§4正交多项式 若首项系数的次多项式，满足   就称多项式序列，在上带权正交，并称是上带权的n次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合是区间上关于权函数的正交函数族。     其中     证明可用归纳法，略。 例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。 解： 构造正交多项式       于是       故在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为  4-1勒让德多项式 当区间为［－1,1］，权函数时，由 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。   是n次多项式，对其n次求导后得  首项的系数  显然最高项系数为1的勒让德多项式为  勒让德(Legendre)多项式具体表达式为   性质1 正交性  证明：反复用分部积分公式，略。 性质2 奇偶性  n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。 性质3 递推关系   证明略。 性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1］上与零的平方误差最小。 证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为  于是  证毕。 性质5 在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。 4-2第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式 当区间为［－1，1］，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它可表示为  若令当在［－1，1］上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成  具体表达式为   是首项系数为的次多项式。 性质1 递推关系  这只要由三角恒等式  令即得。 性质2 最高项系数为1的对零的偏差最小。即在区间［－1，1］上所有最高项系数为1的一切n次多项式中， 与零的偏差最小，其偏差为 证：由于   且点是的切比雪夫交错点，由定理4知，区间［－1，1］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式。 证毕。 例：求在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。 解：最佳逼近多项式应满足  由性质2知，当  即  时，与零偏差最小，故  就是在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。 性质3 切比雪夫多项式在区间［－1，1］上带权正交，且  令则于是  性质4 只含的偶次幂，只含的奇次幂. 性质5 在区间［－1，1］上有个零点  可用的线性组合表示，其公式为  具体表达式为  其他常用的正交多项式:第二类切比雪夫多项式,拉盖尔多项式,埃尔米特多项式.（略） 4-3函数按正交多项式展开 设，用正交多项式 作基，求最佳平方逼近多项式 ， 由的正交性及方程组求解，可求得系数 ， 于是，的最佳平方逼近多项式为  均方误差为  下面考虑函数按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式， 根据上面公式有  其中  平方误差为  例4 求在上的三次最佳平方逼近多项式。 解 先计算。 ； ； ； ； 又有 ，  ，，  均方误差  最大误差 . 如果，求上的最佳平方逼近多项式，做变换 ， 于是在上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式，从而得到区间上的最佳平方逼近多项式。 由于勒让德多项式是在区间上由正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由  直接通过解法方程得到中的最佳平方逼近多项式是一致的，只是当较大时求法方程出现病态方程，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，计算公式也较方便，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式。