第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）； （2）
（3）； （4）.
解 （1）
=
=
（2）
（3）
（4）
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；
（5）1 3 … 2 4 … ；
（6）1 3 … … 2.
解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1
（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
（5）逆序数为：
3 2 1个
5 2，5 4 2个
7 2，7 4，7 6 3个
……………… …
2， 4， 6，…，
个
（6）逆序数为
3 2 1个
5 2，5 4 2个
……………… …
2， 4， 6，…，
个
4 2 1个
6 2，6 4 2个
……………… …
2， 4， 6，…， 个
3.写出四阶行列式中含有因子的项.
解 由定义知，四阶行列式的一般项为
，其中为的逆序数．由于
已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为
或
和为所求.
4.计算下列各行列式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
解
(1)
=
==0
(2)
=0
(3)=
==
(4)
=
==
5.证明:
(1)=;
(2)=;
(3);
(4)
;
(5).
证明
(1)
(2)
(3)
(4)
=
=
=
=
=
(5) 用数学归纳法证明
假设对于阶行列式命题成立，即
所以，对于阶行列式命题成立.
6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得
,,，
证明.
证明
同理可证
7.计算下列各行列式（）：
(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；
(2);
(3) ;
提示：利用范德蒙德行列式的结果．
(4) ;
(5);
(6),.
解
(1)
()
(2)将第一行乘分别加到其余各行，得
再将各列都加到第一列上，得
(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第
行经次对换换到第2行…，经次行交换，得
此行列式为范德蒙德行列式
(4)
由此得递推公式：
即
而
得
(5)
=
(6)
8.用克莱姆法则解下列方程组：
解 (1)
(2)
()
．
9.有非零解？
解 ，
齐次线性方程组有非零解，则
即
得
不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.
10.
有非零解？
解
齐次线性方程组有非零解，则
得
不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.
