<决策理论和方法>习题 1998年 第一章 概论 一、什么是决策? 什么是决策分析? 决策问题的特点是什么? 决策问题有哪些要素? 用决策树表示下列问题: 火灾保险 易腐品进货问题 油井钻探问题: 某公司拥有一块可能有油的土地, 该公司可以自己钻井,也可以出租给其它公司开采; 若出租土地,租约有两种形式,①无条件出租,租金45万元 ②有条件出租,租金依产量而定: 产量在20万桶或以上时,每桶提成5元; 产量不足20万桶时不收租金. 设钻井费用为75万元,有油时需另加采油设备费25万元,油价为15元/桶.(为 了简化,可以将油井产量离散化,分为4种状态: 无油,产油5万桶, 产油20万桶, 产油50万桶) * 设油井钻探问题如下: 每次钻井费用10万元,有油时售油收入100万元,有油的概率为0.2, 无油的概率为0.8.问无油时该继续钻井否? 若该, 钻几次仍无油时停止钻井? 第二章 主观概率和先验分布(Subjective Probability & Prior Distribution) 为什么要引入主观概率? 试比较主、客观概率的异同. 如何设定先验分布? 1. 阅读<决策分析> §6.3.4 两人一组,一人充当决策人, 一人充当决策分析人, 就来年国民经济增长率的先验分布进行对话,并画出对话所得的图形曲线. 互换角色, 就就来年通涨率的先验分布进行对话. 设某个决策人认为产品售出400件的可能性是售出800件的可能性的1/3, 是售出1200件的可能性的1/2, 与售出1600件的可能性相同, 售出800件的可能性售出1200件的可能性的两倍, 是售出1600件的可能性的3倍; 售出1200件的可能性比售出1600件的可能性的大2倍. 求该决策人关于产品销售量的主观概率分布. 第三章 效用、损失和风险 (Utility 、Loss & Risk) 什么是效用? 基数效用与序数效用有何区别? 采用效用进行决策分析有何利弊? 二、某人请3个朋友吃饭, 他不知道究竟能来几人. 设各种状态的主观概率如下表所示. 设此人的效用函数u=x-2y-z.其中x是为朋友预订的客饭有人吃的份数, y 状态 θ1 θ2 θ3 θ4  来客人数 0 1 2 3   1/8 1/4 1/4 3/8  是来了吃不到饭的客人数, z是预订了客饭没有人吃的份数, 求他该为朋友订几份客饭? (设每人吃一份, 不得分而食之) 某人有资产1000用于购买股票,A种股票有70%的机会增值一倍30%的可能连本丢掉; B种股票有60%的机会增值一倍40%的可能连本丢掉. 设此人的效用U与收益X的函数关系是U(x)=ln(x+3000).决策人用m购A种股票,1000- m购B种股票.求m. 某厂考虑两种生产方案产品A可以0.3的概率获利5万元, 以0.2的概率获利8万元, 以0.5的概率获利9万元; 产品B肯定可以获利8万元. 决策人甲的效用函数为线性,即U1(x)= x; 决策人乙的效用函数 U2(x)= x/5 当 0≤x≤5 4x-10- x/5 当5≤x≤10 画出两个决策人的效用曲线. 甲乙两个决策人分别作何选择? 若生产AB两种产品均需另加5万元的固定成本, 甲乙两个决策人又该作何选择? 画出你的关于货币的效用曲线并作简要说明. 把一副扑克牌的四张A取出,牌面向下洗匀后排在桌面上.你可以从下列两种玩法中任选一种: 先任意翻开一张再决定: a)付出35元,叫停; 或者 b)继续翻第二张,若第二张为红你可收入100元, 第二张为黑则付出100元; ⑵ 任意翻开一张, 若此牌为红你可收入100元,为黑则付出100元; 画出此问题的决策树 设某决策人的效用函数u=,他该选何种玩法? (Peterberg Paradox)一个人付出C元即可参加如下的赌博:抛一枚硬币,若第N次开始出现正面, 则由庄家付给2元. 在这种赌博中, 参加者的期望收益为  =  = ∞ 但是, 很少有人愿意出较大的C. 试用效用理论对此加以证明. 第四章 贝叶斯分析 (Bayesean Analysis) 1. 风险型和不确定型决策问题的区别何在? 各有哪些求解方法? 什么是贝叶斯分析? 贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别? 用Molnor的六项条件逐一衡量下列原则: ①Minmax②Minmin③Hurwitz④Savage-Hiehans⑤Laplace 不确定型决策问题的损失矩阵如下表. 用上题所列五种原则分别求解.(在用Hurwitz原则求解时,讨论λ的取值对结果的影响) a1 a2 a3 a4  θ1 -4 -10 -12 -8  θ2 -18 -24 -6 -13  θ3 -6 0 -6 -10  θ4 -14 -8 -10 -4   某决策问题的收益矩阵如下表. 试用①最大可能值原则②Bayes原则③E-V原则④贝努里原则(U=0.1C)分别求解 θi θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7  π(θi) 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.1  a1 2 3 7 6 1 2 1.5  a2 4 8 6 9 3 4 2  a3 6 4 3 10 12 6 5   五、油井钻探问题(续第二章二之3) 1. 设各种状态的主观概率分布如下表且决策人风险中立,决策人该选择什么行动? 产油量 50万桶 20万桶 5万桶 无油  θi θ1 θ2 θ3 θ4  π(θi) 0.1 0.15 0.25 0.5  若可以通过地震勘探(试验费12万元)获得该地区的地质构造类型xj (j=1,2,3,4)的信息.设已知P(x|θ)如下表 θi \ xj x1 x2 x3 x4  θ1 7/12 1/3 1/12 0  θ2 9/16 3/16 1/8 1/8  θ3 11/24 1/6 1/4 1/8  θ4 3/16 11/48 13/48 5/16   ①求后验概率; ②画决策树; ③进行贝叶斯分析,求贝叶斯规则; ④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤; ⑤求完全信息期望值EVPI和采样信息期望值EVSI. 1. 医生根据某病人的症状初步诊断病人可能患A、B、C三种病之一, 得这三种病的概率分别是0.4、0.3、0.3. 为了取得进一步的信息,要求病人验血,结果血相偏高. 得A、B、C三种病血相偏高的可能性分别是0.8、0.6、0.2. 验血后医生判断患者得A、B、C三种病的概率各是多少? (续1)若得A、B、C三种病的白血球计数的先验分布分别是在[8000, 1000] 、[7000, 9000] 、[6000, 8500]区间上的均匀分布,化验结果是8350-8450.求此时病人患三种病的可能性各是多少? 七、某公司拟改变产品的包装, 改变包装后产品的销路不能确定,公司经理的估计是 销路差θ 销路一般θ 销路好θ  π(θ) 0.2 0.3 0.5  销路与收益的关系如下表 θ θ θ  改变包装 -40 0 600  包装不变 0 0 0   为了对销路的估计更有把握, 公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的经验,试销的结果与产品在将来的实际销路有如下关系: x i θi x1 x2 x3  θ 0.8 0.2 0  θ 0.2 0.4 0.4  θ 0 0.1 0.9  画出该决策问题的决策树; 确定与各种试销结果相应的贝叶斯行动; 分析试销费用与是否试销的关系. 第五章 随机优势(Stochastic Dominance) 一、用随机优势原则求解决策问题有何利弊? 二、决策人面临两种选择:①在[-1, 1]上均匀分布;②在[-A, B]上均匀分布其中⑴A=B=2; ⑵A=0.5, B=1.5; ⑶A=2, B=3. 试用FSD和SSD判别在上述三种情况下①与②何者占优势.(设决策人的效用函数u∈U) 三、已知收益如下表, 用优势原则筛选方案. (设决策人的效用函数u∈U) θi π(θi) a1 a2 a3 a4  θ1 0.1 2 -1 -1 -1  θ2 0.2 1 2 1 2  θ3 0.3 0 1 1 0  θ4 0.4 4 0 1 0   四、决策人的效用函数u∈U.试分析他对下表所示的决策问题应作何选择. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6  a1 0 3 3 1 3 3  a2 2 1 4 2 2 2   多准则决策分析(MCDM) 第八章 多属性效用函数（Multi-attribution utility function） 某企业拟在若干种产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年. 现仅考虑两种属性: 第一年的现金收益X和第二年的现金收益Y. 设现金收益可以精确预计; 企业的偏好是 ①X、Y是互相偏好独立的;②x (x x’(x≥x’ ;③y (y y’(y≥y’④(100,400)((200,300), (0,600) ((100,200). 设有下列产品对: . (0,100) (100,100) (2).(0,400) (200,200) (3). (100,500) (200,300) (4). (0,500) (150,200) 每对产品只能生产其中之一. 企业应该作何选择,为什么? 二、表一、表二分别给出了两个不同的二属性序数价值函数. 分别判断X是否偏好独立于Y, Y是否偏好独立于X. 表一 表二   Y       Y       y1 y2 y3 y4    y1 y2 y3 y4    x1 8 10 9 12   x1 12 9 8 5   X x2 2 11 9 14  X x2 13 11 10 9    x3 1 3 2 4   x3 10 8 7 4           x4 7 6 5 2    某人拟从甲地到乙地.他考虑两个因素,一是费用C,一是旅途花费的时间t, 设①他对c、t这两个属性是互相效用独立的,②费用及时间的边际效用都是线性的, 且边际效用随费用和时间的增加而减少,③他认为(20,4) ( (10,5), (20,5) ((10,6); 求此人的效用函数 若此人面临3种选择:a,乘火车,3小时到达,30元钱; b,自己开车,有3/4的 机会4小时到达化汽油费10元,1/4的机会6小时到达化汽油费12元; c, 先化2元乘公共汽车到某地搭便车,1/4的机会5小时到达,1/2的机会6小时到达,1/4的机会8小时到达. 求他应作何种选择. 第十章 多属性决策问题(Multi-attribution Decision-making Problem) 即:有限方案的多目标决策问题(MCDP with finite alternatives) 现拟在6所学校中扩建一所. 通过调研和分析, 得到两个目标的属性值表如下: (费用和学生平均就读距离均愈小愈好) 方案序号 1 2 3 4 5 6  费用(万元) 60 50 44 36 44 30  就读距离(km) 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4  试用加权和法分析应扩建哪所学校, 讨论权重的选择对决策的影响. 设w1=2w2, 用TOPSIS法求解. 二、(续上题)若在目标中增加一项,教学质量高的学校应优先考虑. 但是各学校教学质量的高低难以定量给出, 只能给出各校教学质量的优先关系矩阵如下表. 设w1=w2=w3, 用基于相对位置的方案排队法求解. 1 2 3 4 5 6  1 1 1 0 1 1 1  2 0 1 0 0 0 1  3 1 1 1 1 1 1  4 1 1 0 1 1 1  5 0 0 0 0 1 0  6 0 0 0 0 1 1   某人拟在六种牌号的洗衣机中选购一种. 各种洗衣机的性能指标如下表所(表中所列为洗5kg衣物时的消耗).设各目标的重要性相同, 试用适当的方法求解. 序号 价格(元) 耗时(分) 耗电(度) 用水(升)  1 1018 74 0.8 342  2  850 80  0.75 330  3  892 72 0.8 405  4 1128 63 0.8 354  5 1094 53 0.9 420  6 1190 50 0.9 405   六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表. 各目标的属性值越大越好. W=(0.3, 0.2, 0.4, 0.1) , α=0.7 , d1=15 , d3=2.0×10. 用ELECTRE法求解. 序号 y1 y2 y3 y4  1 20 0.3 1.3×10 3  2 13 0.5 4.0×10 3  3 15 0.1 2.2×10 5  4 30 0.7 1.0×10 2  5 5 0.9 4.0×10 7  6 40  0 1.0×10 1   第十一章 多目标决策问题(Multi-objective Decision-making Problem) 风险型决策问题有三个属性四个备选方案两种自然状态,后果如下表: θi π(θi) a1 a2 a3 a4  θ1 1/3 (40,4,250) (30,5,500) (20,8,300) (45,6,300)  θ2 2/3 (20,5,400) (40,7,600) (45,1,500) (30,8,600)  各属性的边际效用如下图  设决策人认为属性x最重要, 属性y次之, 试用字典序法求解并讨论解的合理性. <决策分析>P219之例11.1, 若决策人的目的改为  试求解并作图. 试画出逐步进行法(STEM)的计算机求解的程序框图. 举一随机性多目标决策问题的实例. 多目标规划问题 max f1= 2x1+ x2 f1=-4x1+ x2 -2x1+ x2≤1 - x1+2x2≤8 x1+ x2≤10 2x1- x2≤8 4x1+3x2≥8 x1, x2≥0 画出可行域X和X在目标空间的映象Y的图形. 求出所有非劣解; 在目标空间标出理想点; 设ω1=ω2求, , 及最佳调和解. 六、MADP和MODP各有什么特点? 哪些方法可以同时适用于求解这两类问题? 第十二章 群决策(Group Decision) 1.Arrow不可能定理有什么现实意义? 什么是投票悖论? 什么是策略行为? 二、群由30人组成, 现要从a、b、c、d四个候选人中选出一人担任某职务. 已知群中成员的偏好是: 其中8位成员认为 a(b(c(d 其中4位成员认为 b(c(d(a 其中6位成员认为 b(d(a(c 其中5位成员认为 c(d(a(b 其中5位成员认为 d(a(c(b 其中2位成员认为 d(c(b(a 用你所知道的各种方法分别确定由谁入选. 你认为选谁合适?为什么? 三、某个委员会原有编号为1、2、3的三个成员, 备选方案集为{a, b, c}.三个成员的偏好序分别是: c(1b(1a b(2a(2c a(3c(3b 求群体序. 若委员会新增两个成员(编号为4, 5), 原来成员的偏好序不变, 新增的两个成员应如何表达偏好? 原来成员的偏好序不变时,成员4,5联合能否控制委员会的排序结果?为什么? 四、谈判问题的可行域和现况点如图所示.  试用下列方法求解: Nash谈判模型; 2.K-S模型; 3.中间-中间值法; 4. 给出均衡增量法的求解步骤. 五、简述群决策与多目标决策的异同.