§4 埃尔米特插值
问题的提出：
不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且
还要求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光
滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值
多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨
论函数值与导数值个数相等的情况。
数学描述：
设在节点上，，，要求插值多项式，
满足条件
求解的思想：
这里给出了个条件，可唯一确定一个次数不
超过的多项式，其形式为
，
如根据上面的条件来确定个系数，
显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项
式的基函数方法。
先求插值基函数及，共有
个，每一个基函数都是次多项式，且满足条件
于是满足Hermite插值条件的插值多项式可
写成用插值基函数表示的形式
由所要构造的基函数满足的条件，显然有，。下面的问
题就是求满足条件的基函数及。
确定基函数：
可利用拉格朗日插值基函数。
令
其中是拉格朗日插值基函数。由要构造的Hermite
插值基函数条件有
整理得
解出
由于
利用两端取对数再求导，得
于是
同理，由于在处函数值与导数值均
为0，而，故可设
又由于，有
即
故有
Hermite插值多项式是唯一的
用反证法，假设及均满足Hermite
插值条件，于是由
.
有
在每个节点上均有二重根，即有重根。
但是不高于次的多项式，故。
唯一性得证。
Hermite插值多项式余项：
仿照拉格朗日插值余项的证明方法，若在
内的阶导数存在，则其插值余项
其中且与有关。
三次Hermite插值：
作为Hermite插值多项式的重要特例是的情形。
这时可取节点及，插值多项式为，满足条件
相应的插值基函数为、、、，它
们满足条件
根据Hermite插值的一般基函数表达式，可得到
于是三次Hermite插值多项式是
其余项，由Hermite插值多项式余项公式得
例: 求满足及的
插值多项式及其余项表达式。
解：由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式。
由于此多项式通过点 及，
故其形式为
其中A为待定常数，可由条件确定，通过
计算可得
为了求出余项的表达式，可设
，
其中为待定函数。构造
显然。且，故
在内有5个零点（重根算两个）。反复应用罗
尔定理，得在内至少有一个零点，故
于是
,
余项表达式为
式中位于和所界定的范围内。
Hermite插值的一般形式:
设在节点上，已知在节点上的 , 及某些节点上的导数值，要求一个至多次的插值多项式，使满足条件
与前面讨论类似，可证明满足条件的Hermite插值多项
式是存在唯一的，其余项为
例：按下表求Hermite插值多项式
0
1
2
0
1
1
0
1
解：解法一：由于插值条件有5个，故所求插值多项
式的次数不超过4。构造插值基函数
及，
使它们满足：
（1）及都是4次多项式；
（2）
因为，故无需求出。
又因为，因而可设
代入可得，所以
类似可求出
因此所求Hermite插值多项式为
解法二：因为为二阶零点，故可直接设插值多项式为
代入插值条件，得方程组
其解为所求插值多项式为
