第 8讲程向红二阶系统的性能改善高阶系统的时域分析上讲回顾
a r c c o s1
2
a r c tg
1
21
0,)s in(
1
11)(
2
tteth dtn
d
rt?
%1 0 0%1 0 0)( )()(% 21
eh hth p
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
过阻尼
1
1
121
75.41
341
Tt
TtTT
S
S
当欠阻尼 10
d
pt?
05.05.3
n
st
02.05.4
n
st
21 nd
d
rt?
%1 0 0%1 0 0)( )()(% 21
eh hth p
3.3.4 二阶系统的动态校正对于特定的系统，位置控制系统 (随动系统 )其闭环传递函数
KSST Ks
m 2
)(?
KT
T
K
m
m
n
1
2
1
rt
n?
n?
矛盾
超调小，阻尼大速度慢
K
K
一定
比例－微分控制
测速反馈控制
3.3.4.1 比例 － 微分控制（ PD控制）
Proportional-plus－ derivative Control 1
)( sR )( sC
sT d
)2(
2
n
n
ss
—
)( sE
图 3-15 PD控制系统
)12(
)1(
)12(
)1(
2
)1
2
(2
)1(
)2(
)1()(
)(
)()( 22
n
d
n
d
n
n
n
dn
n
nd
SS
STK
SS
ST
SS
ST
SS
STsH
sE
sCsG
(3-33)
2nK?
称为开环增益
,n 有关闭环传递函数为
222
2
222
2
)2(
)1(
2
)1(
)(1
)()(
nndn
d
nd
nndn
dn
STS
TST
STSS
ST
sG
sGs
222
2
222
2
)2(
)1(
2
)1(
)(1
)()(
nndn
d
nd
nndn
dn
STS
T
ST
STSS
ST
sG
sGs
22
''2 ndnnd TT 'd
2
ndT?
(3-35)
令
dT
z 1? )2( )( 22
2
nnd
n
SSz
zS
(3-36)
结论
可通过适当选择微分时间常数 dT,改变 d? 阻尼的大小
比例－微分控制可以不该变自然频率
n?
，但可增大系统的阻尼比
由于 PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，
dT
z 1
故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
当输入为单位阶跃函数时
SZSS
ZSsRssC n
nn
1
2)()()(
2
22
)2(
1
)2( 22
2
22
2
nn
n
nn
n
SSS
S
ZSSS
)1s i n (
1
11
)2(
2
222
2
teSSS dnt
dnn
n nd
teZSSZ dnt
d
n
nnd
n nd 2
222
2
1s i n
1
1
2
1
时，得单位阶跃响应当 1 d?
te
z
teth dnt
d
n
dn
t
d
ndnd 2
2
2
2
1s i n
1
)1s i n (
1
11)(
(3-37)
22 2 nnd ZZr
)1s in(1)( 2 treth dntnd
)1(])(1[ 22 ddnddn ar c t gZar c t g
3.3.4.2 测速反馈控制
)( sR )( sC
sK t
)2(
2
n
n
ss
—
)( sE
—
图 3-16 测速反馈控制的二阶系统
:tK
为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。 (电压 /
单位转速 )
系统的开环传递函数
SKS
SK
SS
SS
sG
tnn
n
t
n
n
n
n
)2(
)2(
1
)2(
)(
22
2
2
2
tnn
n
tnn KKSS
2
2
2 2)12(
1
(3-41)
Velocity feedback constant
nt
n
KK
2
2 (3-42)
相应的闭环传递函数，可用 (3-41)式中的第一种表示方式
222
2
)2()(1
)()(
nntn
n
SKSsG
sGs
(3-43)
令
222 ntnnt K
ntt K 2
1 (3-44)
① 测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
② 测速反馈不影响系统的自然频率
n?
不变
③ 可增大系统的阻尼比
④ 测速反馈不形成闭环零点，
dt TK?
测速反馈与 PD对系统动态性能的改善程度是不相同的。
结论
⑤ 设计时,之间，在 8.0~4.0d? 可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例 3-2 图 3-17(a)所示的系统，具有图 3-17(b)所示的响应，求 K和 T
)( sR )( sC
—
)( sE
)1(?Tss
K
212 5 4.0% e
4.0
)2 5 4.0ln(
2 5 4.0ln
22
21
nd
pt
14.1
4.013
14.3
1 22
p
n t
解,①
② 闭环传递函数
TKSTS
TK
KSTS
K
sR
sC
1)( )(
22
n
n
T
T
K
2
1
2
42.114.109.1
09.1
14.14.02
1
2
1
22
n
n
TK
T
)( sR )( sC
—
)( sE
)1(?Tss
K
例 3-3 控制系统如图 3-18所示，其中输入,证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。 ttr?)( nd
K2?
)( sR )( sC
— )2(
2
n
n
ss
sK d?1解：
图 3-18 控制系统的方块图闭环传递函数
22
2
2
)1(
)(
)(
nn
nd
SS
SK
sR
sC
2
1)(
SsR?
222
2 1
2
)1()(
SSS
SKsC
nn
nd?
)2(
2
)2(
)1(1
)()()(
222
22
222
2
2
nn
ndn
nn
nd
SSS
SKSS
SSS
SK
S
sCsRsE
d
nnn
ndn
SSSS
KSS KSsSEe
2
2
2lim)(lim
22
2
00
只要令
n
dK?
2?,就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例 3-4 设一随动系统如图 3-19所示，要求系统的超调量为 0.2，
峰值时间,求 ① 求增益 K和速度反馈系数 。 ② 根据所求的
Stp 1
.,,dSr tttK 时间值，计算该系统的上升和? )( sR )( sC
s1
)1(?ss
K
—解：
①
2.021
e＝
4 5 6.0
)1( ln
)1ln (
22
st
d
p 1
sr a dd /14.3 21 nd sr a ddn /53.34 56.01 14.31 22
系统的闭环传递函数
KSKS
K
KSKSS
K
sR
sCs
)1()(
)()(
22
46.1253.3 22 nK?
Kn 12 1 7 8.0
46.12
153.34 5 6.0212
K
n
)( sR )( sC
s1
)1(?ss
K
—
②
St
d
r 65.014.3
097.114.3
14.3
ar cc o s14.3
)05.0(17.253.3456.0 5.3)3(5.3 St
nn
S
)02.0(80.253.34 5 6.0 5.4)4(5.4 St
nn
S St nd 37.053.3
4 5 6.07.017.01?
3.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为
)453(,)( )(
1
1
1
|
1
1
10
mn
aSaSaS
bSbSbSb
sR
sC
nn
nn
mm
mm
将上式的分子与分母进行因式分解，可得：
)463(,)( )()())(( )())(()( )(
21
21 mnsD sMPSPSPS ZSZSZSKsR sC
n
m
点称为闭环传递函数的零miZ i,,2,1
点称为闭环传递函数的极njP j,,2,1
SsR
1)(?
)473(
)2()(
)(
)(
22
11
1?
nkkk
r
Rj
q
j
i
m
i
SSPSS
ZSK
sC
为复数极点的对数。为实极点的个数,rqrqn,2
将式（ 3-47）用部分分式展开，得
)483(2 1)()(
1
2
2
1
0?
r
k nkk
knkknkkkq
j j
j
SS
CSB
PS
A
S
AsC
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。
闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。
闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号所有闭环的极点均具有负实部表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关闭环极点均位于 S左半平面的系统，称为稳定系统主导极点 如果系统中有一个 (极点或一对 )复数极点距虚轴最近，
且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大 5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
问题
分析系统的稳定性问题。
提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基 本任务之一
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
① 基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定 。
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。
如果脉冲响应函数是收敛的，即有
0)(lim?
tg
t
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，
系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
系统仍能回到原有的平衡状态由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于 1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。
令系统的闭环传递函数含有 q个实数极点和 r对复数极点，则式 (3-46)可改写为
)533(
)2()(
)(
)()(
22
11
1?
nknkk
r
kj
q
j
i
m
i
SSPS
ZSK
ssG
q+2r=n
r
k nknkk
knkknkkk
q
j j
j
SS
CSB
PS
AsG
1
22
2
1 2
1)()(
用部分分式展开系统的脉冲响应函数为
)543(0,]1s i n1c os[)( 22
1 1
teCteBeAtg
knk
t
kk
q
j
r
k
nk
t
k
tp
j nkknkkj
闭环特征方程式的根须都位于 S的左半平面0)(lim?
tg
t
系统稳定不稳定系统充要条件不稳定系统的结果物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，
或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。
要有一个正实根或一对实部为正的复数根 发散
不 稳 定稳 定
4.0
4
s
t
0
理 论实 际一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
？
ssR
1)(?
单位阶跃函数分析
)2()(
)(
)()(
22
11
1
nknkk
r
kj
q
j
i
m
i
SSPSS
SSK
ssG
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
(3-47)
稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定衰减一个无限小的领域
3.5.2劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
3.5.2.1劳斯表线性系统稳定 闭环特征方程式的根必须都位于 S的左半平面。
充要条件稳定判据令系统的闭环特征方程为
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
）改写为都是正值，则式（其中 553,,,,,2121pp
0})])() ] [ ()([())({( 22221111210 jSjSjSjSPSPSa
)563(0})]2) ] [ (2[())({( 222222212112210 SSSSPSPSa即证明 设
,,21 pp 为实数根,?2211, jj 为复数根不会有系数为零的项线性系统稳定 必要条件将各项系数，按下面的格式排成老斯表
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
1
0
21
1
321
2
321
3
4321
2
7531
1
6420
fS
eeS
dddS
cccS
abbbS
aaaaS
aaaaS
n
n
n
n
1
2121
1
1
4171
3
1
3151
2
1
2131
1
1
7061
3
1
5041
2
1
3021
1
,,
,,
e
edde
f
b
baab
c
b
baab
c
b
baab
c
a
aaaa
b
a
aaaa
b
a
aaaa
b
表中这样可求得 n+1行系数劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在 S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在 S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
已知一调速系统的特征方程式为
0103.25 1 75.41 423 SSS
例 3-5
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
40
1
42
3
103.2
5.38
0103.25.41
05171
S
S
S
S
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在 S的右半平面，因而系统是不稳定的。
已知某调速系统的特征方程式为例 3-6 0)1(16705175.41 23 KSSS
求该系统稳定的 K值范围。
解：列劳斯表
)1(1 6 7 0
0
5.41
)1(1 6 7 05175.41
0)1(1 6 7 05.41
05171
0
1
2
3
KS
K
S
KS
S
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
可得：
0)1(1670
0)1(2.40517
K
K 9.111 K
劳斯判据特殊情况
劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个很小的正数?
来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在 S
右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列
上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
已知系统的特征方程式为 022 23 SSS
试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
2
)(0
22
11
0
1
2
3
S
S
S
S
例 3-7
由于表中第一列?
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为
01616201282 23456 SSSSSS
列劳斯表
16
0
3
8
166
248
000
16122
016122
162081
0
1
2
3
4
5
6
S
S
S
S
S
S
S
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在 S右半平面上没有特征根。令
F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根 2,2 jj
，显然这个系统处于临界稳定状态。
3.5.2.3 劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在 S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在 S平面上相对于虚轴的距离。希望 S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设
aZaSS 1
1S
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线
aS
，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的,程度,。
用劳斯判据检验下列特征方程 0413102
23 SSS
是否有根在 S的右半平面上，并检验有几个根在垂线 1S
的右方。
例 3-8
解：列劳斯表
4
2.12
10
81 3 0
410
132
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
令 1 ZS 代入特征方程,04)1(3)1(10)1(2 23 ZZZ
0142 23 ZZZ
式中有负号，显然有根在 1S 的右方。
列劳斯表
1
2
1
14
12
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 1S
可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
的右方。
已知一单位反馈控制系统如图 3-21所示，试回答例 3-9
)( sR )( sC
sK t
）（ 10)5(
20
sss—
)( sG c
？时，闭环系统是否稳定 1)(?sG
a r c c o s1
2
a r c tg
1
21
0,)s in(
1
11)(
2
tteth dtn
d
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%1 0 0%1 0 0)( )()(% 21
eh hth p
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
过阻尼
1
1
121
75.41
341
Tt
TtTT
S
S
当欠阻尼 10
d
pt?
05.05.3
n
st
02.05.4
n
st
21 nd
d
rt?
%1 0 0%1 0 0)( )()(% 21
eh hth p
3.3.4 二阶系统的动态校正对于特定的系统，位置控制系统 (随动系统 )其闭环传递函数
KSST Ks
m 2
)(?
KT
T
K
m
m
n
1
2
1
rt
n?
n?
矛盾
超调小，阻尼大速度慢
K
K
一定
比例－微分控制
测速反馈控制
3.3.4.1 比例 － 微分控制（ PD控制）
Proportional-plus－ derivative Control 1
)( sR )( sC
sT d
)2(
2
n
n
ss
—
)( sE
图 3-15 PD控制系统
)12(
)1(
)12(
)1(
2
)1
2
(2
)1(
)2(
)1()(
)(
)()( 22
n
d
n
d
n
n
n
dn
n
nd
SS
STK
SS
ST
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STsH
sE
sCsG
(3-33)
2nK?
称为开环增益
,n 有关闭环传递函数为
222
2
222
2
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2
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2
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2
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T
ST
STSS
ST
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22
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2
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(3-35)
令
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z 1? )2( )( 22
2
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n
SSz
zS
(3-36)
结论
可通过适当选择微分时间常数 dT,改变 d? 阻尼的大小
比例－微分控制可以不该变自然频率
n?
，但可增大系统的阻尼比
由于 PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，
dT
z 1
故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
当输入为单位阶跃函数时
SZSS
ZSsRssC n
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2
22
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1
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2
22
2
nn
n
nn
n
SSS
S
ZSSS
)1s i n (
1
11
)2(
2
222
2
teSSS dnt
dnn
n nd
teZSSZ dnt
d
n
nnd
n nd 2
222
2
1s i n
1
1
2
1
时，得单位阶跃响应当 1 d?
te
z
teth dnt
d
n
dn
t
d
ndnd 2
2
2
2
1s i n
1
)1s i n (
1
11)(
(3-37)
22 2 nnd ZZr
)1s in(1)( 2 treth dntnd
)1(])(1[ 22 ddnddn ar c t gZar c t g
3.3.4.2 测速反馈控制
)( sR )( sC
sK t
)2(
2
n
n
ss
—
)( sE
—
图 3-16 测速反馈控制的二阶系统
:tK
为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。 (电压 /
单位转速 )
系统的开环传递函数
SKS
SK
SS
SS
sG
tnn
n
t
n
n
n
n
)2(
)2(
1
)2(
)(
22
2
2
2
tnn
n
tnn KKSS
2
2
2 2)12(
1
(3-41)
Velocity feedback constant
nt
n
KK
2
2 (3-42)
相应的闭环传递函数，可用 (3-41)式中的第一种表示方式
222
2
)2()(1
)()(
nntn
n
SKSsG
sGs
(3-43)
令
222 ntnnt K
ntt K 2
1 (3-44)
① 测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
② 测速反馈不影响系统的自然频率
n?
不变
③ 可增大系统的阻尼比
④ 测速反馈不形成闭环零点，
dt TK?
测速反馈与 PD对系统动态性能的改善程度是不相同的。
结论
⑤ 设计时,之间，在 8.0~4.0d? 可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例 3-2 图 3-17(a)所示的系统，具有图 3-17(b)所示的响应，求 K和 T
)( sR )( sC
—
)( sE
)1(?Tss
K
212 5 4.0% e
4.0
)2 5 4.0ln(
2 5 4.0ln
22
21
nd
pt
14.1
4.013
14.3
1 22
p
n t
解,①
② 闭环传递函数
TKSTS
TK
KSTS
K
sR
sC
1)( )(
22
n
n
T
T
K
2
1
2
42.114.109.1
09.1
14.14.02
1
2
1
22
n
n
TK
T
)( sR )( sC
—
)( sE
)1(?Tss
K
例 3-3 控制系统如图 3-18所示，其中输入,证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。 ttr?)( nd
K2?
)( sR )( sC
— )2(
2
n
n
ss
sK d?1解：
图 3-18 控制系统的方块图闭环传递函数
22
2
2
)1(
)(
)(
nn
nd
SS
SK
sR
sC
2
1)(
SsR?
222
2 1
2
)1()(
SSS
SKsC
nn
nd?
)2(
2
)2(
)1(1
)()()(
222
22
222
2
2
nn
ndn
nn
nd
SSS
SKSS
SSS
SK
S
sCsRsE
d
nnn
ndn
SSSS
KSS KSsSEe
2
2
2lim)(lim
22
2
00
只要令
n
dK?
2?,就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例 3-4 设一随动系统如图 3-19所示，要求系统的超调量为 0.2，
峰值时间,求 ① 求增益 K和速度反馈系数 。 ② 根据所求的
Stp 1
.,,dSr tttK 时间值，计算该系统的上升和? )( sR )( sC
s1
)1(?ss
K
—解：
①
2.021
e＝
4 5 6.0
)1( ln
)1ln (
22
st
d
p 1
sr a dd /14.3 21 nd sr a ddn /53.34 56.01 14.31 22
系统的闭环传递函数
KSKS
K
KSKSS
K
sR
sCs
)1()(
)()(
22
46.1253.3 22 nK?
Kn 12 1 7 8.0
46.12
153.34 5 6.0212
K
n
)( sR )( sC
s1
)1(?ss
K
—
②
St
d
r 65.014.3
097.114.3
14.3
ar cc o s14.3
)05.0(17.253.3456.0 5.3)3(5.3 St
nn
S
)02.0(80.253.34 5 6.0 5.4)4(5.4 St
nn
S St nd 37.053.3
4 5 6.07.017.01?
3.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为
)453(,)( )(
1
1
1
|
1
1
10
mn
aSaSaS
bSbSbSb
sR
sC
nn
nn
mm
mm
将上式的分子与分母进行因式分解，可得：
)463(,)( )()())(( )())(()( )(
21
21 mnsD sMPSPSPS ZSZSZSKsR sC
n
m
点称为闭环传递函数的零miZ i,,2,1
点称为闭环传递函数的极njP j,,2,1
SsR
1)(?
)473(
)2()(
)(
)(
22
11
1?
nkkk
r
Rj
q
j
i
m
i
SSPSS
ZSK
sC
为复数极点的对数。为实极点的个数,rqrqn,2
将式（ 3-47）用部分分式展开，得
)483(2 1)()(
1
2
2
1
0?
r
k nkk
knkknkkkq
j j
j
SS
CSB
PS
A
S
AsC
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。
闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。
闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号所有闭环的极点均具有负实部表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关闭环极点均位于 S左半平面的系统，称为稳定系统主导极点 如果系统中有一个 (极点或一对 )复数极点距虚轴最近，
且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大 5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
问题
分析系统的稳定性问题。
提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基 本任务之一
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
① 基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。
设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定 。
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。
如果脉冲响应函数是收敛的，即有
0)(lim?
tg
t
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，
系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
系统仍能回到原有的平衡状态由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于 1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。
令系统的闭环传递函数含有 q个实数极点和 r对复数极点，则式 (3-46)可改写为
)533(
)2()(
)(
)()(
22
11
1?
nknkk
r
kj
q
j
i
m
i
SSPS
ZSK
ssG
q+2r=n
r
k nknkk
knkknkkk
q
j j
j
SS
CSB
PS
AsG
1
22
2
1 2
1)()(
用部分分式展开系统的脉冲响应函数为
)543(0,]1s i n1c os[)( 22
1 1
teCteBeAtg
knk
t
kk
q
j
r
k
nk
t
k
tp
j nkknkkj
闭环特征方程式的根须都位于 S的左半平面0)(lim?
tg
t
系统稳定不稳定系统充要条件不稳定系统的结果物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，
或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。
要有一个正实根或一对实部为正的复数根 发散
不 稳 定稳 定
4.0
4
s
t
0
理 论实 际一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
？
ssR
1)(?
单位阶跃函数分析
)2()(
)(
)()(
22
11
1
nknkk
r
kj
q
j
i
m
i
SSPSS
SSK
ssG
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
(3-47)
稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定衰减一个无限小的领域
3.5.2劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
3.5.2.1劳斯表线性系统稳定 闭环特征方程式的根必须都位于 S的左半平面。
充要条件稳定判据令系统的闭环特征方程为
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
）改写为都是正值，则式（其中 553,,,,,2121pp
0})])() ] [ ()([())({( 22221111210 jSjSjSjSPSPSa
)563(0})]2) ] [ (2[())({( 222222212112210 SSSSPSPSa即证明 设
,,21 pp 为实数根,?2211, jj 为复数根不会有系数为零的项线性系统稳定 必要条件将各项系数，按下面的格式排成老斯表
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
1
0
21
1
321
2
321
3
4321
2
7531
1
6420
fS
eeS
dddS
cccS
abbbS
aaaaS
aaaaS
n
n
n
n
1
2121
1
1
4171
3
1
3151
2
1
2131
1
1
7061
3
1
5041
2
1
3021
1
,,
,,
e
edde
f
b
baab
c
b
baab
c
b
baab
c
a
aaaa
b
a
aaaa
b
a
aaaa
b
表中这样可求得 n+1行系数劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在 S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在 S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
已知一调速系统的特征方程式为
0103.25 1 75.41 423 SSS
例 3-5
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
40
1
42
3
103.2
5.38
0103.25.41
05171
S
S
S
S
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在 S的右半平面，因而系统是不稳定的。
已知某调速系统的特征方程式为例 3-6 0)1(16705175.41 23 KSSS
求该系统稳定的 K值范围。
解：列劳斯表
)1(1 6 7 0
0
5.41
)1(1 6 7 05175.41
0)1(1 6 7 05.41
05171
0
1
2
3
KS
K
S
KS
S
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
可得：
0)1(1670
0)1(2.40517
K
K 9.111 K
劳斯判据特殊情况
劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个很小的正数?
来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在 S
右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列
上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
已知系统的特征方程式为 022 23 SSS
试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
2
)(0
22
11
0
1
2
3
S
S
S
S
例 3-7
由于表中第一列?
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为
01616201282 23456 SSSSSS
列劳斯表
16
0
3
8
166
248
000
16122
016122
162081
0
1
2
3
4
5
6
S
S
S
S
S
S
S
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在 S右半平面上没有特征根。令
F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根 2,2 jj
，显然这个系统处于临界稳定状态。
3.5.2.3 劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在 S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在 S平面上相对于虚轴的距离。希望 S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设
aZaSS 1
1S
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线
aS
，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的,程度,。
用劳斯判据检验下列特征方程 0413102
23 SSS
是否有根在 S的右半平面上，并检验有几个根在垂线 1S
的右方。
例 3-8
解：列劳斯表
4
2.12
10
81 3 0
410
132
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
令 1 ZS 代入特征方程,04)1(3)1(10)1(2 23 ZZZ
0142 23 ZZZ
式中有负号，显然有根在 1S 的右方。
列劳斯表
1
2
1
14
12
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 1S
可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
的右方。
已知一单位反馈控制系统如图 3-21所示，试回答例 3-9
)( sR )( sC
sK t
）（ 10)5(
20
sss—
)( sG c
？时，闭环系统是否稳定 1)(?sG
