e h o l d e r
H
H
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L
L
MM
为避免在计算 时会产生较大的误差 取
。
同理，可构造如下列形式 矩阵
2 1 1 2
12
2 2 2 1 1 2 2
* * * *
* * * *
* * *
**
2 2,,,
,.
n n n
H H AH H
n n Ho u s e h o l d e r H H
H H H H AH H H H
H He s s e n b e r g A
H
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L
L
L
M O M
L
LL
使得
*
如此进行 次，可以构造 个 矩阵
使得
其中 为上 矩阵。特别地，当 为实对称矩阵，则
经过上述正交变换后,变为三对角阵。
1 1 1 1 1
22
2
2
,
5 2 2 2 3 2
1 0 5 2 2 2 2
0 2 1 0
0 2 4 1
( 1,0,0),( 1,00),
21
,
0
2
()
(
TT
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Hous e hol de r A
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Hous e hol de r H H
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w
x x e s i gn x
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例用 变换将矩阵 化成拟上三角阵。
解：因 由
为使 矩阵 满足
由公式
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2
'
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,( 2,2 ) 2( 1,0)
)
2 2 2
( 2 2,2 ) (,),
2
2 2 2
TT
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w
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w
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2
2
2 2 2 2 2
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2
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2 2 2 2 2
4 4 2 2
1 0 0 0
0 1 0 0
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22
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5 2 5 10 1 0 0
1 0 3 2
22
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于是有
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四、拟上三角矩阵的 QR分解
11 12 1 1 1
2 1 22 2 1 2
32 33 3
1
21
1
0(
nn
nn
n
nn nn
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G iv e ns
H Q R
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hh
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L
L
L
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因为拟上三角阵 的特殊形状，通常用 个旋
转变换（又称 变换）可将它化成上三角矩阵，
从而得到 的 分解式。
具体步骤为：
设 否则进行下一步），
22 11
1 11 21 1
1
11
11
21
1 21
1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 12 13 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
22 23 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
21 32 33 3
( 2 ) ( 2 )
1
c os,
c os si n 0 0
si n c os 0 0
si n, 0 0 1
1
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取旋转矩阵，其中,
则
( 2 )
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2
32
22
22
32
( 2 ) 2 ( 2 ) 2
2 2 2 3 2
(( 2 )
3222
22
2
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1
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设 否则进行下一步），再取旋转矩阵
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2
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2
32
( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
1 1 2 1 3 1 1 1
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
2 2 3 2 1 2
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
( 3 )3 3 3 1 3
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
4 3 4 1 4
( 3 ) ( 3 )
1
nn
nn
nn
nn
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则
( ) ( 1 )
1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( )
1
1
kk
kk
k k k k
k k n n
k k k
k k k k n k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
nn nn
k
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L
L
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假设上述过程已进行了 步，有
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1
( ) ( )
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0,
1
1
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1
c os,si n,
( ) ( ).
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k k k k
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其中
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1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 )
1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 1 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
1
k
kk
k k k
k k n
kk
k k k k n
k k k
k k k n k n
k k k
k k k n k n
kk
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L
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1
k
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?因此，最多做 次旋转变换，即得
()
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( ) ( ) ( )
1 1 2 1 3 1
( ) ( )
2 2 3 2
()
33
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n n n n
n n n
n
nn
n
n
n
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2 1 3 2 1
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Q V V V
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QR
QR
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L
L
L
因为 均为正交矩阵，故
其中 仍为正交矩阵。可算出完成这
一过程的运算量约为 比一般矩阵的 分解的运
算量 少一个数量级。
可证明 仍是拟上三角阵，于
是可按上述步骤一直迭代下去，这样得到的 方法
的运算量比基本 方法大
QR
为减少。需要说明的是，
通常用 方法计算特征值，然后用反幂法求其相应
的特征向量。
' 2 2
''
2
5 3 2
6 4 4
4 4 5
( 6,4 ) 6 4 ( 1,0 ) ( 6 5 2,4 )
( 0,9 5 7 0 9 2,0,2 8 9 7 8 4 )
2
1 0 0,9 1 6 0 2 5 0,2 7 7 3 5 0 0,8 3 2
2
0 1 0,2 7 7 3 5 0 0,0 8 3 9 7 4 7
T T T
T
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例：用 方法求矩阵 的全部特征值。
解：首先将 化成拟上三角阵，取
1
0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
1 0 0
0 0,8 3 2 0 5 0 0,5 5 4 7 0 0
0 0,5 5 4 7 0 0 0,8 3 2 0 5 0
H
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???
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于是
11
( 1 ) 2 2
1
1 1 1
21
5 1.386 750 3.328 200
7.211 102 1.230 768 8.153 840
0 0.153 846 2.230 767
,5 ( 7.211 02) 8.774 964
c os 5 0.569 80,si n 0.821 781
H H AH
H A H Q R
H H r
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记
取
0.569 803 0.821 781 0
0.821 781 0.569 803 0
0 0 1
???
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( 1 )
21
22
2
22
22
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,43 83 10 1,91 10 30
0 0,15 38 46 2,23 07 67
( 0,43 83 10 ) ( 0,15 38 46 ) 0,46 45 26,
c os 0.438310 0.943564,
si n 0.153846 0.331189
VH
r
r
r
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于是
再取
32
( 1 )
3 2 2 1 1
1 0 0
0 0.943564 0.331189
0 0,33 11 89 0,94 35 64
8.774964 1.801596 8.597089
0 0,46 45 26 2,54 19 82
0 0 1,47 19 53
V
V V H R
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于是
1 2 1 3 2
( 2 )
11
0,5 6 9 8 0 3 0,7 7 5 4 0 3 0,2 7 2 1 6 5
0,8 2 1 7 8 1 0,5 3 7 6 4 3 0,1 8 8 7 1 2
0 0,3 3 1 1 8 9 0,9 4 3 5 6 4
3,5 1 9 4 8 2 4,9 2 5 4 9 1 1 0,8 4 0 1 1 7
0,3 8 1 7 3 9 1,0 9 1 6 2 7 2,3 1 0 6 5 3
0 0,4 8 7 4 9 5 1,3 8 8 8 8 3
,1 1
TT
Q V V
H R Q
??
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第一次迭代得
重复上述过程 迭代 次
( 1 2 )
1 2 3
2,9 9 2 0 3 2 1,0 0 0 3 8 5 3 1 2,0 1 3 3 9 2
0,0 0 7 4 9 6 2,0 0 4 6 9 5 1,9 4 1 9 7 1
0 0,0 0 0 3 2 5 0,9 9 9 8 9 5
2,9 9 2 0 3 2,2,0 0 4 6 9 5,0,9 9 9 8 9 5 3,2,1,
0,0 0 7 4 9 6
H
QR
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得
精确值
下三角非对角元的最大模为 。 方法“基本”收敛较慢。
带原点位移的 QR方法
? 略
