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? 正弦量的基本特征 及 相量表示法
? KCL,CVL及 元件伏安关系的相量形式
? 阻抗串、并联电路的分析计算
? 正弦电路的有功功率和功率因数
? RLC串联电路的谐振条件与特征
学习要点
第 3章 单相正弦电路分析
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第 3章 单相正弦电路分析
? 3.1 正弦交流电的基本概念
? 3.2 正弦交流电的相量表示法
? 3.3 电路基本定律的相量形式
? 3.4 简单正弦交流电路的分析
? 3.5 正弦电路的功率
? 3.6 交流电路的频率特性
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3.1 正弦交流电的基本概念
随时间按正弦规律变化的电压、电流
称为正弦电压和正弦电流。表达式为,
)s i n ( um tUu ?? ??
)s i n ( im tIi ?? ??
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以正弦电流为例
)s i n ( im tIi ?? ??
振幅 角频率
振幅, 角频率 和 初相 称为正弦量的的三要素。
相位 初相角, 简称 初相
i
ω tO
I m
θ i
波形
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角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数
角频率与周期及频率的关系,
f
T
??? 22 ??
周期 T：正弦量完整变化一周所需要的时间
频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数
周期与频率的关系,
T
f
1
?
3.1.1 周期与频率
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3.1.2 相位、初相和相位差
相位,正弦量表达式中的角度
初相, t=0时的相位
相位差,两个同频率正弦量的相位之差，其
值等于它们的初相之差。如
)s i n ( um tUu ?? ??
)s i n ( im tIi ?? ??
iuiu tt ??????? ?????? )()(
相位差为,
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0??, u 与 i 同相。
0??, u 超前 i,或 i 滞后 u 。
?? ??, u 与 i 反相。
2
?
? ??, u 与 i 正交。
( a ) u 与 i 同相 ( b ) u 超前 i
u, i
ω tO
u
i
u, i
ω tO
u
i
u, i
ω tO
u
i
u, i
ω tO
u
i
( c ) u 与 i 反相 ( d ) u 与 i 正交
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3.1.3 振幅与有效值
振幅,正弦量的最大值
周期电流有效值,让周期电流 i和直流电流 I分
别通过两个阻值相等的电阻 R,如果在相同的
时间 T内, 两个电阻消耗的能量相等, 则称该
直流电流 I的值为周期电流 i的有效值 。
根据有效值的定义有,
周期电流的有效值为,
??
T dti
T
I 0 2
1
?? T R d tiRTI 0 22
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)s i n ()( im tIti ?? ??
对于正弦电流, 因
I
I
dttII
m
m
T
imT
7 0 7.0
2
)(s i n
0
221
??
? ?? ??
所以 正弦电流的有效值 为,
同理,正弦电压的有效值 为,
m
m UUU 707.0
2
??
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3.2.1 复数及其运算
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数 A可用复平面上的有向线段
来表示。该有向线段的长度 a称
为复数 A的 模,模总是取正值。
该有向线段与实轴正方向的夹
角 θ称为复数 A的 辐角 。 O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
3.2 正弦交流电的相量表示法
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根据以上关系式及欧拉公式
复数 A的实部 a1及虚部 a2与
模 a及辐角 θ的关系为,
?s i n1 aa ? ?c o s2 aa ?
2
2
2
1 aaa ??
1
2a r c t g
a
a?? O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
??? ? ??????? aaejaajaaA js i nc o s21
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型
可将复数 A表示成代数型、三角函数型、指
数型和极坐标型 4种形式。
??? s i nc o s je j ??
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121 ????? ajaaA
221 ????? bjbbB
复数的四则运算,
设两复数为,
(1)相等。若 a1=b1,a2=b2,则 A=B。
(2)加减运算,
)()( 2211 bajbaBA ?????
(3)乘除运算,
)( 21)( 21
2
1
?????
?
????? ?
b
ae
b
a
be
ae
B
A j
j
j
)( 21)( 2121 ?????? ??????? ? abab ebeaeBA jjj
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将复数 Im∠ θi乘上因子 1∠ ωt,其模不变，
辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速
度 ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于
Imsin(ωt + θi ),正好是用正弦函数表示的正
弦电流 i。可见复数 Im∠ θi与正弦电流
i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数
Im∠ θi来表示正弦电流 i,记为,
im
j
mm IeII i ?
? ????
并称其为相量。
3.2.2 正弦量的相量表示法
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I m
O + 1
+ j
θ i
θ i O ω t
i
I m
( a ) 以角速度 ω 旋转的复数 ( b ) 旋转复数在虚轴上的投影
ω
正弦量 相量
)s i n ( im tIi ?? ?? imm II ????
)s i n ( um tUu ?? ?? umm UU ????
)s i n(2 itI ?? ?? iII ????
)s i n (2 utU ?? ??
uUU ????
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有效值相量和振幅相量的关系,
II m ?? 2?
UU m ?? 2?
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规则 2：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相
量分别为 与,则 i1 + i2也是同频率的正弦量，其
相量为 。
1I? 2I?
21 II ???
规则 4：若 i为角频率为 ω的正弦量，代表它的相量
为,则 也是同频率的正弦量，其相量为 。
dt
diI? Ij ??
3.3 电路基本定律的相量形式
3.3.1 相量运算规则
规则 1：若 i为正弦量，代表它的相量为,则 ki也是
正弦量，代表它的相量为 k 。 I?I?
规则 3：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相
量分别为 与,则 i1 = i2的充分必要条件是代表它
们的相量相等，即,。
1I? 2I?
21 II ???
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i
i 1 i 2
例,
3196.53061 jI ??????
)30s i n (261 ??? ti ?
)60s i n(282 ??? ti ?
求 i=i1+i2
解,
9 2 8.646082 jI ???????
A1.23109 2 8.32 9 6.9
)9 2 8.64()31 9 6.5(
21
??????
????
??
j
jj
III ???
A)1.23s i n (210 ??? ti ?
相量图,
30 °
23.1 °
60 °
1I
?
2I
?
I?
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3.3.2 元件伏安关系的相量形式
在以下的推导过程中，设元件两端的电压
和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设
电压、电流的瞬时表达式分别为：
)s i n (2
)s i n (2
i
u
tIi
tUu
??
??
??
??
则代表它们的相量分别为：
i
u
II
UU
?
?
??
??
?
?
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1、电阻元件
电阻元件伏安关系,u=Ri
根据相量运算的规则 1和规则 3，有,
RIU ?
iu ?? ?
IRU ?? ?
R
θ u = θ i
i
+ u －
( a ) 电阻元件 ( b ) 相量图
I? U
?
将 uUU ????, iII ???? 代入，得：
iu RIU ?? ???
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2、电感元件
电感元件伏安关系,
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有,
dt
diLu ?
IjXILjU L ??? ?? ?
将 uUU ????, iII ???? 代入，得：
)90( ??????? iiu LILIjU ?????
IXLIU L?? ?
??? 90iu ??
感抗, XL=ωL,与频率成正比。
i L
θ
i
(a ) 电感元件
I
?U
?
+ u －
θ
u
(b) 相量图
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3、电容元件
CUI ??
??? 90ui ??
IjXICjU ??? C1 ???? ?
或
容抗, XC=1/ωC,与频率成反比。
θ
u
( a ) 电容元件
I
? U?
θ
i
i C
+ u －
( b ) 相量图
电感元件伏安关系,
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有,
dt
duCi ?
UCjI ?? ??
将 uUU ????, iII ???? 代入上式，得：
)90( ??????? uui CUCUjI ?????
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0?? I?KCL,
0?? U?KVL,
3.3.3 KCL,KVL的相量形式
R L
+
u
－
A
A 1 A 2
2I
?
U?
－ 45 °
1I
?
I?
例：图示电路，电流表 A1,A2的读
数均为 10A,求电流表 A的读数。
21 III ??? ??
解, 由 KCL有
作相量图，由相量图得,
A1.14
210
1010
22
2
2
2
1
?
?
??
?? III
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???????? 452504525.0100R IRU ??
??????????? 452504525.010 0CC jIjXU ??
V)451 0 0s i n (1 0 0
V)451 0 0s i n (1 0 0
A)451 0 0s i n (
C
R
???
???
???
tu
tu
ti
RU
?
U?
－ 45 °
45 °
CU
?
I?
+
u s
－
R
i
C
+
u C
－
+
u R
－
例：图示 RC串联电路, R=100Ω,C=100μF，
us=100 sin100tV,求 i,uR和 uC,并画出相量图。 2
解, V01 0 0s ???U?
?????? ? 1 0 0101 0 01 0 0 11 6C CX ?
CRs UUU ??? ??
IjXU
IRU
??
??
CC
R
??
? IjXRIjXIRUUU ?????? )( CCCRs ??????
A4525.0452100 0100100100 0100
C
?????? ???? ????? jjXR UI s??
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3.4 简单正弦电路的分析
将正弦交流电路中的电压、电流用相
量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基
尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的
相量形式来求解正弦交流电路的方法称为
相量法 。运用相量法分析正弦交流电路时，
直流电路中的结论、定理和分析方法同样
适用于正弦交流电路。
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3.4.1 阻抗的串联与并联
1．阻抗的定义
定义无源二端网络端口电压相量和端口电
流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，
并用符号 Z表示，即,
m
m
I
UZ
?
?
?
I
UZ
?
?
?
Z
+
U ?
－
无源
二端
网络
+
U ?
－
I? I?
( a ) 无源二端网络 ( b ) 等效电路
或
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mm IZU ?? ?
IZU ???
或
称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗,
C
jjXZ
LjjXZ
RZ
?
?
1
CC
LL
R
????
??
?
RI?
+ U? －
I? j X L
+ U? －
I? jX C
+ U? －
相量模型
将所有元件以相
量形式表示,
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2．阻抗的性质
zZjXRZ ????? ||
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
22|| XRZ ??
R
X
z a r c t g??
zZR ?c o s||? zZX ?s i n||?
)( iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ ??
?
? ???
?
???
?
?
m
m
I
U
I
UZ ??|| iuz ??? ??
0?z?
0?z?
0?z?
电压超前电流，感性
电压滞后电流，容性
电压电流同相，阻性
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CjXC ??
的阻抗
LXL j?
的阻抗
R R的阻抗 u,i, 相量 U? I?
相量模型 将所有元件以相量形式表示,
3.4.2 RLC串联电路
+
u
－
+
u
L
－
+ u
R
－
－ u
C
+
R
L
C
i
( a ) R L C 串联电路 ( b ) 相量模型
+
U
?
－
+
L
U
?
－
+ RU
?
－
－ C
U
?
+
R
jX
L
－ jX
C
I
?
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jXRXXjRZZZZ ???????? )( CLCLR
IjXU
IjXU
IRU
??
??
??
CC
LL
R
??
?
?
IZIXXjRUUUU ?????? ??????? )]([ CLCLR
+ RU? －
+
U?
－
+
LU
?
－
－ CU
?
+
R
jX L
－ jX C
I?
2CL22CL2R )()( XXRIUUUU ??????
由欧姆定律,
由 KVL,
R
XX
R
X
iiziu
CLa r c t ga r c t g ??????? ?????
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LU
?
CU
?
RU
?
U ?
I?
CU
?
LU
?
CU
?
U ?
RU
?
I?
LU
?
LU
?
CU
?
RU
?
U ? I
?
CU
?
( a ) X > 0 ( b ) X < 0 ( c ) X = 0
（ 1 ）当
C
L
?
?
1
? 时,X > 0, 0?z?,电路呈感性。
（ 2 ）当
C
L
?
?
1
? 时,X < 0, 0?z?,电路呈容性。
（ 3 ）当
C
L
?
?
1
? 时,X = 0,
0?
z
?
，电路呈电阻性。
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例,RLC串联电路。已知 R=5kΩ,L=6mH，
C=0.001μF,U=5 sin106tV。 (1) 求电流 i和各
元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变
为 2× 105rad/s时，电路的性质有无改变。
2
解,(1)
610610 36L ????? ?LX ?
kΩ
0?z?,电路呈感性。
1
10001.010
11
66C ????? ?CX ?
kΩ
????????? 4525)16(5)( CL jXXjRZ
kΩ
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V025 ???mU?
mA451
4525
025 ????
??
????
Z
UI m
m
??
V1 3 514511
V4564516
V4554515
CCm
LLm
Rm
????????????
?????????
??????????
jIjXU
jIjXU
IRU
m
m
m
??
??
??
)4510s i n (
6
??? ti ｍ A
)4510s i n (5
6
??? tu
R
V
)4510s i n (6
6
??? tu
L
V
)1 3 510s i n (
6
??? tu
R
V
V10s i n25 6 tu ?由,得电压相量为,
LU
?
U?
RU
?
I?
CU
?
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???????
???
??????
???
?
?
k4.6012.108.85
)
100 0 1.0102
1
106102(5
)(
65
35
j
j
XXjRZ CL
(2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路阻抗为,
0?z?,电路呈容性。
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3.4.3 RLC并联电路
+
u
－
R
i
( a ) R L C 并联电路 ( b ) 相量模型
+
U ?
－
I?
L C
i R i
L i C
R jX L － jX
C
RI
?
LI
?
CI
?
R
UI ?? ?
R LL jX
UI ?? ?
C
C jX
UI
??
??
)]11(1[
CL XX
jRUI ??? ??
uUU ????
若已知,便可求出各个电流相量。
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例,RLC并联电路中。已知 R=5Ω,L=5μH，
C=0.4μF,电压有效值 U=10V,ω=106rad/s，
求总电流 i,并说明电路的性质。
??
??
?? ? 5.2
104.010
11
66C CX ?
?????? ? 510510 66L LX ?
解,
V010 ???U?
设
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A25 010R ????? RUI
??
A2
5
010
L
L jjjX
UI ?????? ??
则
A45.2 010
C
C jjjX
UI ?
?
???
??
??
A452222422CLR ??????????? jjjIIII ????
A)4510sin(4 6 ??? ti
因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
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Z 2
Z 1
I?+
U?
－
( a ) 两个阻抗串联
+
－
+
－
1U
?
2U
?
21 ZZZ ??
21
21
ZZ
ZZZ
??
UZZ ZU ??
21
1
1 ??
UZZ ZU ??
21
2
2 ??
I
ZZ
ZI ??
21
2
1 ??
IZZ ZI ??
21
1
2 ??
1I
?
2I
?
Z 1
I?+
U?
－
Z 2
( b ) 两个阻抗并联
3.4.4 阻抗的串联与并联
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Z 2
Z 1
I?+
U?
－
+
－
+
－
1U
?
2U
?
例,图 示 电 路, )916.6(1 jZ ?? Ω,
)45.2(2 jZ ?? Ω, ??? 301 0 0U ? V,求总电流
I? 及各阻抗的电压 1U ? 和 2U ?,并画出相量图。
??????
??????
3010566.8
45.2916.621
j
jjZZZ
解,
A0103010 301 0 0 ????? ???? ZUI ??
V6.551090106.559.10
010)916.6(11
?????????
?????? jIZU ??
V582.470105872.4
010)45.2(22
???????????
?????? jIZU ??
1
U?
U?
2
U?
I?
－ 58 °
30 °
55.6 °
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例,图 示 电 路, )11(1 jZ ?? Ω,
)43(2 jZ ?? Ω, ??? 010U ? V,求总电流 I?
及各阻抗的电流 1I? 和 2I?,并画出相量图。1I? 2I?
Z 1
I?+
U?
－
Z 2解,
?????
?
??
?
?
?
?
???
??
?
?
?
8.282
9.365
1.825
34
17
4311
)43)(11(
21
21
j
j
jj
jj
ZZ
ZZ
Z
A8.28258.282 010 ?????? ???? ZUI ??
A45258.2825
9.365
1.535
8.2825
4311
43
21
2
1
??????
??
??
?
???
???
?
?
?
?
jj
j
I
ZZ
Z
I ??
A1.5328.2825
9.365
452
8.2825
4311
11
21
1
2
???????
??
???
?
???
???
?
?
?
?
jj
j
I
ZZ
Z
I ??
1
I?
U?
2
I?
I?
－ 53.1 °
28.8 °
45 °
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3.5 正弦电路的功率
3.5.1 二端网络的功率
)s i n (2
s i n2
??
?
??
?
tUu
tIi
)]2c os ([ c os)s i n(2s i n2 ?????? ??????? tUItUtIuip
???? c o s)]2c o s ([ c o s11 00 UIdttUITp d tTP TT ?? ?????
-
+ N u i
设
iu ??? ??
，则,
瞬时功率,
平均功率（有功功率）,
1．平均功率
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对电阻元件 R, 0??, UIP ? 。
对电感元件 L, ?? 90?, 0?P 。
对电容元件 C, ??? 90?, 0?P 。
对无源二端网络,? = z? 。
?c o sUIP ? c o s ? 称功率因数。
可见电阻总是消耗能量的，而电感和电
容是不消耗能量的，其平均功率都为 0。平均
功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二
端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是
该电路所消耗的平均功率。
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2．无功功率
?s i nUIQ ?
表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。
单位为乏（ Var）
对电阻元件 R, 0??, 0?Q 。
对电感元件 L, ?? 90?, UIQ ? 。
对电容元件 C, ??? 90?, UIQ ?? 。
3．视在功率
UIS ? 单位为伏安（ VA）
222 QPS ??
平均功率 P,无功功率 Q和视在功率 S的关系,
表示用电设备的容量。
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例：图示电路。已知 R=2Ω,L=1H,C=0.25F,U=10 sin2tV。
求电路的有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S和功率因数 λ
2
+
u
－
i
i 1 i
2
R
L
C
解,V010 ???U?
????? 212L LX ?
????? 225.02 11C CX ?
???????
??
??
?
??
??
?
452222
222
)2)(22())((
CL
CL
j
jj
jj
jXjXR
jXjXR
Z
A4525.2
4522
010 ???
???
????
Z
UI ??
7 0 7.0)45c o s (c o s z ????? ??
W25707.025.210c os z ????? ?UIP
V a r25
s i n z
??
? ?UIQ
VA225?
? UIS
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1、提高功率因数的意义,
(1)提高发、配电设备的利用率；
(2)减少输电线路的电压降和功率损失。
2、提高功率因数的方法,
在感性负载上并联适当的电容。
3.5.2 功率因数的提高
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例：一台功率为 1.1kW的感应电动机, 接在
220 V,50 Hz的电路中, 电动机需要的电流
为 10 A,求,(1)电动机的功率因数； (2)若在
电动机两端并联一个 79.5μF的电容器, 电路
的功率因数为多少？
解,(1)
5.010220 10001.1c o s ????? UIP?
(2)在未并联电容前，电路中的电流为 。并
联电容后，电动机中的电流不变，仍为,
这时电路中的电流为,
1I?
1I?
C1 III ??? ??
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+
U ?
－
1I
?
CI
?
电
动
机
R
( a ) 电路 ( b ) 相量图
U ?
I?
L
I ???
I ??
CI
?
I?
C
CI
?
1I
?
844.03.32c o sc o s
3.32
5
5.566.8
a r c t ga r c t g
A560c o s1060c o s
A66.860sin1060sin
A5.5105.79314
C
6
C
C
????
??
?
?
??
??
??
???????
??????
??????
?
?
?
?
I
II
II
II
CU
X
U
I
由相量图得,
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3.6 交流电路的频率特性
3.6.1 RC电路的频率特性
交流电路中，感抗和容抗都与频率有关，当电源电压（激
励）的频率改变时，即使电压的幅值不变，电路中各部分
电流和电压（响应）的大小和相位也会随着改变。响应与
频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。
R
C
+
u
1
－
+
u
2
－
1,RC低通滤波电路
)()(
)a r c t a n (
)(1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
???
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
T
RC
RC
RCj
Cj
R
Cj
U
U
jT
?
?
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幅频特性,
21
2
)(1
1)(
RCU
UT
?
?
?
??
相频特性,
)a r c t a n ()( 12 RC????? ????
截止角频率,
RC
1
0 ??
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0.707
)( ??
0 ω
－ 45 °
－ 90 °
通频带
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2,RC高通滤波电路
R
C
+
u 1
－
+
u 2
－
)()(
1
a r c t a n
1
1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
???
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
T
RC
RC
RC
j
Cj
R
R
U
U
jT
?
?
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0.707
)(??
0 ω
45 °
90 ° 通频带
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由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用下，
当 电压与电流同相 时，电路呈电阻性，此时电路的工作
状态称为 谐振 。
1、串联谐振 +
u
－
+
u L
－
+ u R －
－ u C +
R
L
C
i
)
1
(
)( CL
C
LjR
XXjRZ
?
? ???
???
01CL ???? CLXX ?? 0a r c t g CL ??? R XX?
当 时,
电压与电流同相，电路呈电阻性，电路 谐振 。
3.6.2 谐振电路
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品质因数,CLRCRR LRQ 11
0
0 ????
?
??
特性阻抗,CLCL ???
0
0
1
???
谐振频率,LCf ?2 1o ?谐振角频率,LC
1
o ??
电路串联谐振时的主要特征,
(1)阻抗 Z=R,外加电压 U一定时, 电流具有
最大值 Io =U/R,Io称为串联谐振电流 。
(2)电压与电流同相, 电路呈现纯电阻性质 。
(3)因为 XL=XC>>R,故 UL=UC>>UR=U,即电
感和电容上的电压远远高于电路的端电压 。
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2、并联谐振
R
L
i+
u
－
C
i 1
i C
LjRZ ???1, LjZ C ?1?
Cj
LjR
Cj
LjR
ZZ
ZZ
Z
?
?
?
?
1
1
)(
C1
C1
??
?
?
?
?
∵ RL ???,
)
1
(
1
1
L
Cj
L
RC
Cj
LjR
C
L
Z
?
?
?
? ??
?
??
??
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谐振时，阻抗的虚部为零，故有,0
1
0
0
??
L
C
?
?
谐振角频率为：
LC
1
0
??
谐振频率为：
LC
f
?2
1
0
?
在
RL ???
的情况下，并联谐振电路与串联谐振电
路的谐振频率相同。并联谐振时,0??,电压与电流
同相，阻抗为
RC
L
Z ?
，阻抗的模最大，在外加电压一
定时，电路的总电流最小。
? 正弦量的基本特征 及 相量表示法
? KCL,CVL及 元件伏安关系的相量形式
? 阻抗串、并联电路的分析计算
? 正弦电路的有功功率和功率因数
? RLC串联电路的谐振条件与特征
学习要点
第 3章 单相正弦电路分析
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第 3章 单相正弦电路分析
? 3.1 正弦交流电的基本概念
? 3.2 正弦交流电的相量表示法
? 3.3 电路基本定律的相量形式
? 3.4 简单正弦交流电路的分析
? 3.5 正弦电路的功率
? 3.6 交流电路的频率特性
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3.1 正弦交流电的基本概念
随时间按正弦规律变化的电压、电流
称为正弦电压和正弦电流。表达式为,
)s i n ( um tUu ?? ??
)s i n ( im tIi ?? ??
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以正弦电流为例
)s i n ( im tIi ?? ??
振幅 角频率
振幅, 角频率 和 初相 称为正弦量的的三要素。
相位 初相角, 简称 初相
i
ω tO
I m
θ i
波形
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角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数
角频率与周期及频率的关系,
f
T
??? 22 ??
周期 T：正弦量完整变化一周所需要的时间
频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数
周期与频率的关系,
T
f
1
?
3.1.1 周期与频率
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3.1.2 相位、初相和相位差
相位,正弦量表达式中的角度
初相, t=0时的相位
相位差,两个同频率正弦量的相位之差，其
值等于它们的初相之差。如
)s i n ( um tUu ?? ??
)s i n ( im tIi ?? ??
iuiu tt ??????? ?????? )()(
相位差为,
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0??, u 与 i 同相。
0??, u 超前 i,或 i 滞后 u 。
?? ??, u 与 i 反相。
2
?
? ??, u 与 i 正交。
( a ) u 与 i 同相 ( b ) u 超前 i
u, i
ω tO
u
i
u, i
ω tO
u
i
u, i
ω tO
u
i
u, i
ω tO
u
i
( c ) u 与 i 反相 ( d ) u 与 i 正交
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3.1.3 振幅与有效值
振幅,正弦量的最大值
周期电流有效值,让周期电流 i和直流电流 I分
别通过两个阻值相等的电阻 R,如果在相同的
时间 T内, 两个电阻消耗的能量相等, 则称该
直流电流 I的值为周期电流 i的有效值 。
根据有效值的定义有,
周期电流的有效值为,
??
T dti
T
I 0 2
1
?? T R d tiRTI 0 22
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)s i n ()( im tIti ?? ??
对于正弦电流, 因
I
I
dttII
m
m
T
imT
7 0 7.0
2
)(s i n
0
221
??
? ?? ??
所以 正弦电流的有效值 为,
同理,正弦电压的有效值 为,
m
m UUU 707.0
2
??
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3.2.1 复数及其运算
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数 A可用复平面上的有向线段
来表示。该有向线段的长度 a称
为复数 A的 模,模总是取正值。
该有向线段与实轴正方向的夹
角 θ称为复数 A的 辐角 。 O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
3.2 正弦交流电的相量表示法
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根据以上关系式及欧拉公式
复数 A的实部 a1及虚部 a2与
模 a及辐角 θ的关系为,
?s i n1 aa ? ?c o s2 aa ?
2
2
2
1 aaa ??
1
2a r c t g
a
a?? O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
??? ? ??????? aaejaajaaA js i nc o s21
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型
可将复数 A表示成代数型、三角函数型、指
数型和极坐标型 4种形式。
??? s i nc o s je j ??
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121 ????? ajaaA
221 ????? bjbbB
复数的四则运算,
设两复数为,
(1)相等。若 a1=b1,a2=b2,则 A=B。
(2)加减运算,
)()( 2211 bajbaBA ?????
(3)乘除运算,
)( 21)( 21
2
1
?????
?
????? ?
b
ae
b
a
be
ae
B
A j
j
j
)( 21)( 2121 ?????? ??????? ? abab ebeaeBA jjj
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将复数 Im∠ θi乘上因子 1∠ ωt,其模不变，
辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速
度 ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于
Imsin(ωt + θi ),正好是用正弦函数表示的正
弦电流 i。可见复数 Im∠ θi与正弦电流
i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数
Im∠ θi来表示正弦电流 i,记为,
im
j
mm IeII i ?
? ????
并称其为相量。
3.2.2 正弦量的相量表示法
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I m
O + 1
+ j
θ i
θ i O ω t
i
I m
( a ) 以角速度 ω 旋转的复数 ( b ) 旋转复数在虚轴上的投影
ω
正弦量 相量
)s i n ( im tIi ?? ?? imm II ????
)s i n ( um tUu ?? ?? umm UU ????
)s i n(2 itI ?? ?? iII ????
)s i n (2 utU ?? ??
uUU ????
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有效值相量和振幅相量的关系,
II m ?? 2?
UU m ?? 2?
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规则 2：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相
量分别为 与,则 i1 + i2也是同频率的正弦量，其
相量为 。
1I? 2I?
21 II ???
规则 4：若 i为角频率为 ω的正弦量，代表它的相量
为,则 也是同频率的正弦量，其相量为 。
dt
diI? Ij ??
3.3 电路基本定律的相量形式
3.3.1 相量运算规则
规则 1：若 i为正弦量，代表它的相量为,则 ki也是
正弦量，代表它的相量为 k 。 I?I?
规则 3：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相
量分别为 与,则 i1 = i2的充分必要条件是代表它
们的相量相等，即,。
1I? 2I?
21 II ???
跳转到第一页
i
i 1 i 2
例,
3196.53061 jI ??????
)30s i n (261 ??? ti ?
)60s i n(282 ??? ti ?
求 i=i1+i2
解,
9 2 8.646082 jI ???????
A1.23109 2 8.32 9 6.9
)9 2 8.64()31 9 6.5(
21
??????
????
??
j
jj
III ???
A)1.23s i n (210 ??? ti ?
相量图,
30 °
23.1 °
60 °
1I
?
2I
?
I?
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3.3.2 元件伏安关系的相量形式
在以下的推导过程中，设元件两端的电压
和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设
电压、电流的瞬时表达式分别为：
)s i n (2
)s i n (2
i
u
tIi
tUu
??
??
??
??
则代表它们的相量分别为：
i
u
II
UU
?
?
??
??
?
?
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1、电阻元件
电阻元件伏安关系,u=Ri
根据相量运算的规则 1和规则 3，有,
RIU ?
iu ?? ?
IRU ?? ?
R
θ u = θ i
i
+ u －
( a ) 电阻元件 ( b ) 相量图
I? U
?
将 uUU ????, iII ???? 代入，得：
iu RIU ?? ???
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2、电感元件
电感元件伏安关系,
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有,
dt
diLu ?
IjXILjU L ??? ?? ?
将 uUU ????, iII ???? 代入，得：
)90( ??????? iiu LILIjU ?????
IXLIU L?? ?
??? 90iu ??
感抗, XL=ωL,与频率成正比。
i L
θ
i
(a ) 电感元件
I
?U
?
+ u －
θ
u
(b) 相量图
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3、电容元件
CUI ??
??? 90ui ??
IjXICjU ??? C1 ???? ?
或
容抗, XC=1/ωC,与频率成反比。
θ
u
( a ) 电容元件
I
? U?
θ
i
i C
+ u －
( b ) 相量图
电感元件伏安关系,
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有,
dt
duCi ?
UCjI ?? ??
将 uUU ????, iII ???? 代入上式，得：
)90( ??????? uui CUCUjI ?????
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0?? I?KCL,
0?? U?KVL,
3.3.3 KCL,KVL的相量形式
R L
+
u
－
A
A 1 A 2
2I
?
U?
－ 45 °
1I
?
I?
例：图示电路，电流表 A1,A2的读
数均为 10A,求电流表 A的读数。
21 III ??? ??
解, 由 KCL有
作相量图，由相量图得,
A1.14
210
1010
22
2
2
2
1
?
?
??
?? III
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???????? 452504525.0100R IRU ??
??????????? 452504525.010 0CC jIjXU ??
V)451 0 0s i n (1 0 0
V)451 0 0s i n (1 0 0
A)451 0 0s i n (
C
R
???
???
???
tu
tu
ti
RU
?
U?
－ 45 °
45 °
CU
?
I?
+
u s
－
R
i
C
+
u C
－
+
u R
－
例：图示 RC串联电路, R=100Ω,C=100μF，
us=100 sin100tV,求 i,uR和 uC,并画出相量图。 2
解, V01 0 0s ???U?
?????? ? 1 0 0101 0 01 0 0 11 6C CX ?
CRs UUU ??? ??
IjXU
IRU
??
??
CC
R
??
? IjXRIjXIRUUU ?????? )( CCCRs ??????
A4525.0452100 0100100100 0100
C
?????? ???? ????? jjXR UI s??
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3.4 简单正弦电路的分析
将正弦交流电路中的电压、电流用相
量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基
尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的
相量形式来求解正弦交流电路的方法称为
相量法 。运用相量法分析正弦交流电路时，
直流电路中的结论、定理和分析方法同样
适用于正弦交流电路。
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3.4.1 阻抗的串联与并联
1．阻抗的定义
定义无源二端网络端口电压相量和端口电
流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，
并用符号 Z表示，即,
m
m
I
UZ
?
?
?
I
UZ
?
?
?
Z
+
U ?
－
无源
二端
网络
+
U ?
－
I? I?
( a ) 无源二端网络 ( b ) 等效电路
或
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mm IZU ?? ?
IZU ???
或
称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗,
C
jjXZ
LjjXZ
RZ
?
?
1
CC
LL
R
????
??
?
RI?
+ U? －
I? j X L
+ U? －
I? jX C
+ U? －
相量模型
将所有元件以相
量形式表示,
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2．阻抗的性质
zZjXRZ ????? ||
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
22|| XRZ ??
R
X
z a r c t g??
zZR ?c o s||? zZX ?s i n||?
)( iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ ??
?
? ???
?
???
?
?
m
m
I
U
I
UZ ??|| iuz ??? ??
0?z?
0?z?
0?z?
电压超前电流，感性
电压滞后电流，容性
电压电流同相，阻性
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CjXC ??
的阻抗
LXL j?
的阻抗
R R的阻抗 u,i, 相量 U? I?
相量模型 将所有元件以相量形式表示,
3.4.2 RLC串联电路
+
u
－
+
u
L
－
+ u
R
－
－ u
C
+
R
L
C
i
( a ) R L C 串联电路 ( b ) 相量模型
+
U
?
－
+
L
U
?
－
+ RU
?
－
－ C
U
?
+
R
jX
L
－ jX
C
I
?
跳转到第一页
jXRXXjRZZZZ ???????? )( CLCLR
IjXU
IjXU
IRU
??
??
??
CC
LL
R
??
?
?
IZIXXjRUUUU ?????? ??????? )]([ CLCLR
+ RU? －
+
U?
－
+
LU
?
－
－ CU
?
+
R
jX L
－ jX C
I?
2CL22CL2R )()( XXRIUUUU ??????
由欧姆定律,
由 KVL,
R
XX
R
X
iiziu
CLa r c t ga r c t g ??????? ?????
跳转到第一页
LU
?
CU
?
RU
?
U ?
I?
CU
?
LU
?
CU
?
U ?
RU
?
I?
LU
?
LU
?
CU
?
RU
?
U ? I
?
CU
?
( a ) X > 0 ( b ) X < 0 ( c ) X = 0
（ 1 ）当
C
L
?
?
1
? 时,X > 0, 0?z?,电路呈感性。
（ 2 ）当
C
L
?
?
1
? 时,X < 0, 0?z?,电路呈容性。
（ 3 ）当
C
L
?
?
1
? 时,X = 0,
0?
z
?
，电路呈电阻性。
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例,RLC串联电路。已知 R=5kΩ,L=6mH，
C=0.001μF,U=5 sin106tV。 (1) 求电流 i和各
元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变
为 2× 105rad/s时，电路的性质有无改变。
2
解,(1)
610610 36L ????? ?LX ?
kΩ
0?z?,电路呈感性。
1
10001.010
11
66C ????? ?CX ?
kΩ
????????? 4525)16(5)( CL jXXjRZ
kΩ
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V025 ???mU?
mA451
4525
025 ????
??
????
Z
UI m
m
??
V1 3 514511
V4564516
V4554515
CCm
LLm
Rm
????????????
?????????
??????????
jIjXU
jIjXU
IRU
m
m
m
??
??
??
)4510s i n (
6
??? ti ｍ A
)4510s i n (5
6
??? tu
R
V
)4510s i n (6
6
??? tu
L
V
)1 3 510s i n (
6
??? tu
R
V
V10s i n25 6 tu ?由,得电压相量为,
LU
?
U?
RU
?
I?
CU
?
跳转到第一页
???????
???
??????
???
?
?
k4.6012.108.85
)
100 0 1.0102
1
106102(5
)(
65
35
j
j
XXjRZ CL
(2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路阻抗为,
0?z?,电路呈容性。
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3.4.3 RLC并联电路
+
u
－
R
i
( a ) R L C 并联电路 ( b ) 相量模型
+
U ?
－
I?
L C
i R i
L i C
R jX L － jX
C
RI
?
LI
?
CI
?
R
UI ?? ?
R LL jX
UI ?? ?
C
C jX
UI
??
??
)]11(1[
CL XX
jRUI ??? ??
uUU ????
若已知,便可求出各个电流相量。
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例,RLC并联电路中。已知 R=5Ω,L=5μH，
C=0.4μF,电压有效值 U=10V,ω=106rad/s，
求总电流 i,并说明电路的性质。
??
??
?? ? 5.2
104.010
11
66C CX ?
?????? ? 510510 66L LX ?
解,
V010 ???U?
设
跳转到第一页
A25 010R ????? RUI
??
A2
5
010
L
L jjjX
UI ?????? ??
则
A45.2 010
C
C jjjX
UI ?
?
???
??
??
A452222422CLR ??????????? jjjIIII ????
A)4510sin(4 6 ??? ti
因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
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Z 2
Z 1
I?+
U?
－
( a ) 两个阻抗串联
+
－
+
－
1U
?
2U
?
21 ZZZ ??
21
21
ZZ
ZZZ
??
UZZ ZU ??
21
1
1 ??
UZZ ZU ??
21
2
2 ??
I
ZZ
ZI ??
21
2
1 ??
IZZ ZI ??
21
1
2 ??
1I
?
2I
?
Z 1
I?+
U?
－
Z 2
( b ) 两个阻抗并联
3.4.4 阻抗的串联与并联
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Z 2
Z 1
I?+
U?
－
+
－
+
－
1U
?
2U
?
例,图 示 电 路, )916.6(1 jZ ?? Ω,
)45.2(2 jZ ?? Ω, ??? 301 0 0U ? V,求总电流
I? 及各阻抗的电压 1U ? 和 2U ?,并画出相量图。
??????
??????
3010566.8
45.2916.621
j
jjZZZ
解,
A0103010 301 0 0 ????? ???? ZUI ??
V6.551090106.559.10
010)916.6(11
?????????
?????? jIZU ??
V582.470105872.4
010)45.2(22
???????????
?????? jIZU ??
1
U?
U?
2
U?
I?
－ 58 °
30 °
55.6 °
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例,图 示 电 路, )11(1 jZ ?? Ω,
)43(2 jZ ?? Ω, ??? 010U ? V,求总电流 I?
及各阻抗的电流 1I? 和 2I?,并画出相量图。1I? 2I?
Z 1
I?+
U?
－
Z 2解,
?????
?
??
?
?
?
?
???
??
?
?
?
8.282
9.365
1.825
34
17
4311
)43)(11(
21
21
j
j
jj
jj
ZZ
ZZ
Z
A8.28258.282 010 ?????? ???? ZUI ??
A45258.2825
9.365
1.535
8.2825
4311
43
21
2
1
??????
??
??
?
???
???
?
?
?
?
jj
j
I
ZZ
Z
I ??
A1.5328.2825
9.365
452
8.2825
4311
11
21
1
2
???????
??
???
?
???
???
?
?
?
?
jj
j
I
ZZ
Z
I ??
1
I?
U?
2
I?
I?
－ 53.1 °
28.8 °
45 °
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3.5 正弦电路的功率
3.5.1 二端网络的功率
)s i n (2
s i n2
??
?
??
?
tUu
tIi
)]2c os ([ c os)s i n(2s i n2 ?????? ??????? tUItUtIuip
???? c o s)]2c o s ([ c o s11 00 UIdttUITp d tTP TT ?? ?????
-
+ N u i
设
iu ??? ??
，则,
瞬时功率,
平均功率（有功功率）,
1．平均功率
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对电阻元件 R, 0??, UIP ? 。
对电感元件 L, ?? 90?, 0?P 。
对电容元件 C, ??? 90?, 0?P 。
对无源二端网络,? = z? 。
?c o sUIP ? c o s ? 称功率因数。
可见电阻总是消耗能量的，而电感和电
容是不消耗能量的，其平均功率都为 0。平均
功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二
端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是
该电路所消耗的平均功率。
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2．无功功率
?s i nUIQ ?
表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。
单位为乏（ Var）
对电阻元件 R, 0??, 0?Q 。
对电感元件 L, ?? 90?, UIQ ? 。
对电容元件 C, ??? 90?, UIQ ?? 。
3．视在功率
UIS ? 单位为伏安（ VA）
222 QPS ??
平均功率 P,无功功率 Q和视在功率 S的关系,
表示用电设备的容量。
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例：图示电路。已知 R=2Ω,L=1H,C=0.25F,U=10 sin2tV。
求电路的有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S和功率因数 λ
2
+
u
－
i
i 1 i
2
R
L
C
解,V010 ???U?
????? 212L LX ?
????? 225.02 11C CX ?
???????
??
??
?
??
??
?
452222
222
)2)(22())((
CL
CL
j
jj
jj
jXjXR
jXjXR
Z
A4525.2
4522
010 ???
???
????
Z
UI ??
7 0 7.0)45c o s (c o s z ????? ??
W25707.025.210c os z ????? ?UIP
V a r25
s i n z
??
? ?UIQ
VA225?
? UIS
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1、提高功率因数的意义,
(1)提高发、配电设备的利用率；
(2)减少输电线路的电压降和功率损失。
2、提高功率因数的方法,
在感性负载上并联适当的电容。
3.5.2 功率因数的提高
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例：一台功率为 1.1kW的感应电动机, 接在
220 V,50 Hz的电路中, 电动机需要的电流
为 10 A,求,(1)电动机的功率因数； (2)若在
电动机两端并联一个 79.5μF的电容器, 电路
的功率因数为多少？
解,(1)
5.010220 10001.1c o s ????? UIP?
(2)在未并联电容前，电路中的电流为 。并
联电容后，电动机中的电流不变，仍为,
这时电路中的电流为,
1I?
1I?
C1 III ??? ??
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+
U ?
－
1I
?
CI
?
电
动
机
R
( a ) 电路 ( b ) 相量图
U ?
I?
L
I ???
I ??
CI
?
I?
C
CI
?
1I
?
844.03.32c o sc o s
3.32
5
5.566.8
a r c t ga r c t g
A560c o s1060c o s
A66.860sin1060sin
A5.5105.79314
C
6
C
C
????
??
?
?
??
??
??
???????
??????
??????
?
?
?
?
I
II
II
II
CU
X
U
I
由相量图得,
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3.6 交流电路的频率特性
3.6.1 RC电路的频率特性
交流电路中，感抗和容抗都与频率有关，当电源电压（激
励）的频率改变时，即使电压的幅值不变，电路中各部分
电流和电压（响应）的大小和相位也会随着改变。响应与
频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。
R
C
+
u
1
－
+
u
2
－
1,RC低通滤波电路
)()(
)a r c t a n (
)(1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
???
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
T
RC
RC
RCj
Cj
R
Cj
U
U
jT
?
?
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幅频特性,
21
2
)(1
1)(
RCU
UT
?
?
?
??
相频特性,
)a r c t a n ()( 12 RC????? ????
截止角频率,
RC
1
0 ??
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0.707
)( ??
0 ω
－ 45 °
－ 90 °
通频带
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2,RC高通滤波电路
R
C
+
u 1
－
+
u 2
－
)()(
1
a r c t a n
1
1
1
1
1
1
1
)(
2
1
2
???
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
T
RC
RC
RC
j
Cj
R
R
U
U
jT
?
?
T ( ω )
1
0
ω
0
ω
0.707
)(??
0 ω
45 °
90 ° 通频带
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由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用下，
当 电压与电流同相 时，电路呈电阻性，此时电路的工作
状态称为 谐振 。
1、串联谐振 +
u
－
+
u L
－
+ u R －
－ u C +
R
L
C
i
)
1
(
)( CL
C
LjR
XXjRZ
?
? ???
???
01CL ???? CLXX ?? 0a r c t g CL ??? R XX?
当 时,
电压与电流同相，电路呈电阻性，电路 谐振 。
3.6.2 谐振电路
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品质因数,CLRCRR LRQ 11
0
0 ????
?
??
特性阻抗,CLCL ???
0
0
1
???
谐振频率,LCf ?2 1o ?谐振角频率,LC
1
o ??
电路串联谐振时的主要特征,
(1)阻抗 Z=R,外加电压 U一定时, 电流具有
最大值 Io =U/R,Io称为串联谐振电流 。
(2)电压与电流同相, 电路呈现纯电阻性质 。
(3)因为 XL=XC>>R,故 UL=UC>>UR=U,即电
感和电容上的电压远远高于电路的端电压 。
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2、并联谐振
R
L
i+
u
－
C
i 1
i C
LjRZ ???1, LjZ C ?1?
Cj
LjR
Cj
LjR
ZZ
ZZ
Z
?
?
?
?
1
1
)(
C1
C1
??
?
?
?
?
∵ RL ???,
)
1
(
1
1
L
Cj
L
RC
Cj
LjR
C
L
Z
?
?
?
? ??
?
??
??
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谐振时，阻抗的虚部为零，故有,0
1
0
0
??
L
C
?
?
谐振角频率为：
LC
1
0
??
谐振频率为：
LC
f
?2
1
0
?
在
RL ???
的情况下，并联谐振电路与串联谐振电
路的谐振频率相同。并联谐振时,0??,电压与电流
同相，阻抗为
RC
L
Z ?
，阻抗的模最大，在外加电压一
定时，电路的总电流最小。
