主讲：材料学院 刘羽
liuyu@mail.wit.edu.cn
62866139;
87195640
无机非金属材料测试方法
? Inorganic Nonmetal Material Testing
Techniques
绪论
课程目的 ;
学习内容 ;
学习方法 ;
学时安排 ;
几点注意 ;
参考文献,
1,X-射线衍射分析,杨子兴 等,上海交大出版社,1994,O72/4719。
2.材料工艺中的现代物理技术,T.马维等,科学出版社,1984,
O739/8530。
3,物相衍射分析,杨传铮 等,冶金出版社,1989,TB3021/4728。
4,X光衍射技术基础,王英华,原子能出版社,1987,O71/1042。
5.,材料结构分析基础,,余琨等，科学出版社，北京,2000,
TB303/8096。
6,热分析及其应用,陈镜泓等,科学出版社,1985,O65.798/7483。
7,材料现代分析方法,左演声等,北工大出版社,2000,TB302/4034。
8,扫描电子显微分析技术,杜学礼,化工出版社,1986,O65735/4493。
参考文献
杨南如,无机非金属材料测试方法。武
汉工业大学出版社,1999。
杨南如等编,无机非金属材料图谱手册 。
武汉工业大学出版社,2000。
推荐教材和实验参考书
?主要教学内容安排,
?第一章 X射线粉晶衍射分析
?第二章 电子显微分析
?第三章 热分析
?第四章 振动光谱
?第五章 光电子能谱分析
?第六章 穆斯堡尔效应
第一章
X射线粉晶衍射分析
第一节
X射线的发生与性质
伦琴在担任德国维尔茨
堡大学校长的就职演说时
说：“大学是科学研究和
思想教育的培养园地,是
师生陶冶理想的地方,大
学在这方面的重大意义大
大超过了它的实际价值。”
―X射线”是德国物理学家
伦琴（ Roentgen)于 1895年
11月 8日发现，并很快以
“论一种新射线”为题发表
论文公之于世。李鸿章在 X
光被发现后仅 7个月就体验
了此种新技术，成为拍 X光
片检查枪伤的第一个中国人。
X-radiation
Microwaves
g-radiation UV IR Radio waves
10-6 10-3 1 103 106 109 1012
Wavelength(nm)
可见光
微波
无线电波
1.1 什么是 X光
? 1895年,W.C.Roentgen 在研究阴
极射线管时发现 X射线。－ X射线透视
技术。
1912年,M.Von Laue 以晶体为光
栅，发现了 X射线的衍射现象，确定了
X射线的电磁波性质。 X射线是种电磁
辐射，波长比可见光短，介于紫外与 γ
射线之间,λ=0.01-100A。
1913年,Bragg父子测定了第一个
晶体结构（ NaCl），提出 Bragg方程。
X射线具有波粒二象性。解释它的
干涉与衍射时，把它看成波，而
考虑它与其他物质相互作用时，
则将它看成粒子流，这种微粒子
通常称为光子。
X-ray的能量与频率或波长相关,Planck?s 定律,
Energy/photon （能量 /光子） = h? = hc/?
h = 6.63?10-34 J·s
?E
X-ray的强度与振幅相关：
Intensity（ 强度 ） = |A|2
,强度无方向 。 A
强度与能量的的区别：强度指光子数的多少,
能量指每个光子所携带的能量 。
1) X光不折射，因为所有物质对 X光的折光指数都
接近 1。因此无 X光透镜或 X光显微镜。
X光与可见光的区别
2) X光无反射。
3) X光可为重元素所吸收，故可用于医学造影。
2
0 1
1
???
?
???
?
?
???
s
sR
n
n
I
IR
如果所有光波是同相的，即峰值都重合，就称之为 相干的，
coherent,非 coherent的光波相互干扰，导致强度的减弱,
在同一方向的射线称为 准直的 （平行的） collimated beam,
电灯泡的光线是发散的,射向地球的太阳光基本是 collimated
。
如果所有光波的频率相同（即波长一致），就之为 单色的,
反之为多色的。灯泡是多色的，激光是单色的。
关于电磁波的三个术语
由于 X-Ray是高能电磁波，必由高能过程产生。
1) 电子在高压电场中轰击金属靶；
2) 加速电子或质子，用磁体突然改变其路径；
3) 在导体中突然改变电子的运动方向；
4) 电子在 TV或 VCD装置中减速；
5) 核爆炸或宇宙射线的作用。
1.2 X-Ray 的发生
? X射线管由阳极靶和阴极灯丝组成，两
者之间作用有高电压，并置于玻璃金
属管壳内。阴极是电子发射装置，受
热后激发出热电子；阳极是产生 X射线
的部位，当高速运动的热电子碰撞到
阳极靶上突然动能消失时，电子动能
将转化成 X射线。
冷却水
靶（阳极）
铜 X射线
X射线
真空 钨丝 玻璃
管座（接变压器）
铍窗 聚焦罩
封闭式 X射线管
电子束
X射线高功率旋转阳极
Planck?s law, Energy（ photon） ＝ h?= hc/ ?
波长越短，能量越高。
能够转化为 X光的最大能量为
hc/ ?o = eV
因此产生的 X光的最短波长受能量的限制
最短波长为 ?swl（ 短波限,shirt wavelength limit)
?swl = hc/KE = hc/eV = 12400/V
由于产生热的限制, 对管的能量 （ 千瓦 ） 输入
有个限度 。
旋转阳极的典型参数是 40kV 和 100mA, 功率
为 4kW。
思考：
1为何 X光管应抽真空？
2旋转阳极靶为何不必采用冷却水？
X射线谱
白色 (连续 )X射线
不同性质的碰撞产
生连续谱, 称为白
色 X 光 (braking
radiation)。
Characteristic
peaks
Continuous radiation
High-energy
stimulus
LaK
b
Ka
?swl
Intens
ity
of
em
itte
d ra
dia
tio
n
Low-energy
stimulus
Energy
Wavelength
Short wavelength limit
发生管中的总光子数 (即白色 X射线的强度 )与,
1 阴极原子数 Z成正比 ;
2与灯丝电流 i成正比 ;
3与电压 V二次方成正比,
I白色 ? i Z V2
可见，连续 X射线的总能量随管电流、阳极靶原子
序数和管电压的增加而增大。
Characteristic
peaks
Continuous radiation
High-energy
stimulus
LaK
b
Ka
?swl
Intens
ity
of
em
itted
ra
dia
tio
n
Low-energy
stimulus
Energy
Wavelength
Short wavelength limit
特征 X射线
随电压增加, X谱线
上出现尖峰 。 尖峰在
很窄的电压范围出现,
产生 X光的波长范围
也很窄 。 称为特征 X
射线 (characteristic
peaks)
? 当一个外来电子将 K层的一个电子击出
成为自由电子（二次电子），这时原子
就处于不稳定状态，必然自发地向稳态
过渡。此时位于较外层较高能量的 L层电
子可以跃迁到 K层。这个能量差 ΔE=EL-
EK=hν将以电磁波的形式放射出去，其
波长 λ＝ h/ΔE必然是个仅仅取决于原子外
层电子结构特点的常数，或者说是个仅
仅取决于原子序数的常数。
Ka ? = 0.154nm
DE = 1.29 ? 10-15J
Kb? = 0.139nm
DE = 0.15 ?10-15J
La ? = 1.336nm
DE = 1.43 ?10-15J
K = 1s2 level
L = 2s2p6 level
M = 2s2p6d10 level
Copper铜
K
L
M
L?K，产生 Ka
M?K，产生 Kb特征 X射线
这种由 L→K 的跃迁产生的 X射线我们称为
Kα辐射，同理还有 Kβ辐射,Kγ辐射。
离开原子核越远的轨道产生跃迁的几率越
小，所以由 K系到 L系到 M系辐射的强度也将
越来越小。
可见：
特征（标识） X射线产生的根本原因是原
子内层电子的跃迁。
? （ 1）不同 Z，有不同特征 X射线,Kα,Kβ
也不同。
? （ 2）若 V低于激发电压 Vk，则无 Kα,Kβ
产生 。
靶材料 特征 X射线波长
元素 序数 Ka Kb
Cr 24 2.2907 2.0849
Fe 26 1.9373 1.7566
Ni 28 1.6592 1.5001
Cu 29 1.5418 1.3922
Mo 42 0.7107 0.6323
W 74 0.2106 0.1844
特征 X射线波长与靶材料原子序数有关
原子序数越大，核对内层电子引力上升,?下降
)(
1 2
1
?
?
???
?
?
?
?
? ZK
?,波长 ; K：与主量子数, 电子质量和电子电荷有
关的常数 ; Z,靶材原子序数 ; ?,屏蔽常数
能量对 Z的依赖性因为该过程涉及两个电子, 一个被激发,
另一个跌落 。
能量服从 Mosley‘s Law
同步辐射 X射线源
? 在电子同步加速器或电子储存环中，高能电子
在强大的磁偏转力的作用下作轨道运动时，会
运动的切线发射出一种极强的光辐射，称为同
步辐射，其波长范围在 0.1—400?左右。
? 其特点是强度高，单色性好，比通常的 X射线
管所发出的 X射线约大 105倍左右。
1,3 X射线与物质的相互作用
X射线与物质的作用分为 散射、吸收、透射 。
? 1,散射
? X射线被物质散射时可以产生两种散射
现象，即相干散射和非相干散射。
? （ 1）相干散射
? 入射光子与电子刚性碰撞，其辐射出电磁
波的波长和频率与入射波完全相同，新的
散射波之间将可以发生相互干涉 -----相干散
射。
? (2）非相干散射
? 当物质中的电子与原子之间的束缚力
较小（如原子的外层电子）时，电子可
能被 X光子撞离原子成为反冲电子。因反
冲电子将带走一部分能量，使得光子能
量减少，从而使随后的散射波波长发生
改变，成为非相干散射。
2 吸收
? 除了被散射和透射掉一部分外,X射线能量主要将
被物质吸收，这种能量转换包括光电效应和俄歇效应。
? (1)光电效应
? 当入射 X光子的能量足够大时，还可以将原子内层
电子击出使其成为光电子，同时辐射出波长严格一定
的特征 X射线。为区别于电子击靶时产生的特征辐射，
由 X射线发出的特征辐射称为二次特征辐射，也称为荧
光辐射。 (荧光光谱分析原理是光电效应 )
? (2)俄歇效应
? 如果原子 K层电子被击出,L层电子
向 K层跃迁，其能量差不是以产生 K系 X
射线光量子的形式释放，而是被邻近电
子所吸收，使这个电子受激发而逸出原
子成为自由电子 -----俄歇电子 (Auger
electrons)。这种现象叫做俄歇效应。
3 透射与衰减
? X射线的能量衰减符合指数规律，即
I=I0e-μx=I0e-μmρx
其中,
I-----透射束的强度,
I0------入射束的强度,
μ-----线吸收系数 （ cm-1)
μm-----质量吸收系数, (cm2/g)表示单位时间内单位体积
物质对 X射线的吸收量,
ρ为物质密度 (g/cm3)，
x------物质的厚度 (cm)
线性吸收：
I=I0e -μx
?为线性吸收系数,x
为线性距离 x
I0 I
吸收量取决于入射强度
I0,而 I0在每个吸收微元
中连续变化, 对整个样
品积分：
x
I0 I
?? ?? xII dxIdIx 0
00
?
)e x p (,ln
00
x
I
Ix
I
I xx ?? ???? (Beer-Lambert Law)
)e x p (0 xII x ???
? 质量吸收系数 μm与波长 ? 和原子序数 Z存在如
下关系,μm=K ? 3Z3
? 这表明，当吸收物质一定时,X射线的波
长越长越容易被吸收 ; X射线的波长固定时,吸
收体的原子序数越高,X射线越容易被吸收。
吸收常用质量吸收系数 ?m表示，
?m＝ ?/?
不同元素的 ?m不同
H 0.435 Si 60.6
C 4.60 S 89.1
N 7.52 Cl 106
O 11.5 Br 99.6
F 16.4 I 294
如果材料中含多种元素, 则
?m＝ ??miWi 其中 Wi为质量分数
吸收系数的变化是不连续的 。 波长 （ 能量 ） 变化到一
定值, 吸收的性质发生变化, ?m发生突变, 突变波长
称 吸收限 (?K,Absorb limit)。
质量吸收系数
波长
K
L1
L2
L3
?K=0.158?
200
100
0.5 1.0
? 由图可见，整个曲线并非像上式那样随 ?
的减小而单调下降。当波长 ?减小到某几
个值时,?m会突然增加，于是出现若干
个跳跃台阶。 ?m突增的原因是在这几个
波长时产生了光电效应，使 X射线被大量
吸收，这个相应的波长称为吸收限 ?k 。
? 利用这一原理，可以合理地选用滤波
材料，使 Kα和 Kβ两条特征谱线中去掉一
条，实现单色的特征辐射。
质量吸收系数
波长
K
L1
L2
L3
?K=0.158?
200
100
0.5 1.0
吸收限对应的能量就是轨道能，对 K线而言：
?K = hc/WK
原子序数越低，轨道能 WK越低，即吸收限 ?K越大。
?/?
1.2 1.4 1.6 1.8
?m
Ka
Kb
?/?
1.2 1.4 1.6 1.8
?m Ka
Kb
原子序数小 1~2的物质对 Kb的吸收限接近阳极
物质的 Ka,可用作 过滤器, 将 Kb射线滤掉 。
Cu/Ni:
Z 靶材料 ?K Z 滤波材料 ?K
24 Cr 2.2907 23 V 2.2691
26 Fe 1.9372 25 Mn 1.8964
27 Co 1.7903 26 Fe 1.7435
29 Cu 1.5418 28 Ni 1.4881
42 Mo 0.7107 40 Zr 0.6888
一些靶材料与滤波材料的配合
原理出自 Bragg?slaw：
?= 2d sin(?)
用狭缝严格控制角度, 选择单晶控制 d,可
控制衍射波长的单一性 。
思考：
1 um与 u的单位分别是什么？ 代表什么物理
意义？
2 从 产生机理分析 Ka比 Kb的波长大的原因 。
晶体单色器
? 练习 Exercise
? 1) 为何 X射线管的窗口由 Be制成, 而其屏蔽
装置由 Pb制成？ 请用计算数据说明你的论点 。
? Why is the windows of X-ray tube made in
Be,and protection shield in Pb? use data
to explain the reason.
? 2) 铜靶 X射线应用什么元素做滤波片？ 如你
选择 Al和 Fe,会出现什么后果？
What kind of filter should be chose for X-
ray tube with Cu target? If you chose Al
and Fe as filter,what happen?
? 3) 请算出 Cr靶在 75kV 下白色 X射线的短波
限 λ0 值 。
? Please calculate the short-wave limit λ0
of white radiation made by Cr target at
75kV tube voltage
? 4) 请分别计算 Mo Kα (λ=0.071nm) 和 Cu
Kα(λ=0.154nm) X射线的频率 f和能量 E 。
? Calculate the frequencies and energy of
X-ray emit by Mo Kα(λ=0.071nm) and Cu
Kα(λ=0.154nm),respectively.
? 6) 假定空气由 20% O2 和 80% N2 组成,
其密度为 1.29× 10-3 g/cm3,试求其对于
Cr Kα的质量吸收系数 um 和线吸收系数 u。
? Assume air is consisted of 20% O2
and 80% N2,and it density is
1.29× 10-3 g/cm3,please calculate its
mass absorption coefficient um and
linear absorption coefficient u for Cr
Kα radiation.
? 7) 作出 Cu靶在 1,5,20 and 40 kV 电压
下的强度 -波长关系图 。
? Make a plot of intensity of X-rays
versus wavelength for a Cu anode for
1,5,20 and 40 kV.
? 8) 对于铁靶, 应用什么做滤波片, 解释
你的选择理由 。
? What material could be used to filter
Fe anode,explain your choice.
?
第二节
晶体结构
2.1 晶体的点阵结构
晶体,物质点 （ 原子, 离子,
分子 ） 在空间周期排列构成固
体物质 。
结构基元,在晶体中重复出现
的基本单元；在三维空间周期
排列；为简便,可抽象几何点
空间点阵,上述几何点在空间
的分布，每个点称为点阵点。
?如将空间点阵中各点阵点换上具体内容 -
-结构基元 (原子, 离子, 分子, 基团等 ）,
即得到具体的晶体结构 。
?换言之：晶体结构 =空间点阵 +结构基元
?空间点阵仅是晶体结构的几何抽象, 只
表示结构基元在空间的分布, 无物质内容 。
点阵划分为晶格可
以有不同的方法 。
?1.所选择的平行六面体的特性应符合整个空间点阵的
特征, 并应具有尽可能多的相等棱和相等角 。
?2.平行六面体中各棱之间应有尽可能多的直角关系 。
?3.在满足 1,2时,平行六面体的体积应最小 。
根据上述原则, 证明仅存在 14种不同的晶格 （ 或点阵 ）,
称做布拉维点阵, 按对称性可分为 7个晶系 。
布拉维（ Bravais）规则
b
ab
c a
g
三斜晶系 triclinic
a ? b ? c,a?b?g? 90?
1
a
b
c a
b
c
a
a
单斜晶系 monoclinic
a ? b ? c,b = g = 90??a
Simple Base-centered
2
3
a
b
cc
a
b
斜方晶系
Orthorhombic
a ? b ? c,a = b = g = 90?
Simple Base-centered Bady –centered Face -centered
4 5 6 7
a = b ? c,a = b = 90?,g ? 120?
六方晶系
Hexagonal
a
c8
a
a
a
a
a
三方 (菱形 )晶系
Rhombohedral
a = b = c,a = b = g? 90?
9
a
c
a a
c
a
10 11
四方晶系
Tetragonal
a = b ? c,a = b = g = 90?
Body
-centeredSimple
a a
a
a a
a
a a
a
立方晶系
(Cubic system)
a = b = c,a = b = g = 90?
Simple Body -centered Face –centered
12 13 14
七个晶系的晶格参数
a = b = c,a = b = g = 90?
a = b ? c,a = b = g = 90?
a ? b ? c,a = b = g = 90?
a = b = c,a = b = g? 90?
a = b ? c,a = b = 90?,g ? 120?
a ? b ? c,b = g = 90??a
a ? b ? c,a?b?g? 90?
立方
六方
四方
三方
斜方
单斜
三斜
1.确定平面与三个坐标轴上的交点。平面不能通过原点。
如果平面通过原点，应移动原点。
2.取交点坐标的倒数（所以平面不能通过原点）。如果平
面与某一坐标轴平行，则交点为 ?，倒数为零。
3.消除分数，但不化简为最小整数 。负数用上划线表示。
确定晶体平面 Miller指数的步骤
晶面指数通常用（ hkl） 表示。
2.2 晶面符号
A,第一步：确定交点的坐标：
x 轴,1,y 轴,1/2,z 轴,1/3
第二步：取倒数,1,2,3
第三步：消除分数。因无分数，
直接进入下一步。
第四步：加圆括号，不加逗号，
得到,(123)
B,第一步：确定交点的坐标：
x 轴,1,y 轴,2/3,z 轴,2/3
第二步：取倒数,1,3/2,3/2
第三步：消除分数：
1? 2 = 2 3/2 ? 2 = 3 3/2 ? 2 = 3
第四步：加圆括号，不加逗号，
得到,(233)
3
2,0,0
31,0,0
0,21,0 0,32,0
A
1,0,0
0,0,1
0,1,0
B
例
(312)
常见晶面的 Miller指数
(211)
(100)
(001)
(001)
(111)
(110)
常见晶面的 Miller指数
(100)
a/2 a/4
(200)
(400)
原点
110220440
原点
1,h,k,l三个数分别对应于 a,b,c三晶轴方向 。
2,其中某一数为, 0‖,表示晶面与相应的晶轴平行,
例如 (hk0)晶面平行于 c轴； (h00)平行于 b,c轴 。
3,(hkl） 中括号代表一组互相平行, 面间距相等的
晶面 。
4,晶面指数不允许有公约数, 即 hkl三个数互质 。
5,若某晶面与晶轴相截在负方向, 则相应指数上加
一横 。
对晶面指数的说明
2
2
2
2
2
2
2 cba
1 lkh
d h k l ???
b
b
bb 222
2
2
2
22
2
2 s i n
c o s2
s i ncbs i na
1
ac
hllkh
d h k l ????
正交（斜方）
单斜
三斜
晶面间距的计算
)]c osc os( c os
ac
2
)c osc os( c os
bc
2
)c osc os( c os
ab
2
c
s i n
b
s i n
a
s i n
[
)c osc osc osc osc osc os21(
11
2
22
2
22
2
22
2222
bagagb
gba
gba
gbagba
????
?????
????
?
hlkl
hklkh
d
h k l
晶面夹角 (其法线间的夹角）的计算
极其复杂，
对于等轴晶体,有：
cosΦ=(h1h2+k1k2+l1l2)/[(h12+k12+l12)
(h22+k22+l22)]1/2
对于四方晶体,有：
cosΦ=c2(h1h2+k1k2)+a2l1l2/[[c2(h12+k12)+a2l12]
c2(h22+k22)+a2l22)]]1/2
例 1 某斜方晶体的 a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,
计算 d110和 d200。
d110 =4.11?,d200=3.71?
2
2
2
2
2
1 1 0 9 4 5.4
1
4 1 7.7
11 ??
d
2
2
2
2 0 0 4 1 7.7
21 ?
d
2
2
2
2
2
2
2 cba
1 lkh
d h k l ???
a
aa
c
aa
a
a
a
a
a a
c
aa
b
a
c b
c
aa
120?
a
b
a g
b a
Cubic Tetragonal Hexagonal Trigonal
Orthorhombic Monoclinic Triclinic
七个晶系的基矢
2.3 倒易点阵 (reciprocal lattice)
倒易空间
倒易晶格
a
b
c
c*
a*
b*
要求倒易基矢垂直于晶面
b
c*
a*
b*
a*? (100)
b*? (010)
100
001
010c*? (001)
*c
a
c
c
b
c*
a*
b*
a*端点坐标为 1,0,0,?(100)
b*端点坐标为 0,1,0,?(010)
c*端点坐标为 0,01,,? (001)
100
001
010
倒易基矢的方向
a
a*端点坐标为 1,0,0,长度为（ 100）晶面的间距的倒数
b*端点坐标为 0,1,0,长度为（ 010）晶面的间距的倒数
c*端点坐标为 0,0,1,长度为（ 001）晶面的间距的倒数
c*
a*
b*
倒易基矢的长度
1?
0.25 ?-1
200100
000
H210
H110
210110010
220120020
(210)
(100)(110)
(010)
C
*
b*
a*c
b
a
倒易晶格正晶格
立方晶格的倒易变换
X
Y
Z
(220)
H220
1?
0.25 ?-1
200
100
000
H120
H110
210
110
010
220
120
020(120)
(100)
(110) (010)
c*
b*
a*c b
a
倒易晶格
正晶格
六方晶格的倒易变换
O
a*
c*
c
001 002
003 004
005
006100 101
102
103
104
105
106200 201
202
203 204
205
206300 301
302 303
304 305
306
b*
a
一般晶格的倒易变换
决定了基
矢也就决
定了平行
六面体
整个空间
就是平行
六面体的
平移堆砌
平行六面
体的顶点
就是倒易
点
b
(1) r*的方向与实际点阵面 （ hkl） 相垂直, 或 r*
的方向是实际点阵面 （ hkl） 的法线方向 。
(2) r*的大小等于实际点阵面 （ hkl） 面间距的倒数,
即
倒易矢量的两个重要性质
倒易矢量：由倒易点阵的原点 O至任一倒易点 hkl
的矢量为 r*
h kl
h kl d
1r ?
r* = ha* + kb* + lc*
hklhkl d
1r ?
1每个倒易矢量 （ 每
个倒易点 ） 代表一
组晶面,该矢量的方
向垂直于所代表的
晶面 。
2该矢量的长度为晶
面间距的倒数 。
倒易点阵的本质
O
a1
a3
b3
001 002
003
004
005
006100 101
102
103
104
105
106200 201
202
203 204
205
206300 301
302
303
304
305
306
a2
b1
? 练习 Exercise
? 1金红石是四方晶体,a=0.458nm,c =
0.295nm,请用倒易点阵作图法与计算方法求其
(100) 和 (110)面的面网间距及二者夹角 Φ。
? Rutile (TiO2) is tetragonal crystal with
a=0.458nm,c=0.295nm,please calculate and
measure the distance of planes (100) and (110)
and the angle between these planes.
? 2) 金刚石是等轴面心结构, a=0.356nm,请用倒
易点阵作图法与计算方法求其 (110) 和 (111)面的面
网间距及二者夹角 Φ。
? Diamond is cubic-faced crystal with
a=0.356nm,please calculate and measure the
distance of planes (110) and (111) and the
angle between these planes.
? 3) 某 晶 体 为 斜 方 晶 系, a=2.01nm,
b=3.45nm and c=5.26nm,用 CuKα
（ λ=0.154nm ） 照射, 请作出其倒易点
阵面 a*b* 与 a*c*面的倒易点分布图, 标
出 100,110,-201,10-1等倒易点, 测量
出它们对应的 d值 。
? A crystal is orthogonal system with
a=2.01nm,b=3.45nm and c=5.26nm,
CuKα λ=0.154nm,draw its projection of
a*b* plane and a*c* plane; find 100,110,
-201,10-1 reverse points,and measure
their space-distance(d).
? 4) 某 六 方 系 晶 体 的 a=b=2.5nm,c=4nm,
γ=120?, 请作出其倒易点阵面 a*b* 面的倒易
点分布图, 标出 100,110倒易点, 测量出它们
对应的 d值 。
? * A Hexagonal crystal has a=b=2.5nm,
c=4nm,γ=120?,draw its projection of a*b*
plane,find 100,110 reverse points,and
measure their space-distance (d) and the
angle between them.
? 5) 请简要叙述正点阵与倒易点阵的联系及区别 。
? Please give a brief review on the
difference and the relationship between
normal lattice and reverse lattice.
完
?致谢：本章 PPT采用了北化大励杭泉教授的
部分图片,谨致谢意！
7个晶系及其所属的布拉菲点阵
晶系 点阵常数 布拉菲
点阵
点阵
符号
晶格内
结点数
结点坐标
立方 a=b=c
α=β=γ=90o
简单立方
体心立方
面心立方
P
I
F
1
2
4
000
000,1/2 1/2 1/2
000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2,0 1/2 1/2
正方
(四方 )
a=b≠ c
α=β=γ=90o
简单正方
体心正方
P
I
1
2
000
000,1/2 1/2 1/2
斜方 a ≠ b≠ c
简单斜方
体心斜方
底心斜方
面心斜方
P
I
C
F
1
2
2
4
000
000,1/2 1/2 1/2
000,1/2 1/2 0
000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2,0 1/2 1/2
简单晶胞：晶胞内仅含 1个结点；复杂晶胞：晶胞内含 1个以上结点。
7个晶系及其所属的布拉菲点阵（续 )
晶系 点阵常数 布拉菲
点阵
点阵
符号
晶格内
结点数
结点坐标
菱方 (
三方 )
a=b=c
α=β=γ ≠ 90o
简单菱方 R 1 000
六方 a=b≠ c
α=β=90o
γ=120o
简单六方 P 1 000
单斜
a ≠ b≠ c
α= γ = 90o ≠ β
简单单斜
底心单斜
P
C
1
2
000
000,1/2 1/2 0
三斜 a ≠ b≠ c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
简单三斜 P 1 000
liuyu@mail.wit.edu.cn
62866139;
87195640
无机非金属材料测试方法
? Inorganic Nonmetal Material Testing
Techniques
绪论
课程目的 ;
学习内容 ;
学习方法 ;
学时安排 ;
几点注意 ;
参考文献,
1,X-射线衍射分析,杨子兴 等,上海交大出版社,1994,O72/4719。
2.材料工艺中的现代物理技术,T.马维等,科学出版社,1984,
O739/8530。
3,物相衍射分析,杨传铮 等,冶金出版社,1989,TB3021/4728。
4,X光衍射技术基础,王英华,原子能出版社,1987,O71/1042。
5.,材料结构分析基础,,余琨等，科学出版社，北京,2000,
TB303/8096。
6,热分析及其应用,陈镜泓等,科学出版社,1985,O65.798/7483。
7,材料现代分析方法,左演声等,北工大出版社,2000,TB302/4034。
8,扫描电子显微分析技术,杜学礼,化工出版社,1986,O65735/4493。
参考文献
杨南如,无机非金属材料测试方法。武
汉工业大学出版社,1999。
杨南如等编,无机非金属材料图谱手册 。
武汉工业大学出版社,2000。
推荐教材和实验参考书
?主要教学内容安排,
?第一章 X射线粉晶衍射分析
?第二章 电子显微分析
?第三章 热分析
?第四章 振动光谱
?第五章 光电子能谱分析
?第六章 穆斯堡尔效应
第一章
X射线粉晶衍射分析
第一节
X射线的发生与性质
伦琴在担任德国维尔茨
堡大学校长的就职演说时
说：“大学是科学研究和
思想教育的培养园地,是
师生陶冶理想的地方,大
学在这方面的重大意义大
大超过了它的实际价值。”
―X射线”是德国物理学家
伦琴（ Roentgen)于 1895年
11月 8日发现，并很快以
“论一种新射线”为题发表
论文公之于世。李鸿章在 X
光被发现后仅 7个月就体验
了此种新技术，成为拍 X光
片检查枪伤的第一个中国人。
X-radiation
Microwaves
g-radiation UV IR Radio waves
10-6 10-3 1 103 106 109 1012
Wavelength(nm)
可见光
微波
无线电波
1.1 什么是 X光
? 1895年,W.C.Roentgen 在研究阴
极射线管时发现 X射线。－ X射线透视
技术。
1912年,M.Von Laue 以晶体为光
栅，发现了 X射线的衍射现象，确定了
X射线的电磁波性质。 X射线是种电磁
辐射，波长比可见光短，介于紫外与 γ
射线之间,λ=0.01-100A。
1913年,Bragg父子测定了第一个
晶体结构（ NaCl），提出 Bragg方程。
X射线具有波粒二象性。解释它的
干涉与衍射时，把它看成波，而
考虑它与其他物质相互作用时，
则将它看成粒子流，这种微粒子
通常称为光子。
X-ray的能量与频率或波长相关,Planck?s 定律,
Energy/photon （能量 /光子） = h? = hc/?
h = 6.63?10-34 J·s
?E
X-ray的强度与振幅相关：
Intensity（ 强度 ） = |A|2
,强度无方向 。 A
强度与能量的的区别：强度指光子数的多少,
能量指每个光子所携带的能量 。
1) X光不折射，因为所有物质对 X光的折光指数都
接近 1。因此无 X光透镜或 X光显微镜。
X光与可见光的区别
2) X光无反射。
3) X光可为重元素所吸收，故可用于医学造影。
2
0 1
1
???
?
???
?
?
???
s
sR
n
n
I
IR
如果所有光波是同相的，即峰值都重合，就称之为 相干的，
coherent,非 coherent的光波相互干扰，导致强度的减弱,
在同一方向的射线称为 准直的 （平行的） collimated beam,
电灯泡的光线是发散的,射向地球的太阳光基本是 collimated
。
如果所有光波的频率相同（即波长一致），就之为 单色的,
反之为多色的。灯泡是多色的，激光是单色的。
关于电磁波的三个术语
由于 X-Ray是高能电磁波，必由高能过程产生。
1) 电子在高压电场中轰击金属靶；
2) 加速电子或质子，用磁体突然改变其路径；
3) 在导体中突然改变电子的运动方向；
4) 电子在 TV或 VCD装置中减速；
5) 核爆炸或宇宙射线的作用。
1.2 X-Ray 的发生
? X射线管由阳极靶和阴极灯丝组成，两
者之间作用有高电压，并置于玻璃金
属管壳内。阴极是电子发射装置，受
热后激发出热电子；阳极是产生 X射线
的部位，当高速运动的热电子碰撞到
阳极靶上突然动能消失时，电子动能
将转化成 X射线。
冷却水
靶（阳极）
铜 X射线
X射线
真空 钨丝 玻璃
管座（接变压器）
铍窗 聚焦罩
封闭式 X射线管
电子束
X射线高功率旋转阳极
Planck?s law, Energy（ photon） ＝ h?= hc/ ?
波长越短，能量越高。
能够转化为 X光的最大能量为
hc/ ?o = eV
因此产生的 X光的最短波长受能量的限制
最短波长为 ?swl（ 短波限,shirt wavelength limit)
?swl = hc/KE = hc/eV = 12400/V
由于产生热的限制, 对管的能量 （ 千瓦 ） 输入
有个限度 。
旋转阳极的典型参数是 40kV 和 100mA, 功率
为 4kW。
思考：
1为何 X光管应抽真空？
2旋转阳极靶为何不必采用冷却水？
X射线谱
白色 (连续 )X射线
不同性质的碰撞产
生连续谱, 称为白
色 X 光 (braking
radiation)。
Characteristic
peaks
Continuous radiation
High-energy
stimulus
LaK
b
Ka
?swl
Intens
ity
of
em
itte
d ra
dia
tio
n
Low-energy
stimulus
Energy
Wavelength
Short wavelength limit
发生管中的总光子数 (即白色 X射线的强度 )与,
1 阴极原子数 Z成正比 ;
2与灯丝电流 i成正比 ;
3与电压 V二次方成正比,
I白色 ? i Z V2
可见，连续 X射线的总能量随管电流、阳极靶原子
序数和管电压的增加而增大。
Characteristic
peaks
Continuous radiation
High-energy
stimulus
LaK
b
Ka
?swl
Intens
ity
of
em
itted
ra
dia
tio
n
Low-energy
stimulus
Energy
Wavelength
Short wavelength limit
特征 X射线
随电压增加, X谱线
上出现尖峰 。 尖峰在
很窄的电压范围出现,
产生 X光的波长范围
也很窄 。 称为特征 X
射线 (characteristic
peaks)
? 当一个外来电子将 K层的一个电子击出
成为自由电子（二次电子），这时原子
就处于不稳定状态，必然自发地向稳态
过渡。此时位于较外层较高能量的 L层电
子可以跃迁到 K层。这个能量差 ΔE=EL-
EK=hν将以电磁波的形式放射出去，其
波长 λ＝ h/ΔE必然是个仅仅取决于原子外
层电子结构特点的常数，或者说是个仅
仅取决于原子序数的常数。
Ka ? = 0.154nm
DE = 1.29 ? 10-15J
Kb? = 0.139nm
DE = 0.15 ?10-15J
La ? = 1.336nm
DE = 1.43 ?10-15J
K = 1s2 level
L = 2s2p6 level
M = 2s2p6d10 level
Copper铜
K
L
M
L?K，产生 Ka
M?K，产生 Kb特征 X射线
这种由 L→K 的跃迁产生的 X射线我们称为
Kα辐射，同理还有 Kβ辐射,Kγ辐射。
离开原子核越远的轨道产生跃迁的几率越
小，所以由 K系到 L系到 M系辐射的强度也将
越来越小。
可见：
特征（标识） X射线产生的根本原因是原
子内层电子的跃迁。
? （ 1）不同 Z，有不同特征 X射线,Kα,Kβ
也不同。
? （ 2）若 V低于激发电压 Vk，则无 Kα,Kβ
产生 。
靶材料 特征 X射线波长
元素 序数 Ka Kb
Cr 24 2.2907 2.0849
Fe 26 1.9373 1.7566
Ni 28 1.6592 1.5001
Cu 29 1.5418 1.3922
Mo 42 0.7107 0.6323
W 74 0.2106 0.1844
特征 X射线波长与靶材料原子序数有关
原子序数越大，核对内层电子引力上升,?下降
)(
1 2
1
?
?
???
?
?
?
?
? ZK
?,波长 ; K：与主量子数, 电子质量和电子电荷有
关的常数 ; Z,靶材原子序数 ; ?,屏蔽常数
能量对 Z的依赖性因为该过程涉及两个电子, 一个被激发,
另一个跌落 。
能量服从 Mosley‘s Law
同步辐射 X射线源
? 在电子同步加速器或电子储存环中，高能电子
在强大的磁偏转力的作用下作轨道运动时，会
运动的切线发射出一种极强的光辐射，称为同
步辐射，其波长范围在 0.1—400?左右。
? 其特点是强度高，单色性好，比通常的 X射线
管所发出的 X射线约大 105倍左右。
1,3 X射线与物质的相互作用
X射线与物质的作用分为 散射、吸收、透射 。
? 1,散射
? X射线被物质散射时可以产生两种散射
现象，即相干散射和非相干散射。
? （ 1）相干散射
? 入射光子与电子刚性碰撞，其辐射出电磁
波的波长和频率与入射波完全相同，新的
散射波之间将可以发生相互干涉 -----相干散
射。
? (2）非相干散射
? 当物质中的电子与原子之间的束缚力
较小（如原子的外层电子）时，电子可
能被 X光子撞离原子成为反冲电子。因反
冲电子将带走一部分能量，使得光子能
量减少，从而使随后的散射波波长发生
改变，成为非相干散射。
2 吸收
? 除了被散射和透射掉一部分外,X射线能量主要将
被物质吸收，这种能量转换包括光电效应和俄歇效应。
? (1)光电效应
? 当入射 X光子的能量足够大时，还可以将原子内层
电子击出使其成为光电子，同时辐射出波长严格一定
的特征 X射线。为区别于电子击靶时产生的特征辐射，
由 X射线发出的特征辐射称为二次特征辐射，也称为荧
光辐射。 (荧光光谱分析原理是光电效应 )
? (2)俄歇效应
? 如果原子 K层电子被击出,L层电子
向 K层跃迁，其能量差不是以产生 K系 X
射线光量子的形式释放，而是被邻近电
子所吸收，使这个电子受激发而逸出原
子成为自由电子 -----俄歇电子 (Auger
electrons)。这种现象叫做俄歇效应。
3 透射与衰减
? X射线的能量衰减符合指数规律，即
I=I0e-μx=I0e-μmρx
其中,
I-----透射束的强度,
I0------入射束的强度,
μ-----线吸收系数 （ cm-1)
μm-----质量吸收系数, (cm2/g)表示单位时间内单位体积
物质对 X射线的吸收量,
ρ为物质密度 (g/cm3)，
x------物质的厚度 (cm)
线性吸收：
I=I0e -μx
?为线性吸收系数,x
为线性距离 x
I0 I
吸收量取决于入射强度
I0,而 I0在每个吸收微元
中连续变化, 对整个样
品积分：
x
I0 I
?? ?? xII dxIdIx 0
00
?
)e x p (,ln
00
x
I
Ix
I
I xx ?? ???? (Beer-Lambert Law)
)e x p (0 xII x ???
? 质量吸收系数 μm与波长 ? 和原子序数 Z存在如
下关系,μm=K ? 3Z3
? 这表明，当吸收物质一定时,X射线的波
长越长越容易被吸收 ; X射线的波长固定时,吸
收体的原子序数越高,X射线越容易被吸收。
吸收常用质量吸收系数 ?m表示，
?m＝ ?/?
不同元素的 ?m不同
H 0.435 Si 60.6
C 4.60 S 89.1
N 7.52 Cl 106
O 11.5 Br 99.6
F 16.4 I 294
如果材料中含多种元素, 则
?m＝ ??miWi 其中 Wi为质量分数
吸收系数的变化是不连续的 。 波长 （ 能量 ） 变化到一
定值, 吸收的性质发生变化, ?m发生突变, 突变波长
称 吸收限 (?K,Absorb limit)。
质量吸收系数
波长
K
L1
L2
L3
?K=0.158?
200
100
0.5 1.0
? 由图可见，整个曲线并非像上式那样随 ?
的减小而单调下降。当波长 ?减小到某几
个值时,?m会突然增加，于是出现若干
个跳跃台阶。 ?m突增的原因是在这几个
波长时产生了光电效应，使 X射线被大量
吸收，这个相应的波长称为吸收限 ?k 。
? 利用这一原理，可以合理地选用滤波
材料，使 Kα和 Kβ两条特征谱线中去掉一
条，实现单色的特征辐射。
质量吸收系数
波长
K
L1
L2
L3
?K=0.158?
200
100
0.5 1.0
吸收限对应的能量就是轨道能，对 K线而言：
?K = hc/WK
原子序数越低，轨道能 WK越低，即吸收限 ?K越大。
?/?
1.2 1.4 1.6 1.8
?m
Ka
Kb
?/?
1.2 1.4 1.6 1.8
?m Ka
Kb
原子序数小 1~2的物质对 Kb的吸收限接近阳极
物质的 Ka,可用作 过滤器, 将 Kb射线滤掉 。
Cu/Ni:
Z 靶材料 ?K Z 滤波材料 ?K
24 Cr 2.2907 23 V 2.2691
26 Fe 1.9372 25 Mn 1.8964
27 Co 1.7903 26 Fe 1.7435
29 Cu 1.5418 28 Ni 1.4881
42 Mo 0.7107 40 Zr 0.6888
一些靶材料与滤波材料的配合
原理出自 Bragg?slaw：
?= 2d sin(?)
用狭缝严格控制角度, 选择单晶控制 d,可
控制衍射波长的单一性 。
思考：
1 um与 u的单位分别是什么？ 代表什么物理
意义？
2 从 产生机理分析 Ka比 Kb的波长大的原因 。
晶体单色器
? 练习 Exercise
? 1) 为何 X射线管的窗口由 Be制成, 而其屏蔽
装置由 Pb制成？ 请用计算数据说明你的论点 。
? Why is the windows of X-ray tube made in
Be,and protection shield in Pb? use data
to explain the reason.
? 2) 铜靶 X射线应用什么元素做滤波片？ 如你
选择 Al和 Fe,会出现什么后果？
What kind of filter should be chose for X-
ray tube with Cu target? If you chose Al
and Fe as filter,what happen?
? 3) 请算出 Cr靶在 75kV 下白色 X射线的短波
限 λ0 值 。
? Please calculate the short-wave limit λ0
of white radiation made by Cr target at
75kV tube voltage
? 4) 请分别计算 Mo Kα (λ=0.071nm) 和 Cu
Kα(λ=0.154nm) X射线的频率 f和能量 E 。
? Calculate the frequencies and energy of
X-ray emit by Mo Kα(λ=0.071nm) and Cu
Kα(λ=0.154nm),respectively.
? 6) 假定空气由 20% O2 和 80% N2 组成,
其密度为 1.29× 10-3 g/cm3,试求其对于
Cr Kα的质量吸收系数 um 和线吸收系数 u。
? Assume air is consisted of 20% O2
and 80% N2,and it density is
1.29× 10-3 g/cm3,please calculate its
mass absorption coefficient um and
linear absorption coefficient u for Cr
Kα radiation.
? 7) 作出 Cu靶在 1,5,20 and 40 kV 电压
下的强度 -波长关系图 。
? Make a plot of intensity of X-rays
versus wavelength for a Cu anode for
1,5,20 and 40 kV.
? 8) 对于铁靶, 应用什么做滤波片, 解释
你的选择理由 。
? What material could be used to filter
Fe anode,explain your choice.
?
第二节
晶体结构
2.1 晶体的点阵结构
晶体,物质点 （ 原子, 离子,
分子 ） 在空间周期排列构成固
体物质 。
结构基元,在晶体中重复出现
的基本单元；在三维空间周期
排列；为简便,可抽象几何点
空间点阵,上述几何点在空间
的分布，每个点称为点阵点。
?如将空间点阵中各点阵点换上具体内容 -
-结构基元 (原子, 离子, 分子, 基团等 ）,
即得到具体的晶体结构 。
?换言之：晶体结构 =空间点阵 +结构基元
?空间点阵仅是晶体结构的几何抽象, 只
表示结构基元在空间的分布, 无物质内容 。
点阵划分为晶格可
以有不同的方法 。
?1.所选择的平行六面体的特性应符合整个空间点阵的
特征, 并应具有尽可能多的相等棱和相等角 。
?2.平行六面体中各棱之间应有尽可能多的直角关系 。
?3.在满足 1,2时,平行六面体的体积应最小 。
根据上述原则, 证明仅存在 14种不同的晶格 （ 或点阵 ）,
称做布拉维点阵, 按对称性可分为 7个晶系 。
布拉维（ Bravais）规则
b
ab
c a
g
三斜晶系 triclinic
a ? b ? c,a?b?g? 90?
1
a
b
c a
b
c
a
a
单斜晶系 monoclinic
a ? b ? c,b = g = 90??a
Simple Base-centered
2
3
a
b
cc
a
b
斜方晶系
Orthorhombic
a ? b ? c,a = b = g = 90?
Simple Base-centered Bady –centered Face -centered
4 5 6 7
a = b ? c,a = b = 90?,g ? 120?
六方晶系
Hexagonal
a
c8
a
a
a
a
a
三方 (菱形 )晶系
Rhombohedral
a = b = c,a = b = g? 90?
9
a
c
a a
c
a
10 11
四方晶系
Tetragonal
a = b ? c,a = b = g = 90?
Body
-centeredSimple
a a
a
a a
a
a a
a
立方晶系
(Cubic system)
a = b = c,a = b = g = 90?
Simple Body -centered Face –centered
12 13 14
七个晶系的晶格参数
a = b = c,a = b = g = 90?
a = b ? c,a = b = g = 90?
a ? b ? c,a = b = g = 90?
a = b = c,a = b = g? 90?
a = b ? c,a = b = 90?,g ? 120?
a ? b ? c,b = g = 90??a
a ? b ? c,a?b?g? 90?
立方
六方
四方
三方
斜方
单斜
三斜
1.确定平面与三个坐标轴上的交点。平面不能通过原点。
如果平面通过原点，应移动原点。
2.取交点坐标的倒数（所以平面不能通过原点）。如果平
面与某一坐标轴平行，则交点为 ?，倒数为零。
3.消除分数，但不化简为最小整数 。负数用上划线表示。
确定晶体平面 Miller指数的步骤
晶面指数通常用（ hkl） 表示。
2.2 晶面符号
A,第一步：确定交点的坐标：
x 轴,1,y 轴,1/2,z 轴,1/3
第二步：取倒数,1,2,3
第三步：消除分数。因无分数，
直接进入下一步。
第四步：加圆括号，不加逗号，
得到,(123)
B,第一步：确定交点的坐标：
x 轴,1,y 轴,2/3,z 轴,2/3
第二步：取倒数,1,3/2,3/2
第三步：消除分数：
1? 2 = 2 3/2 ? 2 = 3 3/2 ? 2 = 3
第四步：加圆括号，不加逗号，
得到,(233)
3
2,0,0
31,0,0
0,21,0 0,32,0
A
1,0,0
0,0,1
0,1,0
B
例
(312)
常见晶面的 Miller指数
(211)
(100)
(001)
(001)
(111)
(110)
常见晶面的 Miller指数
(100)
a/2 a/4
(200)
(400)
原点
110220440
原点
1,h,k,l三个数分别对应于 a,b,c三晶轴方向 。
2,其中某一数为, 0‖,表示晶面与相应的晶轴平行,
例如 (hk0)晶面平行于 c轴； (h00)平行于 b,c轴 。
3,(hkl） 中括号代表一组互相平行, 面间距相等的
晶面 。
4,晶面指数不允许有公约数, 即 hkl三个数互质 。
5,若某晶面与晶轴相截在负方向, 则相应指数上加
一横 。
对晶面指数的说明
2
2
2
2
2
2
2 cba
1 lkh
d h k l ???
b
b
bb 222
2
2
2
22
2
2 s i n
c o s2
s i ncbs i na
1
ac
hllkh
d h k l ????
正交（斜方）
单斜
三斜
晶面间距的计算
)]c osc os( c os
ac
2
)c osc os( c os
bc
2
)c osc os( c os
ab
2
c
s i n
b
s i n
a
s i n
[
)c osc osc osc osc osc os21(
11
2
22
2
22
2
22
2222
bagagb
gba
gba
gbagba
????
?????
????
?
hlkl
hklkh
d
h k l
晶面夹角 (其法线间的夹角）的计算
极其复杂，
对于等轴晶体,有：
cosΦ=(h1h2+k1k2+l1l2)/[(h12+k12+l12)
(h22+k22+l22)]1/2
对于四方晶体,有：
cosΦ=c2(h1h2+k1k2)+a2l1l2/[[c2(h12+k12)+a2l12]
c2(h22+k22)+a2l22)]]1/2
例 1 某斜方晶体的 a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,
计算 d110和 d200。
d110 =4.11?,d200=3.71?
2
2
2
2
2
1 1 0 9 4 5.4
1
4 1 7.7
11 ??
d
2
2
2
2 0 0 4 1 7.7
21 ?
d
2
2
2
2
2
2
2 cba
1 lkh
d h k l ???
a
aa
c
aa
a
a
a
a
a a
c
aa
b
a
c b
c
aa
120?
a
b
a g
b a
Cubic Tetragonal Hexagonal Trigonal
Orthorhombic Monoclinic Triclinic
七个晶系的基矢
2.3 倒易点阵 (reciprocal lattice)
倒易空间
倒易晶格
a
b
c
c*
a*
b*
要求倒易基矢垂直于晶面
b
c*
a*
b*
a*? (100)
b*? (010)
100
001
010c*? (001)
*c
a
c
c
b
c*
a*
b*
a*端点坐标为 1,0,0,?(100)
b*端点坐标为 0,1,0,?(010)
c*端点坐标为 0,01,,? (001)
100
001
010
倒易基矢的方向
a
a*端点坐标为 1,0,0,长度为（ 100）晶面的间距的倒数
b*端点坐标为 0,1,0,长度为（ 010）晶面的间距的倒数
c*端点坐标为 0,0,1,长度为（ 001）晶面的间距的倒数
c*
a*
b*
倒易基矢的长度
1?
0.25 ?-1
200100
000
H210
H110
210110010
220120020
(210)
(100)(110)
(010)
C
*
b*
a*c
b
a
倒易晶格正晶格
立方晶格的倒易变换
X
Y
Z
(220)
H220
1?
0.25 ?-1
200
100
000
H120
H110
210
110
010
220
120
020(120)
(100)
(110) (010)
c*
b*
a*c b
a
倒易晶格
正晶格
六方晶格的倒易变换
O
a*
c*
c
001 002
003 004
005
006100 101
102
103
104
105
106200 201
202
203 204
205
206300 301
302 303
304 305
306
b*
a
一般晶格的倒易变换
决定了基
矢也就决
定了平行
六面体
整个空间
就是平行
六面体的
平移堆砌
平行六面
体的顶点
就是倒易
点
b
(1) r*的方向与实际点阵面 （ hkl） 相垂直, 或 r*
的方向是实际点阵面 （ hkl） 的法线方向 。
(2) r*的大小等于实际点阵面 （ hkl） 面间距的倒数,
即
倒易矢量的两个重要性质
倒易矢量：由倒易点阵的原点 O至任一倒易点 hkl
的矢量为 r*
h kl
h kl d
1r ?
r* = ha* + kb* + lc*
hklhkl d
1r ?
1每个倒易矢量 （ 每
个倒易点 ） 代表一
组晶面,该矢量的方
向垂直于所代表的
晶面 。
2该矢量的长度为晶
面间距的倒数 。
倒易点阵的本质
O
a1
a3
b3
001 002
003
004
005
006100 101
102
103
104
105
106200 201
202
203 204
205
206300 301
302
303
304
305
306
a2
b1
? 练习 Exercise
? 1金红石是四方晶体,a=0.458nm,c =
0.295nm,请用倒易点阵作图法与计算方法求其
(100) 和 (110)面的面网间距及二者夹角 Φ。
? Rutile (TiO2) is tetragonal crystal with
a=0.458nm,c=0.295nm,please calculate and
measure the distance of planes (100) and (110)
and the angle between these planes.
? 2) 金刚石是等轴面心结构, a=0.356nm,请用倒
易点阵作图法与计算方法求其 (110) 和 (111)面的面
网间距及二者夹角 Φ。
? Diamond is cubic-faced crystal with
a=0.356nm,please calculate and measure the
distance of planes (110) and (111) and the
angle between these planes.
? 3) 某 晶 体 为 斜 方 晶 系, a=2.01nm,
b=3.45nm and c=5.26nm,用 CuKα
（ λ=0.154nm ） 照射, 请作出其倒易点
阵面 a*b* 与 a*c*面的倒易点分布图, 标
出 100,110,-201,10-1等倒易点, 测量
出它们对应的 d值 。
? A crystal is orthogonal system with
a=2.01nm,b=3.45nm and c=5.26nm,
CuKα λ=0.154nm,draw its projection of
a*b* plane and a*c* plane; find 100,110,
-201,10-1 reverse points,and measure
their space-distance(d).
? 4) 某 六 方 系 晶 体 的 a=b=2.5nm,c=4nm,
γ=120?, 请作出其倒易点阵面 a*b* 面的倒易
点分布图, 标出 100,110倒易点, 测量出它们
对应的 d值 。
? * A Hexagonal crystal has a=b=2.5nm,
c=4nm,γ=120?,draw its projection of a*b*
plane,find 100,110 reverse points,and
measure their space-distance (d) and the
angle between them.
? 5) 请简要叙述正点阵与倒易点阵的联系及区别 。
? Please give a brief review on the
difference and the relationship between
normal lattice and reverse lattice.
完
?致谢：本章 PPT采用了北化大励杭泉教授的
部分图片,谨致谢意！
7个晶系及其所属的布拉菲点阵
晶系 点阵常数 布拉菲
点阵
点阵
符号
晶格内
结点数
结点坐标
立方 a=b=c
α=β=γ=90o
简单立方
体心立方
面心立方
P
I
F
1
2
4
000
000,1/2 1/2 1/2
000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2,0 1/2 1/2
正方
(四方 )
a=b≠ c
α=β=γ=90o
简单正方
体心正方
P
I
1
2
000
000,1/2 1/2 1/2
斜方 a ≠ b≠ c
简单斜方
体心斜方
底心斜方
面心斜方
P
I
C
F
1
2
2
4
000
000,1/2 1/2 1/2
000,1/2 1/2 0
000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2,0 1/2 1/2
简单晶胞：晶胞内仅含 1个结点；复杂晶胞：晶胞内含 1个以上结点。
7个晶系及其所属的布拉菲点阵（续 )
晶系 点阵常数 布拉菲
点阵
点阵
符号
晶格内
结点数
结点坐标
菱方 (
三方 )
a=b=c
α=β=γ ≠ 90o
简单菱方 R 1 000
六方 a=b≠ c
α=β=90o
γ=120o
简单六方 P 1 000
单斜
a ≠ b≠ c
α= γ = 90o ≠ β
简单单斜
底心单斜
P
C
1
2
000
000,1/2 1/2 0
三斜 a ≠ b≠ c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
简单三斜 P 1 000
