1
第 12讲程向红最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数典型环节的极坐标图
2
第 5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
频域分析法频率特性及其表示法典型环节的频率特性稳定裕度和判据频率特性指标应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
3
5.1.2 频率特性的表示法
(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)
(2)极坐标图 (Polar plot)
(3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)
对数频率特性曲线
)(lo g20?jG dB )(?L
对数幅频特性相频特性 (?)
纵坐标均按线性分度横坐标是角速率
)()(?jG
10倍频程，用 dec?lg按 分度
4
极坐标图 (Polar plot),=幅相频率特性曲线,=幅相曲线
)(?jG 可用幅值 )(?jG 和相角 )( 的向量表示。
变化时，向量 )(?jG
的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
当输入信号的频率 ~0?
奈奎斯特 (N.Nyquist)在 1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性奈奎斯特曲线，简称奈氏图
5
5.2典型环节频率特性曲线的绘制
5.2.1 增益 K
KL lo g20)(
0)(
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
6
5.2.2 积分与微分因子 1j
jjG 1)(?
)(l og201l og20)( dBjL
90)(
)(l o g20l o g20)( dBjL
jjG?)(
90)(
nj )/1(?
nj )(?
)(l o g20)( 1l o g20)( dBnjL n n 90)(
)(l og20)(l og20)( dBnjL n n 90)(
这些幅频特性曲线将通过点 1,0dB
类推相差一个符号
7
5.2.3 一阶因子 1)1(?Tj
一阶因子
1)1( Tj?
)(])(1[l og201 1l og20)( 2 dBTTjL
)()( Tar c tg
在低频时，即 TT 1,1 )(01l o g20])(1[l o g20)( 2 dBTL
低频时的对数幅值曲线是一条 0分贝的直线
TT
1,1 )(l o g20])(1[l o g20)( 2 dBTTL
图 5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确 (Exact curve)的相角曲线。
在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为 -20分贝 /十倍频程的直线请看下页对数幅频特性相频特性
8
5.2.4 二阶因子 12 ])/()/(21[?
nn jj 2)()(21
1
nn
jj
22
2
2
2
)2()1(l o g20
)()(21
1
l o g20)(
nn
nn
jj
L
在低频时，即当 n
n dB
nn?
l o g40l o g20
2
2
低频渐近线为一条 0分贝的水平线
-20log1=0dB
在高频时，即当高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为 -40分贝 /十倍频程的直线由于在 n 时 dB
n
01l o g40l o g40 所以高频渐近线与低频渐近线在
n 处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
9
22
2
2
)2()1(
1)(
nn
jG
令
22
2
2
)2()1()(
nn
g 0
12)2(2)2)(1(2)(
22
2
nnnn
gdtd
)1(4)21()( 22
2
2
222
n
ng
(5-22)
(5-23)
(5-25)
707.02 20
12
1
2
r
M
谐振频率谐振频率 谐振峰值谐振峰值当 707.0 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振
221 n r?
rM 与? 关系曲线请看
10
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0
5
10
15
图 5-15 rM 与? 关系曲线
rM
/dB
11
开环系统的伯德图 步骤如下写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上绘制开环对数幅频曲线的渐近线。
低频段 的斜率为 d ecdB /20渐近线由若干条分段直线所组成在 1 处,KL lg20)(
每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率
11
1
Tj 因子的转折频率 1
1
T,当
1
1
T 时，
分段直线斜率的变化量为 decdB /20?
21 Tj 因子的转折频率 21T,当
2
1
T
分段直线斜率的变化量为 decdB /20
时，
12
高频 渐近线，其斜率为 d e cdBmn /)(20
n为极点数,m为零点数作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线
13
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半 s平面内既无极点也无零点的传递函数在 右半 s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位 传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子
14
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
1
1 1
1)(
Tj
TjjG
1
1
2 0,1
1)( TT
Tj
TjjG
jω
σ
T
1
1
1
T
1
1
T
jω
σ
T
1
图 5-18最小相位系统和非最小相位系统的零 -极点分布图
15
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 2 0
- 1 5
- 1 0
-5
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
非最小相位系统最小相位系统图 5-19 的相角特性相同的幅值特性
11
1
Tj
Tj
11
1
Tj
Tj
和
16
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）
的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定这个结论对于非最小相位系统不成立。
反之亦然
17
最小相位系统，相角在 时变为 d e cdBmn /)(90
n为极点数,m为零点数。
时的斜率都等于
d e cdBmn /)(20
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在
如果当
对数幅值曲线的斜率为 d e cdBmn /)(20
并且相角等于 d e cdBmn /)(90
那么该系统就是最小相位系统。
判断最小相位系统的另一种方法两个系统的对数幅值曲线在时相角时
18
5.2.6 传递延迟 (Transport lag) See p190
通常在热力、液压和气动系统中存在传递延迟传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，
高频时将造成严重的相位滞后延迟环节的输入和输出的时域表达式为
)()(1)( trttc?se
sR
sCsG
)(
)()( jejG)(
1s i nc o s)( jjG
传递延迟的对数幅值等于 0分贝
( d e g )3.57)()( r a d
其幅值总是等于 1
传递延迟的相角为
19
10
-1
10
0
10
1
- 6 0 0
- 5 0 0
- 4 0 0
- 3 0 0
- 2 0 0
- 1 0 0
0
图 5-20传递延迟的相角特性曲线
20
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了 0型,1型和 2型系统的 低频特性 。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。
因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
21
静态位置误差常数的确定
+
-
R ( s ) E ( s ) C ( s )
)( sG
图 5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为
)1()1)(1(
)1()1)(1()(
21
21
sTsTsTs
sTsTsTKsG
n
m
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jTjTjTKjG
n
m
)(?jG 在低频段等于 pK,即
pKjG )(lim 0
22
10
-1
10
0
10
1
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
2 0 l o g K
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
图 5-22 某一 0型系统对数幅值曲线
)12.0)(1(
15)(
sssG
cf3_dB=-30.4575749
cf1_dB=23.5218252
cf2_dB=9.5424251
23
图 5-23为一个 1型系统对数幅值曲线的例子。
decdB /20? 的起始线段 /或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为
vKlo g20
静态速度误差常数的确定在 1型系统中
1,)( jKjG v
斜率为证明
vv Kj
K lo g20lo g20
11
斜率为 decdB /20?
其延长线与 0分贝线的交点的频率在数值上等于
vK设交点上的频率为
1?
1
1
jKv
1vK
的起始线段 /或证明
24
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
25
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
图 5-23 某个 1型系统对数幅值曲线
)1()( Tss
KsG
转角频率为 2? 斜率为
decdB /40?
与 /或其延长线与 0分贝线的交点为
3?
的直线
T
1
2
，
T
K?2
3?
，
KK v1?
由此得到
2321
2
3
3
1
在伯德图上 2331 l o gl o gl o gl o g
3?
点恰好是 2? 点与 1? 点的中点
26
静态加速度误差常数的确定斜率为 decdB /40?
的起始线段 /或其
1
的直线的交点具有的幅值为
aKlo g20
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线延长线，与
1,)()( 2 jKjG a
a
a K
j
K l o g20
)(l o g20 12
证明
27
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线斜率为 d ecdB /40?
的起始线段 /或其延长线与
0分贝线的交点的频率为
a? 在数值上等于 aK
的平方根证明
01l o g20)(l o g20 2
a
a
j
K
aa K
28
5.3极坐标图 (Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
)(?jG 可用幅值 )(?jG 和相角 )(
的向量表示。当输入信号的频率?
由零变化到无穷大时，向量 )(?jG
的幅值和相位也随之作相应的变化，
其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
在极坐标图上，正 /负相角是从正实轴开始，以逆时针 /顺时针旋转来定义的
29
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
图 5-25 极坐标图
)](Im[?jG
)](Re[?jG
)(?jG
)(
1?
2?
3?
Im
Re
0
但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。
30
5.3.1积分与微分因子
11)( j
jjG
所以
jjG
1)(?
的极坐标图是负虚轴。
jjG?)(
的极坐标图是正虚轴。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
- 4,5
-4
- 3,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-26 积分因子极坐标图
901?
90?
jjG?)(
0
31
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-27 微分因子极坐标图
0
32
5.3.2一阶因子
TjjG 1
1)(
01)0( jG
4521)1( TjG
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
- 1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-28 一阶因子
jjG 1
1)( 极坐标图
Ta r c tg
T
2
)(1
1
0
1 8 00)( jG
T
1
)(?jG
33
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-29 一阶因子 jjG 1)( 极坐标图
34
5.3.3二阶因子
0,
)()(21
1)(
2
nn
jj
jG
01)0( jG
1 8 00)( jG
)(?jG
的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，
但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
图 5-30 二阶因子极坐标图
35
对于欠阻尼
n 时
2
1)(
jjG n?
相角
90)(?jG
的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率
n?
极坐标图上，距原点最远的频率点，
相应于谐振频率
r?
这时 )(?jG
可以用谐振频率
r?
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
当
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
的峰值
36
过阻尼情况
增加到远大于 1时，
)(?jG 的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的? 值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。
当
37
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1.0
38
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
39
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
40
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
41
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
2
42
对于
2)()(21)(
nn
jjjG
)2()1( 22
nn
j
极坐标图的低频部分为：
01)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 0)( jG
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
in
a
r
y
A
x
is
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
43
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
44
例 5-2 考虑下列二阶传递函数：
)1(
1)(
TsssG
试画出这个传递函数的极坐标图。
解：
)1(
1)(
TjjjG
Ta r c t g
TTjj
jG?
90
)(1
1
)1(
1)(
2
极坐标图的低频部分为：
90)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 00)( jG
45
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
图 5-32 )1( 1 Tjj 极坐标图
46
5.3.4 传递延迟
47
5.3.5 极坐标图的一般形状
48
5.4对数幅 -相图 (Nichols Chart)尼柯尔斯图
N i c h o l s C h a r t
O p e n - L o o p P h a s e ( d e g )
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
in
(
d
B
)
- 1 8 0 - 1 3 5 - 9 0 - 4 5 0
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
图 5-34 二阶因子对数幅 -相图
49
5.5奈奎斯特稳定判据
(Nyquist Stability Criterion)
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
图 3-35 闭环系统闭环传递函数为
)()(1 )()( )( sGsH sGsR sC
为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1 sGsH
的全部根，都必须位于左半 s平面。虽然开环传递函数
)()( sGsH
的极点和零点可能位于右半 s平面，但如果 闭环传递函数的所有极点均位于 左半 s平面，则 系统 是稳定的。
50
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应
)()( jGjH 与
)()(1 sGsH?
在右半 s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，
均可用来进行稳定性分析奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的
51
5.5.1预备知识
0)()(1)( sGsHsF
可以证明，对于 S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在)(sF
平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
)(sF 平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：
52
)2)(1(
6)()(
sssGsH 其特征方程为：
)2)(1(
61)()(1)(
sssGsHsF 0
)2)(1(
)4.25.1)(4.25.1(?
ss
jsjs
函数
)(sF
在 s平面内除了奇点外处处解析。对于 s平面上的每一个解析点，
)(sF
平面上必有一点与之对应。例如 21 js,则
)(sF 为：
577.0115.1)23)(22( 61)21( jjjjF
这样，对于 s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在
)(sF
平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
53
5.5.2影射定理
54
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
55
谢谢！
结束
第 12讲程向红最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数典型环节的极坐标图
2
第 5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
频域分析法频率特性及其表示法典型环节的频率特性稳定裕度和判据频率特性指标应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
3
5.1.2 频率特性的表示法
(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)
(2)极坐标图 (Polar plot)
(3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)
对数频率特性曲线
)(lo g20?jG dB )(?L
对数幅频特性相频特性 (?)
纵坐标均按线性分度横坐标是角速率
)()(?jG
10倍频程，用 dec?lg按 分度
4
极坐标图 (Polar plot),=幅相频率特性曲线,=幅相曲线
)(?jG 可用幅值 )(?jG 和相角 )( 的向量表示。
变化时，向量 )(?jG
的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
当输入信号的频率 ~0?
奈奎斯特 (N.Nyquist)在 1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性奈奎斯特曲线，简称奈氏图
5
5.2典型环节频率特性曲线的绘制
5.2.1 增益 K
KL lo g20)(
0)(
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
6
5.2.2 积分与微分因子 1j
jjG 1)(?
)(l og201l og20)( dBjL
90)(
)(l o g20l o g20)( dBjL
jjG?)(
90)(
nj )/1(?
nj )(?
)(l o g20)( 1l o g20)( dBnjL n n 90)(
)(l og20)(l og20)( dBnjL n n 90)(
这些幅频特性曲线将通过点 1,0dB
类推相差一个符号
7
5.2.3 一阶因子 1)1(?Tj
一阶因子
1)1( Tj?
)(])(1[l og201 1l og20)( 2 dBTTjL
)()( Tar c tg
在低频时，即 TT 1,1 )(01l o g20])(1[l o g20)( 2 dBTL
低频时的对数幅值曲线是一条 0分贝的直线
TT
1,1 )(l o g20])(1[l o g20)( 2 dBTTL
图 5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确 (Exact curve)的相角曲线。
在高频时，即高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为 -20分贝 /十倍频程的直线请看下页对数幅频特性相频特性
8
5.2.4 二阶因子 12 ])/()/(21[?
nn jj 2)()(21
1
nn
jj
22
2
2
2
)2()1(l o g20
)()(21
1
l o g20)(
nn
nn
jj
L
在低频时，即当 n
n dB
nn?
l o g40l o g20
2
2
低频渐近线为一条 0分贝的水平线
-20log1=0dB
在高频时，即当高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为 -40分贝 /十倍频程的直线由于在 n 时 dB
n
01l o g40l o g40 所以高频渐近线与低频渐近线在
n 处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
9
22
2
2
)2()1(
1)(
nn
jG
令
22
2
2
)2()1()(
nn
g 0
12)2(2)2)(1(2)(
22
2
nnnn
gdtd
)1(4)21()( 22
2
2
222
n
ng
(5-22)
(5-23)
(5-25)
707.02 20
12
1
2
r
M
谐振频率谐振频率 谐振峰值谐振峰值当 707.0 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振
221 n r?
rM 与? 关系曲线请看
10
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0
5
10
15
图 5-15 rM 与? 关系曲线
rM
/dB
11
开环系统的伯德图 步骤如下写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上绘制开环对数幅频曲线的渐近线。
低频段 的斜率为 d ecdB /20渐近线由若干条分段直线所组成在 1 处,KL lg20)(
每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率
11
1
Tj 因子的转折频率 1
1
T,当
1
1
T 时，
分段直线斜率的变化量为 decdB /20?
21 Tj 因子的转折频率 21T,当
2
1
T
分段直线斜率的变化量为 decdB /20
时，
12
高频 渐近线，其斜率为 d e cdBmn /)(20
n为极点数,m为零点数作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线
13
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半 s平面内既无极点也无零点的传递函数在 右半 s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位 传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子
14
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
1
1 1
1)(
Tj
TjjG
1
1
2 0,1
1)( TT
Tj
TjjG
jω
σ
T
1
1
1
T
1
1
T
jω
σ
T
1
图 5-18最小相位系统和非最小相位系统的零 -极点分布图
15
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
P
h
a
s
e
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 2 0
- 1 5
- 1 0
-5
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
非最小相位系统最小相位系统图 5-19 的相角特性相同的幅值特性
11
1
Tj
Tj
11
1
Tj
Tj
和
16
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）
的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定这个结论对于非最小相位系统不成立。
反之亦然
17
最小相位系统，相角在 时变为 d e cdBmn /)(90
n为极点数,m为零点数。
时的斜率都等于
d e cdBmn /)(20
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在
如果当
对数幅值曲线的斜率为 d e cdBmn /)(20
并且相角等于 d e cdBmn /)(90
那么该系统就是最小相位系统。
判断最小相位系统的另一种方法两个系统的对数幅值曲线在时相角时
18
5.2.6 传递延迟 (Transport lag) See p190
通常在热力、液压和气动系统中存在传递延迟传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，
高频时将造成严重的相位滞后延迟环节的输入和输出的时域表达式为
)()(1)( trttc?se
sR
sCsG
)(
)()( jejG)(
1s i nc o s)( jjG
传递延迟的对数幅值等于 0分贝
( d e g )3.57)()( r a d
其幅值总是等于 1
传递延迟的相角为
19
10
-1
10
0
10
1
- 6 0 0
- 5 0 0
- 4 0 0
- 3 0 0
- 2 0 0
- 1 0 0
0
图 5-20传递延迟的相角特性曲线
20
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了 0型,1型和 2型系统的 低频特性 。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。
因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
21
静态位置误差常数的确定
+
-
R ( s ) E ( s ) C ( s )
)( sG
图 5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为
)1()1)(1(
)1()1)(1()(
21
21
sTsTsTs
sTsTsTKsG
n
m
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jTjTjTKjG
n
m
)(?jG 在低频段等于 pK,即
pKjG )(lim 0
22
10
-1
10
0
10
1
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
2 0 l o g K
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
图 5-22 某一 0型系统对数幅值曲线
)12.0)(1(
15)(
sssG
cf3_dB=-30.4575749
cf1_dB=23.5218252
cf2_dB=9.5424251
23
图 5-23为一个 1型系统对数幅值曲线的例子。
decdB /20? 的起始线段 /或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为
vKlo g20
静态速度误差常数的确定在 1型系统中
1,)( jKjG v
斜率为证明
vv Kj
K lo g20lo g20
11
斜率为 decdB /20?
其延长线与 0分贝线的交点的频率在数值上等于
vK设交点上的频率为
1?
1
1
jKv
1vK
的起始线段 /或证明
24
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
25
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
图 5-23 某个 1型系统对数幅值曲线
)1()( Tss
KsG
转角频率为 2? 斜率为
decdB /40?
与 /或其延长线与 0分贝线的交点为
3?
的直线
T
1
2
，
T
K?2
3?
，
KK v1?
由此得到
2321
2
3
3
1
在伯德图上 2331 l o gl o gl o gl o g
3?
点恰好是 2? 点与 1? 点的中点
26
静态加速度误差常数的确定斜率为 decdB /40?
的起始线段 /或其
1
的直线的交点具有的幅值为
aKlo g20
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线延长线，与
1,)()( 2 jKjG a
a
a K
j
K l o g20
)(l o g20 12
证明
27
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线斜率为 d ecdB /40?
的起始线段 /或其延长线与
0分贝线的交点的频率为
a? 在数值上等于 aK
的平方根证明
01l o g20)(l o g20 2
a
a
j
K
aa K
28
5.3极坐标图 (Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
)(?jG 可用幅值 )(?jG 和相角 )(
的向量表示。当输入信号的频率?
由零变化到无穷大时，向量 )(?jG
的幅值和相位也随之作相应的变化，
其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
在极坐标图上，正 /负相角是从正实轴开始，以逆时针 /顺时针旋转来定义的
29
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
图 5-25 极坐标图
)](Im[?jG
)](Re[?jG
)(?jG
)(
1?
2?
3?
Im
Re
0
但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。
30
5.3.1积分与微分因子
11)( j
jjG
所以
jjG
1)(?
的极坐标图是负虚轴。
jjG?)(
的极坐标图是正虚轴。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
- 4,5
-4
- 3,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-26 积分因子极坐标图
901?
90?
jjG?)(
0
31
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-27 微分因子极坐标图
0
32
5.3.2一阶因子
TjjG 1
1)(
01)0( jG
4521)1( TjG
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
- 1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-28 一阶因子
jjG 1
1)( 极坐标图
Ta r c tg
T
2
)(1
1
0
1 8 00)( jG
T
1
)(?jG
33
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-29 一阶因子 jjG 1)( 极坐标图
34
5.3.3二阶因子
0,
)()(21
1)(
2
nn
jj
jG
01)0( jG
1 8 00)( jG
)(?jG
的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，
但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
图 5-30 二阶因子极坐标图
35
对于欠阻尼
n 时
2
1)(
jjG n?
相角
90)(?jG
的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率
n?
极坐标图上，距原点最远的频率点，
相应于谐振频率
r?
这时 )(?jG
可以用谐振频率
r?
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
当
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
的峰值
36
过阻尼情况
增加到远大于 1时，
)(?jG 的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的? 值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。
当
37
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1.0
38
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
39
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
40
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
41
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
2
42
对于
2)()(21)(
nn
jjjG
)2()1( 22
nn
j
极坐标图的低频部分为：
01)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 0)( jG
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
in
a
r
y
A
x
is
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
43
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
44
例 5-2 考虑下列二阶传递函数：
)1(
1)(
TsssG
试画出这个传递函数的极坐标图。
解：
)1(
1)(
TjjjG
Ta r c t g
TTjj
jG?
90
)(1
1
)1(
1)(
2
极坐标图的低频部分为：
90)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 00)( jG
45
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
图 5-32 )1( 1 Tjj 极坐标图
46
5.3.4 传递延迟
47
5.3.5 极坐标图的一般形状
48
5.4对数幅 -相图 (Nichols Chart)尼柯尔斯图
N i c h o l s C h a r t
O p e n - L o o p P h a s e ( d e g )
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
in
(
d
B
)
- 1 8 0 - 1 3 5 - 9 0 - 4 5 0
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
图 5-34 二阶因子对数幅 -相图
49
5.5奈奎斯特稳定判据
(Nyquist Stability Criterion)
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
图 3-35 闭环系统闭环传递函数为
)()(1 )()( )( sGsH sGsR sC
为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1 sGsH
的全部根，都必须位于左半 s平面。虽然开环传递函数
)()( sGsH
的极点和零点可能位于右半 s平面，但如果 闭环传递函数的所有极点均位于 左半 s平面，则 系统 是稳定的。
50
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应
)()( jGjH 与
)()(1 sGsH?
在右半 s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，
均可用来进行稳定性分析奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的
51
5.5.1预备知识
0)()(1)( sGsHsF
可以证明，对于 S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在)(sF
平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
)(sF 平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：
52
)2)(1(
6)()(
sssGsH 其特征方程为：
)2)(1(
61)()(1)(
sssGsHsF 0
)2)(1(
)4.25.1)(4.25.1(?
ss
jsjs
函数
)(sF
在 s平面内除了奇点外处处解析。对于 s平面上的每一个解析点，
)(sF
平面上必有一点与之对应。例如 21 js,则
)(sF 为：
577.0115.1)23)(22( 61)21( jjjjF
这样，对于 s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在
)(sF
平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
53
5.5.2影射定理
54
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
55
谢谢！
结束
