§3 函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。 若存在，使 ，  就是在上的最佳平方逼近多项式。 定义 设在区间上非负函数，满足条件： 1） 存在 ； 2） 对非负的连续函数，若 ， 则在上，就称为区间上的权函数。 对及中的一个子集，若存在，使  则称是在子集中的最佳平方逼近函数。 令,求等价于求多元函数  的最小值。为权函数。 由于是关于的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件 ，  ，  内积定义   于是有  .  这是关于的线性方程组，称为法方程，由于线性无关，故系数行列式，于是此方程组有唯一解，从而得到  定理5 在上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列式，其中   证：在上线性无关，则由方程  知  将此方程两边分别乘以之后在积分，便得到下列方程组：  即  此齐次方程组只有零解，故其系数行列式的值一定不为0，即。 反之，若，同样对可经过适当变换得到在上线性无关。 证明为最佳平方逼近函数 即对任何，有  为此只考虑     由于的系数是方程  的解，故  ， 从而上式第二个积分为0，于是  这就证明了是在中的最佳平方逼近函数。 若令，则平方误差为   由于    所以   若取，则要在中求次最佳平方逼近多项式 ， 此时   若用表示对应的矩阵，即  为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记，则  的解即为所求。 例:设，求上的一次最佳平方逼近多项式。 解:利用公式，得   得方程组 ， 解出 ， 故  平方误差   最大误差  用做基，求最佳平方逼近多项式，当较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。