1
第 14讲程向红奈奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度控制系统的校正
2
5.3.5 极坐标图的一般形状
Re
Im
0
型系统0
型系统1
型系统2
0
0
0
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jjjKjG
n
m
mn?
0 0型系统：极坐标图的起点
0 是一个位于正实轴的有限值
极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1 1型系统,90 的相角是
j
极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
在总的相角中 项产生的
0
3
2
在总相角中180 的相角是由
2)(?j 项产生的
2型系统：
Re
0
1 mn
2 mn
3 mn
图 5-34b高频区域内的极坐标图如果 )(?jG 的分母多项式阶次
)(?jG 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点
时,)(?jG 轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当
4
5.5奈奎斯特稳定判据
(Nyquist Stability Criterion)
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
图 3-35 闭环系统闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)(
sGsH
sG
sR
sC
为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1 sGsH
的全部根，都必须位于左半 s平面。
)()( sGsH
的极点和零点可能位于右半 s平面，
但如果 闭环传递函数的所有极点均位于 左半 s平面，则 系统 是稳定的。
虽然开环传递函数充要条件
5
5.5.2影射定理设 )(sF 为两个 s的多项式之比，并设 P为 )(sF 的极点数,Z为
)(sF 的零点数，它们位于 s平面上的某一封闭曲线内，
)(sF 的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到
)(sF 平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s顺时针通过封闭曲线时
)(sF 平面上，相应的轨迹顺时针包围 )(sF 原点的总次数 R等于 Z-P。
且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在
6
若 R为正数，表示 )(sF 的零点数超过了极点数；
)(sF 的极点数超过了零点数。
)()( sGsH 很容易确定
)()(1)( sGsHsF 的 P数。因此，如果,)(sF
的轨迹图中确定了 R，则 s平面上 封闭曲线内的零点数若 R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。
)(
)()()(
sA
sBsGsH?
)(
)()()()(1)(
sA
sBsAsGsHsF
两者的极点数相同
7
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令 s平面上的封闭曲线包围整个右半 s平面。这时的封闭曲线由整个
j 轴 (从
到
该封闭曲线为 奈奎斯特轨迹 (轨迹的方向为顺时针方向 )。
因为 奈奎斯特轨迹包围 了整个右半 s平面，所以它包围了
)和右半 s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成
)()(1 sGsH? 的所有正实部的极点和零点 。
)()(1 sGsH?
则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。
如果 在右半 s平面不存在零点，
8
平面s
j
0
图 5-37 s平面内的封闭曲线
Re
Im
平面GH?1
)()(1 jHjG?
10
Re
Im
0
)()(1 jHjG? )()( jHjG
1?
平面GH
曲线对原点的包围，恰等于
)()( jGjH
)()(1 jGjH?
轨迹对 -1+j0点的包围
9
这一判据可表示为,PRZ
Z 函数 )()(1)( sGsHsF 在右半 s平面内的零点数
R 对 -1+j0点顺时针包围的次数
P 函数 )()( sGsH
如果 P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 0?Z 或
PR,这意味着必须反时针方向包围 -1+j0点 P次。
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半 s平面内的极点数如果 函数 )()( sGsH 在右半 s平面内无任何极点，则 RZ?
因此，为了保证系统稳定，
)()( jHjG
的轨迹必须不包围 -1+j0点。
10
5.5.6 )()( sHsG 含有位于?j 上极点和 /或零点的特殊情况平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
'''
,,FED
F
E
D
'
A
'
B
'
C
0?
0?
变量
s
沿着?j 轴从j 运动到?0j
，从?0j 到?0j,变量
s
沿着半径为
1 ）的半圆运动，再沿着正?j 轴从?0j
运动到?j（
)1()()( Tss
KsHsG
11
对于包含因子?,3,2,1s 的开环传递函数 )()( sGsH
，当变量 s沿半径为? ( 1 )的半圆运动时,)()( sGsH
的图形中将有? 个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，
考虑开环传递函数：
)1()()( 2 Tss
KsHsG
jes
j
es e
KsHsG
j
22)()(lim?
当 s平面上的
9090? 时,)()( sGsH 的相角 180180
12
平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
F
E
D
0?
0?
1?
在右半 s平面内没有极点，并且对所有的正 K值，轨迹包围
01 j 点两次。所以函数 )()(1 sGsH?
在右半 s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
13
如果在 s平面内，奈奎斯特轨迹包含 )()(1 sGsH?
和 P个极点，并且当 s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
)()(1 sGsH? 通过的任何极点或零点，则在 )()( sGsH
平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围 01 j 点
PZR 次（负 R值表示反时针包围 01 j 点）。
5.6稳定性分析的 Z个零点
a)不包围 -1+j0 如果这时 )()( sGsH
在右半 s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
点。如果反时针方向包围的次数，等于
)()( sGsH 在右半 s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
点。系统是不稳定的。c)顺时针包围 -1+j0
b)反时针包围 -1+j0
14
例 5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
)1)(1()()( 21 sTsT
KsGsH
)()( jGjH 的轨迹如图 5-41所示。
)()( sGsH 在右半 s平面内没有任何极点，并且
)()( jGjH 的轨迹 不包围 01 j
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
15
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-1 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
- 0,6
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
0,6
图 5-41 例 5-3中的 )()( jGjH 极坐标图
16
例 5-4 设系统具有下列开环传递函数：
)1)(1()()( 21 sTsTs
KsGsH
试确定以下两种情况下，系统的稳定性,?增益 K较小?增益 K较大。
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
0
0
0
Z
R
P?
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
2
2
0
Z
R
P
jjjj 00
小 K值时是稳定的 大 K值时是不稳定的
17
例 5-5 设开环传递函数为：
)1(
)1()()(
12
2
sTs
sTKsGsH
该系统的闭环稳定性取决于
1T
和 2T
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
平面GH
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
点矢量穿过 01)()( jjHjG
21 TT? )()( sGsH
的轨迹不包围
01 j
系统是稳定的
21 TT? )()( sGsH
的轨迹通过 01 j
点，这表明闭环极点位于轴上
j
18
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
21 TT? )()( sGsH
的轨迹顺时针方向包围 01 j
点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半 s平面，系统是不稳定的。
19
始开
20
例 5-6 设一个闭环系统具有下列
)1()()( Tss
KsHsG
试确定该闭环系统的稳定性。
平面GH
Re
Im
1?
0?
0?
开环传递函数：
)()( jGjH 极坐标图图 5-44
解
)1( Tjj
K
))(1( 2Tj
K
))(1(
)1(
2Tj
TjK
2)(1
)1(
Tj
TjK
a rc tg 90
0?
0,
0? 0,
2)(1
)1(
Tj
TjK
ar c tg90
)1( Tj
)1( Tj
)1( Tj
21
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点
Ts
1?
1?P
图 5-44中的奈奎斯特图表明，
)()( sGsH 轨迹顺时针方向包围 -1+0点 一次 1?R
2 PRZ
这表明闭环系统有两个极点在右半 s平面，
因此系统是不稳定的。
平面GH
Re
Im
1?
0?
0?
)()( jGjH 极坐标图图 5-44
22
)1()()( Tjj
KjHjG
)1( Tj )1( Tjj
K
)1( Tj
))(1( 2Tj
K
))(1( )1( 2Tj TjK
2)(1
)1(
Tj
TjK
a r c tg 900? 0,
0? 0,
2)(1
)1(
Tj
TjK
ar c tg90
)1( Tj
23
例 5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。
1,)1( )3()()( Kss sKsHsG
图 5-45 )()( jGjH 极坐标图平面GH
Re
Im
1?
K?
)1(
)3(4
)1(
33
2
2
2
2
jK
j
jjK
jKK )1( )3()1( 4 2
2
2?
3
KKjGH )13( 4)3(
jKjGH 4)0(
jKjGH 4)0(
00)( jjGH
00)( jjGH
)1(
3)()(
jj
jKjHjG
)1)(1(
)1)(3(
jjj
jjK
解
0?
K4
0?
渐近线
24
- 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
10
15
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
1?
25
- 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
40
60
80
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
渐近线
26
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
50
100
150
0 d B
渐近线
27
1,)1( )3()()( Kss sKsHsG
图 5-45 )()( jGjH 极坐标图
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点 1?s
1?P 因此 开环系统是不稳定的
)()( sGsH
轨迹逆时针方向包围 -1+j0一次
1R
0 PRZ
说明 )()(1 sGsH?
没有零点位于右半 s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。
图 5-45表明平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
K?
K4?
3
继续例 5-7
28
例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
)1)(1()( 32221 sTsTsTT
KsG 式中
31 2,,TTTK 和均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
31 2,TTT 和 之间满足什么关系？
解,频率特性
)(
2
3
2
2
22
21 ])(1][)()1[(
)(
je
TTTT
KjG
32
21
2
1)( ar c t gTTT
Tar c t g?
0)0( jKjG 00)( jjG
)1](1)([)( 32221 jTjTjTT
KjG
29
-1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
2,3,2,1 321 KTTT
30
-1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
2,3,2,1 321 KTTT
31
)1](1)([)( 32221 jTjTjTT
KjG
1)())(()( 32232213321 jTTjTTTTjTTT
K
jTTTTTTTT
K
)()(1 2321322312
令虚部为零即可 0232132TTTTT
321
32
TTT
TT
c
与负实轴相交于
312
32
312
2
312 )(1)(1
)(
TTT
TT
TTT
K
TTT
KjG
c
c?
1
)(1
31
32
31
TT
TTTT
K
1)(
31
32
31
K
TT
TTTT
展开？ 与负实轴的交点
32
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-4
-2
0
2
4
6
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
8,3,2,1 321 KTTT
33
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-4
-2
0
2
4
6
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
8,3,2,1 321 KTTT
34
5.7.1相位裕度和增益裕度
Re
Im
0
1?
平面G
大时K
小时K
图 5-46
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jjjKjG
n
m
mn?
的极坐标图对于大的 K值，系统是不稳定的。
当增益减小到一定值时,)(?jG
的轨迹通过 -1+j0点。
对于小的 K值，系统是稳定的。
)(?jG 的 轨迹对 -1+j0点点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量 (对条件稳定系统不适用 )。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
)(?jG
5.7相对稳定性
35
相位裕度、相角裕度 (Phase Margin)?
设系统的截止频率 (Gain cross-over frequency)为
c?
1)()()( ccc jHjGjA
定义相角裕度为
)()(180 cc jHjG
相角裕度的含义是
度，则系统将变为临界稳定。
对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后当 0 时，相位裕量为正值；
0
为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。
在极坐标图上的临界点为 0分贝和180
时，相位裕度为负值。当
36
Log
Log
Log
Log
90
270
180
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
Stable System Unstable System
0
dB
90
270
180
0
dB
c? x?
c?
x?
37
增益裕度、幅值裕度 (Gain Margin) h
设系统的相位穿越频率 (Phase cross-over frequency)
)12()()()( kjHjG xxx?,1,0k
定义幅值裕度为
)()(
1
xx jHjG
h
幅值裕度 h
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h
倍，则系统将变为临界稳定状态。
)()(l o g20 xx jHjGh
的含义是，
若以分贝表示，则有当增益裕度以分贝表示时，如果 1?h 0)(?dBh 增益裕度为正值；
1?h,则 0)(?dBh
正增益裕度 (以分贝表示 )表示系统是稳定的；负增益裕度 (以分贝表示 )表示系统是不稳定的。
如果 增益裕度为负值。
x?
38
Log
Log
Log
Log
90
270
180
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
Stable System Unstable System
0
dB
90
270
180
0
dB
c? x?
c?
x?
39
Re
Im
h
1
PlaneG
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
-1
1
Re
Im
h
1
PlaneG
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
-1
1
Stable System Unstable System
)(?jG
)(?jG
40
0)(?dBh
0判断系统稳定的又一方法
)()(180 cc jHjG
)()(l o g20 xx jHjGh
41
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，
增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为多少？
42
只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。
为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。
6030 与增益裕度应当大于 6分贝。
5.7.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对 -1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。
对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。
为了得到满意的性能，相位裕度应当在 之间，
43
例 5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为
)05.01)(2.01()( sss
KsG
K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益 K的调整，使系统的增益裕度 20logh=20dB，相位裕度 40?
解,?
180)()()( xxx jHjG
18005.02.090)( xxx a r c t ga r c t g
即 9005.02.0 xx a r c t ga r c t g
21
21
21 1)(
tgtg
tgtgtg
xx
xx
05.02.01
05.02.0? 005.02.01 xx 10x?
相位穿越频率
x?
增益裕度
44
)()(l o g20)( xx jHjGdBh
)05.01)(2.01(
1l o g20
xxx jjj
22 )1005.0(1l o g20)102.0(1l o g2010l o g20
dB281720
在
x?
处的开环对数幅值为
45
根据 K=1时的开环传递函数
c?
1)()(?cc jHjG
)05.01)(2.01(
1)(
ccc
c jjjjG
1
)0 0 2 5.01)(04.01(
1
22
c
cc
1c
10405.02.090)( ccc a r c t ga r c t g
761 0 41 8 0)(1 8 0 c
相位裕度 增益穿越频率 截止频率
46
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
10
0
10
1
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
)(dBh
c?
1?K 5.2?K 2.5?K
cK?
)(dBh
)(dBh
47
由题意知 10?h
1.0)(?xjG?
1.0
)0 0 2 5.01)(04.01( 22x
xx
K
5.225.0141101.0K
验证是否满足相位裕度的要求。
根据 40? 的要求，则得：
1404018005.02.090)( ccc a r c t ga r c t g
5005.02.0 cc a r c t ga r c t g 2.105.02.01 05.02.0
cc
cc
4?c?
1
)0025.01)(04.01( 22c
cc
K
2.502.128.14K
不难看出,5.2?K 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。
48
例 5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图 5-50所示 (最小相位系统 )。写出系统的开环传递函数?判别系统的稳定性?如果系统是稳定的，则求 ttr?)( 时的稳态误差。
解,?由图得
)
5
1)(
01.0
1(
)
1.0
1(
)(
jjj
jK
jG
看对数幅频特性
49
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 2 0
0
20
40
60
80
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-40dB/dec
0.01 0.1 1
5
rad/s
dB
)(?L
)
5
1)(
01.0
1(
)
1.0
1(
)(
jjj
jK
jG
50
1lg20)51(1lg20)01.0 1(1lg20)1.0 1(1lg20lg20 222K
11100 10K
10?K )2.01)(1 0 01(
)101(10)(
sss
ssG
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度
是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 1?
c?
在
c? 处
4.1 065101.0 11.0 190)( a r c t ga r c t ga r c t gc
则得 6.73)(180
c
单位斜坡输入时，系统的稳态误差为 1.0
10
11
vss K
e
>>0 系统稳定
51
5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
在图 3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。
)2()(
2
n
n
sssG
)2()(
2
n
n
jjjG
书上例 5-13p203
设截止频率
1
4
)(
222
2
ncc
n
cjG
c? 则有
52
2222 4 nncc
42224 4 ncnc
2
4)4(4 4222222 nnn
c
)214(( 2422 nc 24 214( nc
n
a r ct g 290)(
根据相位裕度的定义 ncc a r ct g 290180)(180
2
21490 24 a r ct g
24 214
2
a r ct g
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
1
4
)(
222
2
ncc
n
cjG
53
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
图 5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系
54
相位裕度与阻尼比直接相关。图 5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：
100
因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。
55
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
221 nr
21 nd
对于小的阻尼比，
谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。
56
的值越小
rM 和 pM 的值越大。
r? rM 和 pM 与
之间的函数关系如图 5-52
所示。可以看出，当
4.0 时,rM 和 pM
之间存在相近的关系。对于很小的
值 rM 将变得很大，而
pM 却不会超过 1。
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
57
5.7.4截止频率与带宽 (Cutoff frequency and bandwidth)
dB )(?L
0
带 宽
b
3
3?
图 5-53 截止频率与系统带宽参看图 5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下 3分贝时，对应的频率称为截止频率。
dBjR jCjR jC 3)0( )0(lg20)( )(lg20
b
对于的
dBjR jC 0)0( )0(lg20? 系统
dBjR jC 3)( )(lg20
b
58
闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。
闭环系统的幅值不低于 -3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。
因此，带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。对于给定的 n?,上升时间随着阻尼比
的增加而增大。另一方面，带宽随着?
的增加而减小。因此，上升时间与带宽之间成反比关系。
59
带宽指标取决于下列因素：
1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。
因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。
60
一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。
二阶系统，闭环传递函数为
22
2
2)()(
)(
nn
n
ssssR
sC
22
2
2
)2()1(
1)(
nn
j
因为
1)0( j,由带宽的定义得
2)2()1( 222
2
n
b
n
b
于是 1)21(21 222 nb
61
第六章 控制系统的校正在前面几章中。讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。
本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，
去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
62
谢谢！
结束
第 14讲程向红奈奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度控制系统的校正
2
5.3.5 极坐标图的一般形状
Re
Im
0
型系统0
型系统1
型系统2
0
0
0
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jjjKjG
n
m
mn?
0 0型系统：极坐标图的起点
0 是一个位于正实轴的有限值
极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1 1型系统,90 的相角是
j
极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
在总的相角中 项产生的
0
3
2
在总相角中180 的相角是由
2)(?j 项产生的
2型系统：
Re
0
1 mn
2 mn
3 mn
图 5-34b高频区域内的极坐标图如果 )(?jG 的分母多项式阶次
)(?jG 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点
时,)(?jG 轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当
4
5.5奈奎斯特稳定判据
(Nyquist Stability Criterion)
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
图 3-35 闭环系统闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)(
sGsH
sG
sR
sC
为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1 sGsH
的全部根，都必须位于左半 s平面。
)()( sGsH
的极点和零点可能位于右半 s平面，
但如果 闭环传递函数的所有极点均位于 左半 s平面，则 系统 是稳定的。
虽然开环传递函数充要条件
5
5.5.2影射定理设 )(sF 为两个 s的多项式之比，并设 P为 )(sF 的极点数,Z为
)(sF 的零点数，它们位于 s平面上的某一封闭曲线内，
)(sF 的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到
)(sF 平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s顺时针通过封闭曲线时
)(sF 平面上，相应的轨迹顺时针包围 )(sF 原点的总次数 R等于 Z-P。
且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在
6
若 R为正数，表示 )(sF 的零点数超过了极点数；
)(sF 的极点数超过了零点数。
)()( sGsH 很容易确定
)()(1)( sGsHsF 的 P数。因此，如果,)(sF
的轨迹图中确定了 R，则 s平面上 封闭曲线内的零点数若 R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。
)(
)()()(
sA
sBsGsH?
)(
)()()()(1)(
sA
sBsAsGsHsF
两者的极点数相同
7
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令 s平面上的封闭曲线包围整个右半 s平面。这时的封闭曲线由整个
j 轴 (从
到
该封闭曲线为 奈奎斯特轨迹 (轨迹的方向为顺时针方向 )。
因为 奈奎斯特轨迹包围 了整个右半 s平面，所以它包围了
)和右半 s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成
)()(1 sGsH? 的所有正实部的极点和零点 。
)()(1 sGsH?
则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。
如果 在右半 s平面不存在零点，
8
平面s
j
0
图 5-37 s平面内的封闭曲线
Re
Im
平面GH?1
)()(1 jHjG?
10
Re
Im
0
)()(1 jHjG? )()( jHjG
1?
平面GH
曲线对原点的包围，恰等于
)()( jGjH
)()(1 jGjH?
轨迹对 -1+j0点的包围
9
这一判据可表示为,PRZ
Z 函数 )()(1)( sGsHsF 在右半 s平面内的零点数
R 对 -1+j0点顺时针包围的次数
P 函数 )()( sGsH
如果 P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 0?Z 或
PR,这意味着必须反时针方向包围 -1+j0点 P次。
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半 s平面内的极点数如果 函数 )()( sGsH 在右半 s平面内无任何极点，则 RZ?
因此，为了保证系统稳定，
)()( jHjG
的轨迹必须不包围 -1+j0点。
10
5.5.6 )()( sHsG 含有位于?j 上极点和 /或零点的特殊情况平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
'''
,,FED
F
E
D
'
A
'
B
'
C
0?
0?
变量
s
沿着?j 轴从j 运动到?0j
，从?0j 到?0j,变量
s
沿着半径为
1 ）的半圆运动，再沿着正?j 轴从?0j
运动到?j（
)1()()( Tss
KsHsG
11
对于包含因子?,3,2,1s 的开环传递函数 )()( sGsH
，当变量 s沿半径为? ( 1 )的半圆运动时,)()( sGsH
的图形中将有? 个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，
考虑开环传递函数：
)1()()( 2 Tss
KsHsG
jes
j
es e
KsHsG
j
22)()(lim?
当 s平面上的
9090? 时,)()( sGsH 的相角 180180
12
平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
F
E
D
0?
0?
1?
在右半 s平面内没有极点，并且对所有的正 K值，轨迹包围
01 j 点两次。所以函数 )()(1 sGsH?
在右半 s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
13
如果在 s平面内，奈奎斯特轨迹包含 )()(1 sGsH?
和 P个极点，并且当 s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
)()(1 sGsH? 通过的任何极点或零点，则在 )()( sGsH
平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围 01 j 点
PZR 次（负 R值表示反时针包围 01 j 点）。
5.6稳定性分析的 Z个零点
a)不包围 -1+j0 如果这时 )()( sGsH
在右半 s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
点。如果反时针方向包围的次数，等于
)()( sGsH 在右半 s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
点。系统是不稳定的。c)顺时针包围 -1+j0
b)反时针包围 -1+j0
14
例 5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
)1)(1()()( 21 sTsT
KsGsH
)()( jGjH 的轨迹如图 5-41所示。
)()( sGsH 在右半 s平面内没有任何极点，并且
)()( jGjH 的轨迹 不包围 01 j
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
15
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-1 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
- 0,6
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
0,6
图 5-41 例 5-3中的 )()( jGjH 极坐标图
16
例 5-4 设系统具有下列开环传递函数：
)1)(1()()( 21 sTsTs
KsGsH
试确定以下两种情况下，系统的稳定性,?增益 K较小?增益 K较大。
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
0
0
0
Z
R
P?
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
2
2
0
Z
R
P
jjjj 00
小 K值时是稳定的 大 K值时是不稳定的
17
例 5-5 设开环传递函数为：
)1(
)1()()(
12
2
sTs
sTKsGsH
该系统的闭环稳定性取决于
1T
和 2T
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
平面GH
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
点矢量穿过 01)()( jjHjG
21 TT? )()( sGsH
的轨迹不包围
01 j
系统是稳定的
21 TT? )()( sGsH
的轨迹通过 01 j
点，这表明闭环极点位于轴上
j
18
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
21 TT? )()( sGsH
的轨迹顺时针方向包围 01 j
点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半 s平面，系统是不稳定的。
19
始开
20
例 5-6 设一个闭环系统具有下列
)1()()( Tss
KsHsG
试确定该闭环系统的稳定性。
平面GH
Re
Im
1?
0?
0?
开环传递函数：
)()( jGjH 极坐标图图 5-44
解
)1( Tjj
K
))(1( 2Tj
K
))(1(
)1(
2Tj
TjK
2)(1
)1(
Tj
TjK
a rc tg 90
0?
0,
0? 0,
2)(1
)1(
Tj
TjK
ar c tg90
)1( Tj
)1( Tj
)1( Tj
21
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点
Ts
1?
1?P
图 5-44中的奈奎斯特图表明，
)()( sGsH 轨迹顺时针方向包围 -1+0点 一次 1?R
2 PRZ
这表明闭环系统有两个极点在右半 s平面，
因此系统是不稳定的。
平面GH
Re
Im
1?
0?
0?
)()( jGjH 极坐标图图 5-44
22
)1()()( Tjj
KjHjG
)1( Tj )1( Tjj
K
)1( Tj
))(1( 2Tj
K
))(1( )1( 2Tj TjK
2)(1
)1(
Tj
TjK
a r c tg 900? 0,
0? 0,
2)(1
)1(
Tj
TjK
ar c tg90
)1( Tj
23
例 5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。
1,)1( )3()()( Kss sKsHsG
图 5-45 )()( jGjH 极坐标图平面GH
Re
Im
1?
K?
)1(
)3(4
)1(
33
2
2
2
2
jK
j
jjK
jKK )1( )3()1( 4 2
2
2?
3
KKjGH )13( 4)3(
jKjGH 4)0(
jKjGH 4)0(
00)( jjGH
00)( jjGH
)1(
3)()(
jj
jKjHjG
)1)(1(
)1)(3(
jjj
jjK
解
0?
K4
0?
渐近线
24
- 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
10
15
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
1?
25
- 1 0 -8 -6 -4 -2 0 2
- 8 0
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
40
60
80
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
渐近线
26
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
50
100
150
0 d B
渐近线
27
1,)1( )3()()( Kss sKsHsG
图 5-45 )()( jGjH 极坐标图
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点 1?s
1?P 因此 开环系统是不稳定的
)()( sGsH
轨迹逆时针方向包围 -1+j0一次
1R
0 PRZ
说明 )()(1 sGsH?
没有零点位于右半 s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。
图 5-45表明平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
K?
K4?
3
继续例 5-7
28
例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
)1)(1()( 32221 sTsTsTT
KsG 式中
31 2,,TTTK 和均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
31 2,TTT 和 之间满足什么关系？
解,频率特性
)(
2
3
2
2
22
21 ])(1][)()1[(
)(
je
TTTT
KjG
32
21
2
1)( ar c t gTTT
Tar c t g?
0)0( jKjG 00)( jjG
)1](1)([)( 32221 jTjTjTT
KjG
29
-1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
2,3,2,1 321 KTTT
30
-1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
2,3,2,1 321 KTTT
31
)1](1)([)( 32221 jTjTjTT
KjG
1)())(()( 32232213321 jTTjTTTTjTTT
K
jTTTTTTTT
K
)()(1 2321322312
令虚部为零即可 0232132TTTTT
321
32
TTT
TT
c
与负实轴相交于
312
32
312
2
312 )(1)(1
)(
TTT
TT
TTT
K
TTT
KjG
c
c?
1
)(1
31
32
31
TT
TTTT
K
1)(
31
32
31
K
TT
TTTT
展开？ 与负实轴的交点
32
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-4
-2
0
2
4
6
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
8,3,2,1 321 KTTT
33
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-4
-2
0
2
4
6
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
8,3,2,1 321 KTTT
34
5.7.1相位裕度和增益裕度
Re
Im
0
1?
平面G
大时K
小时K
图 5-46
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jjjKjG
n
m
mn?
的极坐标图对于大的 K值，系统是不稳定的。
当增益减小到一定值时,)(?jG
的轨迹通过 -1+j0点。
对于小的 K值，系统是稳定的。
)(?jG 的 轨迹对 -1+j0点点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量 (对条件稳定系统不适用 )。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
)(?jG
5.7相对稳定性
35
相位裕度、相角裕度 (Phase Margin)?
设系统的截止频率 (Gain cross-over frequency)为
c?
1)()()( ccc jHjGjA
定义相角裕度为
)()(180 cc jHjG
相角裕度的含义是
度，则系统将变为临界稳定。
对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后当 0 时，相位裕量为正值；
0
为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。
在极坐标图上的临界点为 0分贝和180
时，相位裕度为负值。当
36
Log
Log
Log
Log
90
270
180
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
Stable System Unstable System
0
dB
90
270
180
0
dB
c? x?
c?
x?
37
增益裕度、幅值裕度 (Gain Margin) h
设系统的相位穿越频率 (Phase cross-over frequency)
)12()()()( kjHjG xxx?,1,0k
定义幅值裕度为
)()(
1
xx jHjG
h
幅值裕度 h
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 h
倍，则系统将变为临界稳定状态。
)()(l o g20 xx jHjGh
的含义是，
若以分贝表示，则有当增益裕度以分贝表示时，如果 1?h 0)(?dBh 增益裕度为正值；
1?h,则 0)(?dBh
正增益裕度 (以分贝表示 )表示系统是稳定的；负增益裕度 (以分贝表示 )表示系统是不稳定的。
如果 增益裕度为负值。
x?
38
Log
Log
Log
Log
90
270
180
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
Stable System Unstable System
0
dB
90
270
180
0
dB
c? x?
c?
x?
39
Re
Im
h
1
PlaneG
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
-1
1
Re
Im
h
1
PlaneG
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
-1
1
Stable System Unstable System
)(?jG
)(?jG
40
0)(?dBh
0判断系统稳定的又一方法
)()(180 cc jHjG
)()(l o g20 xx jHjGh
41
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，
增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为多少？
42
只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。
为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。
6030 与增益裕度应当大于 6分贝。
5.7.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对 -1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。
对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。
为了得到满意的性能，相位裕度应当在 之间，
43
例 5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为
)05.01)(2.01()( sss
KsG
K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益 K的调整，使系统的增益裕度 20logh=20dB，相位裕度 40?
解,?
180)()()( xxx jHjG
18005.02.090)( xxx a r c t ga r c t g
即 9005.02.0 xx a r c t ga r c t g
21
21
21 1)(
tgtg
tgtgtg
xx
xx
05.02.01
05.02.0? 005.02.01 xx 10x?
相位穿越频率
x?
增益裕度
44
)()(l o g20)( xx jHjGdBh
)05.01)(2.01(
1l o g20
xxx jjj
22 )1005.0(1l o g20)102.0(1l o g2010l o g20
dB281720
在
x?
处的开环对数幅值为
45
根据 K=1时的开环传递函数
c?
1)()(?cc jHjG
)05.01)(2.01(
1)(
ccc
c jjjjG
1
)0 0 2 5.01)(04.01(
1
22
c
cc
1c
10405.02.090)( ccc a r c t ga r c t g
761 0 41 8 0)(1 8 0 c
相位裕度 增益穿越频率 截止频率
46
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
10
0
10
1
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
)(dBh
c?
1?K 5.2?K 2.5?K
cK?
)(dBh
)(dBh
47
由题意知 10?h
1.0)(?xjG?
1.0
)0 0 2 5.01)(04.01( 22x
xx
K
5.225.0141101.0K
验证是否满足相位裕度的要求。
根据 40? 的要求，则得：
1404018005.02.090)( ccc a r c t ga r c t g
5005.02.0 cc a r c t ga r c t g 2.105.02.01 05.02.0
cc
cc
4?c?
1
)0025.01)(04.01( 22c
cc
K
2.502.128.14K
不难看出,5.2?K 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。
48
例 5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图 5-50所示 (最小相位系统 )。写出系统的开环传递函数?判别系统的稳定性?如果系统是稳定的，则求 ttr?)( 时的稳态误差。
解,?由图得
)
5
1)(
01.0
1(
)
1.0
1(
)(
jjj
jK
jG
看对数幅频特性
49
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 2 0
0
20
40
60
80
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-40dB/dec
0.01 0.1 1
5
rad/s
dB
)(?L
)
5
1)(
01.0
1(
)
1.0
1(
)(
jjj
jK
jG
50
1lg20)51(1lg20)01.0 1(1lg20)1.0 1(1lg20lg20 222K
11100 10K
10?K )2.01)(1 0 01(
)101(10)(
sss
ssG
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度
是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 1?
c?
在
c? 处
4.1 065101.0 11.0 190)( a r c t ga r c t ga r c t gc
则得 6.73)(180
c
单位斜坡输入时，系统的稳态误差为 1.0
10
11
vss K
e
>>0 系统稳定
51
5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
S ( S + 2 ξ ω n )
ω n
2R ( s ) C ( s )
图 3 - 8 标 准 形 式 的 二 阶 系 统 方 块 图
_
在图 3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。
)2()(
2
n
n
sssG
)2()(
2
n
n
jjjG
书上例 5-13p203
设截止频率
1
4
)(
222
2
ncc
n
cjG
c? 则有
52
2222 4 nncc
42224 4 ncnc
2
4)4(4 4222222 nnn
c
)214(( 2422 nc 24 214( nc
n
a r ct g 290)(
根据相位裕度的定义 ncc a r ct g 290180)(180
2
21490 24 a r ct g
24 214
2
a r ct g
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
1
4
)(
222
2
ncc
n
cjG
53
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
图 5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系
54
相位裕度与阻尼比直接相关。图 5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：
100
因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。
55
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
221 nr
21 nd
对于小的阻尼比，
谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。
56
的值越小
rM 和 pM 的值越大。
r? rM 和 pM 与
之间的函数关系如图 5-52
所示。可以看出，当
4.0 时,rM 和 pM
之间存在相近的关系。对于很小的
值 rM 将变得很大，而
pM 却不会超过 1。
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
57
5.7.4截止频率与带宽 (Cutoff frequency and bandwidth)
dB )(?L
0
带 宽
b
3
3?
图 5-53 截止频率与系统带宽参看图 5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下 3分贝时，对应的频率称为截止频率。
dBjR jCjR jC 3)0( )0(lg20)( )(lg20
b
对于的
dBjR jC 0)0( )0(lg20? 系统
dBjR jC 3)( )(lg20
b
58
闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。
闭环系统的幅值不低于 -3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。
因此，带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。对于给定的 n?,上升时间随着阻尼比
的增加而增大。另一方面，带宽随着?
的增加而减小。因此，上升时间与带宽之间成反比关系。
59
带宽指标取决于下列因素：
1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。
因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。
60
一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。
二阶系统，闭环传递函数为
22
2
2)()(
)(
nn
n
ssssR
sC
22
2
2
)2()1(
1)(
nn
j
因为
1)0( j,由带宽的定义得
2)2()1( 222
2
n
b
n
b
于是 1)21(21 222 nb
61
第六章 控制系统的校正在前面几章中。讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。
本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，
去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
62
谢谢！
结束
