第三章, 矩阵特征值和特征向量计算
但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法,
目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法,
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振
动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和
相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1, ( ),( ) de t( ) 0
()
2,( ) 0
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An
A
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A x x x A
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已知 求代数方程
的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称
为 的特征值。
设 为 的特征值，求相应的齐次方程
的非零解（即求 的非零解）,称为矩阵 对应
于 的特征向量。
§ 1,幂法和反幂法,
一、幂法
求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它
是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。
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12
12
( 0 ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 ) ( )
1
( 1 )
( 1,2,,)
( 1,2,,),,,
,( 1,2,)
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1 ( 1,2
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LL
LL
L
＋
设 阶实矩阵 的特征值 满足
且与 相应的特征向量 线性无关。
给定初始向量 由迭代公式 产
生向量序列 可以证明，当 充分大时，有
相应的特征向量为 。
为简便，不妨设
( 0 )
1
,,)
( 1,2,,),
i
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i
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L
L
。因为 线性无关，故
必存在 个不全为零的数 使得 。
( 1 ) ( ) 1 ( 0 ) 1 1
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1 1 1 2 2
11
1
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1
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[ ( ) ( ) ]
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1
( 1 )
( 1 ) 1 ( )
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()
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ii
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L
故只要 充分大，就有
因此，可把 作为与 相应的特征向量的近似。
由
为 的第 个分量。
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1
( 0 )
1
()
1
()
11
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,
2
k
kk
A
x
xu
x
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按上面式子计算矩阵 按模最大的特征值与相应的
特征向量的方法称为幂法。幂法的收敛速度依赖于比值
，比值越小，收敛越快。
两点说明：
）如果 的选取恰恰使得 幂法计算仍能进行。
因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然
会产生一个向量 它在 方向上的分量不为零，这样，
以后的计算就满足所设条件。
）因
11
1
,( 1 )
0( 1 )
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计算过程中可能会出现溢出
或成为 的情形。解决方法：每次迭代所求的向量
都要归一化。因此，幂法实际使用的计算公式是
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( 1 ) ( )
( 1 )
1
m a x ( 0,1,2,)
k k k k k
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kk
k
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x Ay
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k
r x x x
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y x Ay x
x
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L
算法：
输入 初始向量 误差限,最大迭代次数 。
置
求整数,使,
计算 置
若 输出 停机；否则，转
若 置 转 ；否则，输出失败信息，停机。
( 0 ) 3
( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 0 )
( 1 )
( 1 )
( 2 ) ( 1 )
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),1 0,
( 0,0,1 ),
( 0,1,2),2,
( 0,0,5,1 ),
( 0.5,2,2.5 ),
T
T
T
T
T
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x Ay
x
y
x Ay
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例：用幂法求矩阵 的按模
最大的特征值和相应的特征向量。
取
解：
2,5,
LL
( 8 ) ( 7 )
( 8 )
( 9 ) ( 8 )
3
1
( 2.76 509 48,2.99 818 48,2.99 909 24)
2.99909 24
( 0.92 197 72,0.99 969 73,1 )
( 2.84 365 17,2.99 939 46,2.99 969 73 ),
2.99 969 73 2.99 909 24 0.00 060 49 10,
2.9996973,
x Ay
y
x Ay
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由
故 相应特
1 2 3
1
2
1
( 2.84 365 17,2.99 939 46,2.99 969 73 )
3,2,1
1 - 1,1
2
,
3
T
u
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征向量为
。
事实上,的特征值,
与 对应的特征向量为（,）。
此例中比值为
两种特殊情况
12
1 2 1
1 1 2
( 1 ) 1
1 1 1
111
11
11
,
1,
[
( ) ( ) ]
m m n
m
kk
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LL
L
L
L
前面假定 如果按模最大的特征值有多个，
即
幂法是否有效？
（ ） 是 重根，即 矩阵 仍有 个
线性无关的特征向量。此时有
显然
1
( 1 ) 1
1 1 1
,,
( )
m
kk
mm
k
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L
L
，只要 不全为零，当 充分大时，就有
1 1 1
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2
1 1 1
,,,,
()
( )
mm
m m m m m
m m m m m
mm
mm
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A u u A u u A u u
A u u u u u u
u u u
u u A
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L
L
LL
L
L
也是矩阵 相应于 的特征向量
因 也是矩阵 相应于 的特征向量，故有
( 1 )
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( 1 )
k
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i
k
x
x
x
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为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效。
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1 2 1 3
( 1 ) 1 1 1 13
1 1 1 2 2 3 3
11
( 1 )
( 2 1 ) 2 1 ( 2 ) 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
( 2 )
(
2
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[ ( 1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
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k
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L
（ ） 且矩阵 有 个线性无关的特征向量。
由上式可知,是个摆动序列，当 充分大时，有
2 ) ( )
( 1 ) 1 1
1 1 1 2 2
()
1 1 1 2 2
( 1 ) ( ) 1
1 1 1 1
( 1 ) ( ) 1 1
1 1 2 2
/
[ ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ]
2
2 ( 1 )
k
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k k k
k k k
k k k k
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x u u
x x u
x x u
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又由
故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列。
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1 2 1
( 1 ) ( )
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L
LL
综上可知，当 的特征值分布为
或 时，用幂法可以
计算出 及相应的特征向量。如果按 迭代
所得向量序列 呈有规律的摆动，则可能为
的情况。否则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵
无 个线性无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考
虑改用其他方法。
幂法计算简便易行，它是求大型稀疏矩阵按模 最
大特征值的常用方法。
幂法小结
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当
比值接近于 1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种。 21??／
0
00
( 1 ) ( )
0
( 1 ) ( )
0
( 1 ) 1 12 0 0
1 0 1 1 2 2
1 0 1 0
0
( )
( ) [ ( ) ( ) ]
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L
（一）原点移位法
矩阵 与 的特征值有以下关系：若 是 的特征值，
则 就是 的特征值，而且相应的特征向量不变。
如果对矩阵 按 计算，则有
适当地选取,
1 0 0
0 2
1 0 1
( 2,3,)
i
i
in
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L
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1 2 3 0 2
0 2 0 1 0
1
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2
( 2,3,
n n n
i
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L
L
L
这样，用幂法计算 的最大模特征值 及相应
特征向量的收敛速度比对 用幂法计算要快。这种加速
收敛的方法称为原点移位法。
原点移位法使用简便，但 选取困难。在一些简单
情形,可估。如当矩阵 的特征值满足
（或 时，取
则有
2 0 2 2 2 2
1 0 1 2 1 1 2 1 1
1
,)
2
n n n
n n n
n
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且
因此，用原点移位法求 可使收敛速度加快。
0
( 0 ) ( 1 ) ( )
0
0
( 4 )
4 14 0
5 13 0 2.9,
1 0 2.8
( 1,1,1 ),( )
6.9 14 0
5 10.1 0
1 0 0.1
( 3.1 000 568,2.2 143 26,0.9 68
T k k
A
A
x x A I x
AI
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-4
例：,用原点移位法求矩
阵 的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。
解：取 按 进行计算
4
( 5 )
5
4
54
766 1 ) 3.1 000 568
( 3.0 999 984,2.2 142 846,0.9 687 501 ) 3.0 999 984
0.0000584 10
x
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1
1 2 3
21
20
10
3,0 9 9 9 9 8 4 2,9 5,9 9 9 9 9 8 4
( 3,0 9 9 9 9 8 4,2,2 1 4 2 8 4 6,0,9 6 8 7 5 0 1 ),
6,3,2,8,
1
,
2
0,1 1
3,1 3 1
T
A
x
A
A
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所以，矩阵 的按模最大的特征值为
相应的特征向量为
不难求出,的特征值为
若对 直接用幂法，则比值 ／ 而用原点移
位法，则有
因此收敛速度明显加 快。
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$
$
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1
21
1
22
2 1 1
2 1 2 1
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k
k
k
k
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kk
k k k k k
k
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k
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（二）、幂法的埃特肯(Aitken)加速
如果序列 线性收敛到,即
则当 充分大时，有
序列 比 更快地收敛到,这就是
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k
en
a
加速法。
将这一方法用于幂法所产生的序列,可加快幂法
的收敛速度。
1
0 1 0
1
2
2
10
0
2 1 0
0
1 0 2 1
1,( ),(,,),
2, 1,0,0,1
3,m a x
4,
()
5,
2
6.,,,7
7,,,,
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L
算法：
输入 初始向量 误差限,最大迭代次数 。
置
求整数,使,
计算 置
计算
若 输出 停机；否则，转
若置
0
,1,3kk? ?? 转；
否则，输出失败信息，停机。
( 也可采用幂法迭代两步或三步，加速一次的方法）
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量
的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效
的方法。
11
1
1
1
,
1
A n n u A
Au u u A u A u u
AA
A
AA
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设 为 阶非奇异矩阵,为 的特征值与相应
的特征向量，即
此式表明,的特征值是 的特征值的倒数，而相应
的特征向量不变。因此，若对矩阵 用幂法，即可计
算出 的按模最大的特征值，其倒数恰为 的按模最
小的特征值。这就是反幂法的基本思想。
1
( 1 ) ( )
( 1 ) 1 ( )
( 1 )
kk
kk
k
AA
A x x
x A x
x
A
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?
??
?
?
＋
因为 的计算比较麻烦，而且往往不能保持矩阵 的一
些好性质（如稀疏性），因此，反幂法在实际运算时以求解
方程组
代替幂法迭代
求得,每迭代一次要解一个线性方程组。由于矩阵在迭
代过程中不变，故可对 先进行三角分解，每次迭代只要解两
个三角形方程组。
反幂法计算的主要步
()
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( 1 )
1.
2, m a x,,
3,
k
k k k k
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A A LU
x
r x x x y
Lz y U x z
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骤：
对 进行三角分解
求整数,使得 计算
解方程组
**
**
**
**
**
0< ( )
( )
ii
ii
A
AI
AI
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用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求
相应的特征向量是非常有效的。
设已知 的一个特征值 的近似值为,因
接近,一般有
故 是矩阵 的按模最小的特征值，且由
上式可知，比值 ／ 较小。因
此，对 用反幂法求 一般收敛很快，通
常 只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。
反幂法的一个应用
*
1
*
1
*
1,( ),(,,),
2, 1,1
3,( )
m a x
5,
1 1 1
6.,,,7
7,,1
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L
算法：
输入 近似值,初始向量 误差限,
最大迭代次数 。
置
作三角分解
4,求整数,使,
计算 置
若 则置,输 出 停机；否则，转
若置,,4ku ??? 转；
否则，输出失败信息，停机。
( 0 )
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),
2,93
0,93 1 0
2.93 0 0.93 1
0 1 0,93
1 0 0
0 1 0
0 1 / 0,93 1
T
AA
x
AI
AI
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例：,用反幂法求矩阵 接近2,93 的特征值，
并求相应的特征向量，取
解：对 作三角分解得
4
0,93 1 0
0 0,93 1
0 0 0,93 1 / 0,93
3 3,00 00 95 4,3 10
( 1,0,99 92 43 1,0,99 91 47 8 ) ( 1,- 1,1 ) 0,00 1.
TT
u
r
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??
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? ? ???
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－
按算法迭代 次,与准确值 的误差小于,
与准确值 比较，残差
§ 2.Jacobi方法
12
Ja c ob i
,:
( 1),
,(,,,) ( 1,2,
,),
2 ( ),
T
ni
ij n n
T
A
Q Q A Q diag i
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Aa
Q B Q A Q
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L
L
方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应特征向量
的一种方法 它基于以下两个结论
任意实对称矩阵 可通过正交相似变换化成对角阵 即存在
正交矩阵 使得 其中
是 的特征值 中各列即为相应的特征向量。
（ ）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。设
为正交矩阵，记
22
,1,1
( ),
,
,
nn
ij n n ij ij
i j i j
b a b
J ac ob i A
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?
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则
方法的基本思想是通过一次正交变换将 中一对非零
的非对角元素化成零并且使得非对角元素的平方和减少。反复
进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，
从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
一、矩阵的旋转变换
1
1
c os si n
1
()
1
si n c os
1
1
ij
An
V
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O
O
O
设 为 阶实对称矩阵，考虑矩阵
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) 2 2
( 1 ) 2 2
( 1 ) ( 1 )
(1
( ) ( )
c os si n si n 2
si n c os si n 2
c os si n (,)
T
ij ij ij ij
ii ii jj ij
jj ii jj ij
ik k i ik jk
jk
V A V A V a
a a a a
a a a a
a a a a k i j
a
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? ? ?
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??
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? ? ?
? ? ? ?
是正交矩阵，若记
则有
) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
si n c os
(,,)
1
( ) si n 2 c os 2
2
0,2 2 / ( )
k j ik jk
k l lk k l
ij ji jj ii ij
ij ij ii jj
a a a
a a a k l i j
a a a a a
a t g a a a
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? ? ?如果 取 使得
( 1 ) ( 1 )
( / 4)
0,
.
ij ji ij ji
a a A a a
?? ?
? ? ?
则有
得到一个使 中非零的非对角元素 变
成零的正交相似变换
? ?
( 1 ) ( 2 ) ( )
( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
,
( ),( ) ( )
(,,) c os si n
k
k l k l
k l k l
k l k l ik k i ik jk
jk k
A A A
A A E A a E A a
a a k l i j a a a a
aa
??
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??
? ? ? ? ?
?
??
L对 重复上述过程 得到一个矩阵序列 。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的
个数单调增加，但可保证非对角元的平方和递减。
以 与 为例：设
由
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
,,
2 2 2
2
,,
si n c os (,)
( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ]
2 ( ) ( ) 2 ( )
j ik jk
k l ik jk
k l i j k i j
k l ik jk ij
k l i j k i j
a a k i j
E A a a a
a a a E A a E A
??
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? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
上式表明，在上述旋转变换下，非对角元的平方和严格单调递减
，因而对角元的平 方和单调递增。正利用这点，导出了Jac obi 方法。
二,Jacobi方法
( 1 )
()
()
( ) ( )
1,,
(
,
,
0,
2.,,m a x
3.
2
k
k
ij
k
kk
ij lm
l m n l m
ii
A A A
J ac obi A
a
J ac obi
k A A
i j a a
a
a c t g ?
?
? ? ?
??
?
??
通过一系列旋转相似变换将 变成 求得 的全部特征值
与特征向量的方法称为 方法。如果在对 作相似变换的
过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 以此确定旋
转矩阵，这种方法称为古典 方法。其计算过程如下：
1,令
求整数 使得
计算旋转矩阵
) ( )
2
()
()
2
,( ) ( 1 ),
2
1
c os,si n,( )
1
kk
jj
k
ij
k
ij
a
b t g si gn a a a
a
c d bc V V
b
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? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
( 1 )
( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( )
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
4.
2,2,
,,
( 1,2,,,,)
k
k k k k k k k k
ii ii jj ij jj ii jj ij
k k k k k k k k
il li il jl jl lj il jl
kk
lm m l
A
a c a d a c d a a d a c a c d a
a a c a d a a a d a c a
l n l i j
aaa
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??
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??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
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??
L
计算
()
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2
(,1,2,,,,,)
0
5, ( ) ( )
k
lm
kk
ij ji
kk
lm
l m n l m i j
aa
E A a
??
??
??
??
?
L
置
计算
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )
1 1 2 2
()
6, ( ),,,,
12
lm
k k k k
nn
n
E A a a a Q V V
V k k
A
?
?
? ? ? ?
??
??
?
L
L
若 则 为特征值，
的各列为相应特征向量；否则,返回,重复
上述过程。
一般地，古典J a c o b i 法不能在有限步内将 化成对角阵，
但有以下收敛性结果。
? ?
( ) ( 0 ) ( )
( ) ( )
( ) 2 ( )
( 1 )
( 1 ) ( ) ( )
,,l im ( ) 0,
m a x
1
( ) ( )
( 1 )
( ) ( ) 2(
kk
k
kk
ij lm
lm
kk
ij
k
k k k
ij
A n A J ac ob i
A A A E A J ac ob i
J ac ob i a a
a E A
nn
A
E A E A a
??
?
?
??
?
?
?
??
＋
定理：设 为 阶实对称阵，对 用古典 法得到序列
其中 则 即古典 法收敛。
证：由古典 法计算过程
故有
又由计算 的公式可得
2
( 1 ) ( ) 1
()
),
22
( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ] ( )
( 1 ) ( 1 )
22
1 1,l im ( ) l im [ 1 ] ( ) 0
( 1 ) ( 1 )
k k k
kk
kk
E A E A E A
n n n n
E A E A
n n n n
??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
因
J a c o b i
J a c o b i
J a c o b i
定理表明，古典 法是收敛的，进一步
分析还可得出 法收敛较快。另外，这种
方法对舍入误差有较强的稳定性，因而解的精
度高，且所求得的特征向量正交性很好。
它的不足之处是运算量大，且不能保持矩
阵的特殊形状（如稀疏性），因此 法是求
中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向
量的较好方法。
( ) ( )
()
( 0 )
12
2 1 0
1 2 1
0 1 2
1,2,2 0,
2
1
,c o s sin,
4 2
11
0
22
11
( ) 0
22
0 0 1
kk
ii jj
k
ij
AA
aa
i j c tg
a
VV
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??
? ? ?
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??
??
??
??
例,用J a c o b i 方法求 的特征值。
解：首先取 因 故有
于是
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1 1 1 1
00
2 2 2 2
2 1 0
1 1 1 1
0 1 2 1 0
2 2 2 2
0 1 2
0 0 1 0 0 1
1
10
2
1
03
2
11
2
22
T
A V A V?
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? ? ? ???
? ? ? ??? ?
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? ? ? ?
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?
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??
??
??
??
??
??
??
??
??
( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1,3,2 2,c os 0.8 88 07,si n 0.4 59 70
0.8 88 07 0 0.4 59 70
0 1 0
0.4 59 70 0 0.8 88 07
0.6 33 97 0.3 25 06 0
0.3 25 06 3 0.6 27 96
0 0.6 27 96 2.3 66 03
2,3,
T
i j tg
V
A V A V
ij
? ? ?? ? ? ? ?
??
??
?
??
???
??
???
??
? ? ? ?
??
??
??
??
再取
－
下面应取 重复上述
( 5 )
( 5 ) 2 2
.,
0.5 85 79 0.0 02 03 83 0
0.0 02 03 83 3.4 14 01 0.0 16 75 8
0 0.0 16 75 8 2.0 00 20
( ) 2 ( 0.0 02 03 83 0.0 16 75 8 ) 0.0 00 56 99 7
A
EA
??
??
?
??
??
??
? ? ? ?
过程如此继续下去可得
1 2 3
1 2 3
3.41401,2.00020,0.58579
2 2 3.41 421 36,2,2 2 0.58 578 64
0.0002036
, { },0( ),
,,,
( ),,
kk
k ij k
ij ij ji
A
k
a
V a a
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? ? ?
??
??
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
所以 的特征值为
准确值
最大误差为
古典Jac obi 法的改进取定正序列
以 为限 逐行检查非对角元 若 就跳过 否则以
消去元 和 反复进行上述过程 直到
+1
,,1
kk
k
k
A
??
?
?
所有非对角
元的绝对值均小于 再以 为限 进行第 轮循环消
元。当 充分小时，所得到的矩阵的对角元即为 的全
部特征值。
但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法,
目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法,
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振
动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和
相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1, ( ),( ) de t( ) 0
()
2,( ) 0
ij n n
A a I A
An
A
A I A x
A x x x A
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?
?
?
? ? ? ?
??
?
已知 求代数方程
的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称
为 的特征值。
设 为 的特征值，求相应的齐次方程
的非零解（即求 的非零解）,称为矩阵 对应
于 的特征向量。
§ 1,幂法和反幂法,
一、幂法
求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它
是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。
? ?
12
12
( 0 ) ( 1 ) ( )
( ) ( 1 ) ( )
1
( 1 )
( 1,2,,)
( 1,2,,),,,
,( 1,2,)
,/,
1 ( 1,2
i
n i n
kk
k k k
ii
k
i
n n A i n
i n u u u
x x Ax k
x k x x
x
ui
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?
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?
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??
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LL
LL
L
＋
设 阶实矩阵 的特征值 满足
且与 相应的特征向量 线性无关。
给定初始向量 由迭代公式 产
生向量序列 可以证明，当 充分大时，有
相应的特征向量为 。
为简便，不妨设
( 0 )
1
,,)
( 1,2,,),
i
n
i i i
i
nu
n i n x u??
?
?? ?
L
L
。因为 线性无关，故
必存在 个不全为零的数 使得 。
( 1 ) ( ) 1 ( 0 ) 1 1
11
( 1 ) 1 1 12
1 1 1 2 2
11
1
11
1
( )
,)
[ ( ) ( ) ]
0,( 2,3,,) l im ( )
l im
nn
k k k k k
i i i i i
ii
kk
k k k kn
nn
ki
i i i
k
k
x Ax A x A u u
Au u A u AA Au A Au u
x u u u
i n u
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?
??
L L L
L
L
由
（
设 由 得
1
2
1
( 1 ) 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
1
( 1 )
1
( 1 )
( 1 ) 1 ( )
1 1 1 1 1 1 1 ()
()
()
()
[ ( ) ]
,( 1,2,)
n
ki
ii
i
n
k k k ki
ii
i
k
k
k k k k i
k
i
k
k
i
u
k x u u u
x
x
x u x u i n
x
x x i
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?
?
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?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
L
故只要 充分大，就有
因此，可把 作为与 相应的特征向量的近似。
由
为 的第 个分量。
2
1
( 0 )
1
()
1
()
11
1 0,
,
2
k
kk
A
x
xu
x
?
?
?
??
?
?
按上面式子计算矩阵 按模最大的特征值与相应的
特征向量的方法称为幂法。幂法的收敛速度依赖于比值
，比值越小，收敛越快。
两点说明：
）如果 的选取恰恰使得 幂法计算仍能进行。
因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然
会产生一个向量 它在 方向上的分量不为零，这样，
以后的计算就满足所设条件。
）因
11
1
,( 1 )
0( 1 )
u ?
?
?
?
计算过程中可能会出现溢出
或成为 的情形。解决方法：每次迭代所求的向量
都要归一化。因此，幂法实际使用的计算公式是
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( 1 ) ( )
( 1 )
1
m a x ( 0,1,2,)
k k k k k
r r i
in
kk
k
r
y x x x x k
x Ay
x?
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L／
1
1
1,( ),(,,),
2, 1,0
3,m a x
4,
5.,,,6
6,,1,,3
ij n
r i r
in
r
A a x x x N
k
r x x x
x
y x Ay x
x
k N k k
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??
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??
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L
算法：
输入 初始向量 误差限,最大迭代次数 。
置
求整数,使,
计算 置
若 输出 停机；否则，转
若 置 转 ；否则，输出失败信息，停机。
( 0 ) 3
( 0 ) ( 0 )
( 1 ) ( 0 )
( 1 )
( 1 )
( 2 ) ( 1 )
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),1 0,
( 0,0,1 ),
( 0,1,2),2,
( 0,0,5,1 ),
( 0.5,2,2.5 ),
T
T
T
T
T
A
x
yx
x Ay
x
y
x Ay
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???
??
??
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?? ?
??
??
??
? ? ? ? ?
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?
? ? ? ? ?
例：用幂法求矩阵 的按模
最大的特征值和相应的特征向量。
取
解：
2,5,
LL
( 8 ) ( 7 )
( 8 )
( 9 ) ( 8 )
3
1
( 2.76 509 48,2.99 818 48,2.99 909 24)
2.99909 24
( 0.92 197 72,0.99 969 73,1 )
( 2.84 365 17,2.99 939 46,2.99 969 73 ),
2.99 969 73 2.99 909 24 0.00 060 49 10,
2.9996973,
x Ay
y
x Ay
?
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??
? ? ?
? ? ?
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由
故 相应特
1 2 3
1
2
1
( 2.84 365 17,2.99 939 46,2.99 969 73 )
3,2,1
1 - 1,1
2
,
3
T
u
A ? ? ?
?
?
?
??
? ? ?
?
征向量为
。
事实上,的特征值,
与 对应的特征向量为（,）。
此例中比值为
两种特殊情况
12
1 2 1
1 1 2
( 1 ) 1
1 1 1
111
11
11
,
1,
[
( ) ( ) ]
m m n
m
kk
mm
kkmn
m m n n
m A n
x u u
uu
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???
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LL
L
L
L
前面假定 如果按模最大的特征值有多个，
即
幂法是否有效？
（ ） 是 重根，即 矩阵 仍有 个
线性无关的特征向量。此时有
显然
1
( 1 ) 1
1 1 1
,,
( )
m
kk
mm
k
x u u
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? ? ?
??
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L
L
，只要 不全为零，当 充分大时，就有
1 1 1
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2
1 1 1
,,,,
()
( )
mm
m m m m m
m m m m m
mm
mm
u u A
A u u A u u A u u
A u u u u u u
u u u
u u A
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??
L
L
LL
L
L
也是矩阵 相应于 的特征向量
因 也是矩阵 相应于 的特征向量，故有
( 1 )
12 ()
( 1 )
k
i
m k
i
k
x
x
x
? ? ?
?
?
? ? ? ?L
为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效。
? ?
1 2 1 3
( 1 ) 1 1 1 13
1 1 1 2 2 3 3
11
( 1 )
( 2 1 ) 2 1 ( 2 ) 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
( 2 )
(
2
1 1,2()
2,,
[ ( 1 ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
k k k k kn
nn
k
k k k k
k
k
i
ik
i
An
x u u u u
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L
（ ） 且矩阵 有 个线性无关的特征向量。
由上式可知,是个摆动序列，当 充分大时，有
2 ) ( )
( 1 ) 1 1
1 1 1 2 2
()
1 1 1 2 2
( 1 ) ( ) 1
1 1 1 1
( 1 ) ( ) 1 1
1 1 2 2
/
[ ( 1 ) ]
[ ( 1 ) ]
2
2 ( 1 )
k
i
k k k
k k k
k k k
k k k k
x
x u u
x u u
x x u
x x u
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? ? ?
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?
?
? ? ?
?
又由
故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列。
? ?
12
1 2 1
( 1 ) ( )
1
()
12
n
m m n
kk
k
A
x Ax
x
An
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L
LL
综上可知，当 的特征值分布为
或 时，用幂法可以
计算出 及相应的特征向量。如果按 迭代
所得向量序列 呈有规律的摆动，则可能为
的情况。否则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵
无 个线性无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考
虑改用其他方法。
幂法计算简便易行，它是求大型稀疏矩阵按模 最
大特征值的常用方法。
幂法小结
二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当
比值接近于 1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种。 21??／
0
00
( 1 ) ( )
0
( 1 ) ( )
0
( 1 ) 1 12 0 0
1 0 1 1 2 2
1 0 1 0
0
( )
( ) [ ( ) ( ) ]
i
i
kk
kk
k k kn
nn
A A I A
AI
A I x A x
x A I x
u u u
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?
?
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??
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??
??
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??
L
（一）原点移位法
矩阵 与 的特征值有以下关系：若 是 的特征值，
则 就是 的特征值，而且相应的特征向量不变。
如果对矩阵 按 计算，则有
适当地选取,
1 0 0
0 2
1 0 1
( 2,3,)
i
i
in
? ? ? ?
?? ?
? ? ?
? ? ?
?
??
?
L
使得 且
0 1 0
0
0 1 2 3
1 2 3 0 2
0 2 0 1 0
1
0 0) ( ),
2
( 2,3,
n n n
i
AI
A
A
i
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L
L
L
这样，用幂法计算 的最大模特征值 及相应
特征向量的收敛速度比对 用幂法计算要快。这种加速
收敛的方法称为原点移位法。
原点移位法使用简便，但 选取困难。在一些简单
情形,可估。如当矩阵 的特征值满足
（或 时，取
则有
2 0 2 2 2 2
1 0 1 2 1 1 2 1 1
1
,)
2
n n n
n n n
n
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
且
因此，用原点移位法求 可使收敛速度加快。
0
( 0 ) ( 1 ) ( )
0
0
( 4 )
4 14 0
5 13 0 2.9,
1 0 2.8
( 1,1,1 ),( )
6.9 14 0
5 10.1 0
1 0 0.1
( 3.1 000 568,2.2 143 26,0.9 68
T k k
A
A
x x A I x
AI
x
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-4
例：,用原点移位法求矩
阵 的按模最大的特征值，要求误差不超过10 。
解：取 按 进行计算
4
( 5 )
5
4
54
766 1 ) 3.1 000 568
( 3.0 999 984,2.2 142 846,0.9 687 501 ) 3.0 999 984
0.0000584 10
x
?
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??
?
?
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1
1 2 3
21
20
10
3,0 9 9 9 9 8 4 2,9 5,9 9 9 9 9 8 4
( 3,0 9 9 9 9 8 4,2,2 1 4 2 8 4 6,0,9 6 8 7 5 0 1 ),
6,3,2,8,
1
,
2
0,1 1
3,1 3 1
T
A
x
A
A
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?
所以，矩阵 的按模最大的特征值为
相应的特征向量为
不难求出,的特征值为
若对 直接用幂法，则比值 ／ 而用原点移
位法，则有
因此收敛速度明显加 快。
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$
$
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1
21
1
22
2 1 1
2 1 2 1
l i m 0
()
22
k
k
k
k
kk
kk
k k k k k
k
k
k k k k k k
k
k
aa
aa
c
aa
a a a a
k
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a Ai t k
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（二）、幂法的埃特肯(Aitken)加速
如果序列 线性收敛到,即
则当 充分大时，有
序列 比 更快地收敛到,这就是
? ?
k
en
a
加速法。
将这一方法用于幂法所产生的序列,可加快幂法
的收敛速度。
1
0 1 0
1
2
2
10
0
2 1 0
0
1 0 2 1
1,( ),(,,),
2, 1,0,0,1
3,m a x
4,
()
5,
2
6.,,,7
7,,,,
ij n
r i r
in
r
A a x x x N
k
r x x x
x
y x Ay x
x
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L
算法：
输入 初始向量 误差限,最大迭代次数 。
置
求整数,使,
计算 置
计算
若 输出 停机；否则，转
若置
0
,1,3kk? ?? 转；
否则，输出失败信息，停机。
( 也可采用幂法迭代两步或三步，加速一次的方法）
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量
的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效
的方法。
11
1
1
1
,
1
A n n u A
Au u u A u A u u
AA
A
AA
?
??
?
??
?
?
?
?
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设 为 阶非奇异矩阵,为 的特征值与相应
的特征向量，即
此式表明,的特征值是 的特征值的倒数，而相应
的特征向量不变。因此，若对矩阵 用幂法，即可计
算出 的按模最大的特征值，其倒数恰为 的按模最
小的特征值。这就是反幂法的基本思想。
1
( 1 ) ( )
( 1 ) 1 ( )
( 1 )
kk
kk
k
AA
A x x
x A x
x
A
?
?
??
?
?
＋
因为 的计算比较麻烦，而且往往不能保持矩阵 的一
些好性质（如稀疏性），因此，反幂法在实际运算时以求解
方程组
代替幂法迭代
求得,每迭代一次要解一个线性方程组。由于矩阵在迭
代过程中不变，故可对 先进行三角分解，每次迭代只要解两
个三角形方程组。
反幂法计算的主要步
()
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( 1 )
1.
2, m a x,,
3,
k
k k k k
r i r
in
kk
A A LU
x
r x x x y
Lz y U x z
?
?
??
?
?
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骤：
对 进行三角分解
求整数,使得 计算
解方程组
**
**
**
**
**
0< ( )
( )
ii
ii
A
AI
AI
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用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求
相应的特征向量是非常有效的。
设已知 的一个特征值 的近似值为,因
接近,一般有
故 是矩阵 的按模最小的特征值，且由
上式可知，比值 ／ 较小。因
此，对 用反幂法求 一般收敛很快，通
常 只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。
反幂法的一个应用
*
1
*
1
*
1,( ),(,,),
2, 1,1
3,( )
m a x
5,
1 1 1
6.,,,7
7,,1
ij n
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in
r
A a x x x
N
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A I L U
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x
y L z y Ux z x
x
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L
算法：
输入 近似值,初始向量 误差限,
最大迭代次数 。
置
作三角分解
4,求整数,使,
计算 置
若 则置,输 出 停机；否则，转
若置,,4ku ??? 转；
否则，输出失败信息，停机。
( 0 )
2 1 0
0 2 1
0 1 2
( 0,0,1 ),
2,93
0,93 1 0
2.93 0 0.93 1
0 1 0,93
1 0 0
0 1 0
0 1 / 0,93 1
T
AA
x
AI
AI
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例：,用反幂法求矩阵 接近2,93 的特征值，
并求相应的特征向量，取
解：对 作三角分解得
4
0,93 1 0
0 0,93 1
0 0 0,93 1 / 0,93
3 3,00 00 95 4,3 10
( 1,0,99 92 43 1,0,99 91 47 8 ) ( 1,- 1,1 ) 0,00 1.
TT
u
r
?
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??
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? ? ???
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??
－
按算法迭代 次,与准确值 的误差小于,
与准确值 比较，残差
§ 2.Jacobi方法
12
Ja c ob i
,:
( 1),
,(,,,) ( 1,2,
,),
2 ( ),
T
ni
ij n n
T
A
Q Q A Q diag i
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Aa
Q B Q A Q
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?
??
L
L
方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应特征向量
的一种方法 它基于以下两个结论
任意实对称矩阵 可通过正交相似变换化成对角阵 即存在
正交矩阵 使得 其中
是 的特征值 中各列即为相应的特征向量。
（ ）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。设
为正交矩阵，记
22
,1,1
( ),
,
,
nn
ij n n ij ij
i j i j
b a b
J ac ob i A
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??
?
??
则
方法的基本思想是通过一次正交变换将 中一对非零
的非对角元素化成零并且使得非对角元素的平方和减少。反复
进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，
从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。
一、矩阵的旋转变换
1
1
c os si n
1
()
1
si n c os
1
1
ij
An
V
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O
O
O
设 为 阶实对称矩阵，考虑矩阵
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) 2 2
( 1 ) 2 2
( 1 ) ( 1 )
(1
( ) ( )
c os si n si n 2
si n c os si n 2
c os si n (,)
T
ij ij ij ij
ii ii jj ij
jj ii jj ij
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jk
V A V A V a
a a a a
a a a a
a a a a k i j
a
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? ? ?
? ? ? ?
是正交矩阵，若记
则有
) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
si n c os
(,,)
1
( ) si n 2 c os 2
2
0,2 2 / ( )
k j ik jk
k l lk k l
ij ji jj ii ij
ij ij ii jj
a a a
a a a k l i j
a a a a a
a t g a a a
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?
?
? ? ?如果 取 使得
( 1 ) ( 1 )
( / 4)
0,
.
ij ji ij ji
a a A a a
?? ?
? ? ?
则有
得到一个使 中非零的非对角元素 变
成零的正交相似变换
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( 1 ) ( 2 ) ( )
( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )
,
( ),( ) ( )
(,,) c os si n
k
k l k l
k l k l
k l k l ik k i ik jk
jk k
A A A
A A E A a E A a
a a k l i j a a a a
aa
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??
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?
??
L对 重复上述过程 得到一个矩阵序列 。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零元素的
个数单调增加，但可保证非对角元的平方和递减。
以 与 为例：设
由
( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
,,
2 2 2
2
,,
si n c os (,)
( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ]
2 ( ) ( ) 2 ( )
j ik jk
k l ik jk
k l i j k i j
k l ik jk ij
k l i j k i j
a a k i j
E A a a a
a a a E A a E A
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??
??
上式表明，在上述旋转变换下，非对角元的平方和严格单调递减
，因而对角元的平 方和单调递增。正利用这点，导出了Jac obi 方法。
二,Jacobi方法
( 1 )
()
()
( ) ( )
1,,
(
,
,
0,
2.,,m a x
3.
2
k
k
ij
k
kk
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l m n l m
ii
A A A
J ac obi A
a
J ac obi
k A A
i j a a
a
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通过一系列旋转相似变换将 变成 求得 的全部特征值
与特征向量的方法称为 方法。如果在对 作相似变换的
过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 以此确定旋
转矩阵，这种方法称为古典 方法。其计算过程如下：
1,令
求整数 使得
计算旋转矩阵
) ( )
2
()
()
2
,( ) ( 1 ),
2
1
c os,si n,( )
1
kk
jj
k
ij
k
ij
a
b t g si gn a a a
a
c d bc V V
b
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?
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? ? ? ? ?
?
( 1 )
( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ( )
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
4.
2,2,
,,
( 1,2,,,,)
k
k k k k k k k k
ii ii jj ij jj ii jj ij
k k k k k k k k
il li il jl jl lj il jl
kk
lm m l
A
a c a d a c d a a d a c a c d a
a a c a d a a a d a c a
l n l i j
aaa
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L
计算
()
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 2
(,1,2,,,,,)
0
5, ( ) ( )
k
lm
kk
ij ji
kk
lm
l m n l m i j
aa
E A a
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??
?
L
置
计算
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )
1 1 2 2
()
6, ( ),,,,
12
lm
k k k k
nn
n
E A a a a Q V V
V k k
A
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??
?
L
L
若 则 为特征值，
的各列为相应特征向量；否则,返回,重复
上述过程。
一般地，古典J a c o b i 法不能在有限步内将 化成对角阵，
但有以下收敛性结果。
? ?
( ) ( 0 ) ( )
( ) ( )
( ) 2 ( )
( 1 )
( 1 ) ( ) ( )
,,l im ( ) 0,
m a x
1
( ) ( )
( 1 )
( ) ( ) 2(
kk
k
kk
ij lm
lm
kk
ij
k
k k k
ij
A n A J ac ob i
A A A E A J ac ob i
J ac ob i a a
a E A
nn
A
E A E A a
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?
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?
?
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??
＋
定理：设 为 阶实对称阵，对 用古典 法得到序列
其中 则 即古典 法收敛。
证：由古典 法计算过程
故有
又由计算 的公式可得
2
( 1 ) ( ) 1
()
),
22
( ) [ 1 ] ( ) [ 1 ] ( )
( 1 ) ( 1 )
22
1 1,l im ( ) l im [ 1 ] ( ) 0
( 1 ) ( 1 )
k k k
kk
kk
E A E A E A
n n n n
E A E A
n n n n
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?
? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
??
因
J a c o b i
J a c o b i
J a c o b i
定理表明，古典 法是收敛的，进一步
分析还可得出 法收敛较快。另外，这种
方法对舍入误差有较强的稳定性，因而解的精
度高，且所求得的特征向量正交性很好。
它的不足之处是运算量大，且不能保持矩
阵的特殊形状（如稀疏性），因此 法是求
中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向
量的较好方法。
( ) ( )
()
( 0 )
12
2 1 0
1 2 1
0 1 2
1,2,2 0,
2
1
,c o s sin,
4 2
11
0
22
11
( ) 0
22
0 0 1
kk
ii jj
k
ij
AA
aa
i j c tg
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例,用J a c o b i 方法求 的特征值。
解：首先取 因 故有
于是
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1 1 1 1
00
2 2 2 2
2 1 0
1 1 1 1
0 1 2 1 0
2 2 2 2
0 1 2
0 0 1 0 0 1
1
10
2
1
03
2
11
2
22
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? ? ? ???
? ? ? ??? ?
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??
??
??
??
??
??
( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1,3,2 2,c os 0.8 88 07,si n 0.4 59 70
0.8 88 07 0 0.4 59 70
0 1 0
0.4 59 70 0 0.8 88 07
0.6 33 97 0.3 25 06 0
0.3 25 06 3 0.6 27 96
0 0.6 27 96 2.3 66 03
2,3,
T
i j tg
V
A V A V
ij
? ? ?? ? ? ? ?
??
??
?
??
???
??
???
??
? ? ? ?
??
??
??
??
再取
－
下面应取 重复上述
( 5 )
( 5 ) 2 2
.,
0.5 85 79 0.0 02 03 83 0
0.0 02 03 83 3.4 14 01 0.0 16 75 8
0 0.0 16 75 8 2.0 00 20
( ) 2 ( 0.0 02 03 83 0.0 16 75 8 ) 0.0 00 56 99 7
A
EA
??
??
?
??
??
??
? ? ? ?
过程如此继续下去可得
1 2 3
1 2 3
3.41401,2.00020,0.58579
2 2 3.41 421 36,2,2 2 0.58 578 64
0.0002036
, { },0( ),
,,,
( ),,
kk
k ij k
ij ij ji
A
k
a
V a a
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?
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? ? ? ? ? ? ?
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?
所以 的特征值为
准确值
最大误差为
古典Jac obi 法的改进取定正序列
以 为限 逐行检查非对角元 若 就跳过 否则以
消去元 和 反复进行上述过程 直到
+1
,,1
kk
k
k
A
??
?
?
所有非对角
元的绝对值均小于 再以 为限 进行第 轮循环消
元。当 充分小时，所得到的矩阵的对角元即为 的全
部特征值。
