方块图和信号流图 1
欢迎各位对,自动控制原理,课程的教学与安排提出宝贵建议！
Email:xhcheng@seu.edu.cn
Tel:025-3793922(o),025-3793857(h)
方块图和信号流图 2
第 5讲程向红方块图的简化 —— 等效变换信号流图及 Mason’s Gain Formula
方块图和信号流图 3
第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言?
2.2 时域数学模型?
2.3 频域数学模型?
2.4 信号流图与梅逊公式 ……
方块图和信号流图 4
2.4.4 方块图的简化 —— 等效变换为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经 串联、并联和反馈 三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。
R ( s ) C ( s )
（ a ）
)(1 sU )(2 sU
)(1 sG )(2 sG )(3 sGR ( s ) G ( s ) C ( s )
（ b ）
图 2-23 环节的串联连接
（ 1）串联连接方块图和信号流图 5
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。
)()()()()()()(
)()()()()()(
)()()(
12323
12122
11
sRsGsGsGsUsGsC
sRsGsGsUsGsU
sRsGsU
)()()()()( )( 321 sGsGsGsGsR sC
结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。
n
i
i sGsG
1
)()( n为相串联的环节数方块图和信号流图 6
（ a ）
R ( s )
C ( s ))(
2
sG
)(
1
sG
)(
3
sG
)(
2
sC
)(
1
sC
)(
3
sC?
G ( s )
（ b ）
R ( s ) C ( s )
图 2-24 环节的并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为 R(s)，
输出 C(s)为各环节的输出之和，即,
（ 2）并联连接方块图和信号流图 7
)()]()()([
)()()()()()(
)()()()(
321
321
321
sRsGsGsG
sRsGsRsGsRsG
sCsCsCsC
)()()()()( )( 321 sGsGsGsGsR sC
结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。
)()(
1
sGsG
n
i
i?
n为相并联的环节数，当然还有,-”的情况。
方块图和信号流图 8
（ a ）
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
＋
－
E ( s )
B ( s )
（ b ）
R ( s ) C ( s )
图 2-25 环节的反馈连接
（ 4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，
也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。
（ 3）反馈连接
方块图和信号流图 9
C ( s )R ( s )
＋
G ( s )
Q ( s )
比 较 点 前 移 比 较 点 后 移
C ( s )R ( s )
G ( s )
＋
Q ( s )
G ( s )
C ( s )R ( s )
＋
Q ( s )
C ( s )
R ( s )
G ( s )
G ( s )
＋
Q ( s )
)(])( )()([
)()()()(
sGsG sQsR
sQsGsRsC
)()()()(
)()]()([)(
sGsQsGsR
sGsQsRsC
图 2-26 比较点移动示意图放大?缩小 缩小?放大方块图和信号流图 10
R ( s )
分 支 点 （ 引 出 点 ） 前 移
G ( s )
C ( s )
C ( s )
分 支 点 （ 引 出 点 ） 后 移
R ( s ) G ( s )
R ( s )
C ( s )
C ( s )
R ( s )
G ( s )
G ( s )
C ( s )
R ( s )
G ( s )
R ( s )
)()()( sGsRsC? )(
)(
1)()()( sR
sGsGsRsR
左图 2-27 分支点移动示意图缩小?放大 放大?缩小右
方块图和信号流图 11
用方块图的等效法则，求图 2-28
所示系统的传递函数 C(s)/R(s)
R ( s ) A
- B
C ( s )
1
G
2
G 3G
4
G
1
H
2
H
-
C
解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点 A先前移至 B点，化简后，再后移至 C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。
例 2-10
图 2-28
方块图和信号流图 12
R ( s )
- - -
C ( s )
1
G
2
H
5
G
6
G
7
G
21
GH
5
1
G
25
5
6 1 HG
GG
21125
51
25
211
25
51
5
2161
61
7
1
1
1
1
1
1 GHGHG
GG
HG
GHG
HG
GG
G
GHGG
GG
G
反馈公式
4325 GGGG 串联和并联方块图和信号流图 13
21121432
4321
5121125
51
7
7
))((1
)(
11)()(
)(
GHGHGGGG
GGGG
GGGHGHG
GG
G
GsG
sR
sC
将例 2-9的系统方块图简化
-
-
-
C
B
①
②
③
④
A
（ c ） 方 块 图
1
1
sC
2
1
sC
)(
1
sU
C
)( sU
r
)(
1
sI
)( sU
c
)( sU
c
)(
2
sI
1
1
R
2
1
R
)(
1
sU
C
1 2
-
--
1R sC 2
1
1
R 2
1
RsC
1
1
sC 2
1
)( sU c)( sU
r
例 2-11
方块图和信号流图 14
-
-
sCR 11
1
sCR 22
1
sCR 21
)( sU r )( sU c
-
1 2
-
--
1R sC 2
1
1
R 2
1
RsC 1
1
sC 2
1
)( sU c)( sU
r
-
sCR 21
)1)(1(
1
2211 sCRsCR
)( sU r )( sU c
1)(
1
212211
2
2121 sCRCRCRsCCRR
)( sU r )( sU c
图 2-29 方块图的简化过程简化提示：
分支点 A后移
（放大 ->缩小）
比较点 B前移
（放大 ->缩小）
比较点 1和 2交换。
方块图和信号流图 15
2.4.5 信号流图和梅逊公式 （ S·J·Mason）
方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。 Mason提出的信号流图，
既能表示系统的特点，而且还能 直接 应用梅逊公式方便的 写出系统的传递函数 。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。
2.4.5.1信号流图中的术语因 果增 益节 点 输 出 方 向
2x1
x
1122 xax?
12a
方块图和信号流图 16
1
M i x e d n o d e
i n p u t n o d e
( s o u r c e )
1
x 2x 3
x 4x 5x
6
x
23
a
32
a
34
a
45
a
25
a
44
a
24
a
12
a
43
a
1
2 3 5
4
53
a
1x
5x
432,,xxx
输入节点：具有输出支路的节点。图中的
输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。
我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，
然后从该节点变量引出一条增益为 1的支路，即可形成一输出节点，如图中的
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 图中的
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路 。
方块图和信号流图 17
① 54321 xxxxx 145342312 paaaa?
② 5421 xxxx 2452412 paaa?
③ 521 xxx 32512 paa?
前向通路上各支路增益之乘积，称为 前向通路总增益 用 表示。kp
回路（闭通路）,起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。
232 xxx 2342 xxxx 343 xxx
32231 aaL? 3243242
aaaL?
43343 aaL?
2352 xxxx 23542 xxxxx
3543 xxxx
44 xx?
方块图和信号流图 18
回路中所有支路的乘积称为 回路增益,用 表示 。aL
不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。
在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。
例如：
232 xxx
和
44 xx?
2352 xxxx 和 44 xx?
方块图和信号流图 19
信号流图的性质
信号流图适用于线性系统。
支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。
在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。
具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。
对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。
方块图和信号流图 20
2.4.5.2 信号流图的绘制
⑴ 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。
⑵ 由系统方块图绘制。
s?
书上例 2-18，见书 P57 （第三版 P56）画出图 2-31(书图
2-43)所示系统方块图的信号流图。
H
R
B
C
1G
2G
3G
4G
1A
2A
图 2-31系统方块图解,① 用小圆圈表示各变量对应的节点
② 在比较点之后的引出点
21,AA
只需在比较点后设置 一个节点 便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。
③ 在比较点之前的引出点 B，需设置 两个节点,分别表示引出点和比较点，注意图中的 1e 2e
R 1
e
1
- H
2
G
1
G 3G
4
G
1
e 2e
例 2-12
方块图和信号流图 21
2.4.5.3 fo r m u lag a insM a s o n '
信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是,变化的只是其分子。
kkPP 1
式中,P 系统总增益（总传递函数）
:k 前向通路数
kP 第 k条前向通路总增益：
:?
)()3()2()1( )1(1 mm LLLL
)1(L
)2(L
)(mL
― 所有不同回路增益乘积之和；
― 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
― 所有任意 m个不接触回路增益乘积之和。
:k? 为不与第 k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值,称为第 k条前向通路特征式的余因子。
方块图和信号流图 22
求图 2-33（ a）所示信号流图的总增益 )()( 15 sXsX( a )
1
x
2
x
3
x
4
x
12
a
23
a 34a
42
a
32
a
45
a
44
a
5
x
35
a
52
a
( b )
1x 2x 3x 4x 5x
11453423121 aaaaP
( c )
2x1x 3
x
5x
4423523121 1 aaaaP
例 2-13
方块图和信号流图 23
( d )
互 不 接 触
( e )
( f )
( g )
互 不 接 触
2
x
2
x
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x
4
x
5
x
5
x
32231
aaL?
4234232
aaaL?
443
aL?
524534234
aaaaL?
5235235
aaaL?
44322312
aaaL?
4452352322
aaaaL?
( a )
1
x
2
x
3
x
4
x
12
a
23
a 34a
42
a
32
a
45
a
44
a
5
x
35
a
52
a
方块图和信号流图 24
44523523443223523523523423444234233223
3523124445342312
)(1
)1(
aaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaP
利用 Mason’s gain formula 求图 2-34所示系统的闭环传递函数。
1 2 3 4 5 6
R ( s ) C ( s )
1
G
2
G 3G 4G
6
G
5
G
7
G
1
H?
2
H?
解：前向通路有 3个
1654321 1543211 GGGGGP
165421 254612 GGGGP
1437213 16321 HGGGGP
图 2-34 某系统的信号流图例 2-14
方块图和信号流图 25
4个单独回路
141454 HGL
27222632 HGGL
2546326542 HGGGL
254324265432 HGGGGL
21 LL 与互不接触
2172412 HHGGGL?
21754254322546272111 HHGGGHGGGGHGGGHGGHG
方块图和信号流图 26
总结
从原理图画系统方块图的方法
方块图的简化基本连接方式串联、并联和反馈的简化比较点、分支点的移动
信号流图及 Mason’s Gain Formula
欢迎各位对,自动控制原理,课程的教学与安排提出宝贵建议！
Email:xhcheng@seu.edu.cn
Tel:025-3793922(o),025-3793857(h)
方块图和信号流图 2
第 5讲程向红方块图的简化 —— 等效变换信号流图及 Mason’s Gain Formula
方块图和信号流图 3
第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言?
2.2 时域数学模型?
2.3 频域数学模型?
2.4 信号流图与梅逊公式 ……
方块图和信号流图 4
2.4.4 方块图的简化 —— 等效变换为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经 串联、并联和反馈 三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。
R ( s ) C ( s )
（ a ）
)(1 sU )(2 sU
)(1 sG )(2 sG )(3 sGR ( s ) G ( s ) C ( s )
（ b ）
图 2-23 环节的串联连接
（ 1）串联连接方块图和信号流图 5
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。
)()()()()()()(
)()()()()()(
)()()(
12323
12122
11
sRsGsGsGsUsGsC
sRsGsGsUsGsU
sRsGsU
)()()()()( )( 321 sGsGsGsGsR sC
结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。
n
i
i sGsG
1
)()( n为相串联的环节数方块图和信号流图 6
（ a ）
R ( s )
C ( s ))(
2
sG
)(
1
sG
)(
3
sG
)(
2
sC
)(
1
sC
)(
3
sC?
G ( s )
（ b ）
R ( s ) C ( s )
图 2-24 环节的并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为 R(s)，
输出 C(s)为各环节的输出之和，即,
（ 2）并联连接方块图和信号流图 7
)()]()()([
)()()()()()(
)()()()(
321
321
321
sRsGsGsG
sRsGsRsGsRsG
sCsCsCsC
)()()()()( )( 321 sGsGsGsGsR sC
结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。
)()(
1
sGsG
n
i
i?
n为相并联的环节数，当然还有,-”的情况。
方块图和信号流图 8
（ a ）
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
＋
－
E ( s )
B ( s )
（ b ）
R ( s ) C ( s )
图 2-25 环节的反馈连接
（ 4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，
也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。
（ 3）反馈连接
方块图和信号流图 9
C ( s )R ( s )
＋
G ( s )
Q ( s )
比 较 点 前 移 比 较 点 后 移
C ( s )R ( s )
G ( s )
＋
Q ( s )
G ( s )
C ( s )R ( s )
＋
Q ( s )
C ( s )
R ( s )
G ( s )
G ( s )
＋
Q ( s )
)(])( )()([
)()()()(
sGsG sQsR
sQsGsRsC
)()()()(
)()]()([)(
sGsQsGsR
sGsQsRsC
图 2-26 比较点移动示意图放大?缩小 缩小?放大方块图和信号流图 10
R ( s )
分 支 点 （ 引 出 点 ） 前 移
G ( s )
C ( s )
C ( s )
分 支 点 （ 引 出 点 ） 后 移
R ( s ) G ( s )
R ( s )
C ( s )
C ( s )
R ( s )
G ( s )
G ( s )
C ( s )
R ( s )
G ( s )
R ( s )
)()()( sGsRsC? )(
)(
1)()()( sR
sGsGsRsR
左图 2-27 分支点移动示意图缩小?放大 放大?缩小右
方块图和信号流图 11
用方块图的等效法则，求图 2-28
所示系统的传递函数 C(s)/R(s)
R ( s ) A
- B
C ( s )
1
G
2
G 3G
4
G
1
H
2
H
-
C
解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点 A先前移至 B点，化简后，再后移至 C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。
例 2-10
图 2-28
方块图和信号流图 12
R ( s )
- - -
C ( s )
1
G
2
H
5
G
6
G
7
G
21
GH
5
1
G
25
5
6 1 HG
GG
21125
51
25
211
25
51
5
2161
61
7
1
1
1
1
1
1 GHGHG
GG
HG
GHG
HG
GG
G
GHGG
GG
G
反馈公式
4325 GGGG 串联和并联方块图和信号流图 13
21121432
4321
5121125
51
7
7
))((1
)(
11)()(
)(
GHGHGGGG
GGGG
GGGHGHG
GG
G
GsG
sR
sC
将例 2-9的系统方块图简化
-
-
-
C
B
①
②
③
④
A
（ c ） 方 块 图
1
1
sC
2
1
sC
)(
1
sU
C
)( sU
r
)(
1
sI
)( sU
c
)( sU
c
)(
2
sI
1
1
R
2
1
R
)(
1
sU
C
1 2
-
--
1R sC 2
1
1
R 2
1
RsC
1
1
sC 2
1
)( sU c)( sU
r
例 2-11
方块图和信号流图 14
-
-
sCR 11
1
sCR 22
1
sCR 21
)( sU r )( sU c
-
1 2
-
--
1R sC 2
1
1
R 2
1
RsC 1
1
sC 2
1
)( sU c)( sU
r
-
sCR 21
)1)(1(
1
2211 sCRsCR
)( sU r )( sU c
1)(
1
212211
2
2121 sCRCRCRsCCRR
)( sU r )( sU c
图 2-29 方块图的简化过程简化提示：
分支点 A后移
（放大 ->缩小）
比较点 B前移
（放大 ->缩小）
比较点 1和 2交换。
方块图和信号流图 15
2.4.5 信号流图和梅逊公式 （ S·J·Mason）
方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。 Mason提出的信号流图，
既能表示系统的特点，而且还能 直接 应用梅逊公式方便的 写出系统的传递函数 。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。
2.4.5.1信号流图中的术语因 果增 益节 点 输 出 方 向
2x1
x
1122 xax?
12a
方块图和信号流图 16
1
M i x e d n o d e
i n p u t n o d e
( s o u r c e )
1
x 2x 3
x 4x 5x
6
x
23
a
32
a
34
a
45
a
25
a
44
a
24
a
12
a
43
a
1
2 3 5
4
53
a
1x
5x
432,,xxx
输入节点：具有输出支路的节点。图中的
输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。
我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，
然后从该节点变量引出一条增益为 1的支路，即可形成一输出节点，如图中的
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 图中的
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路 。
方块图和信号流图 17
① 54321 xxxxx 145342312 paaaa?
② 5421 xxxx 2452412 paaa?
③ 521 xxx 32512 paa?
前向通路上各支路增益之乘积，称为 前向通路总增益 用 表示。kp
回路（闭通路）,起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。
232 xxx 2342 xxxx 343 xxx
32231 aaL? 3243242
aaaL?
43343 aaL?
2352 xxxx 23542 xxxxx
3543 xxxx
44 xx?
方块图和信号流图 18
回路中所有支路的乘积称为 回路增益,用 表示 。aL
不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。
在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。
例如：
232 xxx
和
44 xx?
2352 xxxx 和 44 xx?
方块图和信号流图 19
信号流图的性质
信号流图适用于线性系统。
支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。
在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。
具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。
对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。
方块图和信号流图 20
2.4.5.2 信号流图的绘制
⑴ 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。
⑵ 由系统方块图绘制。
s?
书上例 2-18，见书 P57 （第三版 P56）画出图 2-31(书图
2-43)所示系统方块图的信号流图。
H
R
B
C
1G
2G
3G
4G
1A
2A
图 2-31系统方块图解,① 用小圆圈表示各变量对应的节点
② 在比较点之后的引出点
21,AA
只需在比较点后设置 一个节点 便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。
③ 在比较点之前的引出点 B，需设置 两个节点,分别表示引出点和比较点，注意图中的 1e 2e
R 1
e
1
- H
2
G
1
G 3G
4
G
1
e 2e
例 2-12
方块图和信号流图 21
2.4.5.3 fo r m u lag a insM a s o n '
信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是,变化的只是其分子。
kkPP 1
式中,P 系统总增益（总传递函数）
:k 前向通路数
kP 第 k条前向通路总增益：
:?
)()3()2()1( )1(1 mm LLLL
)1(L
)2(L
)(mL
― 所有不同回路增益乘积之和；
― 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
― 所有任意 m个不接触回路增益乘积之和。
:k? 为不与第 k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值,称为第 k条前向通路特征式的余因子。
方块图和信号流图 22
求图 2-33（ a）所示信号流图的总增益 )()( 15 sXsX( a )
1
x
2
x
3
x
4
x
12
a
23
a 34a
42
a
32
a
45
a
44
a
5
x
35
a
52
a
( b )
1x 2x 3x 4x 5x
11453423121 aaaaP
( c )
2x1x 3
x
5x
4423523121 1 aaaaP
例 2-13
方块图和信号流图 23
( d )
互 不 接 触
( e )
( f )
( g )
互 不 接 触
2
x
2
x
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x
4
x
5
x
5
x
32231
aaL?
4234232
aaaL?
443
aL?
524534234
aaaaL?
5235235
aaaL?
44322312
aaaL?
4452352322
aaaaL?
( a )
1
x
2
x
3
x
4
x
12
a
23
a 34a
42
a
32
a
45
a
44
a
5
x
35
a
52
a
方块图和信号流图 24
44523523443223523523523423444234233223
3523124445342312
)(1
)1(
aaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaP
利用 Mason’s gain formula 求图 2-34所示系统的闭环传递函数。
1 2 3 4 5 6
R ( s ) C ( s )
1
G
2
G 3G 4G
6
G
5
G
7
G
1
H?
2
H?
解：前向通路有 3个
1654321 1543211 GGGGGP
165421 254612 GGGGP
1437213 16321 HGGGGP
图 2-34 某系统的信号流图例 2-14
方块图和信号流图 25
4个单独回路
141454 HGL
27222632 HGGL
2546326542 HGGGL
254324265432 HGGGGL
21 LL 与互不接触
2172412 HHGGGL?
21754254322546272111 HHGGGHGGGGHGGGHGGHG
方块图和信号流图 26
总结
从原理图画系统方块图的方法
方块图的简化基本连接方式串联、并联和反馈的简化比较点、分支点的移动
信号流图及 Mason’s Gain Formula
