§6 近似最佳一致逼近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项式（伯恩斯坦多项式） 一、截断切比雪夫级数 利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近似最佳一致逼近多项式。 如果，按展成广义富利叶级数，由正交多项式展开公式  可得 ～ 此式称为函数在上的切比雪夫级数。 由  及  得到  这里。 若令，则 ～ 就是的富利叶级数，其中  根据富利叶级数理论可知，只要在上分段连续，则 的切比雪夫级数一致收敛于，从而  取它的部分和  其误差为  由于有个轮流为‘正、负’的偏差点，所以近似地有个偏差点，由切比雪夫定理，可作为在上的近似最佳一致逼近多项式，实际计算表明它与最佳一致逼近多项式非常接近，而计算较方便。 例: 求在上的切比雪夫展开。 解 由富利叶级数系数公式得 ， 它可用后面介绍的数值积分方法计算，得到    由  及的公式得到   ， 当区间为时可用变量置换  求得近似最佳一致逼近. 例如，求在上的近似最佳一致逼近一次式，可令，对，，按切比雪夫系数求得   于是 ， 。 事实上是奇函数，当区间为时，它的切比雪夫展开也是奇函数，如可求出  ， 与最佳逼近的误差分布近似(通过计算最佳逼近偏差)。这说明用切比雪夫展开部分和逼近的效果相当好。若用台劳展开，要使误差不超过就必须取1000项，因为欲使，只有当时才成立。 用切比雪夫展开还可得到其他基本初等函数的近似最佳逼近多项式。 二、拉格朗日插值余项的极小化 基本思想：以切比雪夫多项式的零点为节点构造函数 的插值多项式，作为其最佳一致逼近多项式的近似。 由切比雪夫多项式性质2可知，若以  为插值节点作n-1次插值多项式，则  与零的偏差最小，此时插值余项    其中。 如果插值区间是，不是，可做变换，令  使在上变化，于是  它的最高项系数为，故有 ， 这时只要选插值节点 ， 相应地  这时     由此可知，用公式  做插值节点求在上的插值多项式，虽然不能作为最佳逼近多项式，但由于它的误差分布均匀，得到的插值多项式是近似最佳逼近多项式。 例: 求在上的近似最佳逼近多项式，使其误差不超过。 解 ，，故  余项  只要，就有  由公式  插值节点  可算得      计算出  插值多项式为   在处 ， ； 在处 ， ； 若用的台劳近似，则得 ，  . 误差比大200多倍，在上分布不均匀，当接近1时，增长很快。 如果在区间上求的3次插值多项式，由的4个零点  做插值点可求得 ，