第 9讲程向红高阶系统的时域分析线性系统的稳态误差计算
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。
自动控制理论的基本任务 (之一 )
分析系统的稳定性问题
提出保证系统稳定的措施
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定 。
线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。
闭环特征方程式的根须都位于 S的左半平面0)(lim?
tg
t
系统稳定 充要条件
不 稳 定稳 定
4.0
4
s
t
0
理 论实 际一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
？
ssR
1)(?
单位阶跃函数分析
)2()(
)(
)()(
22
11
1
nknkk
r
kj
q
j
i
m
i
SSPSS
SSK
ssG
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
(3-47)
稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定衰减一个无限小的领域
3.5.2劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
3.5.2.1劳斯表线性系统稳定 闭环特征方程式的根必须都位于 S的左半平面。
充要条件稳定判据令系统的闭环特征方程为
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
）改写为都是正值，则式（其中 553,,,,,2121pp
0})])() ] [ ()([())({( 22221111210 jSjSjSjSPSPSa
)563(0})]2) ] [ (2[())({( 222222212112210 SSSSPSPSa即证明 设?,,
21 pp 为实数根,?2211, jj 为复数根不会有系数为零的项线性系统稳定 必要条件将各项系数，按下面的格式排成老斯表
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
1
0
21
1
321
2
321
3
4321
2
7531
1
6420
fS
eeS
dddS
cccS
abbbS
aaaaS
aaaaS
n
n
n
n
1
2121
1
1
4171
3
1
3151
2
1
2131
1
1
7061
3
1
5041
2
1
3021
1
,,
,,
e
edde
f
b
baab
c
b
baab
c
b
baab
c
a
aaaa
b
a
aaaa
b
a
aaaa
b
表中这样可求得 n+1行系数
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在 S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
劳斯稳定判据已知一调速系统的特征方程式为
0103.25 1 75.41 423 SSS
例 3-5
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
40
1
42
3
103.2
5.38
0103.25.41
05171
S
S
S
S
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在 S的右半平面。
已知某调速系统的特征方程式为例 3-6 0)1(16705175.41 23 KSSS
求该系统稳定的 K值范围。
解：列劳斯表
)1(1 6 7 0
0
5.41
)1(1 6 7 05175.41
0)1(1 6 7 05.41
05171
0
1
2
3
KS
K
S
KS
S
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
可得：
0)1(1670
0)1(2.40517
K
K 9.111 K
劳斯判据特殊情况劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在 S右半平面上根的数目，相应的 系统为不稳定
如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属 不稳定是以一个很小的正数 来代替为零的这项解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列请看 例题已知系统的特征方程式为 022 23 SSS
试判别相应系统的稳定性。
2
)(0
22
11
0
1
2
3
S
S
S
S
例 3-7
由于表中第一列?
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
解：列劳斯表劳斯表中出现全零行用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。 相应的 系统为不稳定请看例题例如，一个控制系统的特征方程为
01616201282 23456 SSSSSS
列劳斯表
16
0
3
8
166
248
000
16122
016122
162081
0
1
2
3
4
5
6
S
S
S
S
S
S
S
2,2 jj 显然这个系统处于临界 (不 )
稳定状态。
ssssF 16122)( 24
ssds sdF 248)( 3
0)4)(2(2)86(216122)( 222424 ssssssssF
3.5.2.3 劳斯判据的应用实际系统希望 S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的,程度,。
azass 1 代入原方程式中，得到以
1s
a? 0
1s
as
稳定判据能回答特征方程式的根在 S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。
解决的办法设右侧。
请看例题
3.5.2.3 劳斯判据的应用用劳斯判据检验下列特征方程
0413102 23 SSS
是否有根在 S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
1S 的右方。
例 3-8
1s
a? 0
解：列劳斯表
4
2.12
10
81 3 0
410
132
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
令 1 ZS 代入特征方程：
04)1(3)1(10)1(2 23 ZZZ
0142 23 ZZZ
式中有负号，显然有根在 1S 的右方。
列劳斯表
1
2
1
14
12
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 1S 的右方。
0413102 23 SSS
请看例题已知一单位反馈控制系统如图 3-21所示，试回答例 3-9
)( sR )( sC
sK t
）（ 10)5(
20
sss—
)( sG c
1)(?sGc
时，闭环系统是否稳定？
图 3-21单位反馈控制系统方块图
s
sKsG p
c
)1()(
时，闭环系统的稳定条件是什么？
1)(?sGc
特征方程为
0205015
020)10)(5(
23
SSS
SSS
排劳斯表
20
15
20750
2015
501
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列均为正值,S全部位于左半平面，
故时，闭环系统的解：
系统稳定
s
sKsG p
c
)1()(
开环传递函数 )10)(5(
)1(20)()(
2
SSS
SKsGsG p
c
闭环特征方程为 0)1(20)10)(5(2 SKSSS p
020205015 234 pp KSKSSS列劳斯表
p
p
p
p
p
p
p
Ks
K
KK
K
s
K
K
s
Ks
Kps
20
15/)207 5 0(
201520
15
207 5 0
20
15
207 5 0
02015
20501
0
9
1
2
3
4
未完待续利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值
0?pK
5.37020750 pp KK
020525015
15
20750
0
15
20750
)15
15
20750
(20
p
p
p
p
p
K
K
K
K
K
5.26?pK
5.260 pK
3.6 线性系统的稳态误差系统稳定是前提控制系统的性能 动态性能稳态性能 稳态误差稳态误差的不可避免性
sse
？
在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度 )
无差系统：
有差系统：
在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。
本节主要讨论 原理性稳态误差的计算方法系统结构 --系统类型输入作用方式附加稳态误差的计算方法本书第
8
章介绍
3.6.1 稳态误差的定义
)( sR )( sC
)( sG
)( sH
)( sE
图 3-22 控制系统框图
)()()()( sCsHsRsE (3-56)
(3-57))()()( sCsCsE s
输出的实际值输出的希望值在实际系统中是可以量测的
(真值很难得到 )
如果 1)(?sH,输出量的希望值，即为输入量 。)(sR
由图 3-22可得误差传递函数
)()(1
1
)(
)()(
sGsHsR
sEs d e f
e
(3-58)
(3-59)
)()(1
)()()()(
sGsH
sRsRssE
e
)]()([)( 1 sRsLte e (3-60)
二阶系统误差曲线
0 100 200 300 400 500 600
- 0,7
- 0,6
- 0,5
- 0,4
- 0,3
- 0,2
- 0,1
0
2?n?
4.0
46.1
4)(
2 sss
二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
0 100 200 300 400 500 600
-1
- 0,8
- 0,6
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线
2?n?
4.0
46.1
4)(
2 sss
)()(1
)(lim)(lim)(
00 sGsH
ssRssEee
ssssss
公式条件,)(ssE 的极点均位于 S左半平面（包括坐标原点）
(3-59)
)()(1
)()()()(
sGsH
sRsRssE
e
(3-61)
输入形式结构形式 开环传递函数给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的
3.6.2 系统类型终值定理，求稳态误差。
Type
3.6.2 系统类型令系统开环传递函数为
)623(,
)1(
)1(
)()(
1
1
mn
STS
SK
sHsG
j
n
j
i
m
i
系统的开环增益。:K
)(
2
2
1
00
:
复合系统不会碰到。系统在控制工程中一般种类型的很难使之稳定，所以这型以上的系统，实际上时，
型系统型系统型系统节数为系统中含有的积分环
！ 系统类型 (type)与系统的阶数 (order)的区别令
)1()1()()( 1100 STSTsHsG jnjsmi?
1)()(,0 00 sHsGS
)633()()()()( 00 SKsHsGSKsHsG
mn
sTs
sK
sHsG
j
n
j
i
m
i?
,
)1(
)1(
)()(
1
1
系统稳态误差计算通式则可表示为
)643(lim
)]([lim
0
1
0?
SK
sRS
e
s
s
ss
输入信号开环增益有关系统型别与
)( sR
Ke ss
分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况
)()(1
)(lim)(lim
00 sGsH
ssRssEe
ssss
阶跃信号输入令
.)(,)( 000 SRsRRRtr 常量。
)()(1
)(lim)(lim)(
00 sGsH
ssRssEee
ssssss
)653(1)()(lim1)()(1 )(lim 0
0
0
0
p
s
sss K
R
sRsH
R
sGsH
sSRe
)663()()(lim 0 sRsHK sp令 静态位置误差系数:pK
知：由式 )633(?
1,
0,
KK
p
s
KsHsG
s
KsHsG )()()()( 00
(3-63)
)643(lim
)]([lim
0
1
0?
SK
sRS
e
s
s
ss
由 (3-64)或 (3-65)可知
1,0
0,
1
0
c o n s t
K
R
e ss
Static position error constant
要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用
Ⅰ 型及 Ⅰ 型以上的系统斜坡信号输入
)613(,)(,)( 2000 则由SvsRc o n s tvtvtr
)()(1
)(lim)(lim
00 sGsH
ssRssEe
ssss
)673(
)()(lim)()(
lim
)()(1
lim 0
0
00
0
2
0
0
vs
ssss K
v
sGsSH
v
sGsSHS
v
sGsH
S
vS
e
令
)683(lim)()(lim 100S KsGsSHK ssv vK 静态速度误差系数
Static velocity error constant
(3-61)
2
1
00
KK v(3-68)
(3-67)
20
1
0
0
K
v
e ss
加速度信号输入令 )613()(,
2
1)(
3
0020 由式
S
asRc o n s tatatr
)693(lim
)()(
lim
)()(1
lim)(lim 0
022
0
0
3
0
00
a
ssssss K
a
sHsGSS
a
sHsG
S
aS
sSEe
令 )703(lim)()(lim
2020 vssa S
KsHsGSK
)()(1
)(lim)(lim
00 sGsH
ssRssEe
ssss
(3-61)
静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
aK
3
2
1,00
KK a
30
2
1,0
0
co n s t
K
a
e ss
(3-70)
(3-71)
0 50 100 150 200 250
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2?n?
4.0
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
静态位置误差系数
pK vK
静态加速度误差系数
aK
误差系数类型
0型 K 0 0
Ⅰ 型 ∞ K 0
Ⅱ 型 ∞ ∞ K
pK
静态速度误差系数
0)( Rtr? tvtr 0)(? 2
02
1)( tatr?
K
R
1
0
K
v0
K
a0
输入类型
0型 ∞ ∞
Ⅰ 型 0 ∞
Ⅱ 型 0 0
sse
关）有关、开环传递函数有就越小（与系统稳态误差静态误差系数 K
一单位反馈控制系统，若要求：⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为 2。⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为
11 j
根据⑴和⑵的要求，可知系统是 Ⅰ 型三阶系统，因而令其开环传递函数为
)()( 2 CbSSS
KsG
例 3-10
。 求满足上述要求的开环传递函数。
解：
因为 CK
C
KK
Ke vrss 5.0,5.02
1
按定义
C
KsGsSHK
sv )()(lim 0
相应闭环传递函数 pSpSpS KpSSS KKCSbSS Ks 2)22()2())(22()( 23223
3
2
4
1
5.02
22
2
b
K
C
p
CKp
Cp
bp
所求开环传递函数为
)43(
2)(
2 SSSsG
作业 3-14,3-15,3-16,3-19
3-19提示：可化为等效单位反馈时开环传递函数谢谢！
结束
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。
自动控制理论的基本任务 (之一 )
分析系统的稳定性问题
提出保证系统稳定的措施
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定 。
线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。
闭环特征方程式的根须都位于 S的左半平面0)(lim?
tg
t
系统稳定 充要条件
不 稳 定稳 定
4.0
4
s
t
0
理 论实 际一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
？
ssR
1)(?
单位阶跃函数分析
)2()(
)(
)()(
22
11
1
nknkk
r
kj
q
j
i
m
i
SSPSS
SSK
ssG
rk rk knktkknktkqj tpj tteCteBeAAtC nkknkkj 1 1 2210 )493(01c o s1s i n)(
(3-47)
稳态分量瞬态分量瞬态分量系统的结构和参数确定参考输入一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定衰减一个无限小的领域
3.5.2劳斯稳定判据 (Routh’s stability criterion)
3.5.2.1劳斯表线性系统稳定 闭环特征方程式的根必须都位于 S的左半平面。
充要条件稳定判据令系统的闭环特征方程为
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
）改写为都是正值，则式（其中 553,,,,,2121pp
0})])() ] [ ()([())({( 22221111210 jSjSjSjSPSPSa
)563(0})]2) ] [ (2[())({( 222222212112210 SSSSPSPSa即证明 设?,,
21 pp 为实数根,?2211, jj 为复数根不会有系数为零的项线性系统稳定 必要条件将各项系数，按下面的格式排成老斯表
)553(00 0122110 aaSaSaSaSa nnnnn
1
0
21
1
321
2
321
3
4321
2
7531
1
6420
fS
eeS
dddS
cccS
abbbS
aaaaS
aaaaS
n
n
n
n
1
2121
1
1
4171
3
1
3151
2
1
2131
1
1
7061
3
1
5041
2
1
3021
1
,,
,,
e
edde
f
b
baab
c
b
baab
c
b
baab
c
a
aaaa
b
a
aaaa
b
a
aaaa
b
表中这样可求得 n+1行系数
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在 S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
劳斯稳定判据已知一调速系统的特征方程式为
0103.25 1 75.41 423 SSS
例 3-5
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
40
1
42
3
103.2
5.38
0103.25.41
05171
S
S
S
S
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在 S的右半平面。
已知某调速系统的特征方程式为例 3-6 0)1(16705175.41 23 KSSS
求该系统稳定的 K值范围。
解：列劳斯表
)1(1 6 7 0
0
5.41
)1(1 6 7 05175.41
0)1(1 6 7 05.41
05171
0
1
2
3
KS
K
S
KS
S
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
可得：
0)1(1670
0)1(2.40517
K
K 9.111 K
劳斯判据特殊情况劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在 S右半平面上根的数目，相应的 系统为不稳定
如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属 不稳定是以一个很小的正数 来代替为零的这项解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列请看 例题已知系统的特征方程式为 022 23 SSS
试判别相应系统的稳定性。
2
)(0
22
11
0
1
2
3
S
S
S
S
例 3-7
由于表中第一列?
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
解：列劳斯表劳斯表中出现全零行用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。 相应的 系统为不稳定请看例题例如，一个控制系统的特征方程为
01616201282 23456 SSSSSS
列劳斯表
16
0
3
8
166
248
000
16122
016122
162081
0
1
2
3
4
5
6
S
S
S
S
S
S
S
2,2 jj 显然这个系统处于临界 (不 )
稳定状态。
ssssF 16122)( 24
ssds sdF 248)( 3
0)4)(2(2)86(216122)( 222424 ssssssssF
3.5.2.3 劳斯判据的应用实际系统希望 S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的,程度,。
azass 1 代入原方程式中，得到以
1s
a? 0
1s
as
稳定判据能回答特征方程式的根在 S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。
解决的办法设右侧。
请看例题
3.5.2.3 劳斯判据的应用用劳斯判据检验下列特征方程
0413102 23 SSS
是否有根在 S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
1S 的右方。
例 3-8
1s
a? 0
解：列劳斯表
4
2.12
10
81 3 0
410
132
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
令 1 ZS 代入特征方程：
04)1(3)1(10)1(2 23 ZZZ
0142 23 ZZZ
式中有负号，显然有根在 1S 的右方。
列劳斯表
1
2
1
14
12
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 1S 的右方。
0413102 23 SSS
请看例题已知一单位反馈控制系统如图 3-21所示，试回答例 3-9
)( sR )( sC
sK t
）（ 10)5(
20
sss—
)( sG c
1)(?sGc
时，闭环系统是否稳定？
图 3-21单位反馈控制系统方块图
s
sKsG p
c
)1()(
时，闭环系统的稳定条件是什么？
1)(?sGc
特征方程为
0205015
020)10)(5(
23
SSS
SSS
排劳斯表
20
15
20750
2015
501
0
1
2
3
S
S
S
S
第一列均为正值,S全部位于左半平面，
故时，闭环系统的解：
系统稳定
s
sKsG p
c
)1()(
开环传递函数 )10)(5(
)1(20)()(
2
SSS
SKsGsG p
c
闭环特征方程为 0)1(20)10)(5(2 SKSSS p
020205015 234 pp KSKSSS列劳斯表
p
p
p
p
p
p
p
Ks
K
KK
K
s
K
K
s
Ks
Kps
20
15/)207 5 0(
201520
15
207 5 0
20
15
207 5 0
02015
20501
0
9
1
2
3
4
未完待续利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值
0?pK
5.37020750 pp KK
020525015
15
20750
0
15
20750
)15
15
20750
(20
p
p
p
p
p
K
K
K
K
K
5.26?pK
5.260 pK
3.6 线性系统的稳态误差系统稳定是前提控制系统的性能 动态性能稳态性能 稳态误差稳态误差的不可避免性
sse
？
在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度 )
无差系统：
有差系统：
在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。
本节主要讨论 原理性稳态误差的计算方法系统结构 --系统类型输入作用方式附加稳态误差的计算方法本书第
8
章介绍
3.6.1 稳态误差的定义
)( sR )( sC
)( sG
)( sH
)( sE
图 3-22 控制系统框图
)()()()( sCsHsRsE (3-56)
(3-57))()()( sCsCsE s
输出的实际值输出的希望值在实际系统中是可以量测的
(真值很难得到 )
如果 1)(?sH,输出量的希望值，即为输入量 。)(sR
由图 3-22可得误差传递函数
)()(1
1
)(
)()(
sGsHsR
sEs d e f
e
(3-58)
(3-59)
)()(1
)()()()(
sGsH
sRsRssE
e
)]()([)( 1 sRsLte e (3-60)
二阶系统误差曲线
0 100 200 300 400 500 600
- 0,7
- 0,6
- 0,5
- 0,4
- 0,3
- 0,2
- 0,1
0
2?n?
4.0
46.1
4)(
2 sss
二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
0 100 200 300 400 500 600
-1
- 0,8
- 0,6
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线
2?n?
4.0
46.1
4)(
2 sss
)()(1
)(lim)(lim)(
00 sGsH
ssRssEee
ssssss
公式条件,)(ssE 的极点均位于 S左半平面（包括坐标原点）
(3-59)
)()(1
)()()()(
sGsH
sRsRssE
e
(3-61)
输入形式结构形式 开环传递函数给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的
3.6.2 系统类型终值定理，求稳态误差。
Type
3.6.2 系统类型令系统开环传递函数为
)623(,
)1(
)1(
)()(
1
1
mn
STS
SK
sHsG
j
n
j
i
m
i
系统的开环增益。:K
)(
2
2
1
00
:
复合系统不会碰到。系统在控制工程中一般种类型的很难使之稳定，所以这型以上的系统，实际上时，
型系统型系统型系统节数为系统中含有的积分环
！ 系统类型 (type)与系统的阶数 (order)的区别令
)1()1()()( 1100 STSTsHsG jnjsmi?
1)()(,0 00 sHsGS
)633()()()()( 00 SKsHsGSKsHsG
mn
sTs
sK
sHsG
j
n
j
i
m
i?
,
)1(
)1(
)()(
1
1
系统稳态误差计算通式则可表示为
)643(lim
)]([lim
0
1
0?
SK
sRS
e
s
s
ss
输入信号开环增益有关系统型别与
)( sR
Ke ss
分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况
)()(1
)(lim)(lim
00 sGsH
ssRssEe
ssss
阶跃信号输入令
.)(,)( 000 SRsRRRtr 常量。
)()(1
)(lim)(lim)(
00 sGsH
ssRssEee
ssssss
)653(1)()(lim1)()(1 )(lim 0
0
0
0
p
s
sss K
R
sRsH
R
sGsH
sSRe
)663()()(lim 0 sRsHK sp令 静态位置误差系数:pK
知：由式 )633(?
1,
0,
KK
p
s
KsHsG
s
KsHsG )()()()( 00
(3-63)
)643(lim
)]([lim
0
1
0?
SK
sRS
e
s
s
ss
由 (3-64)或 (3-65)可知
1,0
0,
1
0
c o n s t
K
R
e ss
Static position error constant
要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用
Ⅰ 型及 Ⅰ 型以上的系统斜坡信号输入
)613(,)(,)( 2000 则由SvsRc o n s tvtvtr
)()(1
)(lim)(lim
00 sGsH
ssRssEe
ssss
)673(
)()(lim)()(
lim
)()(1
lim 0
0
00
0
2
0
0
vs
ssss K
v
sGsSH
v
sGsSHS
v
sGsH
S
vS
e
令
)683(lim)()(lim 100S KsGsSHK ssv vK 静态速度误差系数
Static velocity error constant
(3-61)
2
1
00
KK v(3-68)
(3-67)
20
1
0
0
K
v
e ss
加速度信号输入令 )613()(,
2
1)(
3
0020 由式
S
asRc o n s tatatr
)693(lim
)()(
lim
)()(1
lim)(lim 0
022
0
0
3
0
00
a
ssssss K
a
sHsGSS
a
sHsG
S
aS
sSEe
令 )703(lim)()(lim
2020 vssa S
KsHsGSK
)()(1
)(lim)(lim
00 sGsH
ssRssEe
ssss
(3-61)
静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
aK
3
2
1,00
KK a
30
2
1,0
0
co n s t
K
a
e ss
(3-70)
(3-71)
0 50 100 150 200 250
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2?n?
4.0
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
静态位置误差系数
pK vK
静态加速度误差系数
aK
误差系数类型
0型 K 0 0
Ⅰ 型 ∞ K 0
Ⅱ 型 ∞ ∞ K
pK
静态速度误差系数
0)( Rtr? tvtr 0)(? 2
02
1)( tatr?
K
R
1
0
K
v0
K
a0
输入类型
0型 ∞ ∞
Ⅰ 型 0 ∞
Ⅱ 型 0 0
sse
关）有关、开环传递函数有就越小（与系统稳态误差静态误差系数 K
一单位反馈控制系统，若要求：⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为 2。⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为
11 j
根据⑴和⑵的要求，可知系统是 Ⅰ 型三阶系统，因而令其开环传递函数为
)()( 2 CbSSS
KsG
例 3-10
。 求满足上述要求的开环传递函数。
解：
因为 CK
C
KK
Ke vrss 5.0,5.02
1
按定义
C
KsGsSHK
sv )()(lim 0
相应闭环传递函数 pSpSpS KpSSS KKCSbSS Ks 2)22()2())(22()( 23223
3
2
4
1
5.02
22
2
b
K
C
p
CKp
Cp
bp
所求开环传递函数为
)43(
2)(
2 SSSsG
作业 3-14,3-15,3-16,3-19
3-19提示：可化为等效单位反馈时开环传递函数谢谢！
结束
