第六章、数值微分与数值积分
数 值 微 分
'
0
1
( ) ( ) ( ) l im
h
f x h f xfx
h?
???
、差商型求导公式
由导数定义
'
'
'
1
( ) ( )
( )
2
( ) ( )
( )
3
( ) ( )
( )
2
f x h f x
fx
h
f x f x h
fx
h
f x h f x h
fx
h
??
?
??
?
? ? ?
?
（）向前差商公式
（ ）向后差商公式
（ ）中心差商公式 （中点方法 ）
x-h x x+h
B
C
A T
f(x)
差商型求导公式的余项
"
' 1
"
' 2
'
( 3 ) ( 3 )
2212
12
T a y l o r
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) ( )
( )
2
( ) ( )
()
6
0,1
f x h f x f x h
f x h O h
h
f x f x h f x h
f x h O h
h
f x h f x h
fx
h
f x h f x h
h O h
?
?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
??
由 公式
从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
2、插值型求导公式
( ) [,] 1 (,( ) )
( 0,1,,)
()
iif x a b n x f x
in
fx
?
? L n
若已知函数 在 内 个节点
，可用其插值多项式P ( x ) 的导数近
似函数 的导数。
( 1 )
1
( 1 )
'' ' ( 1 )1
1
()
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) !
()()
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
n
n n n
n
nn
nn
f
R x f x P x x
n
xfd
f x P x x f
n n d x
?
?
??
??
?
?
?
??
?
? ? ?
?
? ? ? ?
??
由
( 1 ) ( 1 )
'''
1
0
[,]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
nn n
n
i n i i i j
j
ji
x a b
ff
f x P x x x x
nn
?
??
?
??
?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
对任意,因 未知，故上式很难估计误差，
但若只求某个节点上的导数值，误差可估计。
因此，插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值。
两 点 公 式
0 0 1 1 1 0
01
1 0 1
0 1 1 0
'
1 0 1
(,( ) ),(,( ) ),
( ) ( ) ( ),
1
( ) [ ( ) ( ) ]
x f x x f x x x h
xxxx
P x f x f x
x x x x
P x f x f x
h
??
??
??
??
? ? ? ?
设给出两节点 记
有
'
1 0 1 0
'
1 1 1 0
' "
0 1 0 1
' "
1 1 0 2
1
( ) [ ( ) ( ) ],
1
( ) [ ( ) ( ) ]
1
( ) [ ( ) ( ) ] ( ),
2
1
( ) [ ( ) ( ) ] ( ),
2
P x f x f x
h
P x f x f x
h
h
f x f x f x f
h
h
f x f x f x f
h
?
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ?；
带余项的两点公式是：
三 点 公 式
0 1 0 2 0
12
20
0 1 0 2
0 2 0 1
12
1 0 1 2 2 0 2 1
0
2 0 0 1
2
,,2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
,
1
( ) ( 1 ) ( 2) ( ) ( 2) ( )
2
1
( 1 ) (
2
x x x h x x h
x x x x
P x f x
x x x x
x x x x x x x x
f x f x
x x x x x x x x
x x t h
P x t h t t f x t t f x
t t f x
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
设已给出三个节点 上的
函数值
令则
),
'
2 0 0
12
'
2 0 0 1 2
'
2 1 0 2
'
2 2 0 1 2
1
( ) [ ( 2 3 ) ( )
2
( 4 4 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ],
1
( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( ) ] ;
2
1
( ) [ ( ) ( ) ] ;
2
1
( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( ) ],
2
t P x th t f x
h
t f x t f x
P x f x f x f x
h
P x f x f x
h
P x f x f x f x
h
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
上式对 求导：
（中点公式）
＋ 2
' " '
0 0 1 2
2
' " '
1 0 2
2
' " '
2 0 1 2
1
( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( ) ] ( ) ;
23
1
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ;
26
1
( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( ) ] ( ),
23
h
f x f x f x f x f
h
h
f x f x f x f
h
h
f x f x f x f x f
h
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
带余项的三点求导公式：
（中点公式）
＋
( ) ( )
( ),1,2,kk mf P x k?? L
可利用插值多项式，建立高阶数值微分公式：
'
2 0 0
12
"
2 0 0 1 22
"
2 1 1 1 12
2
" ( 4 )
1 1 1 12
1
( ) [ ( 2 3 ) ( )
2
( 4 4) ( ) ( 2 1 ) ( ) ],
1
( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) ],
1
( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) ],
1
( ) [ ( ) 2 ( ) ( ) ] ( ),
12
P x th t f x
h
t f x t f x t
P x th f x f x f x
h
P x f x h f x f x h
h
h
f x f x h f x f x h f
h
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
例：对
再对 求导，
有
带余项的二阶三点公式：
同样，针对 m也可扩展，如五点插值求积公式。
3,样 条 求 导
( ) ( )
( ) ( ) 4
( )
()
( ) ( ) ( 1,2,)
( ) ( ) ( ),
kk
k k k
Sx
fx
f x S x k
f x S x O h
?
??
??
L
三次样条函数 及其一、二阶导数均一致收敛于
被插值函数 及其一、二阶导数，故用样条函数的
导数近似函数导数
不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值。
其截断误差为：
0 1 1
3
1 1 1 1
'
,,
( ) ( )
4 3 ( ) /,
()
n k k
kk
k k k k k
k
k
a x x x b x x h
S x S x m
m m m y y h
m
fx
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
L对等距划分 且
三次样条 在节点上的导数值 满足下列
连续性方程组
在给定一类边界条件下，求解方程组得出的 即可
作为导数 的近似值。
数值积分
.dx)x(f)f(I
)x(f;)x(f
b
a
的近似数值求
的离散数据点只有
宜计算的原函数不存在或不适
??
12
{,,,}
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
I
b
nn
a
b
nn
a
f
x d x
If
f f x f x d x
ff
ff
E
?
?
??
?
?
L简单想法,用简单函数序列
作为 的近似值，误差：
项式。常取插值或分段插值多 )x(f n
§ 1,插值型求积公式
dx)x(Pdx)x(f)x(f)x(P
)x(f)x(P
b
a
b
a
∫
≈∫→≈
的插值多项式：是
1
b
a
( )
2
x a x b
( ) a,b, f ( x ) ( x ) f ( b) f ( a)
b a a b
x - a x b b a
I f f ( b) f ( a) dx ( f ( a) f ( b) )
b - a a b
P
??
? ? ?
??
????
? ? ? ? ???
???
?
一 过 两点
y=P
1
( ? )
直边梯形代替曲边梯形
y=f( ? )
称梯形公式 y
0 ?
(二 ) 抛物型求积公式
2
b
[,],,b,
2
b
( ) ( b )
2
( ) ( )
b
( ) ( b)
2
b
( ) ( )
( ) ( ) b
2
( ) ( )
b b b
2
( ) ( b) ( ) ( )
2 2 2
2 b b
( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( )
22
()
a
a b a
a
xx
P x f a
a
aa
a
x a x
x a x b a
f f b
a a a
a b a b
aa
x x b f a x a x b f
ba
?
?
??
?
?
??
?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
???
? ? ? ? ? ?
?
?
?
区间二等分,作抛物线
b
( ) ( ) ( )
2
a
x a x f b
? ?
? ? ?
?
?
2( ) ( ) ( ) 4 ( ) 62
b
a
b a a bI f x d x f a f f bP ? ? ? ???? ? ? ?
???? ?????
y=P 2 ( ? )
y=f( ? )
称 Simpson 公式
a ( a+b ) /2 b
(三,1) Newton-Cotes求积公式
n
bh,n,1,,0i,aiha:n]b,a[ x
i
????? ?等分
)x(x)x(x),w ( x)xf(
)x) w ' (x(x
w ( x)
( x)P
n
ni
n
i
ii
n ????
?
?
?
?
?0
0
1 个节点的插值多项式：则
0
0
()
N e w ton- Cot e s
bb n
n i
iaa
ii
n
ii
i
w( x )
I ( f) ( x ) dx dx f( )
( x ) w' ( )
A f x
xP
xx?
?
??
?? ??
?
??
?
???
?
称 求积公式
n)(t)t ( tn ) h(t)ht h ( t
nh)ath(ah)athh ) ( aatha ) ( ath(a
w ( x)
h
n ??????
????????????
? ??
?
11
2
1
(三,2)计算系数 Ai, 变换 x=a+th
0,
()
11
1
n
iji
j i j
ik
nin
w' ( ) x x
ih h ( ) h ( ( n i) ) h ( ( ) ( i k ) h)
i ! ( n - i) ! (
x
xx
)h
??
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
LL
dt
i)(t
n)(t)t ( t
i ) !i ! ( n
h
hdt
i)i ) ! h( t( i ! ) ( n
n)(t)t ( t
dx
)) w ' ((x
w ( x )
n
n - i
n
nn - i
n
b
a
ii
i
)(
h)(
h
xx
A
∫
1
∫
1
0
0
1
1
1
?
??
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
0
()
i
1
( )
n
1
A
n - i
( n)
i
n
i
( n)
i
t ( t ) ( t n)
dt
n( i ! ) ( n i ) ! ( t i )
ba
f ( x ) [a,b]
()
C
C
C
??
?
? ? ?
??
?
?
L
记
是不依赖于 与 的常数，只与分点
数 有关。
(三,3) Newton-Cotes系数 Ci(n)
,C o t es- 4n
, 8,8n
,0
,1∑,
0
求积公式时成
时不常用时出现负数当
值稳定性时插值型求积公式有数推出当
由此可以且可以证明
N ew t o n
∴ n ≥
C
CC C
( n )
i
n
i
( n )
i
( n )
n - i
( n )
i
?
?
?
??
?
Newton－ Cotes公式的稳定性
( ) ( )
00
()
( ) ( )
00
( ) ( )
( ) ( ) ( )
) [ ( ) ( ) ] ( )
m a x,
( ) ( ) ( )
kk
k k k k
nn
nn
k k k k k
kk
n
kk
k
nn
nn
k k k k
kk
f x f x
f x f x f x
b a f x f x C b a C
C
b a C b a C b a
C
?
?
??
? ? ?
??
??
??
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
??
??
(n)
kk
系数C 及节点值x 可相当精确给出，误差来
自函数值 的计算。 设 为准确值，
为计算值,则
（
记 若 均为正数，则得
若
()
8 ),
n
k
n ?有正负（ 稳定性没有保证。
§ 2,梯形,抛物线公式的误差估计
次代数精确度。公式有
立，则称该求积次多项式时不全精确成是
等号成立；而对的代数多项式时，式中次数不高于
为任意一个若的常数。是不依赖于其中
：对一个一般的求积公式定义（代数精确度）。
1
∑ ≈ ∫
k
0
k
n
n)x(f
n
)x(f)x(fA
)x(fAdx)x(f
k
n
k
b
a
+
=
衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式
的次数作为标准,
b )b)((
!2
)(''
)()(
1
?????? ?
?
axax
f
xxf P
由梯形公式的误差：
梯形求积公式的代数精确度
dxxPfIxPxfxf
xf
b
a
?????? )()( )( )( 0 )(''
)(
11
是一次多项式时，当
1
23
22
1
33
2
2
∫∫∫
因此代数精确度是
时，但当
)(
ab
dx)x(dxdx)x(f
)x(f
baP
ab
x
x
b
a
b
a
b
a
?
?
??
?
??
?
b ),(
)!1(
)(
)()(
C o t e s
)1(
??
?
??
?
?
?
?
axw
n
xxf
N e w t o n
f
P
n
n
求积公式有误差
次代数精确度。有
从而至少
次多项式时为当
0
1
n
( x) d x,I ( f ) ( x)
n)x(f
b
a
n
)n(
Pf ????
?
Newton-Cotes求积公式的代数精确度
n=偶数时 Newton-Cotes 求积公式的代数精确度
bqx b n)(nknk k )!(n( x )q ( x )n 1110 1 1 ∑ ???? ???? 则次多项式对
dt)t()t(t)thax(
dx)x(wdx)x(wdx)x(dx)x(
n
n
n
b
a
n
b
a
b
a
n
b
a
hb
b
)!n(
)(q
Pq
)n(
n1 ∫
∫∫
1
∫∫
0
2
1
1
1
?????
???
?
?
?
?
?
?令
积分误差：
?
次代数精确度。有
为偶数时至少求积公式当即
即：，为偶数时，上式积分为当
1n
n C o t e sN e w t o n
)()(
0n
∫∫
?
?
? dxxdxx
b
a
n
b
a
Pq
梯形公式的截断误差
2
3
),
2
( )
12
[a,b]
b
a
f( x
ba
R ( f) f( x ) dx ( f( a) f( b) )
f' ' ( a,b)
C
( b a)
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
定理,若 则：
反之类似。是凹的此时计算值，
则积分值小于当注意：;
,0
f ( x )
[ a,b ] x ∈f ' ' ( x ) ?
定理证明
( a,b ) ξb)a ) ( x(x
f ' '
( x )f ( x ) P ?????
2
)(
1
?
由插值公式余项：证明：
b ) d xa ) ( x(xf ' '( x ) d xI R ( f ) b
a
b
a
P ?????? ? ∫ 2 )(1 ?
Mf ' ' m [ a,b ] 'f ??? )( )(' ?? 上连续在
0
( )
(
bb
aa
b
a
x ( a,b) ( x a) ( x b)
m ( x a) ( x b) dx f ' ' ( x a) ( x b) dx
M x a) ( x b) dx
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
由于 时
M≤
b ) d xa ) ( x(x
b ) d xa ) ( x(xf ' '
m
b
a
b
a
)(
≤
∫
∫
??
??
?
?
)(f ' '∴ R (f )
)( f ' 'b) dxa) ( x(x)(f ' '
b) dx(x)ax)((f ' '
b]a,η ∈[
)ab(
)ba(b
a
b
a
?
??
?
12
6
:)(
3
3
∫
∫
?
?
??
????
??
?? 积分中值定理使
4
5
4
,,
4
62
( )
2880
[ a,b ]
b
a
()
f( x )
b a a b
R ( f) f( x ) dx f( a) f( ) f( b)
ξ ( a,b)
C
( b a)
f ?
?
????
? ? ? ?
??
??
? ? ?
?
?
定理 若 则
抛物求积公式 (Simpson)的截断误差 (1)
证明思路,
1,f(x)用插值多项式表示并与抛物求积公式值相同
.,2 ( x )f( x )R ( x ) n???用插值余项公式求出
的表示。利用积分中值定理求出 ∫,3 ( x ) d xR
b
a
33
33
3
( ),.
,
2 2 2 2
fx
( a ) f( a ),( b ) f( b )
a b a b a b a b
( ) f( ),'( ) f '( )
PP
PP
??
? ? ? ?
??
证明，由于抛物求积公式代数精确度是 。
可构造一个 的三次插值多项式 与抛物求积公式值相等
而且
抛物求积公式误差证明 (1)
(a,b) ∈
b) (x a) (x
!
(x) f(x) R(x))
b a
(x
f
P
) (
4
) (
2
2 4
3
?
?
? ? ? ? ?
?
?
,则可以证明，插值余项
dxbxbaxax !dxR ( x ) )fb
a
)(b
a
)(2)(()(41 24 ????? ?? ?
2
3 3 3 3
( ) ( ) [ ( ) 4 ( ) ( ) ]
62
( ) [ ( ) 4 ( ) ( ) ]
62
bb
aa
b
a
b a a b
f x dx x dx f a f f b
b a a b
P x dx P a P P b
P
??
? ? ? ?
??
? ? ?
??
?
抛物求积公式误差证明 (2) 3
2
( 4 )
1
( ) ( )
4 2
b
a
( x )
R ( f) f x a ( x b ) d x
!
P
ab
x?? ? ?
???
?? ??
??
由于三次多项式 的积分与抛物求积公式精确度相等：
0
,
2
2
4
≤ b)(xa)(x
( a,b ) x ∈b][a,)(
ba
x
f
)(
?? ?
?
?
?
?
? ?
?
时当上连续，在由,?
2
4
2
5
44
,(,)
( )
( ) ( ( ) (,)
2880
2
2
b
()
a
b
( ) ( )
a
η a b
( ξ ) x a ( x b) dx
x a) ( x b) dx a b
ab
x-f
ab ( b a)
x-ff? ? ?
?
??
? ? ? ? ? ?
???
? ??
??
? ???
? ??
??
由积分中值定理存在 使
§ 3,复化公式及其误差估计
误差公式, 区间越小,误差更小 —— 复化。
,
,
10,
,).(
1
然后累加
用梯形公式对每个小区间
节点等分
复化梯形公式一
],[
n
ab
h
,n,,,k h,ka [ a,b] n
xx
x
kk
k
?
?
?
??? ?
f ' ' fR a)(b,)(12)(
3
???? fR fa)(b )( )(
2 8 8 0)(
4
5
????
))(f)(f(
dx f ( x )dx)x(fI
xx
xx
kk
n
k
kk
n
k
b
a
x
x
k
k
1
1
0
1
1
0
∑
∑ ∫∫
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)∑ )( ∑ )( (
2
)∑ )( ∑ )( (
2
1
1
0
1
0
1
1
0
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
xfxf
h
xfxf
h
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
1
1
2)
2
,
n
n
k
h
f( a) f( b) f( a k h T
?
?
??
? ? ? ? ???
??
?
— 复化梯形公式
[a,b]2n 等分,可得 T2n,
复化梯形公式的分半加密法算。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
??
?
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????
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∑
2
2)(
22
1 12
1
2
n
k
n
h
kafbff ( a ))
h
(T
?
?
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?
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??
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??
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?????
?
?
??
?
?
?????
?
? ?
∑ ∑
2
1)2( 2
2
2 2)()(
4
1
1 1
n
k
n
k
h
kaf
h
kafbfaf
h
1
11
1 ( ) ( ) 2 ( ) ( 2 1 )
2 2 2
nn
kk
hhf a f b f a k h h f a k?
??
???? ??? ? ? ? ? ? ?
?? ????
?????? ??
n n n
1a
( ),( 2 1 )
22T H H
b
h f a k
n
???
? ? ? ? ???
???
所有新增分点函数值之和乘老步长。
复化抛物型求积公式
∵ 抛物线求积公式用到区间中点,
∴ 将区间看作等分偶数份
令 n=2m,m 是整数,在每个 [?2k-2,?2K] 上
用抛物线求积公式,
2
22
2 2 2 1 2
2 2 2
2
[ 4 ( ) ( ) ]
6
22
k
k
k k - k
kk
x
h
f( x ) d x f( ) f f
x
ba
h
x x x
xx
?
?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ?
? ?
? ?
公式称复化 S i m ps e n
14)-(5
24)()(
3
h
4
3
4
3
∑∑
∑∑∑
∑
∫∑
1
1
2
1
12
2
1
12
1
1
0
2
21222
1
2
22
1
S
xx
xxx
xxx
n
m
k
k
m
k
k
k
m
k
k
m
k
m
k
k
kkk
m
k
k
k
m
k
)f() f (bfaf
)f()f() f (
h
)f()f()f(
h
≈
dx f ( x )I
x
x
?
????
???
??
?
?
??
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
复化公式及其误差估计
111
01
2)2
k
k
nnx
nx
kk
hI f( x ) d x f( a ) f( b ) f( a k h T???
??
??? ? ? ? ? ?
???????
2
1a( ),( 2 1 )
22
n n n n
bT T H H h f a k
n
???? ? ? ? ?
?????
2
22
1
2 1 2
1 1 1
h ( ) ( ) 4 2
3
k
k
m m mx
kk nx
k k k
I f( x ) d x f a f b f( x ) f( x ) S
?
?
?
? ? ?
??? ? ? ? ? ?
????? ? ??
2
[,]
2
n
''3311
'' 2 ''
00
( )
b
(,) ( ) ''( ) ( a,b)
12
b
h
n
()
( (,) ( ( ) ) ( ) )
12 12 12
T
ab
b
n
a
nn
k
kn
kk
fx
a
R f f x dx f
a
fh nh b a
R f f h f
n
C
hT
T
??
?
??
??
??
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
??
定理, 若,则
其中 复化公式误差
4
[,]
( 4 )4
n
( )
b
(,) ( ) ( ) (,b)
2880
b
h
n
S
ab
b
n
a
fx
a
R f f x dx a
a
C
fSh ??
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
定理 若,则
其中
1
n
22
0
''n
2
4
(,) 11
''( ) " ( )
12 12
1
h 0 ( ) ( ),
12
S im ps on
I1
[ " '( ) " '( ) ],
18 0 2
T
T
bn
n
k
k a
Rf I
h f f x dx
hh
I
f b f a
h
f b f a
T
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
n
4
当 时,［ ］
类似地，对于复化的 法
－S
h
1 4 1 1 6
1 6 4
若步长h 减半( n 加倍），则复化梯形法、
辛普生法与柯特斯法的误差分别减至原误差
的 ／,／ 与 ／ 。
I,0
II
( 0
I
p
n
h
CC
h
p
?
??
n
n
定义 如果一种复化求积公式 当 时成立
－
渐近关系式 定数），
则称求积公式 是 阶收敛的。
n?n
S
∫
n
1
0
??
?
计算用，计算试用
保留五位有效数字。计算积分
T
e
n
x dxI
复化求积例
exfxf
):,(x ∈exfxfxf x
≤)()(''
10 )()('')(,
)4(
)4(
?
???解
242"
n
11(,) ( )
1 2 1 2 2 10
baR f h f e hT ? ??? ? ?
68
h
1 82807.1
2
l o g 6l o g e4 1l o g ????≥
h
则
1021 ≤2 8 8 01 ≤ -441n he)S,f(R
3
h
1 3 1 8 9 8 3.0
4
l o g 1 4 4 0l o g e4 ≥1l o g
11
????
h
自动选步长计算
由误差要求可定出 n,但事先难估计：应边算边估计进而加
密,
),( )(''
12
ab
),(
,
n
2 baf
hTfR
Tn
nn
n
?
?
?? ??
等分计算
),(∈ )('')
2
(
12
ab
),(
,2
2n2
2
2
2
baf
h
TfR
Tn
nn
n
??
?
??
等分计算取
)]('' )(''4[
12
ab
2n
2
n2n )2(TT ?? ff n
h ??????
n 2 n
2
2 n n 2 n2
n ( ) ( a,b) ) ( ),
ba
''( ) 3 3 ( )
12
()TT
2
n
f' ' f' ' ( f' '
fI
h
T
? ??
?
?
?
? ? ? ? ? ?
若 充分大 在 上连续且 则
)TT(T I nnn ???? 22
3
1
)( 3 22 要求误差时，当 ?? ???? TITT nnn
1
2 1 1 1 1
42 13
2
1
n 1 ( ( ) ( ) )
2
11
n 2 ( ( )
2 2 2
1
n 4 ( ( ) ( ) )
24
1
( 2 1 )
2 2 2
H
n
nn
i
ba
f a f b
ba
f
ba
ff
b a b a
f a i
nn
T
xT T T
xxTT
TT
?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
??
??
?
计算过程：
）
2 3? nnTT ???每次检验
自动分半的 Simpsen 公式
16
1
2 8 8 0
),(
2 8 8 0
),(
2
44
2
44
?
?
??
?
??
)η(fh
ab
SfR
)η(fh
ab
SfR
n
)(
nn
n
)(
nn
).( 15
15
1
)(16
22
22
2
要求误差时当 ?? ????
???
???
SSS
SSS
SS
nnn
nnn
nn
I
I
II
只要利用公式不断计算新分点之函数值,
S2, S4 …, Sn, S2n …
§ 4,Romberg求积法
S n 关系的启发？与T n
14
4
3
1
3
4
2
1
2
1
2
2
2
?
?
????
??
TT
TTS
HT T
nn
nnn
nnn?又
24
n~ 0 ( ),~ 0 ( ),
T
Sn hhT
的线性组合就能提高收敛阶数
1
2 2 1
11
12
( ) ( ) 2
3 2 3
12
33
nn
n k k -
kk
nn
h
f a f b f ( ) h f( )S x x
TH
?
??
??
? ? ? ? ???
??
??
??
Richardson 外推算法
12
1
*
1
1 12
12
1
h
( h ),,
0,
1 2,
F
F
k
**
k
k i
*
P P P
R ( ) ( h )
h
P
i,,,( h )
a h a h a hF F F
aP P P
hFF
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
LL
LL
L
一个数值积分值,用步长 的复化求积公式
逼近 误差公式
其中 与 无关常数
称 是 阶逼近 的
如何仅通过构造 F1 的线性组合产生更高阶
逼近函数 F2(h) 呢？
?? ??????
?
( q h )a( q h )a( q h )a( q h )FF
q h,h
P k
k
PP* 2
2
1
11
改变步长 ? ?
? ?
1
12
11
21
2
1 12
11
2
( 1 ) ( ) ( )
1()
k
k
*
k
*
k
P P P P
( h)
p P
qh h
P
PP PPP k
q a h a h a hFF
qq F F F
hqq qqa h a
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ??
LL
LL
乘 与上式减：1
1
21
22
1
1
11
22
2
1
1
1 0
*
()
P
( qh ) ( h)
P
PP
PP
P
P
( )
q
F
q
qqa
h a h
q
q
?
??
?
?
? ? ? ?
?
??
LL
1
1
2
11
2
2
1
0
*
P
( q h ) ( h )
( h )
P
P( h ) ~ ( )
qFF
F
q
hFF
?
?
?
?
令
则
)(~ ( h )
，,m
( h )( q h )
( h )
，q
hhaFF
q
FqF
F
q
PP
P
P
P
mm
( m )
mm
m
m
m
m
m
m
0 则
21
1
01
*
1
1
1
1
?
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
则：使依次类推，只要取
通过适当线性组合就可以明显提高逼近阶 !
)h0(
14
)(T)
2
(4
)( 4
00
1 ?
??
??
h
h
h
)h0(
116
)(T)
2
(16
)( 6
11
2
?
??
??
h
h
h
2,1,m )0(
1
h
2
T
2
2
1)2 ( m
2
1-m1
2
??
?
?
?
?
??
?
阶
一般
m
m
m
m
)h()
h
(
)h(
同样可继续推广 (Richardson 外推算法 ),
0 1 2
1 2,4,6,
2 Pq PP? ? ? ? L取
?? 2,1,0k 2,1,m )0(
1
h
2
2
T
2
2
2
1)2 ( m
2
1m11
2
,
)
h
()
h
(
)
h
(
m
kkm
m
km
??
?
?
?
?
????
?
阶
一般
两个步长分别为 h,0.5h 的低级计算值
的线性组合产生一个高级计算值，因此不
断地分半计算是必须的,
? ?
)
,h(
HTΤ
TT
nnn
n
2
1
2
1
R o m b e r g
2
0
??
?只表示梯形公式：算法
)
2
1
()
4
1
( )
8
1
( )
16
1
(
2
1
)()
2
1
( )
4
1
( )
8
1
(
2
1
)()
2
1
( )
4
1
(
2
1
)( )
2
1
(
2
1
)(
3210
4
3210
3
210
2
10
0
3210
hhhhh
hhhhh
hhhh
hhh
hh
????
????
???
??
?
????步长
2 4 6 8 ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) T o S o C o R oh h h h
I
h
k
??
?
?
?
?
?
?
2
lim m
∞ →k
,m 1 对固定，
可以证明,Romberg求积法的收敛性
m
m
2 k, ( m )l im
2 k
h I
??
??
?????
??
?，对必须的 将不断增长
2( m - 1)
1m m - 1
m 0,
( ) ( )
,
1
2
22
kk
hh
m
Ro m be rg
?
?
?
??
??
??
??
注意：当 充分大时。 从而
因此随 增大，逼近的改善变慢,一 般只使用到
值
0 2 k
1,k
11( ) ( )
2 2 2kk
[ a,b ]
bah [ f( a ) f( b ) ],
T T T H
?? ? ? ?
等分
只表示梯形公式：
Romberg 算法
1,2,3,m
1
)
2
2
22
2
2
2
1m11
2
m ?
?
?
?
??
?
???
m
kkm
m
k
)
h
(
h
(
)
h
(,
1 33
3
3,k01
()()
()
22
2
kk
k
hh
h
?
?
?
?? ??
?
L,,计 算
则 停 机, 输 出值 。
§ 5,高斯公式
n
牛顿 — 柯特斯型求积公式是封闭型的（区间 [a,b]的
两端点 a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,
受此限制，牛顿 — 柯特斯型求积公式的代数精确度只能是
n(n为奇数 )或 n+1(n为偶数 )。而如果对求积节点也适当的
选取,即在求积公式中不仅 Ak而且 xk也加以选取,这就可以
增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。
0
( ) ( ) 2 2
,( 0,1,,),
( 0,1,,)
n
b
kk
a
k
k
f x dx A f x n
A k n
kn
?
??
?
?
??
L
L
k
k
求积公式 含有 个
待定参数x 适当选择这些参
数使其具有2n+1次代数精度。这类求积公式
称为高斯公式。x 是高斯点。
0
0
( ) ( )
( 0,1,,)
( ) ( )
( ) ( ) 0
n
b
kk
a
k
k
n
k
k
b
a
f x d x A f x
x k n
x x x
n
P x x d x
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
L
定理：插值型求积公式
其节点 是高斯点的充分必要条
件是以这些点为零点的多项式
与任意次数不超过 的多项式P(x )均正交：
0
( ) ( ) ( )
21
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0 ( 0,1,,),
( ) ( ) 0
n
b
k k k
a
k
k
b
a
P x P x x
P x x d x A P x x
x k n
P x x d x
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
L
k
必要性证明：
设 是次数不超过n 的多项式则
次数不超过 n ＋ 。若x 是高斯点，则有
又因 故有
2 1
f ( x ) = P ( x ) ( x ) + Q ( x ),
n ?
?
?
充分性证明：
对一次数不超过 的多项数f ( x ),用（x )
除f ( x ),则有
0
0
0
f ( x) = P ( x) ( x) + Q ( x)
( ) ( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
( ) 0,( ) ( ),
( ) ( )
( ) ( )
b b b
a a a
n
b
kk
a
k
k k k
n
b
kk
a
k
n
b
kk
a
k
P x x dx f x dx Q x dx
Q x dx A Q x
x Q x f x
Q x dx A f x
f x dx A f x
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
? ? ?
??
??
??
由
由于所给求积公式是插值型的，故有
又由 知 从而有
于是
21 n ?
k
可见此求积公式对一切次数不超过 的多
项式均能准确成立，因此x 为高斯点。
高斯－勒让德公式
1
1
0
( ) ( )
()
n
kk
k
f x d x A f x
x
?
?
? ??
n+1
此为高斯－勒让德公式，区间为[- 1,1 ],
勒让德正交多项式P 的零点就是其高斯点。
2
2
1
01
1
11
( ) ( 3 1 ),
2 3
11
( ) ( ) ( )
33
( ) 1,
P x x
f x d x A f A f
f x x
?
? ? ?
? ? ?
?
?
例：取 其两个零点为 。
求积公式为
令它对 成立，有
01
0
01 1
1
1
2
1
11
0 1
33
11
( ),
33
AA
A
AA A
f x d x f f
?
???
???
?? ? ? ???
? ? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
两点高斯－勒让德公式 2 3 4
1
1
1
1
1
1
( ),
2 1 1 2
( ),( ) ( )
33 33
11
( ) 0,( ) ( ) 0
33
11
( ) ( ) ( )
33
f x x x x
f x dx f f
f x dx f f
f x dx f f
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
验证：分别令,,则
带权的高斯公式
0
2 1
( ) ( ) ( )
( ) 0
n
b
kk
a
k
n
x f x d x A f x
x
?
?
?
?
?
?
??
对于任意次数不超过 的多项式均能准确
成立
称其为带权的高斯公式。其中 为权函数。
2
1
21
0
1
( ),[ 1,1 ]
1
()
( )
1
21
c os ( 0,1,,),
22
n
kk
k
k
xx
x
fx
dx A f x
x
k
x k n
n
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
???
??
??
???
??
L
当 时，所建立的
高斯公式
称为高斯－切比雪夫公式。高斯点为n+ 1次切
比雪夫多项式的零点。
1
1
0 0 1 1
0
0
23
0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
22
0 0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,,,
2;
3
2; ) ( )
5
2; 1
7
kk
k
x f x dx A f x A f x A f x
f x x x x
A A x A x A
x A x A x A A x x A
x A x A
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
??
例：构造下列形式的高斯公式：
解：令它对于 准确成立，得
由于
（
利用第 式，可
33
0 0 1 1 0 1 0 1
2
2 2 2
,( ),
9 3 5
x A x A x x x A
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
将 式化为
2
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
01
0
2 3 3 4
2 2 2 2
( ) ( ),
5 7 7 9
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
5 5 3 7 5 3 7
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
7 7 5 9 7 5 9
5
21
x x x x A x x x x A
x x A x x x A
x x x x x x x
x x x x x x x
xx
xx
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
?
?
?
同样，利用 式化 式，利用 式化 式，分别得；
分别消去上两个式子 与,有
00
11
1
1
0
0.821 162 0.389 111
10 0.289 949 0.277 556
9
( ) 0.389 111 ( 0.821 162 )
0.277 556 ( 0.289 949 )
xA
xA
x f x dx f
f
?
?
????
?
?
? ? ?
??
???
?
?
?
?
?
?
高斯公式是
高斯公式的余项
( 2 2 )
2
0
()( ) ( ) ( )
( 2 2 ) !
nnbb
kkaa
k
fR f x d x A f x x d x
n
? ??
?
? ? ? ????
01
00
0
( 2 2 )
2
,,,2 1
( ),2 1
( ) ( ) ( )
R= ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
( 2 2) !
n
nn
b
k k k k
a
kk
n
b
kk
a
k
n
b b b
a a a
x x x n
H x n
H x dx A H x A f x
f x dx A f x
f
f x dx H x dx x dx
n
?
?
??
?
?
??
?
??
?
? ? ?
?
???
??
? ? ?
L证：以 为节点构造次数 次埃尔米
特插值多项式 由于高斯公式具有 代数精
度，即有
故有
在利用积分中值定理即可得证。
高斯公式的稳定性
0
2
2 2 2
0
( )
( ) 2
( ) ( ) ( ) 0
n
j
kj
j kj
jk
k
n
bb
k i k i k k k
aa
i
xx
l x n x
xx
l x n
l x dx A l x A A l x dx
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
???
因 它是 次多项式,为高
斯点，故 是 次,由高斯公式
* * *
0
00
0
**
0
( ) m a x,
( ) 1
( ) m a x,
nn
n n k k k k k k
kn
kk
n
k
k
n n k k
kn
Ne wton Co te s
I I A f f A f f
f x A b a
I I b a f f
??
??
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
?
类似 公式稳定性证明，有
由 的高斯公式有
故 可断定其稳定。
k ) d t))(tk((t)kk ) ( t(t)(tt
n ) d t(t)(tt
k
n
21211∫
1∫
2
0
0
????????
??
??
?
k) d u)(uk(u)u ( u)k(uk)(u
kt u
k
k
????????
??
?
111∫
??
令
分为零！点上的对称区间上的积奇函数在以零点为对称
令
H ( u )H ( u ))(
k)u)(ku()uu ) (()kuk) (u(
u) H (
k))(uk(u)u ( u)kk) ( u(uH ( u )
k
????
??????????????
?
????????
?
1
111
111
12
??
??
R(x)公式证明
2
23
( )
( - a ) ( - )
2
2
t
R( x )
f ( t ) ( t ) t t b
( x a) ( x b)
ab
tP
ab
x
? ?
? ? ?
??
???
???
? ????
???
??
构造可微函数
'
1 2 3
( ), Rol e
2
0
22i
ab
t a,,b,x,
a b a b
ψ ( ) ( a,),(,b),( a,b)η η η
?
?
?
?
??
? ? ? ?
有四个零点 由 定理：
且
η
3
a η
1
( a + b) /2 η
2
b ?
:)b,a(
)t()t(''')t(''
)b,a()t('
)(
∈
→→→
?
???
?
4
记为至少有一个零点，
二个三个
上至少有四个零点在则
??
44
04
2
( ) ( ) R ( x )
( η) ( η) !
ab
( x a ) ( x ( x b )
ψf
)
? ? ? ?
?
? ? ?
η
3
a η
1
( a + b) /2 η
2
b ?
数 值 微 分
'
0
1
( ) ( ) ( ) l im
h
f x h f xfx
h?
???
、差商型求导公式
由导数定义
'
'
'
1
( ) ( )
( )
2
( ) ( )
( )
3
( ) ( )
( )
2
f x h f x
fx
h
f x f x h
fx
h
f x h f x h
fx
h
??
?
??
?
? ? ?
?
（）向前差商公式
（ ）向后差商公式
（ ）中心差商公式 （中点方法 ）
x-h x x+h
B
C
A T
f(x)
差商型求导公式的余项
"
' 1
"
' 2
'
( 3 ) ( 3 )
2212
12
T a y l o r
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) ( )
( )
2
( ) ( )
()
6
0,1
f x h f x f x h
f x h O h
h
f x f x h f x h
f x h O h
h
f x h f x h
fx
h
f x h f x h
h O h
?
?
??
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
??
由 公式
从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
2、插值型求导公式
( ) [,] 1 (,( ) )
( 0,1,,)
()
iif x a b n x f x
in
fx
?
? L n
若已知函数 在 内 个节点
，可用其插值多项式P ( x ) 的导数近
似函数 的导数。
( 1 )
1
( 1 )
'' ' ( 1 )1
1
()
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) !
()()
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
n
n n n
n
nn
nn
f
R x f x P x x
n
xfd
f x P x x f
n n d x
?
?
??
??
?
?
?
??
?
? ? ?
?
? ? ? ?
??
由
( 1 ) ( 1 )
'''
1
0
[,]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
nn n
n
i n i i i j
j
ji
x a b
ff
f x P x x x x
nn
?
??
?
??
?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
对任意,因 未知，故上式很难估计误差，
但若只求某个节点上的导数值，误差可估计。
因此，插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值。
两 点 公 式
0 0 1 1 1 0
01
1 0 1
0 1 1 0
'
1 0 1
(,( ) ),(,( ) ),
( ) ( ) ( ),
1
( ) [ ( ) ( ) ]
x f x x f x x x h
xxxx
P x f x f x
x x x x
P x f x f x
h
??
??
??
??
? ? ? ?
设给出两节点 记
有
'
1 0 1 0
'
1 1 1 0
' "
0 1 0 1
' "
1 1 0 2
1
( ) [ ( ) ( ) ],
1
( ) [ ( ) ( ) ]
1
( ) [ ( ) ( ) ] ( ),
2
1
( ) [ ( ) ( ) ] ( ),
2
P x f x f x
h
P x f x f x
h
h
f x f x f x f
h
h
f x f x f x f
h
?
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ?；
带余项的两点公式是：
三 点 公 式
0 1 0 2 0
12
20
0 1 0 2
0 2 0 1
12
1 0 1 2 2 0 2 1
0
2 0 0 1
2
,,2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
,
1
( ) ( 1 ) ( 2) ( ) ( 2) ( )
2
1
( 1 ) (
2
x x x h x x h
x x x x
P x f x
x x x x
x x x x x x x x
f x f x
x x x x x x x x
x x t h
P x t h t t f x t t f x
t t f x
? ? ? ?
??
?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
设已给出三个节点 上的
函数值
令则
),
'
2 0 0
12
'
2 0 0 1 2
'
2 1 0 2
'
2 2 0 1 2
1
( ) [ ( 2 3 ) ( )
2
( 4 4 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ],
1
( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( ) ] ;
2
1
( ) [ ( ) ( ) ] ;
2
1
( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( ) ],
2
t P x th t f x
h
t f x t f x
P x f x f x f x
h
P x f x f x
h
P x f x f x f x
h
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
上式对 求导：
（中点公式）
＋ 2
' " '
0 0 1 2
2
' " '
1 0 2
2
' " '
2 0 1 2
1
( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( ) ] ( ) ;
23
1
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ;
26
1
( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( ) ] ( ),
23
h
f x f x f x f x f
h
h
f x f x f x f
h
h
f x f x f x f x f
h
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
带余项的三点求导公式：
（中点公式）
＋
( ) ( )
( ),1,2,kk mf P x k?? L
可利用插值多项式，建立高阶数值微分公式：
'
2 0 0
12
"
2 0 0 1 22
"
2 1 1 1 12
2
" ( 4 )
1 1 1 12
1
( ) [ ( 2 3 ) ( )
2
( 4 4) ( ) ( 2 1 ) ( ) ],
1
( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) ],
1
( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) ],
1
( ) [ ( ) 2 ( ) ( ) ] ( ),
12
P x th t f x
h
t f x t f x t
P x th f x f x f x
h
P x f x h f x f x h
h
h
f x f x h f x f x h f
h
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
例：对
再对 求导，
有
带余项的二阶三点公式：
同样，针对 m也可扩展，如五点插值求积公式。
3,样 条 求 导
( ) ( )
( ) ( ) 4
( )
()
( ) ( ) ( 1,2,)
( ) ( ) ( ),
kk
k k k
Sx
fx
f x S x k
f x S x O h
?
??
??
L
三次样条函数 及其一、二阶导数均一致收敛于
被插值函数 及其一、二阶导数，故用样条函数的
导数近似函数导数
不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值。
其截断误差为：
0 1 1
3
1 1 1 1
'
,,
( ) ( )
4 3 ( ) /,
()
n k k
kk
k k k k k
k
k
a x x x b x x h
S x S x m
m m m y y h
m
fx
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
L对等距划分 且
三次样条 在节点上的导数值 满足下列
连续性方程组
在给定一类边界条件下，求解方程组得出的 即可
作为导数 的近似值。
数值积分
.dx)x(f)f(I
)x(f;)x(f
b
a
的近似数值求
的离散数据点只有
宜计算的原函数不存在或不适
??
12
{,,,}
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
I
b
nn
a
b
nn
a
f
x d x
If
f f x f x d x
ff
ff
E
?
?
??
?
?
L简单想法,用简单函数序列
作为 的近似值，误差：
项式。常取插值或分段插值多 )x(f n
§ 1,插值型求积公式
dx)x(Pdx)x(f)x(f)x(P
)x(f)x(P
b
a
b
a
∫
≈∫→≈
的插值多项式：是
1
b
a
( )
2
x a x b
( ) a,b, f ( x ) ( x ) f ( b) f ( a)
b a a b
x - a x b b a
I f f ( b) f ( a) dx ( f ( a) f ( b) )
b - a a b
P
??
? ? ?
??
????
? ? ? ? ???
???
?
一 过 两点
y=P
1
( ? )
直边梯形代替曲边梯形
y=f( ? )
称梯形公式 y
0 ?
(二 ) 抛物型求积公式
2
b
[,],,b,
2
b
( ) ( b )
2
( ) ( )
b
( ) ( b)
2
b
( ) ( )
( ) ( ) b
2
( ) ( )
b b b
2
( ) ( b) ( ) ( )
2 2 2
2 b b
( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( )
22
()
a
a b a
a
xx
P x f a
a
aa
a
x a x
x a x b a
f f b
a a a
a b a b
aa
x x b f a x a x b f
ba
?
?
??
?
?
??
?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
???
? ? ? ? ? ?
?
?
?
区间二等分,作抛物线
b
( ) ( ) ( )
2
a
x a x f b
? ?
? ? ?
?
?
2( ) ( ) ( ) 4 ( ) 62
b
a
b a a bI f x d x f a f f bP ? ? ? ???? ? ? ?
???? ?????
y=P 2 ( ? )
y=f( ? )
称 Simpson 公式
a ( a+b ) /2 b
(三,1) Newton-Cotes求积公式
n
bh,n,1,,0i,aiha:n]b,a[ x
i
????? ?等分
)x(x)x(x),w ( x)xf(
)x) w ' (x(x
w ( x)
( x)P
n
ni
n
i
ii
n ????
?
?
?
?
?0
0
1 个节点的插值多项式：则
0
0
()
N e w ton- Cot e s
bb n
n i
iaa
ii
n
ii
i
w( x )
I ( f) ( x ) dx dx f( )
( x ) w' ( )
A f x
xP
xx?
?
??
?? ??
?
??
?
???
?
称 求积公式
n)(t)t ( tn ) h(t)ht h ( t
nh)ath(ah)athh ) ( aatha ) ( ath(a
w ( x)
h
n ??????
????????????
? ??
?
11
2
1
(三,2)计算系数 Ai, 变换 x=a+th
0,
()
11
1
n
iji
j i j
ik
nin
w' ( ) x x
ih h ( ) h ( ( n i) ) h ( ( ) ( i k ) h)
i ! ( n - i) ! (
x
xx
)h
??
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
LL
dt
i)(t
n)(t)t ( t
i ) !i ! ( n
h
hdt
i)i ) ! h( t( i ! ) ( n
n)(t)t ( t
dx
)) w ' ((x
w ( x )
n
n - i
n
nn - i
n
b
a
ii
i
)(
h)(
h
xx
A
∫
1
∫
1
0
0
1
1
1
?
??
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
0
()
i
1
( )
n
1
A
n - i
( n)
i
n
i
( n)
i
t ( t ) ( t n)
dt
n( i ! ) ( n i ) ! ( t i )
ba
f ( x ) [a,b]
()
C
C
C
??
?
? ? ?
??
?
?
L
记
是不依赖于 与 的常数，只与分点
数 有关。
(三,3) Newton-Cotes系数 Ci(n)
,C o t es- 4n
, 8,8n
,0
,1∑,
0
求积公式时成
时不常用时出现负数当
值稳定性时插值型求积公式有数推出当
由此可以且可以证明
N ew t o n
∴ n ≥
C
CC C
( n )
i
n
i
( n )
i
( n )
n - i
( n )
i
?
?
?
??
?
Newton－ Cotes公式的稳定性
( ) ( )
00
()
( ) ( )
00
( ) ( )
( ) ( ) ( )
) [ ( ) ( ) ] ( )
m a x,
( ) ( ) ( )
kk
k k k k
nn
nn
k k k k k
kk
n
kk
k
nn
nn
k k k k
kk
f x f x
f x f x f x
b a f x f x C b a C
C
b a C b a C b a
C
?
?
??
? ? ?
??
??
??
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
??
??
(n)
kk
系数C 及节点值x 可相当精确给出，误差来
自函数值 的计算。 设 为准确值，
为计算值,则
（
记 若 均为正数，则得
若
()
8 ),
n
k
n ?有正负（ 稳定性没有保证。
§ 2,梯形,抛物线公式的误差估计
次代数精确度。公式有
立，则称该求积次多项式时不全精确成是
等号成立；而对的代数多项式时，式中次数不高于
为任意一个若的常数。是不依赖于其中
：对一个一般的求积公式定义（代数精确度）。
1
∑ ≈ ∫
k
0
k
n
n)x(f
n
)x(f)x(fA
)x(fAdx)x(f
k
n
k
b
a
+
=
衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式
的次数作为标准,
b )b)((
!2
)(''
)()(
1
?????? ?
?
axax
f
xxf P
由梯形公式的误差：
梯形求积公式的代数精确度
dxxPfIxPxfxf
xf
b
a
?????? )()( )( )( 0 )(''
)(
11
是一次多项式时，当
1
23
22
1
33
2
2
∫∫∫
因此代数精确度是
时，但当
)(
ab
dx)x(dxdx)x(f
)x(f
baP
ab
x
x
b
a
b
a
b
a
?
?
??
?
??
?
b ),(
)!1(
)(
)()(
C o t e s
)1(
??
?
??
?
?
?
?
axw
n
xxf
N e w t o n
f
P
n
n
求积公式有误差
次代数精确度。有
从而至少
次多项式时为当
0
1
n
( x) d x,I ( f ) ( x)
n)x(f
b
a
n
)n(
Pf ????
?
Newton-Cotes求积公式的代数精确度
n=偶数时 Newton-Cotes 求积公式的代数精确度
bqx b n)(nknk k )!(n( x )q ( x )n 1110 1 1 ∑ ???? ???? 则次多项式对
dt)t()t(t)thax(
dx)x(wdx)x(wdx)x(dx)x(
n
n
n
b
a
n
b
a
b
a
n
b
a
hb
b
)!n(
)(q
Pq
)n(
n1 ∫
∫∫
1
∫∫
0
2
1
1
1
?????
???
?
?
?
?
?
?令
积分误差：
?
次代数精确度。有
为偶数时至少求积公式当即
即：，为偶数时，上式积分为当
1n
n C o t e sN e w t o n
)()(
0n
∫∫
?
?
? dxxdxx
b
a
n
b
a
Pq
梯形公式的截断误差
2
3
),
2
( )
12
[a,b]
b
a
f( x
ba
R ( f) f( x ) dx ( f( a) f( b) )
f' ' ( a,b)
C
( b a)
??
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
定理,若 则：
反之类似。是凹的此时计算值，
则积分值小于当注意：;
,0
f ( x )
[ a,b ] x ∈f ' ' ( x ) ?
定理证明
( a,b ) ξb)a ) ( x(x
f ' '
( x )f ( x ) P ?????
2
)(
1
?
由插值公式余项：证明：
b ) d xa ) ( x(xf ' '( x ) d xI R ( f ) b
a
b
a
P ?????? ? ∫ 2 )(1 ?
Mf ' ' m [ a,b ] 'f ??? )( )(' ?? 上连续在
0
( )
(
bb
aa
b
a
x ( a,b) ( x a) ( x b)
m ( x a) ( x b) dx f ' ' ( x a) ( x b) dx
M x a) ( x b) dx
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
由于 时
M≤
b ) d xa ) ( x(x
b ) d xa ) ( x(xf ' '
m
b
a
b
a
)(
≤
∫
∫
??
??
?
?
)(f ' '∴ R (f )
)( f ' 'b) dxa) ( x(x)(f ' '
b) dx(x)ax)((f ' '
b]a,η ∈[
)ab(
)ba(b
a
b
a
?
??
?
12
6
:)(
3
3
∫
∫
?
?
??
????
??
?? 积分中值定理使
4
5
4
,,
4
62
( )
2880
[ a,b ]
b
a
()
f( x )
b a a b
R ( f) f( x ) dx f( a) f( ) f( b)
ξ ( a,b)
C
( b a)
f ?
?
????
? ? ? ?
??
??
? ? ?
?
?
定理 若 则
抛物求积公式 (Simpson)的截断误差 (1)
证明思路,
1,f(x)用插值多项式表示并与抛物求积公式值相同
.,2 ( x )f( x )R ( x ) n???用插值余项公式求出
的表示。利用积分中值定理求出 ∫,3 ( x ) d xR
b
a
33
33
3
( ),.
,
2 2 2 2
fx
( a ) f( a ),( b ) f( b )
a b a b a b a b
( ) f( ),'( ) f '( )
PP
PP
??
? ? ? ?
??
证明，由于抛物求积公式代数精确度是 。
可构造一个 的三次插值多项式 与抛物求积公式值相等
而且
抛物求积公式误差证明 (1)
(a,b) ∈
b) (x a) (x
!
(x) f(x) R(x))
b a
(x
f
P
) (
4
) (
2
2 4
3
?
?
? ? ? ? ?
?
?
,则可以证明，插值余项
dxbxbaxax !dxR ( x ) )fb
a
)(b
a
)(2)(()(41 24 ????? ?? ?
2
3 3 3 3
( ) ( ) [ ( ) 4 ( ) ( ) ]
62
( ) [ ( ) 4 ( ) ( ) ]
62
bb
aa
b
a
b a a b
f x dx x dx f a f f b
b a a b
P x dx P a P P b
P
??
? ? ? ?
??
? ? ?
??
?
抛物求积公式误差证明 (2) 3
2
( 4 )
1
( ) ( )
4 2
b
a
( x )
R ( f) f x a ( x b ) d x
!
P
ab
x?? ? ?
???
?? ??
??
由于三次多项式 的积分与抛物求积公式精确度相等：
0
,
2
2
4
≤ b)(xa)(x
( a,b ) x ∈b][a,)(
ba
x
f
)(
?? ?
?
?
?
?
? ?
?
时当上连续，在由,?
2
4
2
5
44
,(,)
( )
( ) ( ( ) (,)
2880
2
2
b
()
a
b
( ) ( )
a
η a b
( ξ ) x a ( x b) dx
x a) ( x b) dx a b
ab
x-f
ab ( b a)
x-ff? ? ?
?
??
? ? ? ? ? ?
???
? ??
??
? ???
? ??
??
由积分中值定理存在 使
§ 3,复化公式及其误差估计
误差公式, 区间越小,误差更小 —— 复化。
,
,
10,
,).(
1
然后累加
用梯形公式对每个小区间
节点等分
复化梯形公式一
],[
n
ab
h
,n,,,k h,ka [ a,b] n
xx
x
kk
k
?
?
?
??? ?
f ' ' fR a)(b,)(12)(
3
???? fR fa)(b )( )(
2 8 8 0)(
4
5
????
))(f)(f(
dx f ( x )dx)x(fI
xx
xx
kk
n
k
kk
n
k
b
a
x
x
k
k
1
1
0
1
1
0
∑
∑ ∫∫
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)∑ )( ∑ )( (
2
)∑ )( ∑ )( (
2
1
1
0
1
0
1
1
0
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
xfxf
h
xfxf
h
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
1
1
2)
2
,
n
n
k
h
f( a) f( b) f( a k h T
?
?
??
? ? ? ? ???
??
?
— 复化梯形公式
[a,b]2n 等分,可得 T2n,
复化梯形公式的分半加密法算。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
????
?
?
∑
2
2)(
22
1 12
1
2
n
k
n
h
kafbff ( a ))
h
(T
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
?????
?
? ?
∑ ∑
2
1)2( 2
2
2 2)()(
4
1
1 1
n
k
n
k
h
kaf
h
kafbfaf
h
1
11
1 ( ) ( ) 2 ( ) ( 2 1 )
2 2 2
nn
kk
hhf a f b f a k h h f a k?
??
???? ??? ? ? ? ? ? ?
?? ????
?????? ??
n n n
1a
( ),( 2 1 )
22T H H
b
h f a k
n
???
? ? ? ? ???
???
所有新增分点函数值之和乘老步长。
复化抛物型求积公式
∵ 抛物线求积公式用到区间中点,
∴ 将区间看作等分偶数份
令 n=2m,m 是整数,在每个 [?2k-2,?2K] 上
用抛物线求积公式,
2
22
2 2 2 1 2
2 2 2
2
[ 4 ( ) ( ) ]
6
22
k
k
k k - k
kk
x
h
f( x ) d x f( ) f f
x
ba
h
x x x
xx
?
?
?
? ? ?
? ?
??
?
? ?
? ?
? ?
公式称复化 S i m ps e n
14)-(5
24)()(
3
h
4
3
4
3
∑∑
∑∑∑
∑
∫∑
1
1
2
1
12
2
1
12
1
1
0
2
21222
1
2
22
1
S
xx
xxx
xxx
n
m
k
k
m
k
k
k
m
k
k
m
k
m
k
k
kkk
m
k
k
k
m
k
)f() f (bfaf
)f()f() f (
h
)f()f()f(
h
≈
dx f ( x )I
x
x
?
????
???
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
复化公式及其误差估计
111
01
2)2
k
k
nnx
nx
kk
hI f( x ) d x f( a ) f( b ) f( a k h T???
??
??? ? ? ? ? ?
???????
2
1a( ),( 2 1 )
22
n n n n
bT T H H h f a k
n
???? ? ? ? ?
?????
2
22
1
2 1 2
1 1 1
h ( ) ( ) 4 2
3
k
k
m m mx
kk nx
k k k
I f( x ) d x f a f b f( x ) f( x ) S
?
?
?
? ? ?
??? ? ? ? ? ?
????? ? ??
2
[,]
2
n
''3311
'' 2 ''
00
( )
b
(,) ( ) ''( ) ( a,b)
12
b
h
n
()
( (,) ( ( ) ) ( ) )
12 12 12
T
ab
b
n
a
nn
k
kn
kk
fx
a
R f f x dx f
a
fh nh b a
R f f h f
n
C
hT
T
??
?
??
??
??
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
??
定理, 若,则
其中 复化公式误差
4
[,]
( 4 )4
n
( )
b
(,) ( ) ( ) (,b)
2880
b
h
n
S
ab
b
n
a
fx
a
R f f x dx a
a
C
fSh ??
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
定理 若,则
其中
1
n
22
0
''n
2
4
(,) 11
''( ) " ( )
12 12
1
h 0 ( ) ( ),
12
S im ps on
I1
[ " '( ) " '( ) ],
18 0 2
T
T
bn
n
k
k a
Rf I
h f f x dx
hh
I
f b f a
h
f b f a
T
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? ?
n
4
当 时,［ ］
类似地，对于复化的 法
－S
h
1 4 1 1 6
1 6 4
若步长h 减半( n 加倍），则复化梯形法、
辛普生法与柯特斯法的误差分别减至原误差
的 ／,／ 与 ／ 。
I,0
II
( 0
I
p
n
h
CC
h
p
?
??
n
n
定义 如果一种复化求积公式 当 时成立
－
渐近关系式 定数），
则称求积公式 是 阶收敛的。
n?n
S
∫
n
1
0
??
?
计算用，计算试用
保留五位有效数字。计算积分
T
e
n
x dxI
复化求积例
exfxf
):,(x ∈exfxfxf x
≤)()(''
10 )()('')(,
)4(
)4(
?
???解
242"
n
11(,) ( )
1 2 1 2 2 10
baR f h f e hT ? ??? ? ?
68
h
1 82807.1
2
l o g 6l o g e4 1l o g ????≥
h
则
1021 ≤2 8 8 01 ≤ -441n he)S,f(R
3
h
1 3 1 8 9 8 3.0
4
l o g 1 4 4 0l o g e4 ≥1l o g
11
????
h
自动选步长计算
由误差要求可定出 n,但事先难估计：应边算边估计进而加
密,
),( )(''
12
ab
),(
,
n
2 baf
hTfR
Tn
nn
n
?
?
?? ??
等分计算
),(∈ )('')
2
(
12
ab
),(
,2
2n2
2
2
2
baf
h
TfR
Tn
nn
n
??
?
??
等分计算取
)]('' )(''4[
12
ab
2n
2
n2n )2(TT ?? ff n
h ??????
n 2 n
2
2 n n 2 n2
n ( ) ( a,b) ) ( ),
ba
''( ) 3 3 ( )
12
()TT
2
n
f' ' f' ' ( f' '
fI
h
T
? ??
?
?
?
? ? ? ? ? ?
若 充分大 在 上连续且 则
)TT(T I nnn ???? 22
3
1
)( 3 22 要求误差时，当 ?? ???? TITT nnn
1
2 1 1 1 1
42 13
2
1
n 1 ( ( ) ( ) )
2
11
n 2 ( ( )
2 2 2
1
n 4 ( ( ) ( ) )
24
1
( 2 1 )
2 2 2
H
n
nn
i
ba
f a f b
ba
f
ba
ff
b a b a
f a i
nn
T
xT T T
xxTT
TT
?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?? ??
? ? ? ?
??
??
?
计算过程：
）
2 3? nnTT ???每次检验
自动分半的 Simpsen 公式
16
1
2 8 8 0
),(
2 8 8 0
),(
2
44
2
44
?
?
??
?
??
)η(fh
ab
SfR
)η(fh
ab
SfR
n
)(
nn
n
)(
nn
).( 15
15
1
)(16
22
22
2
要求误差时当 ?? ????
???
???
SSS
SSS
SS
nnn
nnn
nn
I
I
II
只要利用公式不断计算新分点之函数值,
S2, S4 …, Sn, S2n …
§ 4,Romberg求积法
S n 关系的启发？与T n
14
4
3
1
3
4
2
1
2
1
2
2
2
?
?
????
??
TT
TTS
HT T
nn
nnn
nnn?又
24
n~ 0 ( ),~ 0 ( ),
T
Sn hhT
的线性组合就能提高收敛阶数
1
2 2 1
11
12
( ) ( ) 2
3 2 3
12
33
nn
n k k -
kk
nn
h
f a f b f ( ) h f( )S x x
TH
?
??
??
? ? ? ? ???
??
??
??
Richardson 外推算法
12
1
*
1
1 12
12
1
h
( h ),,
0,
1 2,
F
F
k
**
k
k i
*
P P P
R ( ) ( h )
h
P
i,,,( h )
a h a h a hF F F
aP P P
hFF
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
LL
LL
L
一个数值积分值,用步长 的复化求积公式
逼近 误差公式
其中 与 无关常数
称 是 阶逼近 的
如何仅通过构造 F1 的线性组合产生更高阶
逼近函数 F2(h) 呢？
?? ??????
?
( q h )a( q h )a( q h )a( q h )FF
q h,h
P k
k
PP* 2
2
1
11
改变步长 ? ?
? ?
1
12
11
21
2
1 12
11
2
( 1 ) ( ) ( )
1()
k
k
*
k
*
k
P P P P
( h)
p P
qh h
P
PP PPP k
q a h a h a hFF
qq F F F
hqq qqa h a
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ??
LL
LL
乘 与上式减：1
1
21
22
1
1
11
22
2
1
1
1 0
*
()
P
( qh ) ( h)
P
PP
PP
P
P
( )
q
F
q
qqa
h a h
q
q
?
??
?
?
? ? ? ?
?
??
LL
1
1
2
11
2
2
1
0
*
P
( q h ) ( h )
( h )
P
P( h ) ~ ( )
qFF
F
q
hFF
?
?
?
?
令
则
)(~ ( h )
，,m
( h )( q h )
( h )
，q
hhaFF
q
FqF
F
q
PP
P
P
P
mm
( m )
mm
m
m
m
m
m
m
0 则
21
1
01
*
1
1
1
1
?
?
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
则：使依次类推，只要取
通过适当线性组合就可以明显提高逼近阶 !
)h0(
14
)(T)
2
(4
)( 4
00
1 ?
??
??
h
h
h
)h0(
116
)(T)
2
(16
)( 6
11
2
?
??
??
h
h
h
2,1,m )0(
1
h
2
T
2
2
1)2 ( m
2
1-m1
2
??
?
?
?
?
??
?
阶
一般
m
m
m
m
)h()
h
(
)h(
同样可继续推广 (Richardson 外推算法 ),
0 1 2
1 2,4,6,
2 Pq PP? ? ? ? L取
?? 2,1,0k 2,1,m )0(
1
h
2
2
T
2
2
2
1)2 ( m
2
1m11
2
,
)
h
()
h
(
)
h
(
m
kkm
m
km
??
?
?
?
?
????
?
阶
一般
两个步长分别为 h,0.5h 的低级计算值
的线性组合产生一个高级计算值，因此不
断地分半计算是必须的,
? ?
)
,h(
HTΤ
TT
nnn
n
2
1
2
1
R o m b e r g
2
0
??
?只表示梯形公式：算法
)
2
1
()
4
1
( )
8
1
( )
16
1
(
2
1
)()
2
1
( )
4
1
( )
8
1
(
2
1
)()
2
1
( )
4
1
(
2
1
)( )
2
1
(
2
1
)(
3210
4
3210
3
210
2
10
0
3210
hhhhh
hhhhh
hhhh
hhh
hh
????
????
???
??
?
????步长
2 4 6 8 ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) T o S o C o R oh h h h
I
h
k
??
?
?
?
?
?
?
2
lim m
∞ →k
,m 1 对固定，
可以证明,Romberg求积法的收敛性
m
m
2 k, ( m )l im
2 k
h I
??
??
?????
??
?，对必须的 将不断增长
2( m - 1)
1m m - 1
m 0,
( ) ( )
,
1
2
22
kk
hh
m
Ro m be rg
?
?
?
??
??
??
??
注意：当 充分大时。 从而
因此随 增大，逼近的改善变慢,一 般只使用到
值
0 2 k
1,k
11( ) ( )
2 2 2kk
[ a,b ]
bah [ f( a ) f( b ) ],
T T T H
?? ? ? ?
等分
只表示梯形公式：
Romberg 算法
1,2,3,m
1
)
2
2
22
2
2
2
1m11
2
m ?
?
?
?
??
?
???
m
kkm
m
k
)
h
(
h
(
)
h
(,
1 33
3
3,k01
()()
()
22
2
kk
k
hh
h
?
?
?
?? ??
?
L,,计 算
则 停 机, 输 出值 。
§ 5,高斯公式
n
牛顿 — 柯特斯型求积公式是封闭型的（区间 [a,b]的
两端点 a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,
受此限制，牛顿 — 柯特斯型求积公式的代数精确度只能是
n(n为奇数 )或 n+1(n为偶数 )。而如果对求积节点也适当的
选取,即在求积公式中不仅 Ak而且 xk也加以选取,这就可以
增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。
0
( ) ( ) 2 2
,( 0,1,,),
( 0,1,,)
n
b
kk
a
k
k
f x dx A f x n
A k n
kn
?
??
?
?
??
L
L
k
k
求积公式 含有 个
待定参数x 适当选择这些参
数使其具有2n+1次代数精度。这类求积公式
称为高斯公式。x 是高斯点。
0
0
( ) ( )
( 0,1,,)
( ) ( )
( ) ( ) 0
n
b
kk
a
k
k
n
k
k
b
a
f x d x A f x
x k n
x x x
n
P x x d x
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
L
定理：插值型求积公式
其节点 是高斯点的充分必要条
件是以这些点为零点的多项式
与任意次数不超过 的多项式P(x )均正交：
0
( ) ( ) ( )
21
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0 ( 0,1,,),
( ) ( ) 0
n
b
k k k
a
k
k
b
a
P x P x x
P x x d x A P x x
x k n
P x x d x
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
L
k
必要性证明：
设 是次数不超过n 的多项式则
次数不超过 n ＋ 。若x 是高斯点，则有
又因 故有
2 1
f ( x ) = P ( x ) ( x ) + Q ( x ),
n ?
?
?
充分性证明：
对一次数不超过 的多项数f ( x ),用（x )
除f ( x ),则有
0
0
0
f ( x) = P ( x) ( x) + Q ( x)
( ) ( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
( ) 0,( ) ( ),
( ) ( )
( ) ( )
b b b
a a a
n
b
kk
a
k
k k k
n
b
kk
a
k
n
b
kk
a
k
P x x dx f x dx Q x dx
Q x dx A Q x
x Q x f x
Q x dx A f x
f x dx A f x
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?
?
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由
由于所给求积公式是插值型的，故有
又由 知 从而有
于是
21 n ?
k
可见此求积公式对一切次数不超过 的多
项式均能准确成立，因此x 为高斯点。
高斯－勒让德公式
1
1
0
( ) ( )
()
n
kk
k
f x d x A f x
x
?
?
? ??
n+1
此为高斯－勒让德公式，区间为[- 1,1 ],
勒让德正交多项式P 的零点就是其高斯点。
2
2
1
01
1
11
( ) ( 3 1 ),
2 3
11
( ) ( ) ( )
33
( ) 1,
P x x
f x d x A f A f
f x x
?
? ? ?
? ? ?
?
?
例：取 其两个零点为 。
求积公式为
令它对 成立，有
01
0
01 1
1
1
2
1
11
0 1
33
11
( ),
33
AA
A
AA A
f x d x f f
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???
???
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? ? ? ??
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两点高斯－勒让德公式 2 3 4
1
1
1
1
1
1
( ),
2 1 1 2
( ),( ) ( )
33 33
11
( ) 0,( ) ( ) 0
33
11
( ) ( ) ( )
33
f x x x x
f x dx f f
f x dx f f
f x dx f f
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
验证：分别令,,则
带权的高斯公式
0
2 1
( ) ( ) ( )
( ) 0
n
b
kk
a
k
n
x f x d x A f x
x
?
?
?
?
?
?
??
对于任意次数不超过 的多项式均能准确
成立
称其为带权的高斯公式。其中 为权函数。
2
1
21
0
1
( ),[ 1,1 ]
1
()
( )
1
21
c os ( 0,1,,),
22
n
kk
k
k
xx
x
fx
dx A f x
x
k
x k n
n
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
???
??
??
???
??
L
当 时，所建立的
高斯公式
称为高斯－切比雪夫公式。高斯点为n+ 1次切
比雪夫多项式的零点。
1
1
0 0 1 1
0
0
23
0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
22
0 0 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,,,
2;
3
2; ) ( )
5
2; 1
7
kk
k
x f x dx A f x A f x A f x
f x x x x
A A x A x A
x A x A x A A x x A
x A x A
?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
??
例：构造下列形式的高斯公式：
解：令它对于 准确成立，得
由于
（
利用第 式，可
33
0 0 1 1 0 1 0 1
2
2 2 2
,( ),
9 3 5
x A x A x x x A
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
将 式化为
2
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
01
0
2 3 3 4
2 2 2 2
( ) ( ),
5 7 7 9
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
5 5 3 7 5 3 7
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
7 7 5 9 7 5 9
5
21
x x x x A x x x x A
x x A x x x A
x x x x x x x
x x x x x x x
xx
xx
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
?
?
?
同样，利用 式化 式，利用 式化 式，分别得；
分别消去上两个式子 与,有
00
11
1
1
0
0.821 162 0.389 111
10 0.289 949 0.277 556
9
( ) 0.389 111 ( 0.821 162 )
0.277 556 ( 0.289 949 )
xA
xA
x f x dx f
f
?
?
????
?
?
? ? ?
??
???
?
?
?
?
?
?
高斯公式是
高斯公式的余项
( 2 2 )
2
0
()( ) ( ) ( )
( 2 2 ) !
nnbb
kkaa
k
fR f x d x A f x x d x
n
? ??
?
? ? ? ????
01
00
0
( 2 2 )
2
,,,2 1
( ),2 1
( ) ( ) ( )
R= ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
( 2 2) !
n
nn
b
k k k k
a
kk
n
b
kk
a
k
n
b b b
a a a
x x x n
H x n
H x dx A H x A f x
f x dx A f x
f
f x dx H x dx x dx
n
?
?
??
?
?
??
?
??
?
? ? ?
?
???
??
? ? ?
L证：以 为节点构造次数 次埃尔米
特插值多项式 由于高斯公式具有 代数精
度，即有
故有
在利用积分中值定理即可得证。
高斯公式的稳定性
0
2
2 2 2
0
( )
( ) 2
( ) ( ) ( ) 0
n
j
kj
j kj
jk
k
n
bb
k i k i k k k
aa
i
xx
l x n x
xx
l x n
l x dx A l x A A l x dx
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
???
因 它是 次多项式,为高
斯点，故 是 次,由高斯公式
* * *
0
00
0
**
0
( ) m a x,
( ) 1
( ) m a x,
nn
n n k k k k k k
kn
kk
n
k
k
n n k k
kn
Ne wton Co te s
I I A f f A f f
f x A b a
I I b a f f
??
??
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
?
类似 公式稳定性证明，有
由 的高斯公式有
故 可断定其稳定。
k ) d t))(tk((t)kk ) ( t(t)(tt
n ) d t(t)(tt
k
n
21211∫
1∫
2
0
0
????????
??
??
?
k) d u)(uk(u)u ( u)k(uk)(u
kt u
k
k
????????
??
?
111∫
??
令
分为零！点上的对称区间上的积奇函数在以零点为对称
令
H ( u )H ( u ))(
k)u)(ku()uu ) (()kuk) (u(
u) H (
k))(uk(u)u ( u)kk) ( u(uH ( u )
k
????
??????????????
?
????????
?
1
111
111
12
??
??
R(x)公式证明
2
23
( )
( - a ) ( - )
2
2
t
R( x )
f ( t ) ( t ) t t b
( x a) ( x b)
ab
tP
ab
x
? ?
? ? ?
??
???
???
? ????
???
??
构造可微函数
'
1 2 3
( ), Rol e
2
0
22i
ab
t a,,b,x,
a b a b
ψ ( ) ( a,),(,b),( a,b)η η η
?
?
?
?
??
? ? ? ?
有四个零点 由 定理：
且
η
3
a η
1
( a + b) /2 η
2
b ?
:)b,a(
)t()t(''')t(''
)b,a()t('
)(
∈
→→→
?
???
?
4
记为至少有一个零点，
二个三个
上至少有四个零点在则
??
44
04
2
( ) ( ) R ( x )
( η) ( η) !
ab
( x a ) ( x ( x b )
ψf
)
? ? ? ?
?
? ? ?
η
3
a η
1
( a + b) /2 η
2
b ?
