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上课积极思考并回答问题线性系统的时域分析法动态性能指标一阶 系统的时域分析第 6讲程向红图 2 - 3 1 系 统 方 块 图
G 1 G 3
G 4
H
G 2
R ( s )
A 1 A 2B
C ( s ))(2 sU
)(
1
sU )(
3
sU
证明,）（ sUsUsGsUsU
BBAA )()()()( 212
2.4.5.3 fo r m u lag a insM a s o n '
信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是,变化的只是其分子。
kkPP 1
式中,P 系统总增益（总传递函数）
:k 前向通路数
kP 第 k条前向通路总增益：
:?
)()3()2()1( )1(1 mm LLLL
)1(L
)2(L
)(mL
― 所有不同回路增益乘积之和；
― 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
― 所有任意 m个不接触回路增益乘积之和。
:k? 为不与第 k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值,称为第 k条前向通路特征式的余因子。
上讲回顾控制系统的分析方法
分析控制系统
第一步 建立模型
第二步 分析控制性能,
分析方法包括
时域分析法
频域分析法
根轨迹法第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算第三章 线性系统的时域分析法
3.1 引言
分析控制系统的 第一步是建立模型,数学模型一旦建立,第二步 分析控制性能,
分析有多种方法，主要有 时域分析法,频域分析法,根轨迹法 等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用 试验信号 来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 Typical test signals
(1) 实际系统的输入信号不可知性
(2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系
(3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（ Step function） 0,)(1?tt 室温调节系统和水位调节系统
（单位）斜坡函数（ Ramp function） 速度 0,?tt
（单位）加速度函数（ Acceleration function）抛物线 0,21 2?tt
（单位）脉冲函数（ Impulse function） 0,)(?tt?
正弦函数（ Simusoidal function） Asinut,当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（ Step,Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）
3.1.2 动态过程和稳态过程
瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应 是指当 t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差
Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error
在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。
控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
图 3 - 1 稳 定 性 分 析 示 意 图系统不稳定产生的后果
实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统的稳定性在第六章。
稳态误差：如果在稳态时，
系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
稳态特性,稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。
对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为 阻尼振荡过程 。 —— 称动态过程。
在分析控制系统时，
我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
动态性能指标：
在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为 0），对（单位）
阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标
0
t
M p 超 调 量允 许 误 差
1
0,9
0,5
0,1
t r
t p
t s
图 3 - 2 表 示 性 能 指 标 t d,t r,t p,M p 和 t s 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
t d
h ( t )
0,0 2 或 0,0 5
)(?h
)(?h
)(?h
)(?h
延迟时间,
（ Delay Time）
响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。
上升时间
（ Rise Time）
响应曲线从稳态值的 10%上升到
90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快
dt
dt
:rt
峰值时间 （ Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。 pt
动态性能指标
0
t
M p 超 调 量允 许 误 差
1
0,9
0,5
0,1
t r
t p
t s
图 3 - 2 表 示 性 能 指 标 t d,t r,t p,M p 和 t s 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
t d
h ( t )
0,0 2 或 0,0 5
)(?h
)(?h
)(?h
)(?h
调节 时间,
（ Settling Time）
响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。
用稳态值的百分数（通常取 5%或
2%）作，
超调量
（ Maximum
Overshoot）：
指响应的最大偏离量 h(tp)于终值之差的百分比，
即
dt
st
%?
%100)( )()(% h hth p?rt
或
pt 评价系统的响应速度；
st
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%? 评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶 系统的时域分析? 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图 3-3（ a）所示的 RC电路，其微分方程为i ( t )
+
r ( t ) c ( t )
+
（ a ） 电 路 图
R
C
)(trUdtduRC cc )()()( trtCtCT
其中 C(t)为电路输出电压,r(t)为电路输入电压,T=RC为时间常数。
当初使条件为零时，其传递函数为
1
1
)(
)()(
TSsR
sCs?
R ( s ) C ( s )
（ b ） 方 块 图
I ( s )
R ( s ) C ( s )
（ c ） 等 效 方 块 图这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应
Unit-Step Response of First-order System
因为单位阶跃函数的拉氏变换为
SsR 1)(?,则系统的输出由下式可知为
111111)()()( TSSSTSsRssC?
对上式取拉氏反变换，得
1
1
)(
)()(
TSsR
sCs?
T
tetc 1)( 0?t
图 3 - 4 指 数 响 应 曲 线
1
0
6
3
.2
%
8
6
.5
%
9
5
%
9
8
.2
%
9
9
.3
%
T 2 T 3 T 4 T 5 T
0,6 3 2
t
c ( t ) = 1 - ec ( t )
注 **,R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在 0?t 时的斜率为
，如果系统输出响应的速度恒为
T1
，则只要 t＝ T时，输出 c(t)就能达到其终值。
T
1
T
1
由于 c(t)的终值为 1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：
Ttd 69.0?
Ttr 20.2?
误差带）%5(3 Tt s?
％不存在和?pt
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
Unit-impulse response of first-order systems
当 输入信号为理想单位脉冲函数时,R(s)＝ 1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即
11)( TSsC 这时相同的输出称为脉冲响应记作 g(t)，因为
)]([)( 1 sGLtg,其表达式为 01)( te
Ttc T
t
3.2.3 一阶 系统的单位斜坡响应
Unit-ramp Response of first-order Systems
2S
1R(s)?
TSTSTSSTSsRssC 11111)()()(
2
22?
当对上式求拉氏反变换，得：
tTtT TeTteTttc 11 )1()(
因为
)1()()()( 1 tTeTtctrte
r ( t ) c ( t )
r (
t )
c ( t )
t
0
图 3 - 5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
Ttee tss )(lim
上式表明,① 一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同
1)(,1)( t tctr ② 由于系统存在惯性，
)(tc从 0上升到 1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量 T，这就是稳态误差产生的原因。
③ 减少时间常数 T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应
221)( ttr?
3
1)(
SsR? TS
T1
1
TS
T
S
T
S
T
S
TS
D
S
C
S
B
S
A
STSsRssC 1
1
1
1)
1
1()()()( 22
23233
)0()1(21)(
122
teTTtttc tT
)1()()()( 12 tTeTTttctrte
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表 3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应 传递函数
1
1(t)
t
0 tTeTt Tt
0)1(21 22 teTTtt Tt
01 te Tt
)0(1 teT Tt)(t?
S
1
2
1
S
3
1
S
2
2
1t 1
1
TS
微分
微分
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.3 二阶系统的时域分析
Transient-Response Analysis and Steady-State Error
Analysis of Second-order Systems
二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统 A Servo System（位置控制系统）如图 3-6所示。
+
图 3 - 6 随 动 系 统 原 理 图输 入 电 位 计输 出 电 位 计
θ r θ c
发 送反 馈 信 号
S M
θ c
i a
输 入 装 置
e 1 K A
K A e
L a
R 1
R 1
R 2
θ
i
放 大 器 电 动 机齿 轮 传 动负 载误 差 测 量 装 置
R a
⑴ 该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵ 工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
+
图 3 - 6 随 动 系 统 原 理 图输 入 电 位 计输 出 电 位 计
θ r θ c
发 送反 馈 信 号
S M
θ c
i a
输 入 装 置
e 1 K A
K A e
L a
R 1
R 1
R 2
θ
i
放 大 器 电 动 机齿 轮 传 动负 载误 差 测 量 装 置
R a
输入电位计电刷臂的角位置
r?
，由控制输入信号确定，角位置
r?就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置
c?
，由输出轴的位置确定。
+
图 3 - 6 随 动 系 统 原 理 图输 入 电 位 计输 出 电 位 计
θ r θ c
发 送反 馈 信 号
S M
θ c
i a
输 入 装 置
e 1 K A
K A e
L a
R 1
R 1
R 2
θ
i
放 大 器 电 动 机齿 轮 传 动 负 载误 差 测 量 装 置
R a
电位差 )( crs eeKe
就是误差信号。
:sK 桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为 AK的放大器放大，（AK 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
amiCM? )()( sICsM am? （ 3-10）,mC 电动机的转矩系数,ai 为电枢电流对于电枢电路
eKKdtdKiRdtdiL sAbaaaa（ 3-11）
)()()()( sSKsEKKsIRSL bSAaaa
:,aa RL 电动机电枢绕组的电感和电阻。
:bK 电动机的反电势常数，
:? 电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：
am iCMdtdfdtdJ2
2 （ 3-12） )()()( 2 sMsfSJS
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
ic 1? )(1)( sisc （ 3-13）
K s K A C m
i
1
K b S
θ r ( s )
E ( s ) E 1 ( s ) I a ( s ) M ( s ) θ ( s ) θ c ( s )
3 - 1 1 3 - 1 0 3 - 1 2
K b S θ ( s )
图 3 - 7 随 动 系 统 方 块 图
K s K A C m
i
1
K b S
θ r ( s )
E ( s ) E 1 ( s ) I a ( s ) M ( s ) θ ( s ) θ c ( s )
3 - 1 1 3 - 1 0 3 - 1 2
K b S θ ( s )
图 3 - 7 随 动 系 统 方 块 图开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为 1
)(
)()()(
sE
sHssG c
SKCfSJSRSL
iCKK
i
fSJSRSL
SKC
fSJS
C
RSLKK
bmaa
mAS
aa
bm
m
aa
AS
))((
1
))((
1
11
2
2
2（ 3-14）
如果略去电枢电感
aL
)1()()(
)( 111
SFJS
FK
FJSS
K
FR KCfJSS
KRiCKKsG
a
bm
amAS
令令
)1( STS Km
（ 3-15）amAS iRCKKK?1 增益
a
bmRKCfF 阻尼系数，由于 )( bK电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。
FKK 1? 开环增益 FJTm? 机电时间常数不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为,)1()( STS KsG m （ 3-16）
不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为,)1()( STS KsG m （ 3-16）
相应的闭环传递函数
KSST
K
sG
sG
s
ss
mr
c 2)(1 )()( )()( （ 3-17）
m
n
n
mm
m
T
KS
T
KS
T
S
T
K
21 2
2
2
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（ 3-17）表示为如下标准形式
22
2
2)(
)()(
nn
n
SsR
sCs
（ 3-18）
m
n T
K?2?
m
n T
K
mn T
12
KTm2
1
n? －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图 3-8所示
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
22
2
2)(
)()(
nn
n
SsR
sCs
（ 3-18）
n? －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的动态特性，可以用? 和 n? 加以描述,二阶系统的特征方程：
02 22 nn SS （ 3-19）
122,1 nnS （ 3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems
阻尼比? 是实际阻尼系数 F与临界阻尼系数 的比值
Cm F
F
JK
F
FKJFKJKT 121 22
1
2
1
2
1?
CF
－临界阻尼系数,1 时，阻尼系数图 3 - 9 二 阶 系 统 极 点 分 布左 半 平 面 ξ > 0
0 < ξ < 1
ξ = 1
两 个 相 等 根
jω n
ξ = 0
ω d = ω n
σ
jω n
β
ξ = 0
jω 右 半 平 面 ξ < 0
ξ > 1
两 个 不 等 根
0
0 两个正实部的特征根 发散
10,闭环极点为共扼复根，位于右半 S平面，欠阻尼系统
1,为两个相等的根
1
0,虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
，两个不相等的根
(1)欠阻尼 ( 10 )二阶系统的单位阶跃响应
22,1 1 nn jS 令 n
－衰减系数
dj 21 nd －阻尼振荡频率
SsR 1)(?
，由式（ 3-18）得
22
2
2)(
)()(
nn
n
SsR
sCs
（ 3-18）
SSSsRssC nnn
1
2)()()( 22
2?
2222 )()(
1
dn
n
dn
n SS SS
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
]s i n1[ c os1)( 2 tteth ddtn
0)s i n(1 11 2 tte dtn
2222 )()(
1
dn
n
dn
n
SS
S
S
（ 3-21）
22 11?
dn
nd
d
nd
1
2
1
稳态分量 瞬态分量
a r c c o s1
2
a r c tg
课前要预习
课后要复习
上课积极思考并回答问题线性系统的时域分析法动态性能指标一阶 系统的时域分析第 6讲程向红图 2 - 3 1 系 统 方 块 图
G 1 G 3
G 4
H
G 2
R ( s )
A 1 A 2B
C ( s ))(2 sU
)(
1
sU )(
3
sU
证明,）（ sUsUsGsUsU
BBAA )()()()( 212
2.4.5.3 fo r m u lag a insM a s o n '
信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是,变化的只是其分子。
kkPP 1
式中,P 系统总增益（总传递函数）
:k 前向通路数
kP 第 k条前向通路总增益：
:?
)()3()2()1( )1(1 mm LLLL
)1(L
)2(L
)(mL
― 所有不同回路增益乘积之和；
― 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
― 所有任意 m个不接触回路增益乘积之和。
:k? 为不与第 k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值,称为第 k条前向通路特征式的余因子。
上讲回顾控制系统的分析方法
分析控制系统
第一步 建立模型
第二步 分析控制性能,
分析方法包括
时域分析法
频域分析法
根轨迹法第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算第三章 线性系统的时域分析法
3.1 引言
分析控制系统的 第一步是建立模型,数学模型一旦建立,第二步 分析控制性能,
分析有多种方法，主要有 时域分析法,频域分析法,根轨迹法 等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用 试验信号 来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 Typical test signals
(1) 实际系统的输入信号不可知性
(2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系
(3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（ Step function） 0,)(1?tt 室温调节系统和水位调节系统
（单位）斜坡函数（ Ramp function） 速度 0,?tt
（单位）加速度函数（ Acceleration function）抛物线 0,21 2?tt
（单位）脉冲函数（ Impulse function） 0,)(?tt?
正弦函数（ Simusoidal function） Asinut,当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（ Step,Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）
3.1.2 动态过程和稳态过程
瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应 是指当 t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差
Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error
在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。
控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
图 3 - 1 稳 定 性 分 析 示 意 图系统不稳定产生的后果
实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统的稳定性在第六章。
稳态误差：如果在稳态时，
系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
稳态特性,稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。
对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为 阻尼振荡过程 。 —— 称动态过程。
在分析控制系统时，
我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
动态性能指标：
在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为 0），对（单位）
阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标
0
t
M p 超 调 量允 许 误 差
1
0,9
0,5
0,1
t r
t p
t s
图 3 - 2 表 示 性 能 指 标 t d,t r,t p,M p 和 t s 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
t d
h ( t )
0,0 2 或 0,0 5
)(?h
)(?h
)(?h
)(?h
延迟时间,
（ Delay Time）
响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。
上升时间
（ Rise Time）
响应曲线从稳态值的 10%上升到
90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快
dt
dt
:rt
峰值时间 （ Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。 pt
动态性能指标
0
t
M p 超 调 量允 许 误 差
1
0,9
0,5
0,1
t r
t p
t s
图 3 - 2 表 示 性 能 指 标 t d,t r,t p,M p 和 t s 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
t d
h ( t )
0,0 2 或 0,0 5
)(?h
)(?h
)(?h
)(?h
调节 时间,
（ Settling Time）
响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。
用稳态值的百分数（通常取 5%或
2%）作，
超调量
（ Maximum
Overshoot）：
指响应的最大偏离量 h(tp)于终值之差的百分比，
即
dt
st
%?
%100)( )()(% h hth p?rt
或
pt 评价系统的响应速度；
st
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%? 评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶 系统的时域分析? 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图 3-3（ a）所示的 RC电路，其微分方程为i ( t )
+
r ( t ) c ( t )
+
（ a ） 电 路 图
R
C
)(trUdtduRC cc )()()( trtCtCT
其中 C(t)为电路输出电压,r(t)为电路输入电压,T=RC为时间常数。
当初使条件为零时，其传递函数为
1
1
)(
)()(
TSsR
sCs?
R ( s ) C ( s )
（ b ） 方 块 图
I ( s )
R ( s ) C ( s )
（ c ） 等 效 方 块 图这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应
Unit-Step Response of First-order System
因为单位阶跃函数的拉氏变换为
SsR 1)(?,则系统的输出由下式可知为
111111)()()( TSSSTSsRssC?
对上式取拉氏反变换，得
1
1
)(
)()(
TSsR
sCs?
T
tetc 1)( 0?t
图 3 - 4 指 数 响 应 曲 线
1
0
6
3
.2
%
8
6
.5
%
9
5
%
9
8
.2
%
9
9
.3
%
T 2 T 3 T 4 T 5 T
0,6 3 2
t
c ( t ) = 1 - ec ( t )
注 **,R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在 0?t 时的斜率为
，如果系统输出响应的速度恒为
T1
，则只要 t＝ T时，输出 c(t)就能达到其终值。
T
1
T
1
由于 c(t)的终值为 1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：
Ttd 69.0?
Ttr 20.2?
误差带）%5(3 Tt s?
％不存在和?pt
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
Unit-impulse response of first-order systems
当 输入信号为理想单位脉冲函数时,R(s)＝ 1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即
11)( TSsC 这时相同的输出称为脉冲响应记作 g(t)，因为
)]([)( 1 sGLtg,其表达式为 01)( te
Ttc T
t
3.2.3 一阶 系统的单位斜坡响应
Unit-ramp Response of first-order Systems
2S
1R(s)?
TSTSTSSTSsRssC 11111)()()(
2
22?
当对上式求拉氏反变换，得：
tTtT TeTteTttc 11 )1()(
因为
)1()()()( 1 tTeTtctrte
r ( t ) c ( t )
r (
t )
c ( t )
t
0
图 3 - 5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
Ttee tss )(lim
上式表明,① 一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同
1)(,1)( t tctr ② 由于系统存在惯性，
)(tc从 0上升到 1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量 T，这就是稳态误差产生的原因。
③ 减少时间常数 T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应
221)( ttr?
3
1)(
SsR? TS
T1
1
TS
T
S
T
S
T
S
TS
D
S
C
S
B
S
A
STSsRssC 1
1
1
1)
1
1()()()( 22
23233
)0()1(21)(
122
teTTtttc tT
)1()()()( 12 tTeTTttctrte
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表 3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应 传递函数
1
1(t)
t
0 tTeTt Tt
0)1(21 22 teTTtt Tt
01 te Tt
)0(1 teT Tt)(t?
S
1
2
1
S
3
1
S
2
2
1t 1
1
TS
微分
微分
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.3 二阶系统的时域分析
Transient-Response Analysis and Steady-State Error
Analysis of Second-order Systems
二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统 A Servo System（位置控制系统）如图 3-6所示。
+
图 3 - 6 随 动 系 统 原 理 图输 入 电 位 计输 出 电 位 计
θ r θ c
发 送反 馈 信 号
S M
θ c
i a
输 入 装 置
e 1 K A
K A e
L a
R 1
R 1
R 2
θ
i
放 大 器 电 动 机齿 轮 传 动负 载误 差 测 量 装 置
R a
⑴ 该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵ 工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
+
图 3 - 6 随 动 系 统 原 理 图输 入 电 位 计输 出 电 位 计
θ r θ c
发 送反 馈 信 号
S M
θ c
i a
输 入 装 置
e 1 K A
K A e
L a
R 1
R 1
R 2
θ
i
放 大 器 电 动 机齿 轮 传 动负 载误 差 测 量 装 置
R a
输入电位计电刷臂的角位置
r?
，由控制输入信号确定，角位置
r?就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置
c?
，由输出轴的位置确定。
+
图 3 - 6 随 动 系 统 原 理 图输 入 电 位 计输 出 电 位 计
θ r θ c
发 送反 馈 信 号
S M
θ c
i a
输 入 装 置
e 1 K A
K A e
L a
R 1
R 1
R 2
θ
i
放 大 器 电 动 机齿 轮 传 动 负 载误 差 测 量 装 置
R a
电位差 )( crs eeKe
就是误差信号。
:sK 桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为 AK的放大器放大，（AK 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
amiCM? )()( sICsM am? （ 3-10）,mC 电动机的转矩系数,ai 为电枢电流对于电枢电路
eKKdtdKiRdtdiL sAbaaaa（ 3-11）
)()()()( sSKsEKKsIRSL bSAaaa
:,aa RL 电动机电枢绕组的电感和电阻。
:bK 电动机的反电势常数，
:? 电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：
am iCMdtdfdtdJ2
2 （ 3-12） )()()( 2 sMsfSJS
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
ic 1? )(1)( sisc （ 3-13）
K s K A C m
i
1
K b S
θ r ( s )
E ( s ) E 1 ( s ) I a ( s ) M ( s ) θ ( s ) θ c ( s )
3 - 1 1 3 - 1 0 3 - 1 2
K b S θ ( s )
图 3 - 7 随 动 系 统 方 块 图
K s K A C m
i
1
K b S
θ r ( s )
E ( s ) E 1 ( s ) I a ( s ) M ( s ) θ ( s ) θ c ( s )
3 - 1 1 3 - 1 0 3 - 1 2
K b S θ ( s )
图 3 - 7 随 动 系 统 方 块 图开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为 1
)(
)()()(
sE
sHssG c
SKCfSJSRSL
iCKK
i
fSJSRSL
SKC
fSJS
C
RSLKK
bmaa
mAS
aa
bm
m
aa
AS
))((
1
))((
1
11
2
2
2（ 3-14）
如果略去电枢电感
aL
)1()()(
)( 111
SFJS
FK
FJSS
K
FR KCfJSS
KRiCKKsG
a
bm
amAS
令令
)1( STS Km
（ 3-15）amAS iRCKKK?1 增益
a
bmRKCfF 阻尼系数，由于 )( bK电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。
FKK 1? 开环增益 FJTm? 机电时间常数不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为,)1()( STS KsG m （ 3-16）
不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为,)1()( STS KsG m （ 3-16）
相应的闭环传递函数
KSST
K
sG
sG
s
ss
mr
c 2)(1 )()( )()( （ 3-17）
m
n
n
mm
m
T
KS
T
KS
T
S
T
K
21 2
2
2
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（ 3-17）表示为如下标准形式
22
2
2)(
)()(
nn
n
SsR
sCs
（ 3-18）
m
n T
K?2?
m
n T
K
mn T
12
KTm2
1
n? －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图 3-8所示
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
22
2
2)(
)()(
nn
n
SsR
sCs
（ 3-18）
n? －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的动态特性，可以用? 和 n? 加以描述,二阶系统的特征方程：
02 22 nn SS （ 3-19）
122,1 nnS （ 3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems
阻尼比? 是实际阻尼系数 F与临界阻尼系数 的比值
Cm F
F
JK
F
FKJFKJKT 121 22
1
2
1
2
1?
CF
－临界阻尼系数,1 时，阻尼系数图 3 - 9 二 阶 系 统 极 点 分 布左 半 平 面 ξ > 0
0 < ξ < 1
ξ = 1
两 个 相 等 根
jω n
ξ = 0
ω d = ω n
σ
jω n
β
ξ = 0
jω 右 半 平 面 ξ < 0
ξ > 1
两 个 不 等 根
0
0 两个正实部的特征根 发散
10,闭环极点为共扼复根，位于右半 S平面，欠阻尼系统
1,为两个相等的根
1
0,虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
，两个不相等的根
(1)欠阻尼 ( 10 )二阶系统的单位阶跃响应
22,1 1 nn jS 令 n
－衰减系数
dj 21 nd －阻尼振荡频率
SsR 1)(?
，由式（ 3-18）得
22
2
2)(
)()(
nn
n
SsR
sCs
（ 3-18）
SSSsRssC nnn
1
2)()()( 22
2?
2222 )()(
1
dn
n
dn
n SS SS
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
]s i n1[ c os1)( 2 tteth ddtn
0)s i n(1 11 2 tte dtn
2222 )()(
1
dn
n
dn
n
SS
S
S
（ 3-21）
22 11?
dn
nd
d
nd
1
2
1
稳态分量 瞬态分量
a r c c o s1
2
a r c tg
