1
第 3讲程向红传递函数及其性质典型元部件的传递函数
2
模型的概念
建立系统微分方程模型
实例：电枢控制直流伺服电动机模型
电枢回路电压平衡方程
电磁转距方程
电动机轴上的转距平衡方程
非线性系统的线性化
—— 泰勒级数展开法上讲回顾
3
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义设函数 f(t)满足 ① t<0时 f(t)=0
② t>0时,f(t)分段连续则 f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
⑵ 拉氏变换基本定理
线性定理
位移定理
延迟定理
终值定理
dtetf st0 )(
dtetftfLsF st 0 )()]([)(
)()()]()([ 22112211 sFasFatfatfaL
)()]([ asFtfeL at
)()]([ sFetfL s
)(lim)(lim
0
ssFtf
st
4
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理
微分定理
积分定理
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)0()(])([ fssFdt tdfL )0()0()(])([ '22
2 fsfsFs
dt
tfdL
sfs sFdttfL )0()(])([ 1 sfsfs sFdttfL )0()0()(])([
2
2
1
2
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsk
sA
sBsF
n
n
ps
a
ps
a
ps
asF
2
2
1
1)(
kpskk pssA
sBa
)]()(
)([
5
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
n
n ps aps apsps asasF
3
3
21
21 ))(()(
11 )])(()(
)([][
2121 psps pspssA
sBasa
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
)()()()()()( 11111111 nnrrrrrr ps
a
ps aps bps bps bsF
1])()(
)([
1 ps
r
r pssA
sBb
111 ]})()(
)([{
psrr pssA
sB
ds
db
11 ]})()(
)([{
!
1
psrj
j
jr pssA
sB
ds
d
jb 1]})()( )([{)!1( 1 11
1
1 ps
r
r
r ps
sA
sB
ds
d
rb
其余各极点的留数确定方法与上同。
6
2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，
系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
)(
)(
sR
sC
零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数
7
式中 c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。
设 r(t)和 c(t)及其各阶系数在 t=0是的值均为零，
即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，
并令 R(s)＝ L[c(t)],R(s)=L[r(t)]，可得 s的代数方程为：
于是，由定义得系统传递函数为,
)()()()(
)()()()(
11
1
10
11
1
10
trbtr
dt
d
btr
dt
d
btr
dt
d
b
tcatc
dt
d
atc
dt
d
atc
dt
d
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
)(][)(][ 11101110 sRasbsbsbsCasasasa mmmmnnnn
设线性定常系统由下述 n阶线性常微分方程描述：
8
求例 2-2机械系统与电路系统的传递函数 和解：
--,机械系统传递函数
mmmm bsbsbsbsM 1110)( nnnn asasasasN 1110)(
)( )(sX sXrc )( )(sU sUrc
rccc XKXBXKKXBB 112121 )()(
)()()()()()( 112121 sXKsSXBsXKKsSXBB rrcc
)(
)(
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
sN
sM
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
nn
nn
mm
mm
2121
11 )()( )( KKsBB KsBsX sX
r
c
rrcc UCURUCCURR 112121
1)11()(
例 2-5
9
)(1)()()11()()(
1
1
21
21 sUCsSURsUCCsSURR rrcc
)11()(
1
)(
)(
21
21
1
1
CC
SRR
C
SR
sU
sU
r
c
G ( s )R ( s ) C ( s )
图 2 - 6
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
--,电系统的传递函数传递函数是复变量 s的有理真分式函数,m≤n,且所具有复变量函数的所有性质。
性质 1
性质 2
10)(
)()( sR sCsG? 如果将
dtdS?
置换 微分方程传递函数?
性质 3
G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
如果 G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。
性质 4
如果系统的 G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
性质 5
传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（ operational mode）
传递函数与微分方程之间有关系。性质 6
11
在例 1-1中，设当输入为 单位阶跃函数,即 时,求输出解,根据例 1得到的微分方程。
1)]([)( tLsR?
tt dgtrdtgtrsRsCLsCLtc 0011 )()()()()]()([)]([)(
FCFCKRKR 20,1.0,3,20 2121
)(1 tU )()(1 ttU )(2 tU
SsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR
1)()()()()(
122222111222121
]1)([
1)(
222111221212
SCRCRCRSCCRRSsU )14 6 2.0102.1( 124 SSS
)85.3 8 4 7)(166.2(2.1
10 4
SSS 85.3847166.2 S cS bSa
例 2-6
性质 7 传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应 g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数） g(t)是系统在单 位脉冲输入时的输出响应。
12
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
为传递函数的零点
为传递函数的极点
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
1)( 02sSsUa 0 0 0 0 4 3.1)85.3 8 4 7(2.1 10 166.24sSSb
485.3 8 4 74 1063.5)166.2(2.1 10 sSSc
tt eetU 85.3 8 4 741 6 6.22 1063.500043.11)(
)(
)(
)(
)()(
1
1*
j
n
j
i
m
i
PS
ZS
K
sN
sMsG
),,2,1( mi
iZ
jP
),,2,1( nj
13
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，
因为分子分母相互抵消。
- 0,5- 1,3 3
- 1- 2 z 1z 2
图 2 - 7 传 递 函 数 的 零 极 点 图
14
E
θ
U ( t )
( a )
图 2 - 8 电 位 器
∏- ∏
( c )
H ( s ) U ( s )
1K
)()( 1 tKtU
(b)
2.3.4典型元部件的传递函数电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
单个电位器用作为信号变换装置。
)(tU
)(t?
15
单位角位移，输出电压 (v/rad)
E -电位器电源 (v)
－电位器最大工作角 (rad)
mm
E
E
K
2
2
1
max?
)()( 1 sKsU
1)(
)()( K
s
sUsG?
16
2.3.5典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。
KsG?)(
1
1)(
TSsG
典型环节通常分为以下六种：
1 比例环节
2 惯性环节式中 K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
实例：电子放大器，齿轮，电阻 (电位器 )，感应式变送器等。
17
式中 T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出
KSsG?)(
1)( SsG?
12)( 22 SSsG
不能立即复现，输出无振荡。
实例：图 2-4所示的 RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。
特点,输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。
实例,测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。
3 微分环节理想微分一阶微分二阶微分
18
SsG
1)(?
12
1
2
)( 2222
2
TSSTSSsG nn
n
)10(
n?
n
T?1?
4 积分环节
式中 ξ －阻尼比
-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。
实例,RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
特点,输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。
实例,电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。
5 振荡环节
19
)()( trtc
sesG)(
6 纯时间延时环节
式中 －延迟时间
特点,输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节 。
一对电位器可组成误差检测器
20
图 2 - 9 电 位 器
θ 1
θ 2
U ( t )
21
K
11
K
)()]()([)( 1211 tKttKtu
K1是单个电位器的传递系统,)()()(
21 ttt
是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
1)( )( KssU 电位器的负载效应，一般要求 pl RR 10?
21
图 2 - 1 0 测 速 发 电 机
T G
ω
U ( t )
永 磁 铁
T G
～
～激 磁 绕 组
U ( t )
( a )
ω
（ b )
输 出 绕 组,相 互 垂 直
dt tdKtKtU t )()()( t
)(t? 转子角速度 （ rad/s）
tK 输出斜率 （ v/rad/s）
SKssUsG t )( )()( tKssUsG )( )()(
K tΩ ( s ) U ( s )
S K t U ( s )
图 2 - 1 1
( s )H
直流测速发电机
交流测速发电机测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
22
)()()()( 21 tMKtUKtdt tdT cammm
)(tM c 可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求
)(tUa 到 )(tm? 和 )(tMc 到 )(tm? 的传递函数。
)(tMc ＝ 0
)()()( 1 sUKssST ammm
)()()1( 1 sUKsST amm
由传递函数定义
1)(
)()( 1
ST
K
sU
ssG
ma
m
A 令
B 令 0)(?tU
a
)()()( 2 sMKssST cmmm
1)(
)()( 2
ST
K
sM
ssGm
mc
m
第 2讲例 2-3中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为电枢控制直流伺服电动机
23
M ( s )
U a ( s )
U a ( s )
)( s
m
)( s
m
1
2
sT
K
m
1
1
sT
K
m
)1(
1
sTs
K
m
)( s?
图 2-12
dt
d )()( sSs
m
两相伺服电动机 两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成。定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压。
第 3讲程向红传递函数及其性质典型元部件的传递函数
2
模型的概念
建立系统微分方程模型
实例：电枢控制直流伺服电动机模型
电枢回路电压平衡方程
电磁转距方程
电动机轴上的转距平衡方程
非线性系统的线性化
—— 泰勒级数展开法上讲回顾
3
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义设函数 f(t)满足 ① t<0时 f(t)=0
② t>0时,f(t)分段连续则 f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
⑵ 拉氏变换基本定理
线性定理
位移定理
延迟定理
终值定理
dtetf st0 )(
dtetftfLsF st 0 )()]([)(
)()()]()([ 22112211 sFasFatfatfaL
)()]([ asFtfeL at
)()]([ sFetfL s
)(lim)(lim
0
ssFtf
st
4
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理
微分定理
积分定理
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)0()(])([ fssFdt tdfL )0()0()(])([ '22
2 fsfsFs
dt
tfdL
sfs sFdttfL )0()(])([ 1 sfsfs sFdttfL )0()0()(])([
2
2
1
2
)())((
)())((
)(
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21
21
n
m
pspsps
zszszsk
sA
sBsF
n
n
ps
a
ps
a
ps
asF
2
2
1
1)(
kpskk pssA
sBa
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5
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
n
n ps aps apsps asasF
3
3
21
21 ))(()(
11 )])(()(
)([][
2121 psps pspssA
sBasa
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
)()()()()()( 11111111 nnrrrrrr ps
a
ps aps bps bps bsF
1])()(
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1 ps
r
r pssA
sBb
111 ]})()(
)([{
psrr pssA
sB
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11 ]})()(
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!
1
psrj
j
jr pssA
sB
ds
d
jb 1]})()( )([{)!1( 1 11
1
1 ps
r
r
r ps
sA
sB
ds
d
rb
其余各极点的留数确定方法与上同。
6
2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，
系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
)(
)(
sR
sC
零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数
7
式中 c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。
设 r(t)和 c(t)及其各阶系数在 t=0是的值均为零，
即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，
并令 R(s)＝ L[c(t)],R(s)=L[r(t)]，可得 s的代数方程为：
于是，由定义得系统传递函数为,
)()()()(
)()()()(
11
1
10
11
1
10
trbtr
dt
d
btr
dt
d
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tcatc
dt
d
atc
dt
d
atc
dt
d
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mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
)(][)(][ 11101110 sRasbsbsbsCasasasa mmmmnnnn
设线性定常系统由下述 n阶线性常微分方程描述：
8
求例 2-2机械系统与电路系统的传递函数 和解：
--,机械系统传递函数
mmmm bsbsbsbsM 1110)( nnnn asasasasN 1110)(
)( )(sX sXrc )( )(sU sUrc
rccc XKXBXKKXBB 112121 )()(
)()()()()()( 112121 sXKsSXBsXKKsSXBB rrcc
)(
)(
)(
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1
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10
sN
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bsbsbsb
sR
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2121
11 )()( )( KKsBB KsBsX sX
r
c
rrcc UCURUCCURR 112121
1)11()(
例 2-5
9
)(1)()()11()()(
1
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21
21 sUCsSURsUCCsSURR rrcc
)11()(
1
)(
)(
21
21
1
1
CC
SRR
C
SR
sU
sU
r
c
G ( s )R ( s ) C ( s )
图 2 - 6
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
--,电系统的传递函数传递函数是复变量 s的有理真分式函数,m≤n,且所具有复变量函数的所有性质。
性质 1
性质 2
10)(
)()( sR sCsG? 如果将
dtdS?
置换 微分方程传递函数?
性质 3
G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
如果 G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。
性质 4
如果系统的 G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
性质 5
传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（ operational mode）
传递函数与微分方程之间有关系。性质 6
11
在例 1-1中，设当输入为 单位阶跃函数,即 时,求输出解,根据例 1得到的微分方程。
1)]([)( tLsR?
tt dgtrdtgtrsRsCLsCLtc 0011 )()()()()]()([)]([)(
FCFCKRKR 20,1.0,3,20 2121
)(1 tU )()(1 ttU )(2 tU
SsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR
1)()()()()(
122222111222121
]1)([
1)(
222111221212
SCRCRCRSCCRRSsU )14 6 2.0102.1( 124 SSS
)85.3 8 4 7)(166.2(2.1
10 4
SSS 85.3847166.2 S cS bSa
例 2-6
性质 7 传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应 g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数） g(t)是系统在单 位脉冲输入时的输出响应。
12
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
为传递函数的零点
为传递函数的极点
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
1)( 02sSsUa 0 0 0 0 4 3.1)85.3 8 4 7(2.1 10 166.24sSSb
485.3 8 4 74 1063.5)166.2(2.1 10 sSSc
tt eetU 85.3 8 4 741 6 6.22 1063.500043.11)(
)(
)(
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1
1*
j
n
j
i
m
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PS
ZS
K
sN
sMsG
),,2,1( mi
iZ
jP
),,2,1( nj
13
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，
因为分子分母相互抵消。
- 0,5- 1,3 3
- 1- 2 z 1z 2
图 2 - 7 传 递 函 数 的 零 极 点 图
14
E
θ
U ( t )
( a )
图 2 - 8 电 位 器
∏- ∏
( c )
H ( s ) U ( s )
1K
)()( 1 tKtU
(b)
2.3.4典型元部件的传递函数电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
单个电位器用作为信号变换装置。
)(tU
)(t?
15
单位角位移，输出电压 (v/rad)
E -电位器电源 (v)
－电位器最大工作角 (rad)
mm
E
E
K
2
2
1
max?
)()( 1 sKsU
1)(
)()( K
s
sUsG?
16
2.3.5典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。
KsG?)(
1
1)(
TSsG
典型环节通常分为以下六种：
1 比例环节
2 惯性环节式中 K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
实例：电子放大器，齿轮，电阻 (电位器 )，感应式变送器等。
17
式中 T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出
KSsG?)(
1)( SsG?
12)( 22 SSsG
不能立即复现，输出无振荡。
实例：图 2-4所示的 RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。
特点,输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。
实例,测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。
3 微分环节理想微分一阶微分二阶微分
18
SsG
1)(?
12
1
2
)( 2222
2
TSSTSSsG nn
n
)10(
n?
n
T?1?
4 积分环节
式中 ξ －阻尼比
-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。
实例,RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
特点,输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。
实例,电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。
5 振荡环节
19
)()( trtc
sesG)(
6 纯时间延时环节
式中 －延迟时间
特点,输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节 。
一对电位器可组成误差检测器
20
图 2 - 9 电 位 器
θ 1
θ 2
U ( t )
21
K
11
K
)()]()([)( 1211 tKttKtu
K1是单个电位器的传递系统,)()()(
21 ttt
是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
1)( )( KssU 电位器的负载效应，一般要求 pl RR 10?
21
图 2 - 1 0 测 速 发 电 机
T G
ω
U ( t )
永 磁 铁
T G
～
～激 磁 绕 组
U ( t )
( a )
ω
（ b )
输 出 绕 组,相 互 垂 直
dt tdKtKtU t )()()( t
)(t? 转子角速度 （ rad/s）
tK 输出斜率 （ v/rad/s）
SKssUsG t )( )()( tKssUsG )( )()(
K tΩ ( s ) U ( s )
S K t U ( s )
图 2 - 1 1
( s )H
直流测速发电机
交流测速发电机测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
22
)()()()( 21 tMKtUKtdt tdT cammm
)(tM c 可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求
)(tUa 到 )(tm? 和 )(tMc 到 )(tm? 的传递函数。
)(tMc ＝ 0
)()()( 1 sUKssST ammm
)()()1( 1 sUKsST amm
由传递函数定义
1)(
)()( 1
ST
K
sU
ssG
ma
m
A 令
B 令 0)(?tU
a
)()()( 2 sMKssST cmmm
1)(
)()( 2
ST
K
sM
ssGm
mc
m
第 2讲例 2-3中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为电枢控制直流伺服电动机
23
M ( s )
U a ( s )
U a ( s )
)( s
m
)( s
m
1
2
sT
K
m
1
1
sT
K
m
)1(
1
sTs
K
m
)( s?
图 2-12
dt
d )()( sSs
m
两相伺服电动机 两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成。定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压。
