§5 曲线拟合的最小二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据,要求在函数类中找一个函数,使误差平方和  其中  带权的最小二乘法：  其中是［a, b］上的权函数。 用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在中求一函数，使取的最小。它转化为求多元函数  的极小点问题。由求多元函数极值的必要条件，有   若记    则上式可改写为   这个方程称为法方程，矩阵形式  其中 ，  由于线性无关，故，方程组存在唯一解  从而得到函数的最小二乘解为  可证  故使所求最小二乘解。 已知一组实验数据,求它的拟合曲线。   1  2  3  4  5   4 4.5 6 8 8.5   2 1 3 1 1  解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲线。 令， 这里  故    由方程组  所求拟合曲线为  例9 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲线 时间t(分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  浓度 y×10-3 4. 00 6. 40 8. 00 8. 80 9. 22 9. 50 9. 70 9. 86 10. 00 10. 20 10. 32 10. 42 10. 50 10. 55 10. 58 10. 60  解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲线函数或指数函数。 双曲线函数拟合 双曲线型： 即 为了确定 令 由数据表t, y生成数据表 于是可用的线性函数拟合数据。方法与上例一样解方程组  得  从而有  其误差为  指数函数拟合 拟合曲线形如 对其两边取对数  为了确定 令 由计算出，拟合数据的曲线仍为 用例8的方法计算出 从而  最后求得  误差为  两个模型的比较 本例经计算可得  均方误差为  由此可知及都比较小，所以用作拟合曲线较好。 确定拟合曲线的数学模型需要选择比较。 用正交函数作最小二乘拟合 法方程组系数矩阵G是病态的，但如果是关于点集带权正交的函数族，即  则方程的解为   且平方误差为  根据给定节点及权函数，造出带权正交的多项式。注意，用递推公式表示，即   其中是首项系数为1的次多项式，且  证明：用归纳法（略）。 用正交多项式的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式逐步求的同时，相应计算出系数  并逐步把累加到中去，最后就可得到所求的拟合曲线  这里可事先给定或在计算过程中根据误差确定。 用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数增加1，其余不用改变。此为目前用多项式作曲线拟合最好的方法。 多元最小二乘拟合 已知多元函数的一组测量数据，以及一组权数要求函数  使得  最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数同样满足法方程，只是这里  求解法方程组就可得到，从而得到，称为函数的最小二乘拟合。