第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory) 主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129 §8.1 优先序 一、二元关系 1.无差异(Indifferent to)～ 2.(严格)优于(Strict preference to) 3.不劣于(preference of indifference to) (可以用定义～，： A～B AB且BA AB AB且非BA 因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。 (在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。 但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。 二、二元关系的种类(用R表示二元关系) (传递性，若xRy, yRz则xRz (自反性reflectivity: xRx (非自反性：(Irreflexivity)非xRx (对称性(Symmetry)若zRy,则yRx (非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx (反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y (连通性(connectivity) completeness, Comparability 对x, y∈X xRy 或/和 yRx 任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如， 20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100, 但是20≠100 连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立. 连通性传递性  完全序 §8.2多属性价值函数 一、价值函数的存在性 定理8.3 X, 是X上的弱序，且 ①  若 ≥  ; ②  若  则 必存在唯一的0＜λ＜1使～λ+(1-λ); 则存在定义在X上的实值函数v，满足   v()＞ v()  (  v() = v() Note: 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好也增加. 2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean). 3. v()=f() f的形式通常十分复杂，即使为线性 v 的形式仍十分复杂. 例： ,  的价值函数为线性, 即: =k1 =k2 且 k2=1.5k1, 但是 v()≠()+() 因此, 价值函数的设定相当困难.  二、加性价值函数 1.定义： 若 v()=, 则称价值函数V()是加性的 2.加性价值函数的存在条件 定理8.6(P133) (n≥3) 定义在YR上的价值函数 v()=v()对任何 ’,”∈Y , ’” iff v(’)≥v(”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y, i=1,…,n 上的实值函数 v使 ’”(’)+ …+(’) ≥(”)+ …+(”) 3.互相偏好独立的定义： 属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集(Ω=ΘU) 4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集的定义(P130定义8.2) 当且仅当：对特定的 若 (’,) ( ”,) 则对所有 必有(’,) ( ”,) 称属性集Ω的子集偏好独立于其补集. 5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4) 消去条件 对(,,(, ,,( 有(,)(,),(,)(,)则必有(,)(,) 则称满足消去条件. Thomson条件 将消去条件中的改为～. 三、其他简单形式 1.拟加性： v()=++ + … + () …() 条件  i=1,2,…,n弱差独立于其补集 (详见p135,定义8.7) 2.乘性(pp136-137) 若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集, 则 v()=+k+ + … + () …() §8.3多属性效用函数 一、二个属性的效用函数 ·后果空间X×Y，后果(x,y)，设决策人在X×Y上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)=(x)+ (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下) ·设决策人关于X×Y空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X×Y上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)). 其中φ(·)是保序变换 ·决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 <,(,);…；,(,)>的抽奖 可以用期望效用E[u(x,y)]=  来衡量其优劣. 二、效用独立(Utility Independence) 1.例： : <0.5,(100,150); 0.5, (400,150)>  : <0.5,(175,150); 0.5, (225,150)>  : <0.5,(100,250); 0.5, (400,250)>  : <0.5,(175,250); 0.5, (225,250)> 若效用独立, 则( 2.定义： 若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于Y。效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与Y无关). 更一般的定义见P147，定义8.10 3.效用独立蕴含偏好独立 (x,()(x’,() 对某个α ( <1, (x,()> <1, (x’,()> ( <1, (x,()> <1, (x’, ()> 由UI，对任何β成立 ( (x,()  (x’, () 4.引理： X是效用独立于Y的，当且仅当，对固定的 u(x,y)= ((y) u(x, ) + ((y) ((x,y)(X(Y 其中α(y)>0, α(y),β(y)的确定与有关。 同理，Y是效用独立于X的，当且仅当对固定的 u(x,y)= ( (y) u(, y) + ((y) ((x,y)(X(Y 其中((x)>0, ((x),δ(x)的确定与有关。 5. X、Y相互效用独立 定理：X和Y是相互效用独立的，则：若选(,)使u(,)=0 必有 u(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y) 即XY相互效用独立且 u(,)=0时，u(x,y)具拟加性. 6.加性条件： 在上述假设下，再附加：对某个,(X, ,(Y, <0.5,(, ); 0.5,( ,)> (<0.5,(, ); 0.5,( ,)> 且 (,)( ,), (, ) ( ,) 则 u(x,y)= u(x, )+ u(,y) 加性独立也可以用另一种方式来表示: 属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x’(X, y,y’(Y <0.5,(x, y); 0.5,( x’,y’)> (<0.5,(x, y’); 0.5,( x’,y)> 8.定理 设u(x,y)是X(Y上的效用函数,且X、Y是加性独立的,则若选(,)使u(,)=0 有u(x,y)= u(x, )+ u(,y) 加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足。 拟加性效用函数的例 某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣 x:每天的日照时数 y:每天的费用 在与决策分析人讨论后确定了: a. 他的偏好是相互效用独立的; b. x的边际效用是线性的，日照愈长愈好; c. y的边际效用也是线性的，费用愈小愈好; d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12) (15,16)～(12,8) 他面临的度假地有两种选择 A：x=10, y=14 B: y=15 有25%的可能性是x=13, 75%的可能性是x=4 他应选择那一地点度假? 解: 先选(,).由于需要(,)～( ,) 在(10,16)～(8,12)中，=8, =16 则=10, =12 令u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由x边际效用的线性性u(x, 16)=(x-8)/2 同样，由y边际效用的线性性以及u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1 可得：u(8,y)=(16-y)/4 因此：u(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k u(x, )u(,y) =(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8 ∵(15,16)～(12,8) ∴u(15, 16) = u(12, 8) 即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k ( 4/2 ( 8/4 得k=1/8 因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64