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第 2讲程向红控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言
2.2 时域数学模型
2.3 频域数学模型
2.4 信号流图与梅逊公式数学模型的几种表示方式数学模型时域模型 频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型
2.1 引言
描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型
深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模
物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，
难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。
物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，
来确定出合理的物理模型。
电子放大器 看成 理想的线性放大环节。
通讯卫星 看成 质点 。
建立控制系统数学模型的方法有,
分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，
物理规律、化学规律。
实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
分析法建立系统数学模型的几个步骤：
建立物理模型。
列写原始方程。利用适当的物理定律 — 如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）
选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，
建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
实验法－基于系统辨识的建模方法黑匣子输入（已知） 输出（已知）
已知知识和辨识目的
实验设计 --选择实验条件
模型阶次 --适合于应用的适当的阶次
参数估计 --最小二乘法
模型验证 — 将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
2.2 控制系统的时域数学模型
2.2.1线性元件的微分方程
图 2-1为由一
RC组成的四端无源网络。试列写以 U1（ t）为输入量,U2(t)为输出量的网络微分方程。
U 1
R 1 R 2
U 2C 1 C 2
图 2 - 1 R C 组 成 的 四 端 网 络例 2-1
1111 cUiRU ①
dtiiCU c )(1 2111 ②
2221 cc UiRU ③
dtiCU c 222 1 ④
22 cUU?
⑤
由④、⑤得解,设回路电流 i1,i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：
dt
dUC
dt
dUCi c 2
2
2
22
由②导出
dt
dUC
dt
dUCi
dt
dUCi cc 2
2
1
12
1
11
将 i1,i2代入①、③，则得
22211 cUiRRU
222222111 )( Udt
dUCR
dt
dUC
dt
dUCR c
22222222211 ])([ Udt
dUCR
dt
dUCUiR
dt
dCR
2
2
22
2
21
2
112
2
2
2211 Udt
dUCR
dt
dUCR
dt
dUCR
dt
UdCRCR
12
2
2221112
2
2
2121 )( UUdt
dUCRCRCR
dt
UdCCRR
这就是 RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
试证明图 2-2(a),(b)所示的机、电系统是相似系统 (即两系统具有相同的数学模型 )。
图 2 - 2 机 电 相 似 系 统
B 1
B 2
K 1
K 2
X r
X c
( a ) 机 械 系 统
R 2 C 2
R 1
C 1
U r U c
( b ) 电 气 系 统例 2-2
对电气网络 (b)，列写电路方程如下：
c2c2cr1cr1 XBXK)X-X(B)X-(XK
rrc XKBXKKBB 1121c21 X)(X)(
rUidtCiRidtCiR
1
1
2
2
11
c22c11 UCUC?
c11c i URU
rc2c121 UUU)i(R R
解：
对机械网络：输入为 Xr，
输出为 Xc，根据力平衡，
可列出其运动方程式
②
③
④
利用 ②,③,④ 求出代入① 将 ① 两边微分得
1)
2
1
1(21
)
2
1
1(
R
C
C
RR
Uc
C
C
Ur
i
rrcc UCURUCCURR
1
1
21
21
1)11()(
力 -电压相似
机系统（ a）和电系统（ b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。
为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统,.....
因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。
机械 电阻
R1
电阻
R2
弹性系数
K1
弹性系数
K2
电气 阻尼
B1
阻尼
B2 1/C1 1/C2
图 2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，
要求取电枢电压 Ua(t)
（ v）为输入量，电动机转速 ωm（ t）（ rad/s）
为输出量，列写微分方程。图中 Ra(Ω),La(H)
分别是电枢电路的电阻和电感,Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
图 2 - 3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图
S M
负载
＋
-
＋
-
L a R a
E a
W m
J m,f m
U a
i f
i a
例 2-3
解,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 Ua(t)
在电枢回路中产生电枢电流 ia(t)，再由电流 ia（ t）
与激磁磁通相互作用产生电磁转距 Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。
电枢回路电压平衡方程
电磁转距方程
电动机轴上的转距平衡方程
电枢回路电压平衡方程：
Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
Ea=Ceωm（ t） ② Ce－反电势系数（ v/rad/s）
aaa
a
aa EtiRdt
tdiLtU )()()( ①
电磁转距方程：
-电动机转距系数 （ N·m/A）是电动机转距系数
-是由电枢电流产生的电磁转距（ N·m）
电动机轴上的转距平衡方程：
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m·
fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（ N·m/rad/s）
)()( tiCtM amm?
③
mC
)(tMm
)()()()( tMtMtfdt tdJ cmmmmm
④
③,④ 求出 ia(t)，代入 ① 同时 ② 亦代入 ① 得：
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(2
tMR
dt
tdM
LtUC
tCCfR
dt
td
JRfL
dt
td
JL
ca
c
aam
memma
m
mama
m
ma
⑤
在工程应用中，由于电枢电路电感 La较小，通常忽略不计，
因而 ⑤ 可简化为
)()()()( 21 tMKtUKtdt tdT cammm
emma
ma
m CCfR
JRT
emm
a
CCR a f
RK
2
⑥
emma
m
CCfR
CK
1
电动机机电时间常数（ s）
如果电枢电阻 Ra和电动机的转动惯量 Jm都很小而忽略不计时 ⑥ 还可进一步简化为
)(tm?
)()( tUtC ame ⑦
)(tUa
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。
建立微分方程的步骤如下：
① 确定系统的输入量和输出量
② 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。
③ 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。
电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。
2.2.2 线性微分方程的求解
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）
一个变量的非线性函数 y=f(x)
列出方程 求解方程 求解微分方程初条输入量在 x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开
2''' )0)(0(!21)0)(0()0()( xxxfxxxfxfxfy
增量较小时略去其高次幂项，则有令
Δy=kΔx
k比例系数，函数在 x0点切线的斜率两个变量的非线性函数
y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（ x10,x20）附近用台劳级数展开为
0xxx
)0)(0()0()(0 ' xxxfxfxfyy
])201(
2
)20,10(
)20)(10(
21
)20,10(
2)101(
1
)20,10(
[
!2
1
)]202(
2
)20,10(
)101(
1
)20,10(
[)20,10()2,1(
2
2
2
2
2
2
xx
x
xxf
xxxx
xx
xxf
xx
x
xxf
xx
x
xxf
xx
x
xxf
xxfxxfy
0yyy
略去二级以上导数项，并令 Δy ＝ y-f(x10,x20)
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，
都是“小偏差点”。
20221011 xxxxxx
22112
2
2010
1
1
2010 ),(),( xKxKx
x
xxfx
x
xxfy
10≤y≤12 上线性化。求用线性化方程来计算当 x=5，
y=10时 z值所产生的误差。
解：由于研究的区域为
5≤x≤7,10≤y≤12,故选择工作点 x0=6,y0=11。
于是 z0=x0y0=6× 11=66.
求在点 x0=6,y0=11,z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点
x0,y0,z0处展开成泰勒级数，
并忽略其高阶项，则有
)()( 000 yybxxazz
110
0
0
yxza
yy xx
60
0
0
xyzb
yy xx
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11)
z=11x+6y-66
当 x=5,y=10时,z的精确值为
z=xy=5× 10=50
由线性化方程求得的 z值为
z=11x+6y=55+60-66=49
因此，误差为 50-49=1，表示成百分数 %2501?
例 2-4
试把非线性方程 z=xy 在区域 5≤x≤7,
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义设函数 f(t)满足 ① t<0时 f(t)=0
② t>0时,f(t)分段连续则 f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
⑵ 拉氏变换基本定理
线性定理
位移定理
延迟定理
终值定理
dtetf st0 )(
dtetftfLsF st 0 )()]([)(
)()()]()([ 22112211 sFasFatfatfaL
)()]([ asFtfeL at
)()]([ sFetfL s
)(lim)(lim
0
ssFtf
st
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
初值定理
微分定理
积分定理
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)0()(])([ fssFdt tdfL )0()0()(])([ '22
2 fsfsFs
dt
tfdL
sfs sFdttfL )0()(])([ 1 sfsfs sFdttfL )0()0()(])([
2
2
1
2
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsk
sA
sBsF
n
n
ps
a
ps
a
ps
asF
2
2
1
1)(
kpskk pssA
sBa
)]()(
)([
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
n
nps aps apsps asasF
3
3
21
21 ))(()(
11 )])(()(
)([][
2121 psps pspssA
sBasa
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
)()()()()()( 11111111 nnrrrrrr ps
a
ps aps bps bps bsF
1])()(
)([
1 ps
r
r pssA
sBb
111 ]})()(
)([{
psrr pssA
sB
ds
db
11 ]})()(
)([{
!
1
psrj
j
jr pssA
sB
ds
d
jb 1]})()( )([{)!1( 1 11
1
1 ps
r
r
r ps
sA
sB
ds
d
rb
其余各极点的留数确定方法与上同。
2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，
系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
)(
)(
sR
sC
零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数
式中 c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。
设 r(t)和 c(t)及其各阶系数在 t=0是的值均为零，
即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，
并令 R(s)＝ L[c(t)],R(s)=L[r(t)]，可得 s的代数方程为：
于是，由定义得系统传递函数为,
)()()()(
)()()()(
11
1
10
11
1
10
trbtr
dt
d
btr
dt
d
btr
dt
d
b
tcatc
dt
d
atc
dt
d
atc
dt
d
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
)(][)(][ 11101110 sRasbsbsbsCasasasa mmmmnnnn
设线性定常系统由下述 n阶线性常微分方程描述：
求例 2-2机械系统与电路系统的传递函数 和解：
--,机械系统传递函数
mmmm bsbsbsbsM 1110)( nnnn asasasasN 1110)(
)( )(sX sXrc )( )(sU sUrc
rccc XKXBXKKXBB 112121 )()(
)()()()()()( 112121 sXKsSXBsXKKsSXBB rrcc
)(
)(
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
sN
sM
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
nn
nn
mm
mm
2121
11 )()( )( KKsBB KsBsX sX
r
c
rrcc UCURUCCURR 112121
1)11()(
例 2-5
--,电系统的传递函数
性质 1 传递函数是复变量 s的有理真分式函数,m≤n,且所具有复变量函数的所有性质。
性质 2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
)(1)()()11()()(
1
1
21
21 sUCsSURsUCCsSURR rrcc
)11()(
1
)(
)(
21
21
1
1
CC
SRR
C
SR
sU
sU
r
c
G ( s )R ( s ) C ( s )
图 2 - 6
性质 3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
性质 4 如果 G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。
性质 5 如果系统的 G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，
与其它物理描述不同。
传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（ operational mode）
性质 6 传递函数与微分方程之间有关系。
)( )()( sR sCsG? 如果将 dtdS? 置换 微分方程传递函数?
性质 7 传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应 g(t)
脉冲响应（脉冲过渡函数） g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。
在例 1-1中，设当输入为 单位阶跃函数,即 时,求输出解,根据例 1得到的微分方程。
1)]([)( tLsR?
tt dgtrdtgtrsRsCLsCLtc 0011 )()()()()]()([)]([)(
FCFCKRKR 20,1.0,3,20 2121
)(1 tU )()(1 ttU )(2 tU
SsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR
1)()()()()(
122222111222121
]1)([
1)(
222111221212
SCRCRCRSCCRRSsU )14 6 2.0102.1( 124 SSS
)85.3 8 4 7)(166.2(2.1
10 4
SSS 85.3847166.2 S cS bSa
例 2-6
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
为传递函数的零点
为传递函数的极点
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
1)( 02sSsUa 0 0 0 0 4 3.1)85.3 8 4 7(2.1 10 166.24sSSb
485.3 8 4 74 1063.5)166.2(2.1 10 sSSc
tt eetU 85.3 8 4 741 6 6.22 1063.500043.11)(
)(
)(
)(
)()(
1
1*
j
n
j
i
m
i
PS
ZS
K
sN
sMsG
),,2,1( mi
iZ
jP
),,2,1( nj
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。
2.3.4典型元部件的传递函数
·电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
单个电位器用作为信号变换装置。
- 0,5- 1,3 3
- 1- 2 z 1z 2
图 2 - 7 传 递 函 数 的 零 极 点 图
)()( 1 tKtU
第 2讲程向红控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言
2.2 时域数学模型
2.3 频域数学模型
2.4 信号流图与梅逊公式数学模型的几种表示方式数学模型时域模型 频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型
2.1 引言
描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型
深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模
物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，
难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。
物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，
来确定出合理的物理模型。
电子放大器 看成 理想的线性放大环节。
通讯卫星 看成 质点 。
建立控制系统数学模型的方法有,
分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，
物理规律、化学规律。
实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
分析法建立系统数学模型的几个步骤：
建立物理模型。
列写原始方程。利用适当的物理定律 — 如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）
选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，
建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
实验法－基于系统辨识的建模方法黑匣子输入（已知） 输出（已知）
已知知识和辨识目的
实验设计 --选择实验条件
模型阶次 --适合于应用的适当的阶次
参数估计 --最小二乘法
模型验证 — 将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
2.2 控制系统的时域数学模型
2.2.1线性元件的微分方程
图 2-1为由一
RC组成的四端无源网络。试列写以 U1（ t）为输入量,U2(t)为输出量的网络微分方程。
U 1
R 1 R 2
U 2C 1 C 2
图 2 - 1 R C 组 成 的 四 端 网 络例 2-1
1111 cUiRU ①
dtiiCU c )(1 2111 ②
2221 cc UiRU ③
dtiCU c 222 1 ④
22 cUU?
⑤
由④、⑤得解,设回路电流 i1,i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：
dt
dUC
dt
dUCi c 2
2
2
22
由②导出
dt
dUC
dt
dUCi
dt
dUCi cc 2
2
1
12
1
11
将 i1,i2代入①、③，则得
22211 cUiRRU
222222111 )( Udt
dUCR
dt
dUC
dt
dUCR c
22222222211 ])([ Udt
dUCR
dt
dUCUiR
dt
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2
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22
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21
2
112
2
2
2211 Udt
dUCR
dt
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dt
dUCR
dt
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12
2
2221112
2
2
2121 )( UUdt
dUCRCRCR
dt
UdCCRR
这就是 RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
试证明图 2-2(a),(b)所示的机、电系统是相似系统 (即两系统具有相同的数学模型 )。
图 2 - 2 机 电 相 似 系 统
B 1
B 2
K 1
K 2
X r
X c
( a ) 机 械 系 统
R 2 C 2
R 1
C 1
U r U c
( b ) 电 气 系 统例 2-2
对电气网络 (b)，列写电路方程如下：
c2c2cr1cr1 XBXK)X-X(B)X-(XK
rrc XKBXKKBB 1121c21 X)(X)(
rUidtCiRidtCiR
1
1
2
2
11
c22c11 UCUC?
c11c i URU
rc2c121 UUU)i(R R
解：
对机械网络：输入为 Xr，
输出为 Xc，根据力平衡，
可列出其运动方程式
②
③
④
利用 ②,③,④ 求出代入① 将 ① 两边微分得
1)
2
1
1(21
)
2
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1(
R
C
C
RR
Uc
C
C
Ur
i
rrcc UCURUCCURR
1
1
21
21
1)11()(
力 -电压相似
机系统（ a）和电系统（ b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。
为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统,.....
因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。
机械 电阻
R1
电阻
R2
弹性系数
K1
弹性系数
K2
电气 阻尼
B1
阻尼
B2 1/C1 1/C2
图 2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，
要求取电枢电压 Ua(t)
（ v）为输入量，电动机转速 ωm（ t）（ rad/s）
为输出量，列写微分方程。图中 Ra(Ω),La(H)
分别是电枢电路的电阻和电感,Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
图 2 - 3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图
S M
负载
＋
-
＋
-
L a R a
E a
W m
J m,f m
U a
i f
i a
例 2-3
解,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 Ua(t)
在电枢回路中产生电枢电流 ia(t)，再由电流 ia（ t）
与激磁磁通相互作用产生电磁转距 Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。
电枢回路电压平衡方程
电磁转距方程
电动机轴上的转距平衡方程
电枢回路电压平衡方程：
Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
Ea=Ceωm（ t） ② Ce－反电势系数（ v/rad/s）
aaa
a
aa EtiRdt
tdiLtU )()()( ①
电磁转距方程：
-电动机转距系数 （ N·m/A）是电动机转距系数
-是由电枢电流产生的电磁转距（ N·m）
电动机轴上的转距平衡方程：
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m·
fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（ N·m/rad/s）
)()( tiCtM amm?
③
mC
)(tMm
)()()()( tMtMtfdt tdJ cmmmmm
④
③,④ 求出 ia(t)，代入 ① 同时 ② 亦代入 ① 得：
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(2
tMR
dt
tdM
LtUC
tCCfR
dt
td
JRfL
dt
td
JL
ca
c
aam
memma
m
mama
m
ma
⑤
在工程应用中，由于电枢电路电感 La较小，通常忽略不计，
因而 ⑤ 可简化为
)()()()( 21 tMKtUKtdt tdT cammm
emma
ma
m CCfR
JRT
emm
a
CCR a f
RK
2
⑥
emma
m
CCfR
CK
1
电动机机电时间常数（ s）
如果电枢电阻 Ra和电动机的转动惯量 Jm都很小而忽略不计时 ⑥ 还可进一步简化为
)(tm?
)()( tUtC ame ⑦
)(tUa
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。
建立微分方程的步骤如下：
① 确定系统的输入量和输出量
② 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。
③ 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。
电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。
2.2.2 线性微分方程的求解
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）
一个变量的非线性函数 y=f(x)
列出方程 求解方程 求解微分方程初条输入量在 x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开
2''' )0)(0(!21)0)(0()0()( xxxfxxxfxfxfy
增量较小时略去其高次幂项，则有令
Δy=kΔx
k比例系数，函数在 x0点切线的斜率两个变量的非线性函数
y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（ x10,x20）附近用台劳级数展开为
0xxx
)0)(0()0()(0 ' xxxfxfxfyy
])201(
2
)20,10(
)20)(10(
21
)20,10(
2)101(
1
)20,10(
[
!2
1
)]202(
2
)20,10(
)101(
1
)20,10(
[)20,10()2,1(
2
2
2
2
2
2
xx
x
xxf
xxxx
xx
xxf
xx
x
xxf
xx
x
xxf
xx
x
xxf
xxfxxfy
0yyy
略去二级以上导数项，并令 Δy ＝ y-f(x10,x20)
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，
都是“小偏差点”。
20221011 xxxxxx
22112
2
2010
1
1
2010 ),(),( xKxKx
x
xxfx
x
xxfy
10≤y≤12 上线性化。求用线性化方程来计算当 x=5，
y=10时 z值所产生的误差。
解：由于研究的区域为
5≤x≤7,10≤y≤12,故选择工作点 x0=6,y0=11。
于是 z0=x0y0=6× 11=66.
求在点 x0=6,y0=11,z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点
x0,y0,z0处展开成泰勒级数，
并忽略其高阶项，则有
)()( 000 yybxxazz
110
0
0
yxza
yy xx
60
0
0
xyzb
yy xx
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11)
z=11x+6y-66
当 x=5,y=10时,z的精确值为
z=xy=5× 10=50
由线性化方程求得的 z值为
z=11x+6y=55+60-66=49
因此，误差为 50-49=1，表示成百分数 %2501?
例 2-4
试把非线性方程 z=xy 在区域 5≤x≤7,
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义设函数 f(t)满足 ① t<0时 f(t)=0
② t>0时,f(t)分段连续则 f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
⑵ 拉氏变换基本定理
线性定理
位移定理
延迟定理
终值定理
dtetf st0 )(
dtetftfLsF st 0 )()]([)(
)()()]()([ 22112211 sFasFatfatfaL
)()]([ asFtfeL at
)()]([ sFetfL s
)(lim)(lim
0
ssFtf
st
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
初值定理
微分定理
积分定理
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)0()(])([ fssFdt tdfL )0()0()(])([ '22
2 fsfsFs
dt
tfdL
sfs sFdttfL )0()(])([ 1 sfsfs sFdttfL )0()0()(])([
2
2
1
2
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsk
sA
sBsF
n
n
ps
a
ps
a
ps
asF
2
2
1
1)(
kpskk pssA
sBa
)]()(
)([
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
n
nps aps apsps asasF
3
3
21
21 ))(()(
11 )])(()(
)([][
2121 psps pspssA
sBasa
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
)()()()()()( 11111111 nnrrrrrr ps
a
ps aps bps bps bsF
1])()(
)([
1 ps
r
r pssA
sBb
111 ]})()(
)([{
psrr pssA
sB
ds
db
11 ]})()(
)([{
!
1
psrj
j
jr pssA
sB
ds
d
jb 1]})()( )([{)!1( 1 11
1
1 ps
r
r
r ps
sA
sB
ds
d
rb
其余各极点的留数确定方法与上同。
2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，
系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
)(
)(
sR
sC
零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数
式中 c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。
设 r(t)和 c(t)及其各阶系数在 t=0是的值均为零，
即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，
并令 R(s)＝ L[c(t)],R(s)=L[r(t)]，可得 s的代数方程为：
于是，由定义得系统传递函数为,
)()()()(
)()()()(
11
1
10
11
1
10
trbtr
dt
d
btr
dt
d
btr
dt
d
b
tcatc
dt
d
atc
dt
d
atc
dt
d
a
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
)(][)(][ 11101110 sRasbsbsbsCasasasa mmmmnnnn
设线性定常系统由下述 n阶线性常微分方程描述：
求例 2-2机械系统与电路系统的传递函数 和解：
--,机械系统传递函数
mmmm bsbsbsbsM 1110)( nnnn asasasasN 1110)(
)( )(sX sXrc )( )(sU sUrc
rccc XKXBXKKXBB 112121 )()(
)()()()()()( 112121 sXKsSXBsXKKsSXBB rrcc
)(
)(
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
sN
sM
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
nn
nn
mm
mm
2121
11 )()( )( KKsBB KsBsX sX
r
c
rrcc UCURUCCURR 112121
1)11()(
例 2-5
--,电系统的传递函数
性质 1 传递函数是复变量 s的有理真分式函数,m≤n,且所具有复变量函数的所有性质。
性质 2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
)(1)()()11()()(
1
1
21
21 sUCsSURsUCCsSURR rrcc
)11()(
1
)(
)(
21
21
1
1
CC
SRR
C
SR
sU
sU
r
c
G ( s )R ( s ) C ( s )
图 2 - 6
性质 3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
性质 4 如果 G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。
性质 5 如果系统的 G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，
与其它物理描述不同。
传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（ operational mode）
性质 6 传递函数与微分方程之间有关系。
)( )()( sR sCsG? 如果将 dtdS? 置换 微分方程传递函数?
性质 7 传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应 g(t)
脉冲响应（脉冲过渡函数） g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。
在例 1-1中，设当输入为 单位阶跃函数,即 时,求输出解,根据例 1得到的微分方程。
1)]([)( tLsR?
tt dgtrdtgtrsRsCLsCLtc 0011 )()()()()]()([)]([)(
FCFCKRKR 20,1.0,3,20 2121
)(1 tU )()(1 ttU )(2 tU
SsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR
1)()()()()(
122222111222121
]1)([
1)(
222111221212
SCRCRCRSCCRRSsU )14 6 2.0102.1( 124 SSS
)85.3 8 4 7)(166.2(2.1
10 4
SSS 85.3847166.2 S cS bSa
例 2-6
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
为传递函数的零点
为传递函数的极点
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
1)( 02sSsUa 0 0 0 0 4 3.1)85.3 8 4 7(2.1 10 166.24sSSb
485.3 8 4 74 1063.5)166.2(2.1 10 sSSc
tt eetU 85.3 8 4 741 6 6.22 1063.500043.11)(
)(
)(
)(
)()(
1
1*
j
n
j
i
m
i
PS
ZS
K
sN
sMsG
),,2,1( mi
iZ
jP
),,2,1( nj
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。
2.3.4典型元部件的传递函数
·电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
单个电位器用作为信号变换装置。
- 0,5- 1,3 3
- 1- 2 z 1z 2
图 2 - 7 传 递 函 数 的 零 极 点 图
)()( 1 tKtU
