第四章 插 值 法 §1 引言 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数  ,其在某个区间  上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间上有限个离散点上的函数值 或者的函数表达式是已知的,但却很复杂而 不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。 插值问题的数学提法:已知函数在个点 上的函数值,求一个多项式,使 其满足,。即要求该多项式的函数曲线要 经过上已知的这个点同时在其 它点上估计误差为。 当时,求一次多项式,要求通过两点 当时,求二次多项式,要求通过三 点 §2.拉格朗日插值公式 2-1插值多项式的存在唯一性 过n+1个点，作多项式函数  可构造（n+1）×(n+1)线性方程组确定参数  要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数存在且唯一， 即只要证明其系数行列式不为零即可。 系数行列式为：  此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得  由于时，故所有因子，于是。 即插值多项式存在唯一。 2-2线性插值与抛物线插值 线性插值（一次插值） 1.问题的提法 已知函数在区间的端点上的函数值 ，求一个一次函数 使得。 其几何意义是已知平面上两点,求一条 直线过该已知两点。 2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知：  把此式按照和写成两项：  （两点式）， 记 ， 并称它们为一次插值基函数。 该基函数的特点如下表：  从而,此形式称之为拉格朗日型插 值多项式。其中,插值基函数与、无关，而由插值结 点、所决定。 一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系 数是该点的函数值、。 二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数在点上的函数值 ,。 求一个次数不超过二次的多项式,使其满足,,。 其几何意义为:已知平面上的三个点 ，,求一个二次抛物线,使得该抛物线经过 这三点。 2.插值基本多项式（构造插值基函数） 有三个插值结点,构造三个插值基本多项式， 要求满足： (1)基本多项式为二次多项式； (2)它们的函数值满足下表：      1 0 0   0 1 0   0 0 1  因为,故有因子,而其已经是一个二次多项式,仅相差一个 常数倍,可设,又因为， 故得：, 从而 , 同理可得到  ，。 3.拉格朗日型二次插值多项式 由前述，拉格朗日型二次插值多项式 , 是三个二次 插值基函数多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项 式,且满足 。 三、拉格朗日型n次插值多项式 1. 问题的提出： 已知函数在n+1个不同的点上的函 数值分别为,求一个次数不超过n的多项式, 使其满足,，即n+1个不同的点可以唯一 决定一个n次多项式。 2. 插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数 。 每个插值基本多项式满足： (1).是n次多项式; (2).，而在其它n个点。 由于，故有因子  因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。 令:  由，可以定出，进而得到：  令  则  于是可改写成  3.n次拉格朗日型插值多项式 是n+1个n次插值基本多项式的线 性组合，相应的组合系数是。即  是一个次数不超过n的多项式,且满足, 。 例．求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插 值多项式。 解：用4次插值多项式对5个点插值。 ，，，，， ，，，，;  ,  ,  ,  ,  ; 所以    四、拉格朗日插值多项式的截断误差 我们在[a,b]上用多项式来近似代替函数f(x),其 截断误差记作， 。   下面来估计截断误差： 定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y=f(n)(x)在[a,b]上连续，y=f(n+1)(x)在(a,b)上存在；插值节点为a≤x0<x1<…<xn≤b,是n次拉格朗日插值多项式；则对任意x([a,b]有：  其中(((a,b),(依赖于x； 证明：由插值多项式的要求： =0， k=0,1,2,…,n; 设  其中K(x)是待定的；固定x([a,b]且x(xk， k=0,1,…,n; 构造函数  则H(xk)=0，k=0,1,2,…,n，且  所以，H(t)在[a,b]上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理： 存在(((a,b),使H(n+1)(()=0; 因是n次多项式，故而 是首项系数为1的 n+1次多项式，故有 于是 得： 所以 得证。 设 ,则  易知，线性插值的截断误差为 ; 二次插值的截断误差为:  例: 用lg10=1, lg15=1.1761和lg20=1.3010计算lg12. 解：   查表得 lg12=1.0792 e = |1.0792-1.0766|=0.0026 估计误差：， =0.0244，故  (