第 一 章 目 录 1.1 要点扫描 1 1.1.1 晶体材料的结合键 1 1.1.2 空间点阵和晶胞 3 1.1.3 常见纯金属（FCC、BCC、HCP）的晶体结构 5 1.1.4 晶面指数和晶向指数及其标注 6 1.1.5 标准投影 10 1.1.6 倒易点阵和晶体学公式 12 1.1.7 合金相结构 17 1.1.8 离子晶体结构 18 1.1.9 共价晶体结构 21 1.2 难点释疑 21 1.2.1 7大晶系包含的点阵类型为什么不是28种，而是14种？ 21 1.2.2 为什么没有底心正方和面心正方点阵？ 21 1.2.3 确定晶面指数时应注意哪些问题？ 22 1.2.4 立方晶系中重要晶面上的晶体排列及面密度 22 1.2.5 立方晶系中重要方向上的晶体排列及线密度 23 1.3 解题示范 24 1.4 习题训练 32 参考答案 36 晶体结构 1.1 要点扫描 1.1.1 晶体材料的结合键 原子结构 原子是由原子中心带正电的原子核和核外绕核高速旋转的带负电的电子所构成。 元素的原子序数等于原子核中的质子数或核外电子数。每种元素均与一定的原子序数相对应。所有元素按照原子序数由小到大排列在元素周期表中，如表1-1所示。 表1-1 元素周期表 IA    碱金属 碱土金属 过渡元素       0  1 H IIA   主族金属 非金属 稀有气体  IIIA IVA VA VIA VIIA He  2 Li Be    轻稀土金属 重稀土金属 贵金属  B C N O F Ne  3 Na Mg IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB Al Si P S Cl Ar  4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr  5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe  6 Cs Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn  7 Fr Ra Ac Rf Db Sg Bh Hs Mt Uun Uuu Uub                            镧系 La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu    锕系 Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr    原子半径 如表1-2所示，列出了元素的原子半径。可以看出，元素的原子半径呈周期性变化。 同一族中，从上到下过渡时，虽然核电荷增加了，但内层的屏蔽效应也增加了。由于电子层的增加，主族元素原子半径递增显著，副族元素原子半径递增不显著。 原子半径小，核电荷对外层电子的吸引力强，元素的原子就难于失去电子而易与电子结合，非金属性就强。反之，原子半径大，核电荷对外层电子吸引力弱，元素的原子就易于失去电子，金属性就强。 表1-2 原子半径  元素的电负性 电负性是指元素的原子在分子中吸收电子的能力。以氟原子的电负性为4.0，比较各元素原子吸引电子的能力，得到其他元素的相对电负性，如表1-3所示。元素的电负性数值越大，表示原子在分子中吸引电子的能力越强，即非金属性越强。 可以看出：在周期表中每一周期元素从左到右的有效核电荷逐渐增大，原子半径逐渐减小， 原子间的键合 使不同的原子、离子或分子相互结合在一起的作用力称为结合键。结合键一般可分为一次键和二次键两种。 一次键： 离子键 正电性元素原子失去外层价电子变成带正电荷的正离子，负电性元素原子获得电子变成带负电荷的负离子，两者之间靠静电引力相互吸引，形成稳定的离子键。 离子键晶体的特点是：硬度高，强度大，脆性大，热膨胀系数小。 共价键 原子之间以共用电子对的形式形成稳定结构，这种由共用电子对所产生的结合键叫做共价键。 共价晶体的特点是：强度高，硬度高，脆性大，熔、沸点高，挥发性低。 金属键 周期表中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ族元素的原子很容易失去其外层的价电子形成正离子，这些失去的价电子被全体原子公共占有，在正离子之间自由运动，称为电子气。正离子和电子气之间通过强烈的静电吸引力结合在一起，这种结合力就叫做金属键。金属键没有方向性。 金属材料的特点是：有良好的导热性、导电性和塑性变形能力，强韧性高。 二次键 原子或分子之间依靠范德华力结合在一起，这种结合方式叫做分子键。 通过分子键结合的材料的特点是：熔点低、硬度低，有良好的绝缘性。 高分子链 高分子材料由大量相对分子质量很大的化合物组成，其所包含的结构单元可能不止一种，每种结构单元又具有不同的构形。由一种或多种简单低分子化合物通过共价键重复连接而成的链称为分子链。大分子链中的重复结构单元称为链节，链节的重复次数称为聚合度。 1.1.2 空间点阵和晶胞 空间点阵 代表晶体中原子、原子团或分子分布规律（周期性）的几何点的集合称为空间点阵。其中的几何点一般叫做结点（或阵点）。每个结点周围的环境都是相同的，即结点都是等同点。空间点阵利用这些周期性排列的结点描述了晶体中原子的排布规律。用假想的直线将这些结点连接起来，所构成的几何框架称为晶格。晶格的最小重复单元（平行六面体）称为晶胞（unit cell）。每个晶格的三条棱和三个夹角叫做晶格的晶格（点阵）常数，并以此刻画晶胞（从而是晶格）的大小和形状特点，如图1-1所示。  图1-1 晶格常数 晶系和点阵类型 根据晶体的晶格常数，可以将晶体分为7大晶系，如表1-2所示。 7大晶系共有14种点阵类型，如表1-3所示。 表1-2 晶系与点阵常数的关系 晶系 点阵常数关系  三斜 a≠b≠c ，α≠β≠γ≠90°  单斜 a≠b≠c ，α＝β＝90°≠γ α＝γ＝90°≠β  斜方 a≠b≠c ，α＝β＝γ＝90°  正方 a＝b≠c ，α＝β＝γ＝90°  立方 a＝b＝c ，α＝β＝γ＝90°  六方 a＝b≠c ，α＝β＝90° γ＝120 °  菱方 a＝b＝c ，α＝β＝γ≠90°   表1-3 7大晶系与14种点阵类型 晶系（7种） 点阵类型（14种）   简单 底心 面心 体心  1 三斜 √     2 单斜 √ √    3 斜方 √ √ √ √  4 正方 √   √  5 立方 √  √ √  6 六方 √     7 菱方 √     布拉菲点阵和复式点阵 由等同点构成的点阵叫做布拉菲点阵。但布拉菲点阵的结点反映的是晶体中原子或原子集团的分布规律，结点本身并不一定代表原子，即点阵和晶体结构并不一定相同。 有时也把实际晶体结构看成是一个点阵，但不是单一的布拉维点阵，而是由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵，称为复式点阵。 晶胞和原胞 晶格中能反映该晶格特征的最小重复单元称为晶胞。 选择晶胞时应遵循以下条件： 完全反应点阵的对称性； 体积尽可能小（但不一定是最小）。 体积最小，仅含一个结点的结构单元叫做原胞。由于原胞的选取只需遵循体积最小的原则，因此，通过原胞往往不易看出晶体的对称性。 1.1.3 常见纯金属（FCC、BCC、HCP）的晶体结构 晶体结构 FCC（面心立方）： 贵金属、Cu、Al、Ni、γ-Fe等； BCC（体心立方）： 碱金属、难熔金属(V、Nb、Cr、Mo、Ta、W等)、α-Fe等； HCP（密排六方）： Zn (c/a=1.86)、Cd (1.89)、Co、Mg (1.62)、Be (1.59)、Ti、Zr、Hf (1.59)、石墨(2.6) 等。 几何特性 每个晶胞中的原子数； 配位数（C.N.）：每一个原子周围最近邻的原子数； 堆垛密度（(）： 。 如表1-4所示，为立方晶系中，各晶体的几何特性及点阵常数和原子半径之间的关系。 间隙 若在晶胞的空隙中放入刚性球，则能放入的球的最大半径为间隙半径。 两种主要间隙——四面体间隙；八面体间隙。 表1-4 各立方晶体的几何特性  四面体间隙包括： BCC中的四面体间隙，如图1-2所示。 FCC中的四面体间隙，如图1-3所示。   图1-2 BCC中的四面体间隙 图1-3 FCC中的四面体间隙 HCP中的四面体间隙，如图1-4所示。  图1-4 HCP中的四面体间隙 八面体间隙包括： BCC中的八面体间隙，如图1-5所示。 FCC中的八面体间隙，如图1-6所示。 HCP中的八面体间隙，如图1-7所示。   图1-5 BCC中的八面体间隙 图1-6 FCC中的八面体间隙  图1-7 HCP中的八面体间隙 立方晶系中堆跺密度和间隙数等属性见表1-5。 表1-5 立方晶系中堆跺密度和间隙等属性 n CN ξ interstices di/da      oct. tete. oct. tete.  BCC 2 8 0.68 6 6/2=3 12 12/2=6 0.15 0.29  FCC 4 12 0.74 4 4/4=1 8 8/4=2 0.41 0.22  HCP 6 12 0.74 6 6/6=1 12 12/6=2 0.41 0.22   堆垛次序 在钢球模型的基础上，晶体可以看成是由某些晶面（或层）在空间按一定次序一个挨一个堆垛而成。该次序就称为堆垛次序。 对简单立方晶体来说，{100}面的堆垛次序为AAA……；{110}面的堆垛次序为ABAB。如图1-8所示。  图1-8 简单立方晶体的堆垛次序 1.1.4 晶面指数和晶向指数及其标注 晶面指数 晶体内的原子层面叫做晶体的晶面。 确定晶面指数的步骤： 建立一个空间直角坐标系，坐标轴分别为a，b，c； 求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z； 对所求截距取倒数得1/x，1/y，1/z； 将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l； 再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。 用三指数表示的晶面指数又叫米勒指数（Miller indices）。 对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶学上的等价面就构成一个晶面族。 例如，立方晶系中：  晶向指数 就晶向指数的含义来说，一个晶向的指数就是其方向余弦数。常用的标定晶向指数的方法一般有两种，分别是坐标法和行走法。 用坐标法确定晶向指数的步骤： 建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上； 在该待测晶向上找到另一点，并求出该点的坐标； 将坐标数按比例化为最小的整数，放在一个方括号中，就得到该晶向的晶向指数。 用行走法确定晶向指数的步骤： 建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上； 从原点出发，分别延各坐标轴方向行走，最后落在待测晶向上的另一点； 将延三个坐标轴方向行走的距离化为最小的整数，放在方括号中，就得的该晶向的晶向指数。 对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族<uvw>。 例如，。 立方晶系中的一些重要晶向： <100> : 轴向 <110> : 面对角线 <111> : 体对角线 <112> : 顶点到面心方向 在立方晶系中，如果一个晶面指数与一个晶向指数数值相等，符号相同，则该晶面与晶向互相垂直。 六方指数 我们发现在使用三指数来表示六方晶胞的晶面时，晶体学上等价面的晶面指数不同。例如图1-9中的A面和B面是一对等价面，但是使用三指数方式标定时，所得的晶面指数不相同，分别为和。   图1-9 三指数标定六方晶胞 图1-10 四指数标定六方晶胞 为解决该问题，我们对六方晶胞选择了、、、四个坐标轴，并使，如图1-10所示。由此得到的六方晶系晶面指数的一般形式为（hkil），其中i＝－(h+k)。 在使用四指数标定六方晶胞的晶向指数时，使用行走法获得的同一晶向的晶向指数不唯一。如图1-11所示，晶向使用行走法所得到的晶向指数可以是也可以是。所以，为保证晶向指数的唯一性，对于晶向指数[uvtw]添加了t=－(u+v)的条件。由此得到晶向的晶向指数应为。  图1-11 行走法标定六方晶胞的晶向指数 指数换算 在六方晶系中确定任意晶向的晶向指数，一般使用三指数推导到四指数的方法。推导过程如下：     例如  1.1.5 标准投影 描述晶体取向的方法有两种，一种是用晶面和晶向指数表示；另一种就是用晶体投影图。所谓晶体投影就是按一定规则表示各晶面或晶向分布的图形。 极射投影原理 极射投影的原理如图1-12所示。光源S位于球面上的南极点。投影面垂直于南极与北极的连线SN，SN与投影面的交点就是极射投影中心O′。  图1-12 极射投影的原理 极射投影的主要性质如下： 平行于投影面的大圆，其极射投影是一个圆，圆心就是极射投影中心O′。这个大圆称为基圆。 平行于投影面的晶向或晶面法线，其极射投影必在基圆上，且有两个点（位于基圆的某一直径的两端）。 只有半个球（图1-12中的北半球）上极点的极射投影位于基圆内；另半个球（南半球）上极点的投影则位于基圆外。由于任意晶向或晶面法线与球面的交点有两个，如一个在南半球上，另一个必在北半球上，因此，只需要将北半球上所有极点投影即可，而不需要基圆外的投影。个别时候需要南半球的投影，则将光源放置在N点。 球面上大圆的极射投影是一段通过基圆某直径两端的圆弧。在特殊情况下也可以是一条直径线（大圆垂直于投影面）或是基圆（大圆平行于投影面）。 球面上小圆的极射投影也是小圆，它不通过直径的两端，且圆心并不和圆周上各点等距离。 球面上两极点间的角度是用这两点之间的大圆弧度来度量，因此，在极射投影图上两极点间的角度也要用这两点之间的大圆弧度来度量。 当晶体绕定轴旋转时，由于极点在球面上的轨迹是小圆，因此，它在极射投影上的轨迹也是小圆。在旋转过程中任何极点间的夹角是不变的。 标准投影 所谓标准投影是指投影面为低指数的重要晶面或投影中心为低指数的重要晶向的极射投影。前者称为晶面标准投影，后者称为晶向标准投影。因此，标准投影的投影面就是；[u v w]标准投影的投影中心就是[u v w]方向。如图1-13是立方晶体的（001）标准投影。图中标出了x＝z、x＝y和y＝z的线。  图1-13 立方晶体的（001）标准投影 标准投影有以下几个特点： 对于立方晶系，相同指数的晶面和晶向是相互垂直的，所以标准投影图中的极点既代表了晶面又代表了晶向； 只表示角度关系，与大小无关； 同一晶带各晶面的法线在同一平面上，因此，同一晶带的各晶面的极点一定位于参考球的同一大圆上； 晶带上取两个方向做叉积，可求出法线——晶带轴； 1.1.6 倒易点阵和晶体学公式 所谓倒易点阵是一个新点阵，该点阵的每一个结点都对应着正点阵（即实际点阵）中的一定晶面，即不仅反映该晶面的取向，而且还反应晶面距。具体来说，从新点阵的原点O至任一结点的矢量正好沿正点阵中（h k l）的法线方向，而OP的长度就等于晶面距的倒数，即。这样的新点阵就叫倒易点阵。 只要有了正点阵，就可以作出倒易点阵。首先根据正点阵的基矢a，b和c求出倒易点阵的基矢a*，b*和c*。然后，对于一切允许的整数h，k，l，作出向量（ha*＋kb*＋lc*），这些向量的终点就是倒易点阵的结点，结点的集合就构成倒易点阵。 根据倒易点阵的要求，可以确定倒易基矢如下：  式中V为晶胞（或原胞）的体积。 倒易点阵的基本性质 倒易点阵的基本性质有以下几点： 正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为零，即：   正点阵晶胞（或原胞）体积V与倒易点阵晶胞（或原胞）体积V*成倒数关系。 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易。 任意倒易矢量g＝ha*＋kb*＋lc*必然垂直于正点阵中的（h k l）面。  实际晶体的倒易点阵 （1）简单立方点阵 倒易基矢为：  可见，a*‖a，b*‖b，c*‖c；长度恰为倒数。 a*＝b*＝c*＝ 所以，简单立方晶体的倒易点阵仍为简单立方，晶胞边长为。 （2）体心立方点阵 正点阵的基矢仍取立方晶胞的三条正交棱a，b，c；倒易基矢如上所述。但由于体心原子的存在，只有满足下述条件的倒易结点才能出现：  可以看出，（h＋k＋l）必须为偶数。因此，BCC的倒易点阵中没有、、等结点，但、、等各点均存在。如果画出倒易点阵在（001）面上的投影，则可以从倒易结点投影图中看出，BCC的倒易点阵是一个立方晶胞的边长为2/a的FCC点阵。 （3）面心立方点阵 与体心立方点阵相似，可以证明，FCC点阵的倒易点阵是一个体心立方点阵，其立方晶胞的边长为2/a。 （4）简单六方点阵 六方点阵的倒易基矢为：  由此可见，a*，b*轴均在基面（0001）上，模为： ；  且有 ， 对于简单立方点阵来说，由于原胞中只有一个原子（0,0,0），故对任何一组h,k,l值，均可作出相应的倒易结点（h,k,l）。从作出的倒易点阵图可以看出，简单六方点阵的倒易点阵仍然是简单六方点阵。 （5）密排六方结构 密排六方结构的倒易基矢和简单六方一样。但是由于密排六方的晶胞内有一附加的原子，其坐标为，故只有满足方程的（h,k,l）结点才存在，其它结点应消失。但这样一来，各结点就不再是等同点了，密排六方晶体只有倒易结构，没有倒易点阵。 倒易点阵的应用——重要的晶体学公式 所有平行于同一方向的晶面构成一个晶带。或者说，相交于同有晶向的两个或多个晶面就构成一个晶带。如图1-14所示，其中晶带轴：[uvw]；晶带平面：(hkl)。  图1-14 晶带轴和晶带平面 由此可以推导得出以下一些重要的晶体学公式： 如果(h k l)([u v w]晶带，则hu + kv + lw = 0 —— 晶带方程 对于立方晶系来说，有[h k l] ⊥(h k l) 如果两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）同属于一个晶带[u v w]，那么有：  如果一个晶面（h k l）同属于两个晶带[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]，那么有：  晶面距 从晶胞的原点O到第一个(k h l)晶面的距离，即两个相邻的晶面之间的间距，即面间距。 对于立方晶系：  对于正交晶系：  对于六方晶系：  晶向（u v w）的长度L   对于立方晶系有：  两个晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）之间的夹角 对于立方晶系：  对于正交晶系：  对于六方晶系：  两个晶向(u1 v1 w1)和(u2 v2 w2)之间的夹角 对于立方晶系：  对于正交晶系：  对于六方晶系：  晶胞体积V  1.1.7 合金相结构 固溶体 固溶体具有以下三个基本特性： 保持溶剂点阵类型不变； 有一定的成分范围； 具有比较明显的金属性质。 一种组元在另一种组元中的最大含量叫做固溶度。 按照固溶体在相图中的位置不同，可将固溶体分为端部固溶体和中间固溶体/二次固溶体，或称中间相；按照溶质原子的排列状态不同，可将固溶体分为置换式固溶体和间隙式固溶体；按照固溶度的不同，可将固溶体分为有限固溶体和无限/连续固溶体；按照原子排列的周期性不同，可将固溶体分为有序固溶体和无序固溶体。 中间相 中间相即中间固溶体，也称二次固溶体。它位于相图中间，因而任一组元的浓度均大于0，小于100％。 这种固溶体有一定的成分范围，但是不具有任一组元的结构。 如图1-15所示，在Cu-Zn相图中，β相（β黄铜）在高温下就是一个中间相，可以看成是以金属间化合物CuZn为基的固溶体。  图1-15 Cu-Zn相图 1.1.8 离子晶体结构 离子晶体的结构规则 Pauling第一规则：负离子配位多面体规则 在正离子周围形成一负离子配位多面体，正负离子之间的距离取决于离子半径之和，而配位数取决于正负离子半径之比。由于r－ > r＋，负离子往往是密排结构，正离子位于负离子配位多面体间隙中。 正负离子形成稳定结构的条件：  如图1-16所示，为正负离子配位的稳定情况。  图1-16 正负离子配位的稳定情况与半径的关系 Pauling第二规则：电价规则（valence rule） 每个正离子所给出的价电子数等于负离子得到的价电子数。 设S为正负离子间的静电键强度，则有：  ；  其中Z＋是价电子数，CN＋是阳离子配位数。 Pauling第三规则：配位多面体连接规则 配位多面体趋向于共顶连接，而不是共棱和共面连接。 典型的离子晶体结构 AB型：NaCl、CsCl、闪锌矿（ZnS）、纤锌矿（ZnS, ZnO）。 如图1-17（a）、（b）所示，分别为NaCl和CsCl的晶体结构。   （a） （b） 图1-17 （a）NaCl晶体结构 （b）CsCl晶体结构 如图1-18（a）、（b）所示，分别为闪锌矿和纤锌矿的晶体结构。   （a） （b） 图1-18 （a）闪锌矿晶体结构 （b）纤锌矿晶体结构 AB2型：氟石（CaF2）、金红石（TiO2） 如图1-19（a）、（b）所示，分别为氟石和金红石的晶体结构。   （a） （b） 图1-19 （a）氟石晶体结构 （b）金红石晶体结构 A2B3型： 如图1-20所示，为的晶体结构。 ABO3型：BaTiO3、CaTiO3 如图1-21所示，为CaTiO3的晶体结构。   图1-20 的晶体结构 图1-21 为CaTiO3的晶体结构 AB2O4型：尖晶石、MgAl2O3 硅酸盐的晶体结构 硅酸盐的基本结构单元是[SiO4]4－四面体，硅原子位于氧原子四面体的间隙中。每个四面体的氧原子外层只有7个电子，因此为－1价，还能和其他金属离子键合。 Si-O-Si之间的结合键是折线的而不是直线，并且在氧原子一点的夹角是145°。 对于每个氧原子，最多只能被两个[SiO4]4－四面体所共有。 [SiO4]4－四面体可以孤立地存在与结构中，也可以通过共用顶点来相互连接。 根据Si-O四面体在空间的连接情况，可将硅酸盐分为以下几类： 岛状硅酸盐（单一Si-O团、成对Si-O团、环状Si-O团）； [SiO4]四面体及其硅氧团之间不共顶点相连，而是通过其余金属离子相连，硅氧团被金属离子隔开形成孤立的岛状。 硅氧四面体还可以成对硅氧团出现，或成三方环状、四方环状或六方环状硅氧团出现，这些有限的硅氧团之间被金属阳离子隔开。 例如：锆英石(Zr[SiO4])、镁橄榄石(Mg2[SiO4])、石榴石(R3+2R2+3[SiO4]3)、钇铝石榴石(Y3+2Al2+3[SiO4]3)。 链状硅酸盐（单链、双链）； 硅氧四面体通过共用两个或者两个以上的顶点，连接形成一向延长的链状结构。链与链之间被金属阳离子隔开。 例如：辉石（R2[Si2O6]）、角内石（Ca2Mg5[Si4O11]2(OH)2）。 层状硅酸盐 [SiO4]以三个以上的顶角相连形成在二维方向呈六角对称的平面无限延伸的层状结构。 例如：高岭石、云母。 架状硅酸盐 [SiO4]以其四个顶点在三维方向相连形成无限延伸的三维网络结构。 例如：石英、长石、沸石。 1.1.9 共价晶体结构 共价晶体是由同种非金属元素的原子或不同元素的原子以共价键结合而形成的分子结构。这些元素的原子之间，以共用价电子形成稳定的电子满壳层的结合方式。因此，具有明显的饱和性。 1.2 难点释疑 1.2.1 7大晶系包含的点阵类型为什么不是28种，而是14种？ 划分点阵类型的原则有两个，分别是：1) 晶胞的顶点、面心、体心均为等同点；2) 不改变对称性。 根据条件1，每种晶系应该都包括4种点阵类型，即简单点阵、底心点阵、面心点阵、体心点阵。似乎7大晶系应该共包括28种点阵类型。但是，依据条件2，根据旋转对称性，这28种点阵类型中有14种是重复的。 1.2.2 为什么没有底心正方和面心正方点阵？ 可以从两个方面来解释这一问题： 如图1-11（a）所示，底心正方点阵可以连成一个体积更小的简单正方点阵；同样，如图1-11（b）所示，面心正方点阵可以连成一个体积更小的体心正方点阵。因此不存在底心正方   （a） (b) 图1-11 底心正方点阵和面心正方点阵 如图1-12（a）所示，由简单正方点阵可以构成一个底心正方点阵；同样，如图1-12（b）所示，由体心正方点阵可以构成一个面心正方点阵。因此说不存在底心正方点阵和面心正方点阵。   （a） （b） 图1-12 简单正方点阵和体心正方点阵 1.2.3 确定晶面指数时应注意哪些问题？ 坐标系可以任意平移，但不可以旋转。 坐标系原点可以选在任何结点上（例如晶体的顶点、体心、或是面心），但一定不能选在待标定的晶面上，否则晶面在该坐标系上的截距就是0,0,0。 三个指数同乘以，则晶面不变。（111）与（）相同。 如果晶面平行于哪个轴，则相应的那个指数为0。 1.2.4 立方晶系中重要晶面上的晶体排列及面密度  1.2.5 立方晶系中重要方向上的晶体排列及线密度  1.3 解题示范 求质量为1g的Al中所包含的价电子数。 解： Al的相对原子质量为M＝26.98 所以1g Al包含的原子数为 个 价电子数＝3×原子数＝个 体心单斜点阵是不是一个新的点阵？ 解： 做出体心单斜点阵的晶胞图，并通过其体心做出新的晶胞图，如图1-13所示。可知，体心单斜点阵可以连成底心单斜点阵，因为不是新的点阵。  图1-13 体心单斜点阵可连接成底心单斜点阵 写出立方晶系的{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。 解：      求图1-14中六方晶体的a1轴和b的晶向指数。其中b是a2轴和-a3轴的角平分线。 解： 1) 对于a1轴有： U＝1，V＝0，W＝0。 依照公式  可求得，，，  2）对于b有：  由此可得U＝1，V＝2，W＝0 代入公式得到，，，   图1-14 六方晶体 从晶体结构和堆垛模式说明为什么FCC和HCP如此相似。 解： 主要从HCP和FCC两种晶体按密排面的堆垛次序来讨论。 HCP晶体的密排面为（0001）面。从图1-15可以看出晶胞中部（处）的密排原子层相对于底层错动了，而顶层又相对于中间层错动了。因此，沿方向看，底层和顶层原子是重合的。也就是说，HCP晶体按密排面（0001）的堆垛次序是ABAB……。  图1-15 HCP晶胞沿（0001）面的堆垛 FCC晶体的密排面是（111）面。如图1-16所示，第二层（111）面上的W原子和第一层（111）面上的X、Y、Z原子相切，投影应该在XYZ三角形的重心上。因此，第二层相对于第一层错动了。同样，第三层（111）面相对于第二层也错动了。由此得到，第四层相对于第一层的位移应该是，即向方向移动了一个原子间距。因此，FCC晶体按照（111）面的堆垛次序是ABCABC……。  图1-16 FCC沿（111）面的堆垛 对HCP和FCC晶体的密排面堆垛方式进行比较可以得出： 由于在（0001）和（111）面上的每个原子都是和临近的6个原子相切，因此，只看一层密排面，两种晶体没有区别。 对于相邻两层密排面而言，两种晶体的相邻两层相对位移都是，且一层上的每个原子都是和另一层的3个最近邻原子相切。因此，就相邻两层密排面而言两种晶体仍然没有差别。 对于相邻的3层密排面而言，HCP和FCC两种晶体则有所不同。HCP按密排面的堆垛次序是ABAB……，而FCC按密排面的堆垛次序是ABCABC……。如图1-17所示，在FCC晶体中选取了一个类似于六方晶胞的晶胞，其四个轴向分别为，，，。从图中可以清楚地看到FCC和HCP两种晶体的差别。  图1-17 FCC晶胞中选取的类似六方晶胞的特殊晶胞 已知铜是面心立方结构的金属，其原子半径为0.1278nm，相对原子质量为63.54g/mol。求铜的原子体密度。 解： 由于是面心立方结构，所以。 （其中a为晶胞边长，r为原子半径）  由此可得铜的单胞体积为  又单个铜原子的质量为  且面心立方晶体的晶胞中包含4个原子，所以，铜单胞的质量为  因此，铜的原子体密度可求得，为：  推导菱方晶体在菱方轴下的点阵常数、和在六方轴下的点阵常数、之间的换算公式。 解：  图1-18 在aH、bH、cH下，，所以点阵常数：  又因为是晶向与的夹角，所以点阵常数：  可得：   石英（SiO2）的密度为2.65 Mg/m3。Xb－P71 ① 1 m3中有多少个Si原子与O原子？ ② 若Si与O的半径分别为0.038 nm与0.114 nm，其堆垛密度ρ为多少？ 解： ① 每1 mol的SiO2有60.1 g。因此，可计算在1 m3中SiO2单元的数目，此数目n也是1 m3中硅原子的数目。 故Si的原子数目为 个 O原子的数目为 个 ② 计算n个Si及2n个O原子的体积（假设原子是球形的）。   故其堆积密度ρ为0.33。 设Fe2O3固溶于NiO中，其固溶度为=10/10－2。此时，有3Ni2＋被（2Fe3＋＋□）取代以维持电荷平衡。求1 m3中有多少个阳离子空位。已知nm，nm，nm。Xb－P71 解： 设有100g此种固溶体，则Fe2O3有10g，NiO有90g。     因为NiO具有NaCl型结构，CN＝6，，故可设NaCl型的结构不变（主体仍为NiO）所以，点阵常数  平均每单位晶胞中有4个Ni2＋及4个O2－（当Fe3＋不存在时），故1 m3中有 个氧离子/m3 1.393 mol的氧离子中有0.125/2 mol的阳离子空位数（因为，有2个Fe3＋时就会有1个阳离子空位），所以 个阳离子空位数/m3 1.4 习题训练 原子间的结合键共有几种？各自的特点如何？ 确定立方晶系中一个晶胞包含的节点数。如果每个结点上有一个原子，计算每个晶胞包含的原子个数。 如果每个结点上有一个原子，试确定原子半径和点阵常数之间的关系，分别讨论SC、FCC、BCC三种情况。 请写出立方晶系{110}、{123}晶面族的所有等价面。 在立方晶系的晶胞中画出以下晶面和晶向：、、、、和。 写出六方晶系的，晶面族和，晶面族中的各等价晶面及等价晶向的具体指数。 在六方晶胞图中画出以下晶面和晶向：、、、、、、、、和。 标注出图1-19所示立方晶胞（a）中的各晶面和（b）中的各晶向指数。   (a) (b) 图1-19 标注出图1-20所示六方晶胞（a）中的各晶面和（b）中的各晶向指数。   (a) (b) 图1-20 用解析法求出如图1-21六方晶系中的各个晶向指数。  图1-21 画出立方晶系的标准投影，标出所有指数不大于3的点和晶带大圆。 用解析法验证各晶带大圆上的极点（晶面）确系共带的，并求出晶带轴。 画出六方晶系的（0001）标准投影。要求标出（0001），，和等各个晶面的面痕（大圆）。 计算面心立方晶体（100）、（110）、（111）晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。 按解析几何证明立方晶系的[h k l]方向垂直于（h k l）面。 由六方晶系的三指数晶带方程导出四指数晶带方程。 画出下列离子化合物的晶体结构： CsCl 闪锌矿（ZnS） 纤锌矿（ZnO） 钙钛矿（BaTiO3） 求出立方晶体中指数不大于3的低指数晶面的晶面距d和低指数晶向长度L（以晶胞边长a为单位）。 求下列晶面的晶面间距，并指出晶面间距最大的晶面： ① 已知室温下α-Fe的点阵常数为0.286nm，分别求出（100）、（110）、（123）的晶面间距； ② 已知916℃时γ-Fe的点阵常数为0.365nm，分别求出（100）、（111）、（112）的晶面间距； ③ 已知室温下Mg的点阵常数为a＝0.321nm，c＝0.521nm，分别求出、、的晶面间距。 计算六方晶体中、和之间的夹角。 ① 计算FCC和BCC晶体中四面体间隙及八面体间隙的大小（用原子半径R表示），并注明间隙中心坐标。② 指出溶解在γ-Fe中的C原子所处的位置，若此位置全部被C原子占据，则γ-Fe能溶解的C的质量分数为多少？实际上碳在铁中的最大溶解质量分数是多少？二者在数值上有差异的原因是什么？ 根据下表所给之值，确定哪一种金属可作为溶质与钛形成溶解度较大的固溶体：  ② 计算固溶体中此溶质原子数分数为10％时，相应的质量分数为多少？ MgO具有NaCl型结构。Mg2＋的离子半径为0.078 nm，O2－的离子半径为0.132 nm。试求MgO的密度（ρ）、致密度（K）。 计算六方晶体中、和之间的夹角。 分别用晶面夹角公式及几何法推导六方晶体中面和面的夹角公式（用点阵常数a和c表示）。 利用上题所得的公式具体计算Zn（c/a＝1.86），Mg（c/a＝1.62）和Ti（c/a＝1.59）3种金属的面和面的夹角。 将和换成和，重作上面两题。 推导菱方晶体在菱方轴下的点阵常数aR、αR和在六方轴下的点阵常数aH、cH之间的换算公式。 已知α-Al2O3（菱方晶体）的点阵常数为aR＝5.12?，αR＝55°17′，求它在六方轴下的点阵常数aH和cH。 根据FCC和HCP晶体的堆垛特点论证这两种晶体中的八面体和四面体间隙尺寸必相同。 碳共有几种同素异构体？请画出其晶胞。 金刚石为碳的一种晶体结构，其晶格常数a＝0.357nm，当它转换成石墨结构（ρ＝2.25g/cm3）时，求其体积的变化。 Si具有金刚石型结构，试求Si的四面体结构中两共价键间的夹角。 参考答案 题1-1：略。题1-2：SC节点数＝8，每个晶胞包含的原子数＝1；FCC节点数＝14，每个晶胞包含的原子数＝4；BCC节点数＝9，每个晶胞包含的原子数＝2。题1-3：SC：，BCC：；FCC：。题1-4：  主要参考资料（按参考量排序）