第四章 向量组的线性相关性
1．设,
求及.
解
2．设其中,
,,求
解 由整理得
3．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.
(2)若有不全为0的数使
成立,则线性相关,亦线性相关.
(3)若只有当全为0时,等式
才能成立,则线性无关,亦线性无关.
(4)若线性相关,亦线性相关,则有不全为0的数,
使
同时成立.
解 (1) 设
满足线性相关,但不能由线性表示.
(2) 有不全为零的数使
原式可化为
取
其中为单位向量,则上式成立,而
,均线性相关
(3) 由 (仅当)
线性无关取
取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.
(4)
与题设矛盾.
4．设,证明向量组
线性相关.
证明 设有使得
则
(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,
;;;;
由不全为零,知不全为零,即线性相关.
(2) 若线性无关,则
由知此齐次方程存在非零解则线性相关.
综合得证.
5．设,且向量组
线性无关,证明向量组线性无关.
证明 设则
因向量组线性无关,故
因为故方程组只有零解则所以线性无关
6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1) ; (2) .
解 (1)
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)
，
所以第1、2、3列构成一个最大无关组．
7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
(1) ,,;
(2) ,,.
解 (1) 线性相关.
由
秩为2,一组最大线性无关组为.
(2)
秩为2,最大线性无关组为.
8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.
证明 维单位向量线性无关不妨设:
所以
两边取行列式，得
由
即维向量组所构成矩阵的秩为
故线性无关.
9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.
证明 设为一组维单位向量，对于任意维向量
则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.
线性无关，且能由单位向量线性表示，即
故
两边取行列式，得
由
令则由
即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.
已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：
可由线性表示，由8题知线性无关.
10．设向量组:的秩为,向量组:的秩
向量组,的秩,证明
证明 设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数
(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由
线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即
设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,
即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),
为阶矩阵，所以秩()即.
11.证明.
证明:设
且行向量组的最大无关组分别为
显然,存在矩阵,使得
,
因此
12．设向量组能由向量组线性表示为
，
其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.
证明 若组线性无关令则有
由定理知
由组:线性无关知，故.
又知为阶矩阵则
由于向量组:能由向量组:线性表示,则
综上所述知即．
若
令,其中为实数
则有
又,则
由于线性无关,所以
即 （1）
由于则(1)式等价于下列方程组:
由于
所以方程组只有零解.所以线性无关,
证毕.
13．设
问是不是向量空间？为什么？
证明 集合成为向量空间只需满足条件：
若，则
若，则
是向量空间，因为：
且
故
故
不是向量空间，因为：
故
故当时，
14．试证:由所生成的向量空间就是.
证明 设
于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,
所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.
15．由所生成的向量空间记作,由
所生成的向量空间记作,试证
.
证明 设
任取中一向量,可写成,
要证,从而得
由得
上式中,把看成已知数,把看成未知数
有唯一解
同理可证, ()
故
16．验证为的一个基,并把
用这个基线性表示.
解 由于
即矩阵的秩为3
故线性无关，则为的一个基.
设，则
故
设，则
故线性表示为
17．求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1) (2)
(3).
解 (1)
所以原方程组等价于
取得
取得
因此基础解系为
(2)
所以原方程组等价于
取得
取得
因此基础解系为
(3)原方程组即为
取得
取得
取得
所以基础解系为
18．设,求一个矩阵,使,且
.
解 由于,所以可设则由
可得
,解此非齐次线性方程组可得唯一解
， 故所求矩阵．
19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为
.
解 显然原方程组的通解为
,()
即消去得
此即所求的齐次线性方程组.
20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量．且
，
求该方程组的通解．
解 由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得
为其基础解系向量，故此方程组的通解：，
21．设都是阶方阵，且，证明．
证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．
当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,
，，结论成立．
(2) 当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而
的列向量组的秩,即,此时,结论成立。
综上,．
22．设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明
(提示:利用题11及题21的结论)
证明
所以由21题所证可知
又
由11题所证可知
由此．
23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：
(1) (2)
解 (1)
(2)
24．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:
(1)线性无关；
(2) 线性无关。
证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数
使得下式成立:
(1)
其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。
由于为特解，为基础解系，故得
而由(1)式可得
故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得
产生矛盾,假设不成立,故线性无关.
(2)反证法,假使线性相关.
则存在着不全为零的数使得下式成立:
（2）
即
若,由于是线性无关的一组基础解系,故,由(2)式得此时
与假设矛盾.
若由题(1)知,线性无关,故
与假设矛盾,
综上,假设不成立,原命题得证.
25.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，
满足.证明
也是它的解.
证明 由于是非齐次线性方程组的个解.
故有
而
即 （）
从而也是方程的解．
26．设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为
（其中）.
证明 设为的任一解．
由题设知：线性无关且均为的解．
取，则它的均为的解．
用反证法证：线性无关．
反设它们线性相关，则存在不全为零的数：
使得
即
亦即
由线性无关知
矛盾，故假设不对．
线性无关，为的一组基．
由于均为的解，所以为的解可由
线性表出．
令则
,证毕．
