第 二 章 目 录 2.1 要点扫描 1 2.1.1 点缺陷及其平衡浓度 1 2.1.2 位错的基本类型及柏氏矢量 6 2.1.3 位错的应力场 14 2.1.4 位错的弹性能和线张力 16 2.1.5 作用在位错上的力和Peach-Koehler公式 19 2.1.6 位错间的交互作用 23 2.1.7 位错的起动力——Peirls-Nabarro力 30 2.1.8 FCC晶体中的位错 31 2.1.9 位错反应 37 2.1.10 HCP、BCC及其他晶体中的位错 40 2.1.11 晶体中的界面与表面 42 2.1.12 位错的观察及位错理论的应用 45 2.2 难点释疑 47 2.2.1 柏氏矢量的守恒性 47 2.3 解题示范 48 2.4 习题训练 53 晶体中的缺陷 2.1 要点扫描 2.1.1 点缺陷及其平衡浓度 点缺陷的类型 在实际情况中，晶体内并不是所有原子都严格地按照周期性规律排列。因为晶体中总存在一些微笑区域，这些区域的原子排列周期收到破坏。这些偏离原子周期性排列的区域，都称为缺陷。 如果在任何方向上缺陷区的尺寸都远小于晶体或晶粒的线度，因而可以忽略不计，那么这种缺陷就叫做点缺陷。 点缺陷有以下三种基本类型： 空位 实际晶体中某些晶格结点的原子脱离原位，形成的空着的结点位置就叫做空位，如图2-1所示。空位的形成于原子的热振动有关。在一定温度下，晶体中的原子都是围绕其平衡位置做热振动的，由于热振动的无规性，一些原子在某一瞬间获得足以克服周围原子束缚的振动能，因而脱离其平衡位置，在原有位置出现空位。因此，温度越高，原子脱离平衡位置的几率也越大，空位也越多。 间隙原子 进入点阵间隙中的原子称为间隙原子，如图2-2所示。间隙原子的形成使其周围的原子偏离平衡位置，造成晶格胀大而产生晶格畸变。  图2-1 晶体中的空位  图2-2 晶体中的间隙原子 置换原子 那些占据原来基体原子平衡位置上的异类原子称为置换原子。由于置换原子的半径通常与原有基体原子半径不相同，因此也会造成晶格畸变，如图2-3和2-4所示。   图2-3 半径较小的置换原子 图2-4 半径较大的置换原子 脱离平衡位置的原子如果逃逸到晶体外表面，在原来位置只形成空位，没有形成间隙原子，这样的空位缺陷叫做肖脱基缺陷（Schottky defect）。如果脱离平衡位置的原子进入到晶格间隙中，则同时形成了等量的空位和间隙原子，这样的缺陷叫做弗兰克尔缺陷（Frenkel defece）。 热平衡缺陷 热力学分析表明，在高于0K的任何温度下，晶体最稳定的状态并不是完整晶体，而是含有一定浓度的点缺陷状态，即在该浓度情况下，自由能最低。这个浓度就称为该温度下晶体中点缺陷的平衡浓度。具有平衡浓度的缺陷又称为热平衡缺陷。 下面针对金属晶体，分析热平衡浓度与温度的关系。 假设温度T和压强P条件下，从N个原子组成的完整晶体中取走n个原子，即生成n个空位。并定义晶体中空位缺陷的平衡浓度为：  则有  其中：为引进n个空位后晶体的自由能变化 和分别为引进n个空位后晶体的焓变和振动熵变 为引进空位后晶体增加的混合熵变 为空位的生成能 为引进空位引起的晶体体积变化 因为  所以  又因为   其中：为含有n个空位晶体的自由能 为完整晶体的自由能   非平衡点缺陷 在点缺陷的平衡浓度下，晶体的自由能最低，也最稳定。但是在有些情况下，晶体中的点缺陷浓度可能高于平衡浓度，这样的点缺陷称为过饱和点缺陷，或非平衡点缺陷。 通常获得过饱和点缺陷的方法有以下几种： 高温淬火 由热力学分析知道，晶体中的空位浓度随温度的升高而急剧增加。如果将晶体加热到高温，然后迅速冷却（淬火），则高温时形成的空位来不及扩散消失，使晶体在低温状态仍然保留高温状态的空位浓度，即过饱和空位。 冷加工 金属在室温下进行冷加工塑性变形也会产生大量的过饱和空位，其原因是由于位错交割所形成的割阶发生攀移。 辐照 在高能粒子的辐射下，金属晶体点阵上的原子可能被击出，发生原子离位。由于离位原子的能量高，在进入稳定间隙之前还会击处其他原子，从而形成大量的等量间隙原子和空位（即弗兰克尔缺陷）。一般情况下，晶体的点缺陷平衡浓度极低，对金属的力学性能影响较小。但是在高能粒子辐照的情况下，由于形成大量的点缺陷和挤塞子，而会引起金属显著硬化和脆化，该现象称为辐照硬化。 点缺陷的研究方法 点缺陷的形貌可以用电镜直接观测。点缺陷的其它性质如生成焓、生成熵、扩散激活能（或迁移率）、以及它引起的晶体体积变化等，都可以通过各种物理实验测定。 常见的实验有：比热容实验；热膨胀实验；淬火实验；淬火－退火实验；正电子湮没实验等。 下面介绍通过淬火实验求得空位生成焓的方法： 首先在很低的温度下测定晶体的电阻率，然后将晶体加热至高温，保温足够长时间后急冷至低温，再在下测定晶体的电阻率。于是根据两次测量的电阻率差值求出空位生成焓。     如图2-5所示为金丝的“淬入”电阻率与淬火温度的倒数的关系直线，由该直线的斜率求得。  图2-5 “淬入”电阻率与淬火温度的关系直线 2.1.2 位错的基本类型及柏氏矢量 位错概念的提出 位错是晶体的线性缺陷（一维缺陷）。缺陷区为细长的管状区域，管内的原子排列混乱，破坏了点阵的周期性。 人们最早提出对位错的设想是由于总多实验当中晶体的实际强度远低于其理论强度，因而无法用理想晶体的模型来解释。1926年，Frankel从刚体滑移模型出发，推算了晶体的理论强度。如图2-6所示，设作用在滑移面上沿滑移方向的外加剪切应力为，滑移面上部晶体相对于下部晶体发生位移为x。则从图中可以看出实现位移x所需的应该是周期函数，并假设该周期函数为：   图2-6 晶体滑移时滑移面上部原子的收力分析 其中是晶体的理论强度。 对于一段很小的位移（x?a），可以由上式得到：  同时，由虎克定律可得：  比较两式得到：  即，晶体的理论强度应为0.1G，但实验测得的实际强度却只有10-4～10-8G，比理论强度低了至少3个数量级。 1934年，Taylor、Polanyi和Orowan几乎同时从晶体学角度提出位错概念，把位错和晶体塑性变形联系起来，开始建立并逐步发展了位错理论。但一直到1950年以后，由于电子显微镜实验技术的发展，才证实了位错的存在及其运动。 柏氏回路和柏氏矢量 柏氏回路是在有缺陷的晶体中围绕缺陷区将原子逐个连接而成的封闭回路。如果在完整的晶体中按照同样的顺序将原子逐个连接起来，能够得到一个封闭的回路，那么原来柏氏回路包含的就是一个点缺陷。相反，如果在完整晶体中的对应回路不封闭，则原来的柏氏回路包含的就是一个位错，如图2-9（a）所示。 应注意，柏氏回路不得穿过位错线，也不能经过晶体中的其他缺陷，但是可以经过位错中心区以外的弹性变形区。 对于无法封闭的柏氏回路，为了使其封闭（起点与终点重合），必须增加一个向量，如图2-7（b）所示。该向量就称为柏氏矢量，记做b。  （a） （b） 图2-7 柏氏回路与柏氏矢量的确定 柏氏矢量作为完整晶体中对应回路的不封闭段，也可以看作是位错的滑移矢量（或位移矢量）。因此，面心立方晶体的b，体心立方晶体的b，密排六方晶体的b。 同时，柏氏矢量b也是在有缺陷的晶体中沿柏氏回路晶体的弹性变形（弹性位移）的叠加。显而易见，b越大，由于位错引起的晶体弹性能越高，并且有：位错弹性能∝b2。 位错的类型 位错中心区内的原子排列方式取决于位错线和滑移方向两者的相对位向。根据相对位向的不同，将位错分为以下三类： 刃型位错 刃型位错的位错线垂直于滑移方向，模型如图2-8所示，相当于在正常排列的晶体当中插入了半个原子面。拥有半原子面的晶体部分，原子间距减小，晶格受到压应力；在缺少半原子面的晶体部分，原子间距增大，晶体收到拉应力。  图2-8 刃型位错 刃型位错的形成与晶体的局部滑移有关。如图2-9所示，晶体在ABCD面上方的部分在剪切应力的作用下向左滑移了一个原子间距。此时晶体上方的左半部分未发生滑移，而右半部分发生了滑移，滑移区和未滑移区的分界线是EF，位错线与滑移方向垂直，这种位错就叫做刃型位错。 螺型位错 如图2-10所示，晶体右上半部分在外力的作用下发生局部滑移，滑移面为ABCD，滑移方向如图所示。与刃型位错不同，此时的已滑移区BCFE和未滑移区ADFE的边界线EF与滑移方向平行。这种和滑移方向平行的位错就叫做螺型位错。  图2-9 晶体局部滑移产生刃型位错  图2-10 晶体局部滑移产生的螺型位错 混合位错 混合位错的位错线呈曲线状，与滑移方向既不垂直也不平行，而是呈任意角度。因此，混合位错可以看成是由刃型位错和螺型位错混合而成。 对于可滑移的位错，柏氏矢量b总是平行于滑移方向的。因此，可以用b来判断位错的类型：当b垂直于位错线时，位错为刃型位错；当b平行于位错线时，位错为螺型位错；当b和位错线成任意角度时，位错为混合型位错。 为表征刃型位错的正、负，及螺型位错是左旋还是右旋，需将位错线l看作矢量l，并规定：对于刃型位错，若l×b指向附加的半原子面，则为正刃型位错，否则为负刃型位错；对于螺型位错，若柏氏矢量b于位错线正方向一致，则为右螺型位错，否则为负螺型位错。 位错的运动 刃型位错的运动 刃型位错的运动方式有两种：滑移和攀移。 滑移 位错沿滑移面的运动称为滑移运动，如图2-11所示。位错的滑移是在切应力的作用下进行的，只有当滑移面上的切应力分量达到一定值后位错才能滑移。 当位错扫过整个滑移面时，即位错线运动移出晶体表面时，滑移面两边的晶体将产生一个柏氏矢量宽度（）的位移。  图2-11 刃型位错的运动 攀移 在高温下原子的扩散或外加应力的作用下，位错的半原子面扩大或缩小，导致位错线沿滑移面法线方向的运动叫做攀移。如图2-12所示。  图2-12 刃型位错的攀移 攀移时，位错的运动面就是半原子面，位错的运动方向仍然和位错线垂直。当位错扫过包含半原子面的整个晶面时，半原子面两边的晶体沿半原子面法线方向被拉开一段距离b。 螺型位错的运动 螺型位错只能滑移，不能攀移。因为位错的滑移面是位错线及柏氏矢量所在的晶面，而螺型位错的位错线和柏氏矢量平行，说明螺位错的滑移面不定。从几何学上讲，包含位错线的任何面都可以称为滑移面，但从晶体学上讲，滑移面还要受晶体学条件的限制。 混合位错的运动 混合位错也有两种运动方式，即守恒运动和非守恒运动。守恒运动就是位错在滑移面上的滑移。非守恒运动是位错线脱离滑移面的运动，它不是简单的攀移，而是由刃型分量的攀移和螺型分量的滑移合成的运动。 无论何种混合型位错，其位错线的运动方向总是和位错线垂直。位错扫过整个运动面时运动面两边的晶体的相对位移也总是b。 位错的密度 位错密度的定义为单位体积的晶体中位错线的总长度。 假定晶体中所有的位错线都是直线，长度都是l，且共有N条位错线，则位错密度为：  其中l，d，h是晶体的尺寸，如图2-13所示。为垂直于位错线表面的面积。  图2-13 假定晶体（位错线全是直线）中的位错 位错密度和晶体的强度是紧密联系在一起的。一方面，从晶体理论强度分析可知，实际晶体中的位错密度越低，晶体的强度越高。另一方面，实验发现冷加工金属的强度远高于退火金属，因此又得到位错密度越高，晶体强度越高。综合起来，可以得出位错密度和晶体强度的关系曲线，如图2-14所示。  图2-14 位错密度和晶体强度的关系曲线 因此，实际中通常使用两种方法获得较高的强度。一是尽量减小位错密度，例如将晶体拉得很细（晶须），得到丝状单晶体，由于直径很小，因而基本上不含位错等缺陷，故强度往往教普通材料高很多；二是尽量增大位错密度，例如非晶态材料，其位错密度很大，强度也非常高。 2.1.3 位错的应力场 螺型位错的应力场 建立如图2-15所示的螺型位错力学模型。从该模型可知，形成螺位错时只有轴向位移，没有径向和切向位移。  图2-15 螺型位错应力场 由于当角θ由0增至2π时轴向位移由0增至b，故有：      由此可得应力为：   由上面的结果可知，螺位错的应力场没有正应力分量，且剪应力对称分布，在包含位错线的任何晶向平面上剪应力都是，与θ角无关。 刃型位错的应力场 同样，建立如图2-16所示的刃型位错力学模型。该模型中圆筒的轴线对应刃位错的位错线，圆筒的空心部分相当于位错的中心区。  图2-16 刃型位错应力场 下面给出刃位错的应力场公式：      由上面所得结论可以看出： 与y的符号相反。在滑移面上方，y>0，(x为负（压应力）；在滑移面下方，y<0，(x为正（拉应力）。 在y＝0处有，。所以，无论是螺位错还是刃位错，作用在滑移面上的沿滑移方向的剪应力都可以写成是：  2.1.4 位错的弹性能和线张力 由于位错附近的原子离开了正常位置，使点阵发生了畸变，而使晶体增加的能量称为畸变能或应变能。晶体的总应变能记为Wtot，它包括两部分，一是位错中心区由于原子严重错排引起的畸变能Wcore，一是其他区域由于原子的微小位移引起的弹性能Welastic。 由于位错在运动或与其他缺陷交互作用时，只有弹性能发生变化，因此，我们只关心各类型位错的弹性能。 刃型位错的弹性能 下面使用做功法计算刃型位错的弹性能。 首先构造一个刃位错的圆筒模型，如图2-17所示。假设在形成刃位错过程中的某一时刻滑移面两边的相互位移为b′，0 < b′ < b。此时滑移面上x处产生的剪应力应为：  图2-17 刃型位错的圆筒模型  此后，使滑移面两边的晶体相对位移由增至，则此过程中外力反抗做功为：  对上式积分可得形成柏氏矢量为b的刃型位错过程中外力所做的总功，也既是位错的弹性能为：  螺型位错的弹性能 采用与上面完全相同的做功法可以得到螺型位错的弹性能：  混和位错的弹性能 混和位错的弹性能应该等于其螺型分量的弹性能和刃型分量的弹性能之和。因此，对混和位错做相应分解，可以计算出混和位错的弹性能为：  线张力和恢复力 由位错的弹性能公式可以看出，位错的弹性能正比于它的长度，说明晶体中的位错都表现出缩短其长度的趋势。由此引入线张力的概念，即增加单位长度的位错所引起的位错弹性能的变化。 线张力的公式如下：  并可得出推断：由于线张力的作用，弯曲的位错线力图伸直（缩短长度）。 2.1.5 作用在位错上的力和Peach-Koehler公式 晶体中的位错在外应力或其他缺陷产生的内应力的作用下将会发生运动或有运动趋势。因此我们假设在位错上作用有一个力使得位错产生运动，而该力得方向也必与位错线的运动方向一致，即。 由于位错的运动和晶体的变形有确定的对应关系（即规则），因此我们令晶体发生塑性变形时其宏观功等于微观功，即：  并以此为依据确立。 作用在螺型位错上的力 如图2-18所示，图中给出了螺型位错的柏氏矢量b，应力。现假设位错线在力的作用下移动了一小段距离dS，则相应的微观功应为：  根据宏观功等于微观功可得：   图2-18 作用在螺位错上的力 作用在刃型位错上的力 如图2-19（a）所示，设刃型位错中的滑移力为fs，攀移力为fc，合力为F。  （a） （b） 图2-19 （a）作用在刃型位错上的力 （b）刃型位错的滑移力 对于滑移力来说，假设位错沿滑移力方向运动了一段很小的距离dS，如图2-19（b），则：  如果滑移力的作用使位错向相反方向运动，则：  对于攀移力来说，同样假设位错沿攀移力方向攀移了一段很小的距离dS，如图2-20所示，则：  图2-20 作用在刃型位错上的攀移力   综合上述分析，可得刃型位错的合力为：  作用在混和位错上的力 对于一般情况下的位错，即任意形状的混合位错，其每段线元受的总力都可分解为两个分量，即滑移力和攀移力。 如图2-21所示，设有一个单位长度的位错，其柏氏矢量平行于。则依据l×v规则可得滑移力为：   图2-21 混和位错受力分析 为求攀移力，将分解为和。 对于段： 对于段： 由此可得攀移力为：  Peach-Koehler公式 Peach-Koehler公式是位错受力的普遍公式。如图2-22所示，对于位错线上的任意一段线元dl，假设在该段位错的合力dF的作用下移动了dS的距离，则其微观功和宏观功分别为：  图2-22 一般情况位错受力分析   其中为作用在面元上的总应力。 又因为，所以可得：  由    该式即为Peach-Koehler公式，其中为该位错所讨论点的单位向量。 2.1.6 位错间的交互作用 两个平行位错之间的交互作用 同号刃型位错间的相互作用力 对于两个位于相距为d的平行滑移面上的同号位错1和2，设其柏氏矢量分别为b1和b2。为求位错1对位错2的作用力f12，现选择如图2-23所示坐标系。  图2-23 同号刃型位错间的相互作用力 由物理论证法容易得出位错2受位错1的滑移力（）和攀移力（）：   由公式可以作出和x的关系曲线如图2-24所示。从图像中可以看出，位错2在x＝0和x＝y两点时＝0。但在x＝y处是亚稳平衡状态（位错2无论沿x轴正向或负向偏离该点，的作用都是使其更加偏离平衡位置），而在x＝0为稳定平衡状态（在该点无论位错2沿x轴的哪个方向偏离，对它的作用都是使其回到平衡位置）。由此可见，晶体中的同号刃型位错总是力图排成一列（x = 0），形成所谓的位错墙。由公式还可以看出同号刃型位错是相斥的，即排成位错墙的各同号位错之间力图互相远离。  图2-24 同号刃型位错间的相互作用力和x的关系曲线 通过同样的方法计算位错2对位错1的作用力可得，。 异号刃型位错间的相互作用 上面已求得同号刃型位错间作用力的公式，只需将其中的换成就可得到异号刃型位错间的相互作用力公式：   由此作得异号刃型位错间作用力和x之间的关系曲线，如图2-25所示。 从公式和曲线中可以看出，当位错2位于x＝0和x＝y两点时＝0。但在x＝0处是亚稳平衡状态，而在x＝y为稳定平衡状态。因此，异号刃型位错力图排在和滑移面成45°的平面上。且异号刃型位错之间相互吸引。 同样，对异号刃型位错也可以得到，。  图2-25 异号刃型位错间的相互作用力和x的关系曲线 平行螺位错之间的相互作用力 对于两个平行螺位错1和2（设柏氏矢量分别为b1和b2），我们选取如图2-26所示的坐标系。则位错1在位错2处产生的应力为，因此位错1对位错2的作用力应该为：  其中，两平行螺位错同号时取“＋”，异号时取“－”。这也说明了同号平行螺位错之间相互排斥，异号平行螺位错之间相互吸引。  图2-26 两个平行螺位错之间的相互作用 螺位错和刃位错之间的相互作用 对于螺位错1和刃位错2之间的相互作用，我们选取如图2-27所示的坐标系。根据前面对两刃型位错之间的作用力分析，我们可以得出，此时螺位错1对刃位错2的作用力应该为，而螺型位错的应力场中。由此我们可以得出结论：螺型位错和刃型位错之间无相互作用（）。  图2-27 螺位错和刃位错之间的相互作用 位于同一滑移面上的一对平行混和位错间的交互作用 如图2-28所示，一对位于同一平面的一对平行混和位错1和2，其柏氏矢量分别为b1和b2，且各自与位错线的夹角为α和β。  图2-28 位于同一滑移面上的一对平行混和位错间的交互作用 要求位错1对位错2的作用力，首先要将b1和b2分解为平行和垂直于位错线的分量，即分解为刃型和螺型分量：   由于螺位错和刃位错之间无相互作用，因此只用分别计算两个螺位错以及两个刃位错之间的交互作用。    对于金属材料，泊松比v一般都比较小，所以可以令1－v≈1，由此可得：    对上述计算结果进行分析，可以得出以下结论： 时，θ为锐角，fx >0，两位错相互排斥； 时，θ为钝角，fx <0，两位错相互吸引； 时，。 交叉位错间的交互作用 螺位错和刃位错在空间相隔为d，如图2-29所示。 已知：   图2-29 交叉位错间的交互作用    又因为，所以刃位错在螺位错的作用下不会平移，只会绕y轴旋转（或有旋转的趋势），直至二者平行为止。这也说明了为什么在晶体中见到的位错通常都是相互平行的。 2.1.7 位错的起动力——Peirls-Nabarro力 位错的起动力就是使位错开始滑移所需的剪应力，也叫作派-纳力（Peirls-Nabarro Stress）。它也是晶体点阵对位错运动的阻力。 将一个简单立方晶体沿其滑移面切开，令滑移面上部晶体沿x轴方向位移b/4，下部晶体沿x轴反方向位移b/4，此即为派-纳模型。 对于产生位移u(x)所需的剪应力有：  若将柏氏矢量b的刃位错看成是无数个分散位错，则此分散位错在x处产生的应力为：  联立上面两式可求得位移u(x)：   位错发生位移前，在x处的错排能为：   当位错线位移αb以后，各列原子的坐标变为：  ， n为0，±1，±2…… 因而在x处的错排能为：  因此，总的错排能为：  由此可以计算出滑移面上下两层原子间的作用力及其最大值，进而求得位错的起动力：  2.1.8 FCC晶体中的位错 全位错 柏氏矢量为沿滑移方向的原子间距的整数倍的位错称为全位错。 FCC晶体中全位错的柏氏矢量应为，滑移面是{111}，刃型全位错的攀移面是{110}。如图2-30为一个的刃型全位错。  图2-30 FCC晶体中的刃型全位错 如图2-31所示，为FCC晶体中滑移面上的一层（A层）原子。当全位错滑移时，A层上面的B层原子通过的滑移从B点滑到相邻的等价位置点。从图中可以看出，B层原子的有利滑动路径应该是分两步：首先通过滑移到C位置；再通过的滑移从C滑移到位置。此时引起的A原子的位移最小，能量增加也最小。  图2-31 FCC中全位错滑移时原子的滑动路径 Shockley分位错 在上述的两步滑移过程中，如果B层上的原子只有一部分滑动了第一步，即滑动了，而另一部分不滑动，则两个区域的边界就是位错，柏氏矢量为。由于FCC晶体中[121]方向上的原子间距为，故小于滑移方向的原子间距。 柏氏矢量小于滑移方向上的原子间距的位错称为分位错。FCC晶体中位于{111}面上柏氏矢量为的分位错称为Shockley分位错。如图2-32所示，为刃型shockley分位错在（110）面上的投影。  图2-32 刃型Shockley分位错在(110)面上的投影 Shockley分位错有以下一些特点： 是有层错区和无层错区的边界。 可以是螺型、刃型或是混合型位错。 即使是刃型Shockley分位错也不能攀移； 即使是螺型Shockley分位错也不能交滑移。 只能通过局部滑移形成。 扩展位错 如图2-33所示，由两条平行的Shockley分位错中间夹着一片层错区所组成的缺陷组态称为扩展位错。它的柏氏矢量定义为b=b1+b2，式中b1和b2分别是组成扩展位错的两个Shockley分位错的柏氏矢量。  图2-33 FCC晶体中的扩展位错 扩展位错有以下一些特点： 柏氏矢量b=b1+b2，其中两个Shockley分位错的夹角为60°。 两个Shockley分位错处于相互平行的位置，它们之间的距离d为层错区宽度，亦称扩展位错宽度。除非遇到障碍物，否则该宽度为一恒定值d0：  其中为比层错能。 扩展位错可以是刃型、螺型或是混合型位错。 扩展位错滑移时需要两个分位错附近及层错区原子同时位移，故滑移更加困难。 扩展位错在一定条件下可以交滑移或攀移。领先位错遇到障碍物而停止滑移，跟踪位错在外力作用下继续滑移并与领先位错重合，合成一个全位错，称为位错的束集。束集而成的位错如果是刃型，则可攀移；如果是螺型，则可绕过障碍物而转入交滑移面上滑移，并在随后分解为扩展位错。 Frank分位错 插入或抽走部分{111}面也能形成局部层错，由此种方式形成的层错区和无层错区的边界就叫做Frank分位错。如图2-34所示。  （a） （b） 图2-34 （a）负Frank分位错 （b）正Frank分位错 Frank分位错有以下特点： 位于{111}面上，可以是任何形状（直线、曲线和封闭环），但无论什么形状，它总是刃型的。 Frank分位错不能滑移，只能攀移。 压杆位错 如图2-35所示，在和面上各有一个全位错，其柏氏矢量分别为b1＝和b2＝。之后，全位错在各自的滑移面上分解，形成扩展位错分解反应式为：    图2-35 压杆位错的形成 在外应力作用下，两个扩展位错都向和面的交线处滑移，直至两条领先位错在交线[110]处相遇：  即，两条分位错合成一条沿[110]方向、柏氏矢量为的分位错，滑移面为[001]。由于(001)不是FCC的滑移面，也不是FCC的滑移矢量，故合成后的分位错是不能滑移的定位错，称为压杆位错或L-C位错。这个组态作为很强的障碍物将面和面上的其它位错都牢牢锁住。 以上所讲的5种FCC晶体中的位错，其各方面特点可见表2-1。 表2-1 FCC晶体中的位错 位错类型 柏氏矢量 组态 运动 作用  全位错  螺、刃、混和 可滑移、攀移 FCC中少见  Schokley分位错  螺、刃、混和 刃型也只能滑移不能攀移； 螺型也不能交滑移   扩展位错  螺、刃、混和 只能滑移不能攀移； 在有障碍物情况下可交滑移或攀移 强化  Frank 分位错  刃 不能滑移，只能攀移   压杆位错  螺、刃、混和 不能滑移，定位错 强化   2.1.9 位错反应 几个位错合成为一个新位错或由一个位错分解为几个新位错的过程称为位错反应。 自发位错反应的条件 假设m个柏氏矢量分别为b1，b2，…，bi，…，bm的位错相遇并自发变成n个柏氏矢量分别为b′1，b′2，…，b′i，…，b′n的新位错，那么原位错和新位错之间必须满足以下条件： ① 几何条件：  ② 能量条件：  Thompson’s 四面体 在FCC四面体中可以用Thompson四面体中各特征向量来表示柏氏矢量。这个四面体的四个顶点分别位于晶体中的，，和，如图2-36所示。假定，，和分别为四面体中对着顶点A，B，C和D的四个外表面的中心，则这8个点中的每2个点连成的向量就表示了FCC晶体中所有重要位错的柏氏矢量。  图2-36 FCC晶体中的Thompson四面体 罗-罗向量 由四面体顶点A，B，C，D（均为罗马字母）连成的向量，是FCC中全位错的柏氏矢量。例如：，。 不对应的罗-希向量 由四面体顶点（罗马字母）和通过该顶点的外表面的中心（不对应的希腊字母）连成的向量，就是FCC中Shockley分位错的柏氏矢量。例如：，。 对应的罗-希向量 对应的罗-希向量就是FCC中的Frank分位错的柏氏矢量。例如：，。 希-希向量 希-希向量就是FCC中压杆位错的柏氏矢量。例如：，。 通过Thompson四面体中的有关向量可以表示出FCC晶体中所有重要的柏氏矢量，因此位错反应式也就可以用这些向量表示出来。 位错反应举例 形成扩展位错的反应 只要知道全位错所在面和柏氏矢量，就可以根据向量合成规则直接写出反应式，而不必考虑各位错的柏氏矢量的具体指数。 关于FCC晶体中的全位错分解为扩展位错，有以下规则： “站在Thompson四面体的外侧，顺着位错线的正向看过去，左边Shockley分位错的柏氏矢量应为罗-希向量（如），右侧则为希-罗向量（如）。” 应当注意，如果站在Thompson四面体的内侧观察，则结果于上述规则相反。 形成L-C定位错的反应 形成层错四面体的反应 形成位错网络的反应 2.1.10 HCP、BCC及其他晶体中的位错 HCP晶体中的位错 双锥体 与FCC晶体中的Thompson四面体相似，HCP晶体中的所有位错的柏氏矢量都可以用如图2-37所示的双锥体表示。  图2-37 HCP中的位错 其中部分重要位错相关矢量为： ，， ，，， 全位错 HCP晶体中全位错的柏氏矢量一般是，或（），其滑移面多为（0001）（基面）。 Shockley分位错和扩展位错 对于以（0001）和为优先滑移系统的金属，如Zn，Cd，Mg，Be等，基面滑移的临界分切应力很小（≤1MN/m2），全位错往往分解为两个柏氏矢量为的Shockley分位错，中间夹着一条层错带，即所谓的扩展位错。 Frank分位错 和FCC晶体相似，在HCP晶体中过饱和空位或间隙原子的择优聚集和塌陷也会形成Frank位错环，但情况要比FCC更复杂。 BCC晶体中的位错 全位错 BCC晶体中全位错的柏氏矢量为，其滑移面有{110}，{112}和{123}三类。而3个{110}，3个{112}和6个{123}面交于同一个<111>方向。因此，若在外应力作用下螺型全位错沿不同的{110}面或沿以上晶面组合发生交滑移，就会得到波浪型的滑移线。 Shockley分位错和扩展位错 在（112）面上的柏氏矢量为的全位错可能分解为柏氏矢量为和的两个Shockley分位错，中间夹着一条内禀层错带，形成扩展位错。 位错环 在辐照后的BCC晶体中过饱和的间隙原子和空位片会择优聚集在密排的{110}面上，形成的位错环。但由于在这些面上不能形成稳定的层错，故上述位错环通常会形成或<100>的位错环。 其他晶体中的位错 离子晶体中的位错 离子晶体中的位错有以下一些特点： 滑移面未必是最密排面，但柏氏矢量仍为最短的点阵矢量。 刃型位错的附加半原子面实际上是包括两个互补的附加半原子面。在位错露头处具有有效电荷。 刃型位错在滑移面上滑移时沿着位错线，没有离子和电荷的移动，因而位错露头出的有效电荷不改变符号，且弯折处没有有效电荷。但割阶处是正离子空位，故具有负的有效电荷。 共价晶体中的位错 共价键因为其方向性和局域性而使得晶体的微观对称性下降，这对于位错的特性有较大的影响。 易滑的位错称为滑动型位错，不易滑的位错称为拖动型位错。 层状结构中的位错 石墨、云母、滑石等都具有层状结构。每层内原子通过共价键结合，而层于层之间则通过范德瓦尔斯力结合。由于层间的结合力很微弱，因此层间距较大。这类晶体的滑移面几乎都平行于层面，因此位错线和柏氏矢量都平行于层面。由于层间结合力弱，层错能必然很低，全位错往往分解为Shockley分位错，得到层错区很宽的扩展位错。 聚合物晶体中的位错 聚合物晶体结构的特点是，在分子链轴方向具有很强的共价键，而在横向则是很弱的范德瓦尔斯力，因此重要的位错都沿链轴方向。 2.1.11 晶体中的界面与表面 倾侧晶界 倾侧晶界的特点是转轴在晶界平面内，即。 倾侧晶界分为两种：对称倾侧和不对称倾侧。 对称倾侧晶界 如图2-38所示，为一个简单立方晶体的对称倾侧晶界。晶界平面的平均位置是（100）面，即n＝[100]，转轴是u＝[001]，故只有一个变数（一个自由度），即转角。 图2-38 简单立方晶体的对称倾侧晶界 可以看出，小角度对称倾侧晶界是由位于晶界平面内柏氏矢量均为的平行同号刃型位错组成的位错墙。其中，晶界平面是两个相邻晶粒的对称平面，转角称为倾侧角。 对称倾侧晶界的界面能为：  式中 ，A是一个积分常数。 不对称倾侧晶界 如图2-39所示，为一个简单立方晶体的不对称倾侧晶界。晶界平面和两个相邻晶粒的平均面相交成任意的角，转轴仍是u＝[001]。由于也是可变参数，故共有两个自由度（及转角）。 图2-39 简单立方晶体的不对称倾侧晶界 可求得单位面积的不对称小角度晶界的界面能为：  但此处和均与有关：  扭转晶界 扭转晶界的特点是转轴垂直于晶界平面，即u∥n。 可以证明，这种小角度扭转晶界的界面能也可以表示为：  式中  一般小角度晶界 一般小角度晶界的界面位置、转轴和转角都是可变的，故需要用5个自由度确定其结构。 下面是分析晶界结构的基本公式，Frank公式：  根据该公式，只要知道晶界位错的柏氏矢量，就可确定晶界的性质和位错的分布。 表面螺旋性 2.1.12 位错的观察及位错理论的应用 位错的观察及研究分析 目前已有多种实验技术用于观察晶体中的位错，下面简单介绍几类： 浸蚀法（或蚀坑法） 该方法是通过利用浸蚀技术，显示位错在表面的露头。原理是由于位错附近的点阵畸变，原子处于较高的能量状态，再加上杂质原子在位错处的聚集，因而位错区的腐蚀速率比基体更快一些。 位错蚀坑往往有特定的形貌，包括特定的对称性。这种形貌取决于晶体结构及位向。 利用蚀坑观察位错有一定的局限性，它只能观察在表面露头的位错，而在晶体内部的位错则无法显示；此外，浸蚀法只适合于位错密度很低的晶体，如果位错密度较高，蚀坑就会互相重叠，无法分辨。 缀饰法 许多晶体对于可见光和红外线是透明的。对于这些晶体来说，虽然不能直接看到位错，但是可以通过掺入适当的外来原子，经过热处理使之择优分布在位错线上。这些聚集在位错线上的原子会散射可见光或红外光，因而可以观察到。这种方法就称为缀饰法。 由于缀饰法需要将晶体进行退火处理，故只适用于研究回复或高温变形后的位错结构，而不适于研究低温形变金属中的位错结构。 透射电镜法 透射电镜法（Transmission Electron Microscopy）TEM是目前使用最为广泛的观察晶体中位错及其他晶体缺陷的方法。要使用透射电镜观察位错，首先要将被观察的试样制成金属薄膜。 透射电镜观察组织的原理主要是利用晶体中原子对电子束的衍射效应。当电子束垂直穿过晶体试样时，一部分电子束仍沿着入射方向直接透过试样，另一部分则被原子衍射成为衍射束，它与入射束方向偏离成一定角度，透射束和衍射束的强度之和基本与入射束强度相当。在观测时，可以选择观测透射线或是衍射线。由透射线成的象称为明场象，由衍射线成的象称为暗场象。 其他方法 除了上述三种常用方法外，还有以下一些方法可以观测到晶体的位错： X射线衍衬象方法 场离子显微镜观测方法 计算机模拟 位错理论的应用 2.2 难点释疑 2.2.1 柏氏矢量的守恒性 柏氏矢量具有守恒性，即如果若干条位错线交于一点，则指向该点的各位错的柏氏矢量之和等于由该点指出的各位错的柏氏矢量之和。 如图2-40所示，柏氏矢量的守恒性可以通过局部位移模型证得。 其中： 是I区相对于III区的相对位移； 是I区相对于II区的相对位移； 是II区相对于III区的相对位移；  图2-40 三条位错线交于一点 通过柏氏矢量的守恒性，可以得到以下推论： 柏氏矢量与柏氏回路的起点、形状、大小和位置无关。只要柏氏回路不与原位错线或其他位错线相交，则回路所包含的晶格畸变重量不变。 一条位错线只能有一个柏氏矢量。 2.3 解题示范 在金属中形成一个空位所需的激活能为2.0 eV（或0.32×10－18 J）。在800℃时，1×104个原子中有一个空位，在何种温度时，1000个原子中含有1个空位？ 解：    所以  ℃ 已知Al晶体在550℃时的空位浓度为2×10－6，计算这些空位均匀分布在晶体中的平均间距。（已知Al的原子直径为0.287nm） 解： Al晶体为面心立方点阵，设点阵常数为a，原子直径为d，则有  设单位体积内的点阵数目为N，则有  所以，单位体积内的空位数为  假设所有空位在晶体内是均匀分布的，其平均间距为L，则有  已知BCC铁的密度为7.87g/cm3，求一个铁晶胞中包含的空位数为多少，空位浓度是多少？（铁的点阵常数为2.866×10-8cm） 解： 设每个晶胞中包含的原子数为X，则   所以每个BCC铁晶胞中包含的空位数应为： 2－1.9971＝0.0029 个 空位浓度为：  计算室温（25℃）时铜的空位浓度。并求在多少温度下，铜的空位浓度是室温时的1000倍？已知铜中产生1摩尔空位所需的热量是83600焦耳。 解： 已知，FCC铜的点阵常数为0.36151nm。 因此，1cm3包含的铜原子数（或结点数）为：  室温时，    如需空位浓度时室温时的1000倍，即1.815×1011，则：    ℃ 计算铜中全位错的柏氏矢量的长度。 解： 已知铜为FCC结构，点阵常数为0.36151nm，其密排向或柏氏矢量的方向为<110>向。 则面对角线为：  则全位错的柏氏矢量的长度为：  证明作用在某平面n上的总应力p和应力张量的关系为，或用分量表示成。（正交坐标轴为x1，x2，x3） 证： 由P（P1，P2，P3），及ΣF1＝0，得  又∵    ∴  同理得   由上三式可得 ，或。 如图2-41所示为一个简单立方晶体，滑移系统是{100}<001>。今在（011）面上有一空位片ABCDA，又从晶体上部插入半原子片EFGH，它和（010）面平行，请分析： 各段位错的柏氏矢量和位错的性质； 哪些是定位错？哪些是可滑位错？滑移面是什么？（写出具体的晶面指数） 如果沿方向拉伸，各位错将如何运动？ 画出在位错运动过程中各位错线形状的变化，指出割阶、弯折的位置； 画出晶体最后的形状和滑移线位置。  图2-41 解： 各段位错均为刃型位错，ABCDA位错环柏氏矢量，EFGH柏氏矢量； ABCDA为定位错，因为b1方向不是简单立方晶体的滑移方向，EFGH，滑移面为（100）或（001）； 沿方向拉伸时，ABCDA不动，EFGH中只有FG向左移动； FG向左移动，与ABCDA相交后形成割阶； 最后晶体形状变为图2-42所示，滑移线方向为[100]。  图2-42 2.4 习题训练 Nb的晶体结构为BCC，其晶格常数为0.3294nm，密度为8.57g/cm3，试求每106Nb中所含的空位数。 MgO的密度为3.58g/cm3，其晶格常数为0.42nm，试求每个MgO单位晶胞内所含的肖脱基缺陷数。 已知银在800℃下的平衡空位数为3.6×1023/m3，该温度下银的密度，银的摩尔质量为MAg＝107.9g/mol，计算银的空位形成能。 已知某晶体中形成一个空位所需的激活能为0.32×10－18J。在800℃时，1×104个原子中有一个空位。，在何种温度时，103个原子中含有一个空位？ 怎样的一对位错等价于一列空位（或一列间隙原子）？ 在晶体中插入附加的柱状半原子面能否形成位错环？为什么？ 分析下述局部塑性变形会形成什么样的位错（要求指出位错线的方向和柏氏矢量）。 简单立方晶体，（010）面绕[001]轴发生纯弯曲。 简单立方晶体，（110）面绕[001]轴发生纯弯曲。 FCC晶体，（110）面绕[001]轴发生纯弯曲。 简单立方晶体，（110）面绕[001]轴扭转角。 若将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量是否改变？位错的类型性质是否变化？一个位错环上各点位错类型是否相同？ 在简单立方晶体的（001）投影面上画出一个和柏氏矢量成45°的混合位错附近的原子组态。 当刃型位错周围的晶体中含有（a）超平衡空位、（b）超平衡的间隙原子、（c）低于平衡浓度的空位、（d）低于平衡浓度的间隙原子等四种情况时，该位错将怎样攀移？ 某晶体中有一条柏氏矢量为a[001]的位错线，位错线的一端露头与晶体表面，另一端与两条位错线相连接，其中一条的柏氏矢量为，求另一条位错线的柏氏矢量。 指出图2-43中位错环的各段位错线是什么性质的位错？他们在外应力作用下将如何运动？  图2-43 在图2-44所示的晶体中，ABCD滑移面上有一个位错环，其柏氏矢量b平行于AC。 指出位错环各部分的位错类型。 在图中表示出使位错环向外运动所需施加的切应力方向。 改为错环运动出晶体后，晶体外形如何变化？  图2-44 铜单晶的点阵常数a＝0.36nm，当铜单晶样品以恒应变速率进行拉伸变形时，3s后，试样的真应变为6％，若位错运动的平均速度为4×10－3cm/s，求晶体中的平均位错密度。 有一截面积为1mm2、长度为10mm的圆柱状晶体在拉应力作用下，①与圆柱体轴线成45°的晶面上若有一个位错线运动，它穿过试样从另一面穿出，问试样将发生多大的伸长量（设b＝2×10－10m）？②若晶体中位错密度为1014m－2，当这些位错在应力作用下全部运动并走出晶体，试计算由此而发生的总变形量（假定没有新的位错产生）。③求相应的正应变。 证明混和位错在其滑移面上、沿着滑移方向的剪应力为，式中是位错线l和柏氏矢量b之间的夹角，v是波桑比，r是所论点到位错线的距离。 证明，对于任何对称张量，下式恒成立：  有两根左螺旋位错线，各自的能量都为E1，当它们无限靠拢时，总能量为多少？ 已知金晶体的G＝27GPa，且晶体上有一直刃型位错b＝0.2888nm，试做出此位错所产生的最大分切应力于距离关系图，并计算当距离为2μm时的最大分切应力。 推导直线混和位错的弹性能公式。 已知Cu晶体的点阵常数a＝0.35nm，切变模量G＝4×104MPa，有一位错，其位错线方向为，试计算该位错的应变能。 在同一滑移面上有两根相平行的位错线，其柏氏矢量大小相等且相交成角，假设两柏氏矢量相对位错线呈成对配置，如图2-45所示，试从能量考虑，在什么值时两根位错线相吸或相斥？  图2-45 在铜单晶的（111）面上有一个的右螺旋位错，式中a＝0.36nm。今沿[001]方向拉伸，拉应力为106MPa，求作用在螺位错上的力。 如果外应力是均匀分布的，求作用在任意位错环上的净力。 两根刃位错b的大小相等且相互垂直，如图2-46所示。计算位错2从其滑移面上处移至处所需的能量。  图2-46 如图2-47所示，在相距为h的滑移面上有两个相互平行的同号刃型位错A，B。试求出位错B滑移通过位错A上面所需的切应力表达式。  图2-47 设有两条交叉（正交但不共面）的位错线和，其柏氏矢量分别为b1和b2，且。试求下属情况下两位错间的交互作用（要求算出单位长度位错线的受力f，总力F，和总力矩M）：（1）两个位错都是螺型；（2）两个位错都是刃型；（3）一个是螺型，一个是刃型。 如图2-48所示，某晶体滑移面上有一柏氏矢量为b的位错环，并受到一均匀切应力的作用，（1）分析各段位错线所受力的大小并确定其方向。（2）在作用下，若要使它在晶体中稳定不动，其最小半径为多大？  图2-48 描述位错增殖的双交滑移机制。如果进行双交滑移的那段螺型位错长度为100nm，而位错的柏氏矢量为0.2nm，试求实现位错增殖所必须的切应力（G=4.GPa）。 在图2-49所示的面心立方晶体的（111）滑移面上有两条弯折的位错线OS和O′S′其中O′S′位错的台阶垂直于（111），他们的柏氏矢量如图中箭头所示。 判断位错线上割断位错的类型。 有一切应力施加于滑移面，且与柏氏矢量平行时，两条位错线的滑移特征有何差异？  图2-49 在两个相互垂直的滑移面上各有一条刃型位错线，位错线的柏氏矢量如图2-50a、b所示。设其中一条位错线AB在切应力作用下发生如图所示的运动，试问交割后两条位错线的形状有何变化？各段位错线的位错类型是什么？ 交割前，两条刃位错的柏氏矢量相互垂直的情况（图a）； 交割前，两条刃位错的柏氏矢量相互平行的情况（图b）。  图2-50 在简单立方晶体的（100）面上有一个的螺位错。如果它（a）被（001）面上的刃位错交割，（b）被（001）面上的螺位错交割，试问在这两种情况下每个位错上会形成割阶还是弯折？ 一个的螺位错在（111）面上运动。若在运动过程中遇到障碍物而发生交滑移，请指出交滑移系统。 在FCC晶体的滑移面上画出螺型Shockley分位错附近的原子组态。 在FCC晶体的滑移面上有一扩展位错A和封闭位错环B，如图2-51所示。组成扩展位错的两条Shockley分位错的柏氏矢量分别为b2及b3，位错环的柏氏矢量为b1＝b3。问： A和B的层错是否相同？ 当A和B不改变形状和尺寸而向左运动时在位错扫过的滑移面上下的原子是如何运动的？  图2-51 计算Al、Cu和不锈钢中扩展位错的平衡宽度。已知三种材料的点阵常数a和剪切模量G分别为：aAl＝0.404nm，aCu＝0.361nm，a不锈钢＝0.356nm，GAl＝3×106N/cm2，GCu＝5×106N/cm2，G不锈钢＝10×106N/cm2。三种材料的层错能分别为：γ1Al＝166MJ/m2，γ1Cu＝145MJ/m2，γ1不锈钢＝15MJ/m2。 在晶体的同一滑移面上有两个直径分别为r1和r2的位错环，其中 r1＞r2，它们的柏氏矢量相同，试问在切应力作用下何者更容易运动？为什么？ 若面心立方晶体中的全位错以及的不全位错，此两位错相遇发生位错反应，试问： 此反应能否进行？为什么？ 写出合成位错的柏氏矢量，并说明合成位错的性质。 写出BCC和HCP晶体中的全位错，Shockley分位错和扩展位错的柏氏矢量和原子组态。 在面心立方晶体的（111）面上有的位错，试问该位错的刃型分量及螺型分量应处于什么方向上，在晶胞中画出它们的方向，并写出它们的晶向指数。 试分析在FCC中，下列反应能否进行？并指出其中3个位错的性质类型，反应后生成的新位错能否在滑移面上运动？  柏氏矢量为的全位错可以在面心立方晶体的哪些{111}面上存在？试写出该全位错在这些面上分解为两个分位错的反应式。 已知某FCC晶体的堆垛层错γ＝0.01J/m2，G＝7×1010Pa，a＝0.3nm，v＝0.3，试确定和两个分位错之间的平衡距离。 为什么点缺陷在热力学上是稳定的，而位错则是不平衡的晶体缺陷？ 已知Cu的点阵常数为0.255nm，密度为8.9g/cm3，摩尔质量为63.54g/mol。如果Cu在交变载荷作用下产生的空位浓度为5×10－4，并假设这些空位都在{111}面上聚集成直径为20nm的空位片。（相当于抽出一排原子而形成位错环） 计算1cm3晶体中位错环的数目。 指出位错环的位错类型。 位错环在{111}面上如何运动？ 参考答案 主要参考资料（按参考量排序）