第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1)
(2)
(3)
(4)
2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?
解 在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.
例如，
同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.
3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?
解
设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，
故而.
4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,
解 设为五维向量,且,
,则所求方阵可为秩为4,不妨设
取
故满足条件的一个方阵为
5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：
(1) ; (2) ；
(3) .
解 (1)
二阶子式．
(2)
.
二阶子式．
(3)
秩为3
三阶子式．
6．求解下列齐次线性方程组:
(1) (2)
(3) (4)
解 (1) 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
(2) 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
(3) 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
(4) 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
7．求解下列非齐次线性方程组:
(1) (2)
(3) (4)
解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有
而,故方程组无解．
(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得亦即
(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得 即
(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得 即
8．取何值时,非齐次线性方程组
(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?
解 (1) ,即时方程组有唯一解.
(2)
由
得时,方程组无解.
(3) ,由,
得时,方程组有无穷多个解.
9．非齐次线性方程组
当取何值时有解？并求出它的解．
解
方程组有解，须得
当时,方程组解为
当时,方程组解为
10．设
问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．
解
当,即 且时，有唯一解.
当且，即时，无解.
当且，即时，有无穷多解.
此时，增广矩阵为
原方程组的解为 ()
11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：
(1) ; (2) .
解 （1）
故逆矩阵为
(2)
故逆矩阵为
12．(1) 设,求使;
(2) 设,求使.
解
(1)
(2)
．
