第五章 相似矩阵及二次型
1．试用施密特法把下列向量组正交化：
(1) ；
(2)
解 (1) 根据施密特正交化方法:
令，
，
，
故正交化后得,．
(2) 根据施密特正交化方法令
故正交化后得
2．下列矩阵是不是正交阵:
(1) ; (2) ．
解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．
(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．
3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．
证明 因为是阶正交阵，故，
故也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1); (2); (3).
并问它们的特征向量是否两两正交?
解 (1) ①
故的特征值为．
② 当时,解方程,由
得基础解系
所以是对应于的全部特征值向量．
当时,解方程,由
得基础解系
所以是对应于的全部特征向量．
③
故不正交．
(2) ①
故的特征值为．
② 当时，解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量.
当时,解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由
得基础解系
故是对应于的全部特征值向量．
③ ，
，
，
所以两两正交．
(3)
=
,
当时，
取为自由未知量，并令，设.
故基础解系为
当时，
可得基础解系
综上所述可知原矩阵的特征向量为
5．设方阵与相似，求.
解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即
．
6．设都是阶方阵，且，证明与相似．
证明 则可逆
则与相似．
7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为
，，
求.
解 根据特征向量的性质知可逆,
得:
可得
得
8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为
,求.
解 设
由，知①
3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，
故利用①可推出
秩为1.
则存在实的使得②成立．
由①②解得．
得．
9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:
(1); (2)．
解 (1)
故得特征值为．
当时，由
解得
单位特征向量可取:
当时,由
解得
单位特征向量可取,
当时,由
解得．
单位特征向量可取,
得正交阵
(2)，
故得特征值为
当时，由
解得
此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量
单位化得
当时,由
解得
单位化:得正交阵
．
10．(1) 设，求；
(2) 设,求．
解 (1) 是实对称矩阵.
故可找到正交相似变换矩阵
使得
从而
因此
．
(2) 同(1)求得正交相似变换矩阵
使得
．
11．用矩阵记号表示下列二次型:
(1) ;
(2)
(3)
解 (1) ．
(2) ．
(3) ．
12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
(1) ;
(2) ．
解 (1) 二次型的矩阵为
故的特征值为．
当时,解方程，由
得基础解系,取
当时，解方程，由
得基础解系取．
当时，解方程，由
得基础解系取，
于是正交变换为
且有．
(2)二次型矩阵为
，
故的特征值为
当时，可得单位特征向量，
当时，可得单位特征向量，
当时，可得单位特征向量，．
于是正交变换为
且有．
13．证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.
证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得
成立．
其中为的特征值，不妨设最大，
为正交矩阵，则且，故
则．
其中
当时，
即即
．
故得证．
14．判别下列二次型的正定性：
(1);
(2)
解 (1) ,
，，，
故为负定．
(2) ，，,
,．
故为正定．
15．设为可逆矩阵,,证明为正定二次型．
证明 设，，
．
若“”成立，则成立．
即对任意使成立．
则线性相关,的秩小于，则不可逆，与题意产生矛盾．
于是成立．
故为正定二次型．
16．设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使．
证明 正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正．
不妨设为其特征值，
由定理8知，存在一正交矩阵
使
又因为正交矩阵，则可逆，．
所以．
令，可逆,则.
