§6 三次样条插值 问题的提出: 上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑 性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线 往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师 制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定 在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲 线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括 就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样 条函数。 三次样条函数: 定义:函数，且在每个小区间上是三次 多项式，其中是给定节点，则称是 节点上的三次样条函数。 若在节点上给定函数值，并成立 ， 则称为三次样条插值函数。 从定义知要求出，在每个小区间上要确定 4个待定系数，共有个小区间，故应确定个参数。 根据在上二阶导数连续，在节点 处应满足连续性条件 ，,  共有个条件，再加上满足插值条件 ， 共有个条件，因此还需要2个条件才能确定。 通常可在区间端点上各加一个条件 （称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。常见的有 以下三种： 1° 已知两端的一阶导数值，即 . 2° 两端的二阶导数已知，即 ， 其特殊情况 ，称为自然边界条件。 3° 当是以为周期的周期函数时，则要求 也是周期函数。这时边界条件应满足 ， ， 而此时。这样确定的样条函数，称为周期样条函数。 三转角方程: 现在构造满足条件及加上相应 边界条件的三次样条函数的表达式。 若假定在节点处的值为，则 由分段三次埃尔米特插值公式可得 ， 其中、是插值基函数。 显然，表达式中及在整个区间上连续，且 满足； 现需确定，可利用 及某一边界条件来确定。为了求出，我们考虑在 上的表达式   这里。对求二次导数得  ， 于是 . 同理，可得在区间上的表达式  ， 及 。 由条件，可得   用除全式，并注意，上面方 程可简化为   其中 ， ， 此方程是关于未知数的个方程，若加上边 界条件：,，则方程变为只含的 个方程，写成矩阵形式便是 . 如果边界条件为，则得两个方程  若边界条件为，即满足自然边界条件,则得两端 的方程为  于是，用矩阵形式表为 . 如果边界条件为周期性条件，则得到 ，  ， 化简为 . 其中  . 用矩阵形式表示为 . 上面得到的方程，每个方程都联系三个在力学上解 释为细梁在截面处的转角，故称为三转角方程。这些方 程系数矩阵对角元素均为2，非对角元素，故系 数矩阵具有强对角优势，方程组都有唯一解，可用追赶法 求得解，从而得到。 三弯矩方程: 三次样条插值函数可以有多种表达方法，有时用二阶导数值 表示使用更方便。在力学上解释为细梁在截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称三弯矩方程。 由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为 . 对积分两次并利用及，可定出积分常数，于是得    对求导得   由此可求得  类似可求出在区间上的表达式，  利用可得  其中由前面所示，而 ， 只要加上的任一种边界条件就可得到三弯矩的方程组，例如边界条件1°，则得到端点方程为  . 若边界条件为2°，则端点方程为 . 同样通过追赶法，可求出三弯矩方程的解，代入则得到三次插值样条函数。