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电工技术基础
主编 郑其明
制作 郑其明
2006年 2月
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学习要点
? 一阶电路的三要素分析法
? 暂态和稳态以及时间常数的意义
? 一阶电路的经典分析法
? 零输入响应, 零状态响应和全响应
第 5章 一阶动态电路分析
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第 5章 一阶动态电路分析
? 5.1 换路定理
? 5.2 一阶动态电路分析方法
? 5.3 零输入响应和零状态响应
? 5.4 微分电路和积分电路
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5.1 换路定理
过渡过程,电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电
压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。
含有动态元件电容 C和电感 L的电路称为 动态电路 。动态电路的
伏安关系 是用微分或积分方程表示的。通常用 微分形式 。
一阶电路,用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有
一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。
产生过渡过程的条件,电路结构或参数的突然改变。
产生过渡过程的原因,能量不能跃变，电感及电容能量的存
储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
5.1.1 电路产生过渡过程的原因
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换路,电路工作条件发生变化，如电源的接通
或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等
称为换路。
换路定理,电容上的电压 uC及电感中的电流 iL
在换路前后瞬间的值是相等的，即,
必须注意, 只有 uC, iL受换路定理的约束而保持
不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
)0()0(
)0()0(
LL
CC
??
??
?
?
ii
uu
5.1.2 换路定理
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例：图示电路原处于稳态,t=0时开关 S闭合,US=10V，
R1=10Ω,R2=5Ω,求初始值 uC(0+), i1(0+), i2(0+),iC(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电容 C相当于开路，因此 t=0-时
电容两端电压分别为,
+
U S
－
C
+
u C
－
S
t =0
i 1
R 1
R 2
i C i 2
+
U S
－
i 1 (0 + )
R 1
R 2
i C (0 + ) i 2 (0 + )
+
u C (0 + )
－
V10)0( SC ??? Uu
在开关 S闭合后瞬间，根据换路定理有,
V10)0()0( CC ?? ?? uu
由此可画出开关 S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得,
A010 1010)0()0(
1
CS1 ????? ??
R
uUi
A2510)0()0(
2
C
2 ???
?
? R
ui
A220)0()0()0( 21C ?????? ??? iii
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例：图示电路原处于稳态,t=0时开关 S闭合，求初始值
uC(0+),iC(0+)和 u(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感 L相当于短路、电容 C相当
于开路，因此 t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为,
4 Ω
R
1
R
2
2 Ω
+
u
－
+
C u
C
－
+
U
s
1 2 V
－
L i
L
+ u
L
－
R
3
6 Ω
i
1
i
C
V2.762.1)0()0()0(
A2.1
64
12
)0(
3L31C
31
L
?????
?
?
?
?
?
???
?
RiRiu
RR
U
i s
在开关 S闭合后瞬间，根据换路定理有,
V2.7)0()0(
A2.1)0()0(
CC
LL
??
??
??
??
uu
ii
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由此可画出开关 S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。
由图得,
4 Ω
R 1
R 2
2 Ω
+
U s 1 2 V
－
R 3
6 Ω
i L (0 + )
+ u L (0 + ) －
+
u (0 + )
－
+
u C (0 + )
－
i 1 (0 + ) i C (0 + )
A02.12.1)0()0()0(
A2.1
6
2.7)0(
)0(
1LC
3
1
?????
???
???
?
?
iii
R
u
i C
u(0+)可用节点电压法由 t=0+时的电路求出，为,
V4.2
2
1
4
1
2.1
4
12
11
)0(
)0(
21
L
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
RR
i
R
U
u
s
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5.2 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理
将其等效为一个简单的 RC电路或 RL电路。 R 3
+
U
－
i C
+
u C
－
C
R 1
R 2
+
U S
－
i C
+
u C
－
C
R 0
I S
i C
+
u C
－
C
R 0
因此，对一阶电路的分析，
实际上可归结为对简单的 RC
电路和 RL电路的求解。一阶
动态电路的分析方法有经典
法和三要素法两种。
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1,RC电路分析
sUudt
duRC ??
C
C
图示电路,t=0时开关 S闭合。根据 KVL,得回路电压方程为,
从而得微分方程,
而,
5.2.1 经典分析法
SCR Uuu ??
t
u
RCRiu
t
u
Ci
d
d
d
d
C
CR
C
C
??
?
R +
U
S
－
i
CS
+
u
C
－
C
+
u
R
－
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解微分方程，得,
只存在于暂态过程中,t→∞ 时 uC''→0, 称为 暂态分量 。
其中 uC'=US为 t→∞ 时 uC的值，称为 稳态分量 。
RC
tt
eUUUeUUUu ?? ?????? )()( S0SS0SC ?
RC
tt
eUUeUUu ?? ?????? )()( S0S0C ?
τ=RC称为 时间常数，决定过渡过程的快慢 。
t
0
u
C
U
S
U
0
U
0
< U
S
t
0
u C
U 0
U S
U 0 > U S波
形
图,
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电路中的电流为,
R +
U
S
－
i
CS
+
u
C
－
C
+
u
R
－
RC
tt
eRUeRUtuCi
??
??? SSCC dd ?
电阻上的电压为,
RC
tt
eUeURiu ?? ??? SSCR ?
iC与 uR的波形
t
0
i C
U S
R
t
0
u R
U S
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2,RL电路分析
图示电路,t=0时开关 S闭合。根据 KVL,得回路电压方程为,
SLR Uuu ??
R +
U
S
－
i
LS
+
u
L
－
+
u
R
－
L
因为,
LR
L
L d
d
Riu
t
i
Lu
?
?
从而得微分方程,
R
Ui
t
i
R
L S
LLd
d ??
?
t
eRUIRUi
?
??? )( S0SL
解之得,
稳态分量 暂态分量
式中 τ=L/R为时
间常数
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经典法求解一阶电路的步骤,
（ 1） 利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系
,根据换路后的电路列出微分方程；
（ 2） 求微分方程的特解, 即稳态分量；
（ 3） 求微分方程的补函数, 即暂态分量；
（ 4） 将稳态分量与暂态分量相加, 即得微
分方程的全解；
（ 5） 按照换路定理求出暂态过程的初始值
,从而定出积分常数 。
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例：图 (a)所示电路原处于稳态,t=0时开关 S闭合，求开关闭
合后的电容电压 uC和通过 3Ω电阻的电流 i。
3 Ω
+
12V
－
i
C
+
u
C
－
1F
( a)
S
6 Ω
i
+
U S
－
i C
+
u C
－
C
R
( b)
－
u R
+
解：用戴微南定理将图 (a)所示开关
闭合后的电路等效为图 (b),图中,
V81236 6S ????U
????? 236 36R
对图 (b)列微分方程,
8dd2 CC ?? utu
解微分方程,
tAeu 5.0C 8 ???
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3 Ω
+
12V
－
i
C
+
u
C
－
1F
( a)
S
6 Ω
i
由图 (a)求 uC的初始值为,
V12)0()0( CC ?? ?? uu
积分常数为,
4812 ???A
所以，电容电压为,
V48 5.0C teu ???
通过 3Ω电阻的电流为,
? ? A
3
4
3
4
3
4812
3
12 5.05.0C tt eeui ?? ???????
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5.2.2 三要素分析法
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为,
?
t
efffftf ?? ????? )]()0([)()(
式中,f(0+)为待求电流或电压的初始值,f(∞)为待求电流
或电压的稳态值,τ为电路的时间常数。
对于 RC电路，时间常数为,
RC??
对于 RL电路，时间常数为,
R
L??
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例：图示电路, IS=10mA,R1=20kΩ,R2=5kΩ,C=100μF。
开关 S闭合之前电路已处于稳态, 在 t=0时开关 S闭合 。 试用
三要素法求开关闭合后的 uC。
解,（ 1） 求初始值 。 因为开关 S闭合之前电路已处于稳态,
故在瞬间电容 C可看作开路, 因此,
V20010201010)0()0( 331SCC ??????? ??? RIuu
I
S
+
u
C
－
CR
1
S
R
2
（ 2）求稳态值。当 t=∞时，电
容 C同样可看作开路，因此,
V40
520
10520
1010
)(
3
3
21
21
SC
?
?
??
???
?
??
?
RR
RR
Iu
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（ 3） 求时间常数 τ。 将电容支路断开, 恒流源开路, 得,
??
?
??
?
? k4
520
520
21
21
RR
RRR
时间常数为,
s4.010100104 63 ?????? ?RC?
（ 4）求 uC。 利用三要素公式，得,
? ? V160404020040 5.24.0C tt eeu ?? ?????
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例：图示电路, US1=9V,US2=6V, R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H
。 开关 S闭合之前电路已处于稳态, 在 t=0时开关 S闭合 。 试
用三要素法求开关闭合后的 iL和 u2。
解,（ 1） 求初始值 。 因为开关 S闭合之前电路已处于稳态,
故在瞬间电感 L可看作短路, 因此,
（ 2）求稳态值。当 t=∞时，电
感 L同样可看作短路，因此,
A136 9)0()0(
21
S1LL ?
????? ?? RR
Uii
A236)(
2
S2
L ???? R
Ui
+
U S1
－
i L
+
u 2
－
L
S
R 2R 1
+
U S 2
－
V313)0()0( L22 ???? ?? iRu
V623)()( L22 ?????? iRu
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（ 3） 求时间常数 τ。 将电感支路断开, 恒压源短路, 得,
时间常数为,
（ 4）求 iL和 u2。 利用三要素公式，得,
??? 32RR
s31?? RL?
? ? A2212 33L tt eei ?? ?????
? ? V36636 332 tt eeu ?? ?????
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5.3 零输入响应和零状态响应
5.3.1 一阶电路响应的分解
根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，
即,
全响应 =稳态分量 +暂态分量
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零
状态响应，即,
全响应 =零输入响应 +零状态响应
零输入响应 是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初
始状态有关，而与激励无关。 零状态响应 是初始状态为零时，
由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。
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将一阶 RC电路中电容电压 uC随时间变化的规律改写为,
)1(S0C RC
t
RC
t
eUeUu ?? ???
零输入响应 零状态响应
将一阶 RL电路中电感电流 iL随时间变化的规律改写为,
)1(S0L
t
L
Rt
L
R
e
R
UeIi ?? ???
零输入响应 零状态响应
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例：图示电路有两个开关 S1和 S2,t<0时 S1闭合, S2打开, 电
路处于稳态 。 t=0时 S1打开, S2闭合 。 已知 IS=2.5A,US=12V
,R1=2Ω,R2=3Ω,R3=6Ω,C=1F。 求换路后的电容电压 uC
,并指出其稳态分量, 暂态分量, 零输入响应, 零状态响应
,画出波形图 。
解,（ 1） 全响应 =稳态分量 +暂态分量
I S
S 1
C
+
u C
－
R 3
+
U S
－
R 1 R
2
S 2
稳态分量
V41263 3)(
32
2
CC ????????? SURR
Ruu
初始值
V332 325.2)0()0(
21
21SCC ?
?
???
??? ?? RR
RRIuu
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时间常数
s2163 63
32
32 ??
?
??
??? CRR
RRRC?
暂态分量 ? ? ? ? V43)()0( 5.02
CCC t
tt
eeeuuu ???? ????????? ?
全响应 V4 5.0CCC teuuu ????????
（ 2）全响应 =零输入响应 +零状态响应
零输入响应 V33)0( 5.02CC ttt eeeuu ???? ???? ?
零状态响应 ? ?
V14141)( 5.02CC t
tt
eeeuu ?
??
????
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????? ?
全响应 ? ? V4143 5.05.05.0
CCC ttt eeeuuu ??? ??????????
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5.3.2 一阶电路的零输入响应
1．一阶 RC电路的零输入响应
C
2
R
+
U S
－
i C
S1
+
u C
－
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电容上已充有电压。 t=0
时开关 S从位置 1拨到位置 2，使 RC电路脱离电源。根据换路
定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，
通过电阻 R放电，在电路中产生放电电流 iC。 随着时间增长，
电容电压 uC和放电电流 iC将逐渐减小，最后趋近于零。这样，
电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应
仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。
由初始值 uC(0+)=U0,稳态值
uC(∞)=0,时间常数 τ=RC，
运用三要素法得电容电压,
RC
tt
eUeuu ??? ?? 0CC )0( ?
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放电电流
RC
t
RC
t
eieRUtuCi
?
?
?
???? )0(dd C0CC
u
C
i
C
t
0
u
C
,i
C
U
o
R
U
o
?
放电过程的快慢是由时间常数 τ决定。
τ越大，在电容电压的初始值 U0一定
的情况下,C越大，电容存储的电
荷越多，放电所需的时间越长；而
R越大，则放电电流就越小，放电
所需的时间也就越长。相反,τ越小，
电容放电越快，放电过程所需的时
间就越短。
从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压 uC才衰减到零，
电路到达稳态。但实际上,uC开始时衰减得较快，随着时间的
增加，衰减得越来越慢。经过 t=(3~5)τ的时间,uC已经衰减到可
以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，
电路到达稳定状态。
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2．一阶 RL电路的零输入响应
2
R
+
U S
－
i L
S1
+
u L
－
L
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电路已处于稳态，电感
中已有电流。在 t=0时，开关 S从位置 1拨到位置 2，使 RL电路
脱离电源。根据换路定理，电感电流不能突变。于是，电感
由初始储能开始，通过电阻 R释放能量。随着时间的增长，电
感电流 iL将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电感存储的能量
全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始
状态所引起，故为零输入响应。
由初始值 iL(0+)=I0,稳态值
iL(∞)=0,时间常数 τ=L/R，
运用三要素法得电感电流,
tLRt eIeii ??
? ?? oLL )0( ?
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电感两端的电压 t
L
Rt
L
R
eueRItiLu ??? ???? )0(dd LoLL
i
L
u
L
t
0
i
L
,u
L
I
o
－ RI
o
RL电路暂态过程的快慢也是
由时间常数 τ来决定的。 τ越
大，暂态过程所需的时间越
长。相反,τ越小，暂态过
程所需的时间就越短。且经
过 t=(3~5)τ的时间,iL已经衰
减到可以忽略不计的程度。
这时，可以认为暂态过程已
经基本结束，电路到达稳定
状态。
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5.3.3 一阶电路的零状态响应
1．一阶 RC电路的零状态响应
C
1
R
+
U S
－
i C
S2
+
u C
－
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电路已处于稳态，电容
没有初始储能。 t=0时开关 S从位置 1拨到位置 2,RC电路接通
电压源 US。 根据换路定理，电容电压不能突变。于是 US通过
R对 C充电，产生充电电流 iC。 随着时间增长，电容电压 uC逐
渐升高，充电电流 iC逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容
电压等于 US,充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能
为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。
由初始值 uC(0+)=0,稳态值
uC(∞)= US,时间常数 τ=RC，
运用三要素法得电容电压,
)1()1)(( SCC RC
tt
eUeuu ?? ????? ?
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充电电流 RC tRC t eie
R
U
t
uCi ?
?
?
??? )0(dd CSCC
u C
i C
t
0
u C, i C
U S
R
U S
RC电路充电过程的快慢也是由
时间常数 τ来决定的,τ越大，
电容充电越慢，过渡过程所需
的时间越长；相反,τ越小，电
容充电越快，过渡过程所需的
时间越短。同样，可以根据实
际需要来调整电路中的元件参
数或电路结构，以改变时间常
数的大小。
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2．一阶 RL电路的零状态响应
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电路已处于稳态，电感
没有初始储能。 t=0时开关 S从位置 1拨到位置 2,RL电路接通
电压源 US。 根据换路定理，电感电流不能突变。于是 US通过
R对 L供电，产生电流 iL。 随着时间增长，电感电流 iL逐渐增
大，最后电路到达稳态时，电感电流等于 US/R。可见电路换
路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状
态响应。
由初始值 iL(0+)=0,稳态值
iL(∞)= US/R,时间常数
τ=L/R,运用三要素法得电
感电流,
1
R
+
U S
－
i L
S2
+
u L
－
L
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
??
?? t
L
Rt
e
R
Ue
R
Ui 11 SS
L
?
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电感两端的电压 t
L
Rt
L
R
eueUtiLu ??? ??? )0(dd LSLL
i
L
u
L
t
0
i
L
,u
L
U
S
R
U
S
RL电路暂态过程的快慢也是
由时间常数 τ来决定的。 τ越
大，暂态过程所需的时间越
长。相反,τ越小，暂态过
程所需的时间就越短。且经
过 t=(3~5)τ的时间,iL已经衰
减到可以忽略不计的程度。
这时，可以认为暂态过程已
经基本结束，电路到达稳定
状态。
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5.4 微分电路与积分电路
5.4.1 微分电路
+
u o
－
R
C
+
u i
－
u
i
0
U
t
1
t
t
2
t
3
t
w
u
o
0
U
t
t
uRC
t
uRCRiu
d
d
d
d iC
o ???
条件,
(1)时间常数 τ<<tw；
(2)输出电压从电阻两端取出 。
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5.4.2 积分电路
u
i
0
U
t
1
t
t
2
t
3
t
w
u
o
0
U
t?? ??? tu
RCtiCuu d
1d1
iCo
条件,
(1)时间常数 τ>>tw；
(2)输出电压从电容两端取出 。
R
C
+
u
i
－
+
u
o
－
电工技术基础
主编 郑其明
制作 郑其明
2006年 2月
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学习要点
? 一阶电路的三要素分析法
? 暂态和稳态以及时间常数的意义
? 一阶电路的经典分析法
? 零输入响应, 零状态响应和全响应
第 5章 一阶动态电路分析
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第 5章 一阶动态电路分析
? 5.1 换路定理
? 5.2 一阶动态电路分析方法
? 5.3 零输入响应和零状态响应
? 5.4 微分电路和积分电路
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5.1 换路定理
过渡过程,电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电
压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。
含有动态元件电容 C和电感 L的电路称为 动态电路 。动态电路的
伏安关系 是用微分或积分方程表示的。通常用 微分形式 。
一阶电路,用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有
一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。
产生过渡过程的条件,电路结构或参数的突然改变。
产生过渡过程的原因,能量不能跃变，电感及电容能量的存
储和释放需要时间，从而引起过渡过程。
5.1.1 电路产生过渡过程的原因
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换路,电路工作条件发生变化，如电源的接通
或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等
称为换路。
换路定理,电容上的电压 uC及电感中的电流 iL
在换路前后瞬间的值是相等的，即,
必须注意, 只有 uC, iL受换路定理的约束而保持
不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
)0()0(
)0()0(
LL
CC
??
??
?
?
ii
uu
5.1.2 换路定理
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例：图示电路原处于稳态,t=0时开关 S闭合,US=10V，
R1=10Ω,R2=5Ω,求初始值 uC(0+), i1(0+), i2(0+),iC(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电容 C相当于开路，因此 t=0-时
电容两端电压分别为,
+
U S
－
C
+
u C
－
S
t =0
i 1
R 1
R 2
i C i 2
+
U S
－
i 1 (0 + )
R 1
R 2
i C (0 + ) i 2 (0 + )
+
u C (0 + )
－
V10)0( SC ??? Uu
在开关 S闭合后瞬间，根据换路定理有,
V10)0()0( CC ?? ?? uu
由此可画出开关 S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得,
A010 1010)0()0(
1
CS1 ????? ??
R
uUi
A2510)0()0(
2
C
2 ???
?
? R
ui
A220)0()0()0( 21C ?????? ??? iii
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例：图示电路原处于稳态,t=0时开关 S闭合，求初始值
uC(0+),iC(0+)和 u(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感 L相当于短路、电容 C相当
于开路，因此 t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为,
4 Ω
R
1
R
2
2 Ω
+
u
－
+
C u
C
－
+
U
s
1 2 V
－
L i
L
+ u
L
－
R
3
6 Ω
i
1
i
C
V2.762.1)0()0()0(
A2.1
64
12
)0(
3L31C
31
L
?????
?
?
?
?
?
???
?
RiRiu
RR
U
i s
在开关 S闭合后瞬间，根据换路定理有,
V2.7)0()0(
A2.1)0()0(
CC
LL
??
??
??
??
uu
ii
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由此可画出开关 S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。
由图得,
4 Ω
R 1
R 2
2 Ω
+
U s 1 2 V
－
R 3
6 Ω
i L (0 + )
+ u L (0 + ) －
+
u (0 + )
－
+
u C (0 + )
－
i 1 (0 + ) i C (0 + )
A02.12.1)0()0()0(
A2.1
6
2.7)0(
)0(
1LC
3
1
?????
???
???
?
?
iii
R
u
i C
u(0+)可用节点电压法由 t=0+时的电路求出，为,
V4.2
2
1
4
1
2.1
4
12
11
)0(
)0(
21
L
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
RR
i
R
U
u
s
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5.2 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理
将其等效为一个简单的 RC电路或 RL电路。 R 3
+
U
－
i C
+
u C
－
C
R 1
R 2
+
U S
－
i C
+
u C
－
C
R 0
I S
i C
+
u C
－
C
R 0
因此，对一阶电路的分析，
实际上可归结为对简单的 RC
电路和 RL电路的求解。一阶
动态电路的分析方法有经典
法和三要素法两种。
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1,RC电路分析
sUudt
duRC ??
C
C
图示电路,t=0时开关 S闭合。根据 KVL,得回路电压方程为,
从而得微分方程,
而,
5.2.1 经典分析法
SCR Uuu ??
t
u
RCRiu
t
u
Ci
d
d
d
d
C
CR
C
C
??
?
R +
U
S
－
i
CS
+
u
C
－
C
+
u
R
－
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解微分方程，得,
只存在于暂态过程中,t→∞ 时 uC''→0, 称为 暂态分量 。
其中 uC'=US为 t→∞ 时 uC的值，称为 稳态分量 。
RC
tt
eUUUeUUUu ?? ?????? )()( S0SS0SC ?
RC
tt
eUUeUUu ?? ?????? )()( S0S0C ?
τ=RC称为 时间常数，决定过渡过程的快慢 。
t
0
u
C
U
S
U
0
U
0
< U
S
t
0
u C
U 0
U S
U 0 > U S波
形
图,
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电路中的电流为,
R +
U
S
－
i
CS
+
u
C
－
C
+
u
R
－
RC
tt
eRUeRUtuCi
??
??? SSCC dd ?
电阻上的电压为,
RC
tt
eUeURiu ?? ??? SSCR ?
iC与 uR的波形
t
0
i C
U S
R
t
0
u R
U S
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2,RL电路分析
图示电路,t=0时开关 S闭合。根据 KVL,得回路电压方程为,
SLR Uuu ??
R +
U
S
－
i
LS
+
u
L
－
+
u
R
－
L
因为,
LR
L
L d
d
Riu
t
i
Lu
?
?
从而得微分方程,
R
Ui
t
i
R
L S
LLd
d ??
?
t
eRUIRUi
?
??? )( S0SL
解之得,
稳态分量 暂态分量
式中 τ=L/R为时
间常数
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经典法求解一阶电路的步骤,
（ 1） 利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系
,根据换路后的电路列出微分方程；
（ 2） 求微分方程的特解, 即稳态分量；
（ 3） 求微分方程的补函数, 即暂态分量；
（ 4） 将稳态分量与暂态分量相加, 即得微
分方程的全解；
（ 5） 按照换路定理求出暂态过程的初始值
,从而定出积分常数 。
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例：图 (a)所示电路原处于稳态,t=0时开关 S闭合，求开关闭
合后的电容电压 uC和通过 3Ω电阻的电流 i。
3 Ω
+
12V
－
i
C
+
u
C
－
1F
( a)
S
6 Ω
i
+
U S
－
i C
+
u C
－
C
R
( b)
－
u R
+
解：用戴微南定理将图 (a)所示开关
闭合后的电路等效为图 (b),图中,
V81236 6S ????U
????? 236 36R
对图 (b)列微分方程,
8dd2 CC ?? utu
解微分方程,
tAeu 5.0C 8 ???
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3 Ω
+
12V
－
i
C
+
u
C
－
1F
( a)
S
6 Ω
i
由图 (a)求 uC的初始值为,
V12)0()0( CC ?? ?? uu
积分常数为,
4812 ???A
所以，电容电压为,
V48 5.0C teu ???
通过 3Ω电阻的电流为,
? ? A
3
4
3
4
3
4812
3
12 5.05.0C tt eeui ?? ???????
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5.2.2 三要素分析法
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为,
?
t
efffftf ?? ????? )]()0([)()(
式中,f(0+)为待求电流或电压的初始值,f(∞)为待求电流
或电压的稳态值,τ为电路的时间常数。
对于 RC电路，时间常数为,
RC??
对于 RL电路，时间常数为,
R
L??
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例：图示电路, IS=10mA,R1=20kΩ,R2=5kΩ,C=100μF。
开关 S闭合之前电路已处于稳态, 在 t=0时开关 S闭合 。 试用
三要素法求开关闭合后的 uC。
解,（ 1） 求初始值 。 因为开关 S闭合之前电路已处于稳态,
故在瞬间电容 C可看作开路, 因此,
V20010201010)0()0( 331SCC ??????? ??? RIuu
I
S
+
u
C
－
CR
1
S
R
2
（ 2）求稳态值。当 t=∞时，电
容 C同样可看作开路，因此,
V40
520
10520
1010
)(
3
3
21
21
SC
?
?
??
???
?
??
?
RR
RR
Iu
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（ 3） 求时间常数 τ。 将电容支路断开, 恒流源开路, 得,
??
?
??
?
? k4
520
520
21
21
RR
RRR
时间常数为,
s4.010100104 63 ?????? ?RC?
（ 4）求 uC。 利用三要素公式，得,
? ? V160404020040 5.24.0C tt eeu ?? ?????
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例：图示电路, US1=9V,US2=6V, R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H
。 开关 S闭合之前电路已处于稳态, 在 t=0时开关 S闭合 。 试
用三要素法求开关闭合后的 iL和 u2。
解,（ 1） 求初始值 。 因为开关 S闭合之前电路已处于稳态,
故在瞬间电感 L可看作短路, 因此,
（ 2）求稳态值。当 t=∞时，电
感 L同样可看作短路，因此,
A136 9)0()0(
21
S1LL ?
????? ?? RR
Uii
A236)(
2
S2
L ???? R
Ui
+
U S1
－
i L
+
u 2
－
L
S
R 2R 1
+
U S 2
－
V313)0()0( L22 ???? ?? iRu
V623)()( L22 ?????? iRu
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（ 3） 求时间常数 τ。 将电感支路断开, 恒压源短路, 得,
时间常数为,
（ 4）求 iL和 u2。 利用三要素公式，得,
??? 32RR
s31?? RL?
? ? A2212 33L tt eei ?? ?????
? ? V36636 332 tt eeu ?? ?????
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5.3 零输入响应和零状态响应
5.3.1 一阶电路响应的分解
根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，
即,
全响应 =稳态分量 +暂态分量
根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零
状态响应，即,
全响应 =零输入响应 +零状态响应
零输入响应 是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初
始状态有关，而与激励无关。 零状态响应 是初始状态为零时，
由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。
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将一阶 RC电路中电容电压 uC随时间变化的规律改写为,
)1(S0C RC
t
RC
t
eUeUu ?? ???
零输入响应 零状态响应
将一阶 RL电路中电感电流 iL随时间变化的规律改写为,
)1(S0L
t
L
Rt
L
R
e
R
UeIi ?? ???
零输入响应 零状态响应
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例：图示电路有两个开关 S1和 S2,t<0时 S1闭合, S2打开, 电
路处于稳态 。 t=0时 S1打开, S2闭合 。 已知 IS=2.5A,US=12V
,R1=2Ω,R2=3Ω,R3=6Ω,C=1F。 求换路后的电容电压 uC
,并指出其稳态分量, 暂态分量, 零输入响应, 零状态响应
,画出波形图 。
解,（ 1） 全响应 =稳态分量 +暂态分量
I S
S 1
C
+
u C
－
R 3
+
U S
－
R 1 R
2
S 2
稳态分量
V41263 3)(
32
2
CC ????????? SURR
Ruu
初始值
V332 325.2)0()0(
21
21SCC ?
?
???
??? ?? RR
RRIuu
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时间常数
s2163 63
32
32 ??
?
??
??? CRR
RRRC?
暂态分量 ? ? ? ? V43)()0( 5.02
CCC t
tt
eeeuuu ???? ????????? ?
全响应 V4 5.0CCC teuuu ????????
（ 2）全响应 =零输入响应 +零状态响应
零输入响应 V33)0( 5.02CC ttt eeeuu ???? ???? ?
零状态响应 ? ?
V14141)( 5.02CC t
tt
eeeuu ?
??
????
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
????? ?
全响应 ? ? V4143 5.05.05.0
CCC ttt eeeuuu ??? ??????????
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5.3.2 一阶电路的零输入响应
1．一阶 RC电路的零输入响应
C
2
R
+
U S
－
i C
S1
+
u C
－
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电容上已充有电压。 t=0
时开关 S从位置 1拨到位置 2，使 RC电路脱离电源。根据换路
定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，
通过电阻 R放电，在电路中产生放电电流 iC。 随着时间增长，
电容电压 uC和放电电流 iC将逐渐减小，最后趋近于零。这样，
电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应
仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。
由初始值 uC(0+)=U0,稳态值
uC(∞)=0,时间常数 τ=RC，
运用三要素法得电容电压,
RC
tt
eUeuu ??? ?? 0CC )0( ?
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放电电流
RC
t
RC
t
eieRUtuCi
?
?
?
???? )0(dd C0CC
u
C
i
C
t
0
u
C
,i
C
U
o
R
U
o
?
放电过程的快慢是由时间常数 τ决定。
τ越大，在电容电压的初始值 U0一定
的情况下,C越大，电容存储的电
荷越多，放电所需的时间越长；而
R越大，则放电电流就越小，放电
所需的时间也就越长。相反,τ越小，
电容放电越快，放电过程所需的时
间就越短。
从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压 uC才衰减到零，
电路到达稳态。但实际上,uC开始时衰减得较快，随着时间的
增加，衰减得越来越慢。经过 t=(3~5)τ的时间,uC已经衰减到可
以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，
电路到达稳定状态。
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2．一阶 RL电路的零输入响应
2
R
+
U S
－
i L
S1
+
u L
－
L
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电路已处于稳态，电感
中已有电流。在 t=0时，开关 S从位置 1拨到位置 2，使 RL电路
脱离电源。根据换路定理，电感电流不能突变。于是，电感
由初始储能开始，通过电阻 R释放能量。随着时间的增长，电
感电流 iL将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电感存储的能量
全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始
状态所引起，故为零输入响应。
由初始值 iL(0+)=I0,稳态值
iL(∞)=0,时间常数 τ=L/R，
运用三要素法得电感电流,
tLRt eIeii ??
? ?? oLL )0( ?
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电感两端的电压 t
L
Rt
L
R
eueRItiLu ??? ???? )0(dd LoLL
i
L
u
L
t
0
i
L
,u
L
I
o
－ RI
o
RL电路暂态过程的快慢也是
由时间常数 τ来决定的。 τ越
大，暂态过程所需的时间越
长。相反,τ越小，暂态过
程所需的时间就越短。且经
过 t=(3~5)τ的时间,iL已经衰
减到可以忽略不计的程度。
这时，可以认为暂态过程已
经基本结束，电路到达稳定
状态。
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5.3.3 一阶电路的零状态响应
1．一阶 RC电路的零状态响应
C
1
R
+
U S
－
i C
S2
+
u C
－
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电路已处于稳态，电容
没有初始储能。 t=0时开关 S从位置 1拨到位置 2,RC电路接通
电压源 US。 根据换路定理，电容电压不能突变。于是 US通过
R对 C充电，产生充电电流 iC。 随着时间增长，电容电压 uC逐
渐升高，充电电流 iC逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容
电压等于 US,充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能
为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。
由初始值 uC(0+)=0,稳态值
uC(∞)= US,时间常数 τ=RC，
运用三要素法得电容电压,
)1()1)(( SCC RC
tt
eUeuu ?? ????? ?
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充电电流 RC tRC t eie
R
U
t
uCi ?
?
?
??? )0(dd CSCC
u C
i C
t
0
u C, i C
U S
R
U S
RC电路充电过程的快慢也是由
时间常数 τ来决定的,τ越大，
电容充电越慢，过渡过程所需
的时间越长；相反,τ越小，电
容充电越快，过渡过程所需的
时间越短。同样，可以根据实
际需要来调整电路中的元件参
数或电路结构，以改变时间常
数的大小。
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2．一阶 RL电路的零状态响应
图示电路，换路前开关 S置于位置 1，电路已处于稳态，电感
没有初始储能。 t=0时开关 S从位置 1拨到位置 2,RL电路接通
电压源 US。 根据换路定理，电感电流不能突变。于是 US通过
R对 L供电，产生电流 iL。 随着时间增长，电感电流 iL逐渐增
大，最后电路到达稳态时，电感电流等于 US/R。可见电路换
路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状
态响应。
由初始值 iL(0+)=0,稳态值
iL(∞)= US/R,时间常数
τ=L/R,运用三要素法得电
感电流,
1
R
+
U S
－
i L
S2
+
u L
－
L
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
??
?? t
L
Rt
e
R
Ue
R
Ui 11 SS
L
?
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电感两端的电压 t
L
Rt
L
R
eueUtiLu ??? ??? )0(dd LSLL
i
L
u
L
t
0
i
L
,u
L
U
S
R
U
S
RL电路暂态过程的快慢也是
由时间常数 τ来决定的。 τ越
大，暂态过程所需的时间越
长。相反,τ越小，暂态过
程所需的时间就越短。且经
过 t=(3~5)τ的时间,iL已经衰
减到可以忽略不计的程度。
这时，可以认为暂态过程已
经基本结束，电路到达稳定
状态。
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5.4 微分电路与积分电路
5.4.1 微分电路
+
u o
－
R
C
+
u i
－
u
i
0
U
t
1
t
t
2
t
3
t
w
u
o
0
U
t
t
uRC
t
uRCRiu
d
d
d
d iC
o ???
条件,
(1)时间常数 τ<<tw；
(2)输出电压从电阻两端取出 。
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5.4.2 积分电路
u
i
0
U
t
1
t
t
2
t
3
t
w
u
o
0
U
t?? ??? tu
RCtiCuu d
1d1
iCo
条件,
(1)时间常数 τ>>tw；
(2)输出电压从电容两端取出 。
R
C
+
u
i
－
+
u
o
－
