第二章 矩阵及其运算
1．已知线性变换：
求从变量到变量的线性变换．
解由已知：
故
2．已知两个线性变换
求从到的线性变换．
解 由已知
所以有
3．设,
求
解
4．计算下列乘积：
(1); (2); (3);
(4);
(5);
(6).
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
5．设,，问：
(1)吗?
(2)吗?
(3)吗?
解
(1),
则
(2)
但
故
(3)
而
故
6．举反列说明下列命题是错误的:
（１）若,则;
（２）若,则或;
（３）若,且,则.
解 (1) 取 ,但
(2) 取 ,但且
(3) 取
且 但
7．设,求.
解
利用数学归纳法证明,
当时,显然成立,假设时成立,则时
由数学归纳法原理知:
8．设,求.
解 首先观察
由此推测
用数学归纳法证明:
当时,显然成立.
假设时成立，则时，
由数学归纳法原理知,
9．设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.
证明 已知：
则
从而 也是对称矩阵.
10．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是
.
证明 由已知：
充分性：
即是对称矩阵.
必要性：.
11．求下列矩阵的逆矩阵：
(1)； (2)； (3);
(4); (5);
(6)
解
(1)
故
(2) 故存在
从而
(3) ,故存在
而
故
(4)
故
(5) 故存在而
从而
(6)
由对角矩阵的性质知
12．解下列矩阵方程：
(1) ; (2) ;
(3) ;
(4) .
解
(1)
(2)
(3)
(4)
13．利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1) (2)
解 (1) 方程组可表示为
故
从而有
(2) 方程组可表示为
故
故有
14．设(为正整数),证明
.
证明 一方面,
另一方面，由有
故
两端同时右乘
就有
15．设方阵满足,证明及都可逆,并求及
.
证明 由得
两端同时取行列式,
即 ,故
所以可逆,而
故也可逆.
由
又由
16．设,,求.
解 由可得
故
17．设,其中,,求.
解 故所以
而
故
18．设次多项式,记
称为方阵的次多项式.
(1)设,证明,,;
(2)设,证明,,.
证明
(1) i)利用数学归纳法.当时
命题成立,假设时成立,则时
故命题成立.
ii)左边
=右边
(2) i) 利用数学归纳法.当时
成立假设时成立,则时
成立,故命题成立,
即
ii) 证明右边
=左边
19．设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：
(1) 若,则;
(2) .
证明
(1) 用反证法证明．假设则有
由此得
这与矛盾，故当时有
(2) 由于,则
取行列式得到,
若 则
若由(1)知此时命题也成立故有
20．取,验证
检验,
而
故
21．设,求及
解 ，令
则
故
22．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．
解 将分块为
其中 为矩阵,为矩阵
为矩阵,为矩阵则
由此得到
故 ．
