第五章 函数逼近与计算 §1 引言与预备知识 1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n＋1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。 所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n＋1个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,,函数逼近就是从整体上使误差,尽量的小一些。 2.数学描述 “对函数类中给定的函数，要求在另一类较简单的便于计算的函数类中，求函数，使与之差在某种度量意义下最小。” 函数类通常是区间上的连续函数，记作；函数类通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。 区间上的所有实连续函数组成一个空间，记作。的范数定义为 ， 称其为—范数，它满足范数的三个性质： I），当且仅当时才有； II）对任意成立，为任意实数； III）对任意，有 III式称为三角不等式。 度量标准最常用的有两种，一种是  在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近； 另一种度量标准是 . 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近。这里符号及是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近。 3.维尔斯特拉斯定理 用一致逼近，首先要解决存在性问题，即对上的连续函数，是否存在多项式一致收敛于？维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了下面定理： 定理1 设，则对任何，总存在一个代数多项式，使  在上一致成立。 证明：略。（伯恩斯坦构造性证明） 假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换：把映射到。 对给定的，构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式: ； 其中 ，且  这不但证明了定理1，而且给出了的一个逼近多项式。多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。 §2 最佳一致逼近多项式 2-1 最佳一致逼近多项式的存在性 切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数趋于无穷，而是固定，记次数小于等于的多项式集合为，显然。记, 是上一组线性无关的函数组，是中的一组基。中的元素可表示为 ， 其中为任意实数。要在中求逼近，使其误差  这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念，先给出以下定义。 定义1 ，称  为与在上的偏差。 显然的全体组成一个集合，记为，它有下界0。若记集合的下确界为  则称之为在上最小偏差。 定义2 假定，若存在 ，， 则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。 注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。 定理2 若，则总存在，使 . 证明略。 2-2 切比雪夫定理 为研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点定义。 定义3 设，若在上有 ， 则称是的偏差点。 若，称为“正”偏差点。 若，称为“负”偏差点。 由于函数在上连续，因此，至少存在一个点，使 ， 也就是说的偏差点总是存在的。下面讨论最佳逼近多项式的偏差点性质。 定理3 若是的最佳逼近多项式，则同时存在正负偏差点。 证明: 因是的最佳逼近多项式，故。由于在上总有偏差点存在，用反证法，无妨假定只有正偏差点，没有负偏差点，于是对一切都有  因在上连续，故有最小值大于，用表示，其中。于是对一切都有 ， 故 ， 即 . 它表示多项式与的偏差小于，与是最小偏差的定义矛盾。同样可证明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的。 定理得证。 定理的证明从几何上看是十分明显的。 下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理。 定理4 是的最佳逼近多项式的充分必要条件是在上至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有个点 ，使 ， 这样的点组称为切比雪夫交错点组。 证明 只证充分性。假定在上有个点使上式成立。要证明是在上的最佳逼近多项式。用反证法，若存在 ，， 使 . 即  由于  在点上的符号与 一致，故也在个点上轮流取“”、“—”号。由连续函数性质，它在内有个零点。但因是不超过次的多项式，它的零点不超过。这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式。 充分性得证。 必要性证明较繁，但证明思想类似定理3，此处略。 定理4说明用逼近的误差曲线是均匀分布的。由这定理可得以下重要推论。 推论1 若，则在中存在唯一的最佳逼近多项式。 推论2 若，则其最佳逼近多项式就是的一个拉格朗日插值多项式。 证明 由定理4可知，在上要么恒为0，要么有个轮流取“正”、“负”的偏差点，于是存在个点 ，使。以为插值节点的拉格朗日插值多项式就是。 2-3 最佳一次逼近多项式 定理4给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难。下面先讨论的情形。假定，且在内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式。根据定理4可知至少有3个点，使  . 由于在上不变号，故单调，  在内只有一个零点，记为，于是 ，即 。 另外两个偏差点必在区间端点，即，且满足 . 由此得到  解出  代入，得  这就得到最佳一次逼近多项式。 几何意义。 例1 求在上的最佳一次逼近多项式。 解：由  可算出 ， 又由， 故， 得, . 由  得 ， 于是得的最佳一次逼近多项式为 ， 即  误差限为 . 若令,由  则可得一个求根式的公式 .