§5 分段低次插值 5-1 多项式插值的问题 前面根据区间上给出的节点做插值多项式 近似，一般总认为的次数越高逼近的精度 越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点 ，当时，不一定收敛到，本世纪初龙格 （Runge）就给出了一个等距节点插值多项式不收 敛的的例子。他给出的函数为。它在 上各阶导数均存在，但在上取个等距节点 所构造的拉格朗日插值多项式 . 当时，只在内收敛，而在这区间外是 发散的。  因此随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相 应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不 稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好 的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少 误差，可以采用分段插值的办法。 5-2 分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起 来逼近。设已知节点上的函数 值，记，求一折线函 数满足： 1° 记， 2° ， 3° 在每个小区间上是线性函数， 则称为分段线性插值函数。 由定义可知在每个小区间上可表示为  若用插值基函数表示，则在整个区间上为  其中基函数满足条件， 其形式是  分段线性插值基函数只在附近不为零，在 其它地方均为零，这种性质称为局部非零性质。 例：已知函数，在［0, 5］上取等距节点 。求分段插值函数，及近似值。 解：  0 1 2 3 4 5   1.00000 0.50000 0.20000 0.10000 0.05882 0.03846  分段线性插值基函数为：  分段线性插值函数为：   精确值为。 收敛性证明： 当时 ， 故 . 另一方面，这时  现在证明 。考虑  . 这里是函数在区间上的连续模，即对任 意两点，只要，就有 ， 称为在上的连续模，当 时，就有。 由前式可知，当时有 ， 因此，只要，就有  在上一致成立，故在上一致收敛到。 分段线性插值的误差估计： 如果在上二阶连续可微，则分段线性插值函 数的余项有以下估计  其中 。 证：因在上，是的线性插值， 有  又因为  因而  于是  所以，对任意，都有  分段线性插值简便易行，节点加密误差变小，且插 值函数只依赖于本段的节点值，计算误差基本不扩大、 稳定。但在节点处插值函数不可微，光滑度不够。 5-3 分段三次埃尔米特插值 分段线性插值函数的导数是间断的，若在节 点上除已知函数值外还给出导数值 ，这样就可构造一个导数连续的分段 插值函数，它满足条件 1. 代表区间上 一阶导数连续的函数集合）。 2.  3. 在每个小区间上是三次多项式。 由两点三次Hermite插值多项式。可知，在 区间上的表达式为   . 若在整个区间上定义一组分段三次插值基函 数及，则可表示为 ， 其中分别表示为   收敛性证明: 由于的局部非零性质，当时， 只有,,不为零，于是可表为  . 为了研究的收敛性，由直接得估计式 ，  当时 ,   于是有    即  对成立，其中是在上的连续模。因此，当时，  这就证明了在上一致收敛到。 同样可导出分段三次Hermite插值的误差估计为：  其中 。 分段三次Hermite插值函数是插值区间上的光滑函 数，它与函数在节点处密合程度较好。